1、【小升初专项训练 几何问题】 注意事项：注意事项： 常用面积公式（三角形、平行四边形、梯形、长方形、正方形、长方体、正方常用面积公式（三角形、平行四边形、梯形、长方形、正方形、长方体、正方 体、圆）体、圆） 特殊情况处理：特殊情况处理： 1 1、割补法求面积、割补法求面积 2 2、和差法求面积、和差法求面积 3 3、倍比法（分数法）求面积、倍比法（分数法）求面积 4 4、等积变换法（在三角形、平行四边形、梯形等等中，等底、等高则等积）、等积变换法（在三角形、平行四边形、梯形等等中，等底、等高则等积） 5 5、转换法（将多边形转换为三角形）、转换法（将多边形转换为三角形） 典型例题解析典型例题解
2、析 1 1 与圆和扇形有关的题型与圆和扇形有关的题型 【例【例 1 1】 （）（）如下图，等腰直角三角形如下图，等腰直角三角形 ABCABC 的腰为的腰为 1010 厘米；以厘米；以 A A 为圆心，为圆心，EFEF 为圆弧，为圆弧， 组成扇形组成扇形 AEFAEF；阴影部分甲与乙的面积相等。求扇形所在的圆面积。；阴影部分甲与乙的面积相等。求扇形所在的圆面积。 【例【例 2 2】 （）（）草场上有一个长草场上有一个长 2020 米、宽米、宽 1010 米的关闭着的羊圈，在羊圈的一角用长米的关闭着的羊圈，在羊圈的一角用长 3030 米的绳子拴着一只羊（见左下图） 。问：这只羊能够活动的范围有多大
3、？米的绳子拴着一只羊（见左下图） 。问：这只羊能够活动的范围有多大？ 【例【例 3 3】 （）（）在右图中，两个四分之一圆弧的半径分别是在右图中，两个四分之一圆弧的半径分别是 2 2 和和 4 4，求两个阴影部分的面，求两个阴影部分的面 积差。积差。 【例【例 4 4】 （）（）如图，如图，ABCDABCD 是正方形，且是正方形，且 FA=AD=DE=1FA=AD=DE=1，求阴影部分的面积，求阴影部分的面积。 （取。 （取3 3） 【例【例 5 5】（）】（）如如下下图，图，ABAB 与与 CDCD 是两条垂直的直径，圆是两条垂直的直径，圆 O O 的半径为的半径为 1515 厘米，厘米，
4、2.2.与立体几何有关的题型与立体几何有关的题型 小学阶段，我们除了学习平面图形外，还认识了一些简单的立体图形，如长方体、正方体小学阶段，我们除了学习平面图形外，还认识了一些简单的立体图形，如长方体、正方体 （立方体） 、直圆柱体，直圆锥体、球体等，并且知道了它们的体积、表面积的计算公式，（立方体） 、直圆柱体，直圆锥体、球体等，并且知道了它们的体积、表面积的计算公式， 归纳如下。见下图。归纳如下。见下图。在数学竞赛中，有许多几何趣题，解答这些趣在数学竞赛中，有许多几何趣题，解答这些趣题的关键在于精巧的构题的关键在于精巧的构 思和恰当的设计，把形象思维和抽象思维结合起来。思和恰当的设计，把形象
5、思维和抽象思维结合起来。 【例【例 6 6】 （）（）用棱长是用棱长是 1 1 厘米的正方块拼成如下图所示的立体图形，问该图形的表面积厘米的正方块拼成如下图所示的立体图形，问该图形的表面积 是多少平方厘米？是多少平方厘米？ 【例【例 7 7】 （）】 （）在边长为在边长为 4 4 厘米的正方体木块的每个面中心打一个边与正方体的边平行厘米的正方体木块的每个面中心打一个边与正方体的边平行 的洞洞口是边长为的洞洞口是边长为 1 1 厘米的正方形，洞深厘米的正方形，洞深 1 1 厘米（如下图厘米（如下图） ） 求挖洞后木块的表面积和体积求挖洞后木块的表面积和体积 【例【例 8】 （）】 （）如图是一个
6、边长为如图是一个边长为 2 2 厘米的正方体。在正方体的上面的正中向下挖一个厘米的正方体。在正方体的上面的正中向下挖一个 边长为边长为 1 1 厘米的正方体小洞；接着在小洞的底面正中再向下挖一个边长为厘米的正方体小洞；接着在小洞的底面正中再向下挖一个边长为 1/21/2 厘米的小洞；厘米的小洞； 第三个小洞的挖法与前两个相同，边长为第三个小洞的挖法与前两个相同，边长为 1/41/4 厘米。那么最后得到的立体图形的表面积是厘米。那么最后得到的立体图形的表面积是 多少平方厘米？多少平方厘米？ 3 3 水位问题水位问题 【例【例 9 9】（）一个酒精瓶，它的瓶身呈圆】（）一个酒精瓶，它的瓶身呈圆 柱
7、形（不包括瓶颈），如下图已知柱形（不包括瓶颈），如下图已知它的容积为它的容积为 26.426.4立方厘米当瓶子正放时，瓶内的立方厘米当瓶子正放时，瓶内的 酒精的液面高为酒精的液面高为 6 6 厘米瓶子倒放时，空余部分的高为厘米瓶子倒放时，空余部分的高为 2 2 厘米问：瓶内酒精的体积是多厘米问：瓶内酒精的体积是多 少立方厘米？合多少升？少立方厘米？合多少升？ 【例【例 1010】（）】（）一个高为一个高为 3030 厘米，底面为边长是厘米，底面为边长是 1010 厘米的正方形的长方体水桶，其厘米的正方形的长方体水桶，其中中 装有装有 2 1 容积的水，现在向桶中投入边长为容积的水，现在向桶中投
8、入边长为 2 2 厘米厘米2 2 厘米厘米3 3 厘米的长方体石块，问需要投厘米的长方体石块，问需要投 入多少块这种石块才能使水面恰与桶高相齐？入多少块这种石块才能使水面恰与桶高相齐？ 【例【例 1111】有】有甲、乙、丙甲、乙、丙 3 3 种大小的正方体，棱长比是种大小的正方体，棱长比是 1 1：2 2：3 3。如果用这三种正方体拼成。如果用这三种正方体拼成 尽量小的一个正方体，且每种都至少用一个，则最少需要这三种正方体共多少？尽量小的一个正方体，且每种都至少用一个，则最少需要这三种正方体共多少？ 【例【例 1212】求下图中阴影部分的面积：】求下图中阴影部分的面积： 【例【例 1313】从
9、一个长为从一个长为 8 厘米，宽为厘米，宽为 7 厘米，高为厘米，高为 6 厘米厘米的长方体中截下一个最大的正方体，的长方体中截下一个最大的正方体， 剩下的几何体的表面积是剩下的几何体的表面积是_平方厘米平方厘米. 【例【例 1414】 有一个棱长为有一个棱长为 1 米的立方体，沿长、宽、高分别切二刀、米的立方体，沿长、宽、高分别切二刀、三刀、四刀后，成为三刀、四刀后，成为 60 个 小 长 方 体个 小 长 方 体 ( 见 左 下见 左 下 图图 ). 这这 60 个 小 长 方个 小 长 方 体 的 表 面 积 总 和 是体 的 表 面 积 总 和 是 _ 平 方 米平 方 米 . 【例【
10、例 1515】右上右上图中图中每个小圆的半径是每个小圆的半径是 1 厘米，阴影部分的周长是厘米，阴影部分的周长是_厘米厘米.（3.14） 【例【例1414】 一千个体积为一千个体积为1立方厘米的小正方体合在一起成为一个边长为立方厘米的小正方体合在一起成为一个边长为10厘米的大正方体，厘米的大正方体， 大正方体表面涂油漆后再分开为原来的小正方体，这些小正方体至少有一面被油漆涂过的大正方体表面涂油漆后再分开为原来的小正方体，这些小正方体至少有一面被油漆涂过的 数目是多少个？数目是多少个？ 教学练习教学练习 1 1、（）、（）如如下图下图，求阴影部分的面积，其中，求阴影部分的面积，其中 OABCOA
11、BC 是正方形是正方形. . 2 2、 （）（）如如下下图所示，求阴影面积，图中是一个正六边形，面积为图所示，求阴影面积，图中是一个正六边形，面积为 10401040 平方厘米，空平方厘米，空 白部分是白部分是 6 6 个半径为个半径为 1010 厘米的小扇形。厘米的小扇形。 3 3、 （）（）如如下下图，两图，两个半径相等的圆相交，两圆的圆心相距正好等于半径，个半径相等的圆相交，两圆的圆心相距正好等于半径，ABAB 弦约等弦约等 于于 1717 厘米，半径为厘米，半径为 1010 厘米，求阴影部分的面积。厘米，求阴影部分的面积。 常规练习 题型 4，圆相关： 1、三角形ABC是直角三角形,阴
12、影部分的面积比阴影部分的面积小 28 平方 厘米. AB长 40 厘米, BC长多少厘米. 2、在右图中(单位:厘米),两个阴影部分面积的和是多少平方厘米. 12 15 20 C A B 3、ABC是等腰直角三角形. D是半圆周长的中点, BC是半圆 的直径,已知:AB=BC=10,那么阴影部分的面积是多少? 4、已知右图中大正方形边长是 6 厘米,中间小正方形边长 是 4 厘米.求阴影部分的面积. 5、如图所求,圆的周长是 16.4 厘米,圆的面积与长方形的面积正好相等.图中阴 影部分的周长是 厘米.)14. 3( 6、压路机的滚筒是一个圆柱体，它的底面直径是 1 米，长 2 米。每滚动一周
13、能 压多大面积的路面？ 7、一堆圆锥形黄沙，底面周长是 25.12 米，高 1.5 米，每立方米的黄沙重 1.5 吨，这堆沙重多少吨？ 8、一辆货车箱是一个长方体，它的长是 4 米，宽是 1.5 米，高是 4 米，装满一 车沙，卸后沙堆成一个高是 1.5 米的圆锥形，它的底面积是多少平方米？ 9、一根圆柱形钢管，长 30 厘米，外直径是长的1 5 ，管壁厚 1 厘米，已知每立方 厘米的钢重 7.8 克，这根钢管重多少克？ A 10 D C B 10、一个装满稻谷的粮囤，上面是圆锥形，下面是圆柱形。量得圆柱底面的周长 是 62.8 米，高 2 米，圆锥的高是 1.2 米。这个粮囤能装稻谷多少立方
14、米？如果 每立方米稻谷重 500 千克，这个粮囤能装稻谷多少吨？(保留一位小数) 11、把一个横截面为正方形的长方体，削成一个最大的圆锥体，已知圆锥体的底 面周长 6.28 厘米，高 5 厘米，长方体的体积是多少？ 12、一个圆柱体和一个圆锥体等底等高，它们的体积相差 50.24 立方厘米。如果 圆柱体的底面半径是 2 厘米，这个圆柱体的侧面积是多少平方厘米？ 小升初几何专项训练答案小升初几何专项训练答案 【例【例 1 1】 【解】 ：等腰三角形的角为【解】 ：等腰三角形的角为 4545 度，则扇形所在圆的面积为扇形面积的度，则扇形所在圆的面积为扇形面积的 8 8 倍。而扇形面积为倍。而扇形面
15、积为 等腰三角形面积：等腰三角形面积：S S1/21/2101010105050。则：圆的面积为。则：圆的面积为 400400。 【例【例 2 2】 解】 ：解】 ： （此题十分经典）（此题十分经典）如右上图所示，羊活动的范围可以分为如右上图所示，羊活动的范围可以分为 A A，B B，C C 三部三部分，分， 所以羊活动的范围是所以羊活动的范围是 【例【例 3 3】 【解】 ：我们只要看清楚阴影部分如何构成则不难求解。【解】 ：我们只要看清楚阴影部分如何构成则不难求解。左边的阴影是大扇形减去小扇形，左边的阴影是大扇形减去小扇形， 再扣除一个长方形中的不规则白色部分，而右边的阴影是长方形扣除这块
16、不规则白色部分，再扣除一个长方形中的不规则白色部分，而右边的阴影是长方形扣除这块不规则白色部分， 那么它们的差应为大扇形减去小扇形，再减去长方形。则为：那么它们的差应为大扇形减去小扇形，再减去长方形。则为：/4/44 44 4/4/42 22 24 4 2 23 33.143.148 81.421.42。 【例【例 4 4】 【解】 ：先看总的面积为【解】 ：先看总的面积为 1/41/4 的圆，加上一个正方形，加上一个等腰直角三角形，然后扣除的圆，加上一个正方形，加上一个等腰直角三角形，然后扣除 一个等腰直角三角形，一个一个等腰直角三角形，一个 1/41/4 圆，一个圆，一个 4545 度的扇
17、形。那么最终效果等于一个正方形扣除度的扇形。那么最终效果等于一个正方形扣除 一个一个 4545 度的扇形。为度的扇形。为 1 11 11/81/83 31 15/85/8 【例【例 5 5】 【解】：【解】：225225 平方厘米平方厘米 225225（平方厘米）（平方厘米） 【例【例 6 6】 解】 ：解】 ： 方法一方法一 ： 思思 路路 ：整体看待面积问题。：整体看待面积问题。 解：不管叠多高，上下两面的表面积总是解：不管叠多高，上下两面的表面积总是 3 33 3；再看上下左右四个面，都是；再看上下左右四个面，都是 2 23+13+1， 所以，总计所以，总计 9 92+72+74=18+
18、28=464=18+28=46。 方法二方法二 ： 思思 路路 ：所有正方体表面积减去粘合的表面积：所有正方体表面积减去粘合的表面积 解：从图中我们可以发现，总共有解：从图中我们可以发现，总共有 1414 个正方体，这样我们知道总共的表面积是：个正方体，这样我们知道总共的表面积是：6 614=6414=64， 但总共粘合了但总共粘合了 1818 个面，这样就减少了个面，这样就减少了 18181=181=18，所以剩下的表面积是，所以剩下的表面积是 6464- -18=4618=46。 方法三方法三 ：直接数数。：直接数数。 思思 路路 ：通过图形，我们可以直接数出总共有：通过图形，我们可以直接
19、数出总共有 4646 个面，每个面面积为个面，每个面面积为 1 1，这样总共的表，这样总共的表 面积就是面积就是 4646。 【例【例 7 7】 【解】【解】 ：提示：大正方体的边长为：提示：大正方体的边长为 4 4 厘米，挖去的小正方体边长为厘米，挖去的小正方体边长为 1 1 厘米，说明大正方体木厘米，说明大正方体木 块没被挖通，因此，每挖去一个小正方体木块，大正方体的表面积增加“小洞内”的块没被挖通，因此，每挖去一个小正方体木块，大正方体的表面积增加“小洞内”的 4 4 个个 侧面积。侧面积。 6 6 个小洞内新增加面积的总和：个小洞内新增加面积的总和： 1 11 14 46 62424（
20、平方厘米），（平方厘米）， 原正方体表面积：原正方体表面积：4 4 2 2 6 69696（平方厘米），挖洞后木块表面积：（平方厘米），挖洞后木块表面积：96962424120120（平方厘米），（平方厘米）， 体积：体积：4 4 3 3 1 1 3 3 6 65858（立方厘米）（立方厘米） 答：挖洞后的表面积是答：挖洞后的表面积是 120120 平方厘米，体积是平方厘米，体积是 5858 立方厘米立方厘米 【例【例 8 8】 【解】 ：【解】 ： 方法一方法一 ： 思思 路路 ：立体图形的好处就是可以直观视觉，虽然图形被：立体图形的好处就是可以直观视觉，虽然图形被挖去，但挖去，但 6 6
21、个面看过去是都还个面看过去是都还 是面积不变的，特别是从上往下看是，是面积不变的，特别是从上往下看是，3 3 个正方形的下底面正好和剩下的面积等个正方形的下底面正好和剩下的面积等 于原来的面积，这样就只增加了于原来的面积，这样就只增加了 3 3 个小正方体的各自侧面。个小正方体的各自侧面。 解：解：原正方体的表面积是原正方体的表面积是 226=24226=24 平方厘米平方厘米，增加的面积，增加的面积 14+(14+( 2 1 2 1 )4+()4+( 4 1 4 1 )4)4，所以总共面积为，所以总共面积为 24+14+(24+14+( 2 1 2 1 )4+()4+( 4 1 4 1 )4
22、=29)4=29 4 1 方法二方法二 ： 思思 路路 ：原正方体的表面积是原正方体的表面积是 226=24226=24 平方厘米，平方厘米，在顶部挖掉一个边长为在顶部挖掉一个边长为 1 1 厘米的正厘米的正 方体小洞后， 原大正方体方体小洞后， 原大正方体的顶部表面被掉了一个的顶部表面被掉了一个1111的小正方形， 但是内部增加了的小正方形， 但是内部增加了5 5个个1111 的面，所以总共增加了的面，所以总共增加了 4 4 个个 1111 的面，的面，即正方形小洞的即正方形小洞的 4 4 个侧面个侧面- -同样，再往下挖掉一个同样，再往下挖掉一个 边长为边长为 2 1 的正方体后，大的正方
23、体后，大正方体的表面积又增加正方体的表面积又增加 4 4 个个 2 1 2 1 的小正方形的面积的小正方形的面积. .最后最后挖掉挖掉 一个边长为一个边长为 4 1 厘米的正方体后， 大正方体的表面积又增厘米的正方体后， 大正方体的表面积又增加了加了 4 4 个个 4 1 4 1 的小正方体的面积的小正方体的面积. . 所以最终大正方体的表所以最终大正方体的表面积面积=24+14+(=24+14+( 2 1 2 1 )4+()4+( 4 1 4 1 )4=29)4=29 4 1 【例【例 9 9】 分析分析 由题意，液体的体积是不变的，瓶内空余部分的体积也是不变的，因此可知液体体积由题意，液体
24、的体积是不变的，瓶内空余部分的体积也是不变的，因此可知液体体积 是空余部分体积的是空余部分体积的 3 倍（倍（62） ） 62.17262.172 立方厘米立方厘米62.17262.172 毫升毫升 0.0621720.062172 升升 答：酒精的体积是答：酒精的体积是 6262172172 立方厘米，合立方厘米，合 0 0062172062172 升升 【例【例 1010】 【解】 ：【解】 ：所装入石块的体积应等于桶的容积的一半所装入石块的体积应等于桶的容积的一半.投入石块：投入石块： （101015101015）（223223）=125=125（块）（块）. . 【例【例 1111】
25、【解】 ：【解】 ： 设甲的棱长是设甲的棱长是 1 1， 则乙的棱长是， 则乙的棱长是 2 2， 丙的棱长是， 丙的棱长是 3 3。 一个甲种木块的体积是。 一个甲种木块的体积是 1*1*1=11*1*1=1； 一个乙种木块的体积是一个乙种木块的体积是 2*2*2=82*2*2=8；一个丙种木块的体积是；一个丙种木块的体积是 3*3*3=273*3*3=27。 3+2=53+2=5。则这三种木块拼成的最小正方体的棱长。则这三种木块拼成的最小正方体的棱长是是 5 5。体积是。体积是 5*5*5=1255*5*5=125。 需要丙种木块需要丙种木块 1 1 块，乙种木块块，乙种木块 1+1*2+2
26、*2=71+1*2+2*2=7 块。块。 甲种木块的体积是甲种木块的体积是 2727，乙种木块的体积是，乙种木块的体积是 8*7=568*7=56。 125125- -2727- -56=4256=42。需要甲种木块。需要甲种木块 42/1=4242/1=42 块。块。 1+7+42=501+7+42=50 块。块。 【例【例 1212】 【解】如左下图所示，将左下角的阴影部分分为两部分，然后按照右下图所示，将这两部【解】如左下图所示，将左下角的阴影部分分为两部分，然后按照右下图所示，将这两部 分分别拼补在阴影位置。可以看出，原题图的阴影部分等于右下图中分分别拼补在阴影位置。可以看出，原题图的
27、阴影部分等于右下图中 ABAB 弧所形成的弓形，弧所形成的弓形， 其面积等于扇形其面积等于扇形 OABOAB 与三角形与三角形 OABOAB 的面积之差。的面积之差。 所以阴影面积：所以阴影面积：4 44 44 4- -4 44 42=4.562=4.56。 【例【例 1313】 【解】最大正方体的边长为【解】最大正方体的边长为 6 6，这样剩下表面积就是少了两个面积为，这样剩下表面积就是少了两个面积为 6 66 6 的，所以现在的的，所以现在的 面积为面积为(8(87+87+86+76+76) 6) 2 2- -6 66 62=2202=220 【例【例 1414】 【解】原正方体表面积：【
28、解】原正方体表面积：1 11 16 66 6（平方米） ，一共切了（平方米） ，一共切了 2 23 34 49 9（次） ，每切一次增（次） ，每切一次增 加加 2 2 个面：个面：2 2 平方米。所以表面积：平方米。所以表面积： 6 62 29 92424（平方米） （平方米） 【例例 1515】 【解】可见大圆的半径是小圆的【解】可见大圆的半径是小圆的 3 3 倍，所以半径为倍，所以半径为 3 3，那么阴影部分的周长就等于，那么阴影部分的周长就等于 7 7 的小圆的小圆 的周长加上的周长加上 1 1 个大圆的周长，即个大圆的周长，即 7 72+2+6=206=20。 【例【例 1616】 【解】 ：共有【解】 ：共有 1010101000 个小正方体，其中没有涂色的为个小正方体，其中没有涂色的为(102)(102)(102) 512 个，所以至少有一面被油漆漆过的小正方体为个，所以至少有一面被油漆漆过的小正方体为 1000512488 个。个。
