1、第 1 页（共 13 页） 2021 年广东省普通高中合格性考试数学仿真试卷（四）年广东省普通高中合格性考试数学仿真试卷（四） 一、选择题（本大题共一、选择题（本大题共 15 小题，每小题小题，每小题 4 分，共分，共 60 分每小题中只有一个选项是符合题分每小题中只有一个选项是符合题 意的，不选、多选、错选均不得分）意的，不选、多选、错选均不得分） 1 （4 分）已知集合 |(4)(2)0Axxx， 3B ，1，1，3，5，则(AB ) A 1，1，3 B 3，1，1，3 C 1，1，3，5 D 3，5 2 （4 分） 44 log 2log 8等于( ) A2 B1 C1 D2 3 （4
2、分）函数( )2f xxx的定义域为( ) A(2,) B(,0) C(0,2) D0，2 4 （4 分）已知向量(1,3)a ，向量( , 1)bx，若ab，则实数x的值为( ) A3 B3 C1 D1 5 （4 分） 取一根长度为3m的绳子， 拉直后在任意位置剪断， 那么剪得两段的长都不小于1m 的概率是( ) A 1 2 B 1 3 C 1 4 D不确定 6 （4 分）倾斜角为45，在y轴上的截距为 2 的直线方程是( ) A20 xy B20 xy C20 xy D20 xy 7 （4 分）如图所示，一个空间几何体的主视图和左视图都是边长为 1 的正方形，俯视图是 一个直径为 1 的圆
3、，那么这个几何体的全面积为( ) A 3 2 B2 C3 D4 8 （4 分）若m，n表示直线，表示平面，则下列命题中，正确命题的个数为( ) / /mn n m ；/ / m mn n ； / / m mn n ； / /m n mn 第 2 页（共 13 页） A1 个 B2 个 C3 个 D4 个 9 （4 分）把函数sinyx的图象向右平移 4 个单位得到( )yg x的图象，再把( )yg x图 象上所有点的纵坐标伸长到原来的 2 倍（横坐标不变） ，所得到图象的解析式为( ) A2sin() 4 yx B2sin() 4 yx C 1 sin() 24 yx D 1 sin() 2
4、4 yx 10 （4 分）已知( 2 x ，0)， 4 cos 5 x ，则tan2x等于( ) A 7 24 B 7 24 C 24 7 D 24 7 11 （4 分）已知圆 22 :5O xy和点(1,2)A，则过A且与圆O相切的直线与两坐标轴围成 的三角形的面积为( ) A5 B10 C 25 2 D 25 4 12 （4 分）在锐角ABC中，角A，B所对的边分别为a，b若2 sin3aBb，则角A等 于( ) A 12 B 6 C 4 D 3 13 （4 分）函数 1 ( )|f xln x x 的图象大致为( ) A B C D 14 （4 分）若直线1(0,0) xy ab ab
5、过点(1,1)，则ab的最小值等于( ) A2 B3 C4 D5 15 （4 分）公比为 2 的等比数列 n a的各项都是正数，且 410 16a a，则 6 (a ) A1 B2 C4 D8 第 3 页（共 13 页） 二、填空题（本大题共二、填空题（本大题共 4 小题，每小题小题，每小题 4 分，共分，共 16 分将正确答案填在题中横线上）分将正确答案填在题中横线上） 16 （4 分）某高校甲、乙、丙、丁四个专业分别有 150、150、400、300 名学生，为了解学 生的就业倾向，用分层抽样的方法从该校这四个专业共抽取 40 名学生进行调查，应在丙专 业抽取的学生人数为 17 （4 分）
6、一个口袋中装有大小和形状完全相同的两个红球和两个白球，从这个口袋中任 取两个球，则取得的两个球中恰有一个红球的概率是 18 （4 分） 已知a，b，c分别为ABC的三边， 且 222 33320abcab， 则t a n C 19 （4 分）已知直线 1: 260laxy， 2 2: (1)10lxaya ，若 12 ll，则a 三、解答题（本大题共三、解答题（本大题共 3 小题，共小题，共 24 分解答时应写出必要的文字说明、证明过程及演算分解答时应写出必要的文字说明、证明过程及演算 步骤）步骤） 20（12 分） 如图， 已知ABC是正三角形，EA、CD都垂直于平面ABC， 且2E A A
7、 Ba， DCa，F是BE的中点，求证： （1）/ /FD平面ABC； （2）AF 平面EDB 21 （12 分）已知公差不为零的等差数列 n a满足： 1 3a ，且 1 a， 4 a， 13 a成等比数列 （1）求数列 n a的通项公式； （2）若 n S表示数列 n a的前n项和，求数列 1 n S 的前n项和 n T 22 （12 分）某兴趣小组要测量电视塔AE的高度H（单位：)m如图所示，竖直放置的 标杆BC的高度4hm，仰角ABE，ADE该小组已测得一组，的值，算 出了tan1.24，tan1.20，请据此算出H的值 第 4 页（共 13 页） 第 5 页（共 13 页） 2021
8、 年广东省普通高中合格性考试数学仿真试卷（四）年广东省普通高中合格性考试数学仿真试卷（四） 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、选择题（本大题共一、选择题（本大题共 15 小题，每小题小题，每小题 4 分，共分，共 60 分每小题中只有一个选项是符合题分每小题中只有一个选项是符合题 意的，不选、多选、错选均不得分）意的，不选、多选、错选均不得分） 1 （4 分）已知集合 |(4)(2)0Axxx， 3B ，1，1，3，5，则(AB ) A 1，1，3 B 3，1，1，3 C 1，1，3，5 D 3，5 【解答】解：因为 |(4)(2)0( 2Axxx ，4) 又 3B ，1，1，3，5，
9、 所以 1AB ，1，3 故选：A 2 （4 分） 44 log 2log 8等于( ) A2 B1 C1 D2 【解答】解： 4444 2 log 2log 8loglog 4 8 1 1 ， 故选：B 3 （4 分）函数( )2f xxx的定义域为( ) A(2,) B(,0) C(0,2) D0，2 【解答】解：要使函数有意义，则 20 0 x x ， 得 2 0 x x ，即02x剟， 即函数的定义域为0，2， 故选：D 4 （4 分）已知向量(1,3)a ，向量( , 1)bx，若ab，则实数x的值为( ) A3 B3 C1 D1 【解答】解：ab， 30a bx， 3x 故选：B
10、第 6 页（共 13 页） 5 （4 分） 取一根长度为3m的绳子， 拉直后在任意位置剪断， 那么剪得两段的长都不小于1m 的概率是( ) A 1 2 B 1 3 C 1 4 D不确定 【解答】解：记“两段的长都不小于1m”为事件A， 则只能在中间1m的绳子上剪断，剪得两段的长都不小于1m， 所以事件A发生的概率 1 ( ) 3 P A 故选：B 6 （4 分）倾斜角为45，在y轴上的截距为 2 的直线方程是( ) A20 xy B20 xy C20 xy D20 xy 【解答】解：因为倾斜角为45，所以直线的斜率为tan451k ， 又在y轴上的截距为 2， 所以所求直线的方程为2yx，即2
11、0 xy 故选：A 7 （4 分）如图所示，一个空间几何体的主视图和左视图都是边长为 1 的正方形，俯视图是 一个直径为 1 的圆，那么这个几何体的全面积为( ) A 3 2 B2 C3 D4 【解答】解：由三视图知几何体是一个圆柱， 圆柱的底面是一个直径为 1 的圆， 圆柱的高是 1， 圆柱的全面积是 2 113 2( )21 222 ， 故选：A 8 （4 分）若m，n表示直线，表示平面，则下列命题中，正确命题的个数为( ) 第 7 页（共 13 页） / /mn n m ；/ / m mn n ； / / m mn n ； / /m n mn A1 个 B2 个 C3 个 D4 个 【解
12、答】解：m，则m垂直于内的两条相交直线，因为/ /mn，所以n也垂直于这 两条直线，故n，故正确； 由线面垂直的性质，垂直于同一平面的两条直线平行，结论正确； / /n，所以存在直线b，且/ /bn，因为m，所以mb，所以mn，正确； 不正确，例如n和m确定的平面平行于，则/ /n 故选：C 9 （4 分）把函数sinyx的图象向右平移 4 个单位得到( )yg x的图象，再把( )yg x图 象上所有点的纵坐标伸长到原来的 2 倍（横坐标不变） ，所得到图象的解析式为( ) A2sin() 4 yx B2sin() 4 yx C 1 sin() 24 yx D 1 sin() 24 yx 【
13、解答】解：把函数sinyx的图象向右平移 4 个单位得到( )sin() 4 yg xx 的图象， 再把( )yg x图象上所有点的纵坐标伸长到原来的 2 倍（横坐标不变） ， 所得到图象的解析式为2sin() 4 yx ， 故选：A 10 （4 分）已知( 2 x ，0)， 4 cos 5 x ，则tan2x等于( ) A 7 24 B 7 24 C 24 7 D 24 7 【解答】解： 4 cos 5 x ，( 2 x ，0)， 3 sin 5 x 3 tan 4 x 2 3 2tan31624 2 tan2 9 1tan277 1 16 x x x 故选：D 11 （4 分）已知圆 22
14、 :5O xy和点(1,2)A，则过A且与圆O相切的直线与两坐标轴围成 第 8 页（共 13 页） 的三角形的面积为( ) A5 B10 C 25 2 D 25 4 【解答】解：由题意知，点A在圆上，则A为切点， 则OA的斜率2k ， 则切线斜率为 1 2 ， 则切线方程为： 1 2(1) 2 yx ， 即250 xy，从而求出在两坐标轴上的截距分别是 5 和 5 2 ， 所以，所求面积为 1525 5 224 故选：D 12 （4 分）在锐角ABC中，角A，B所对的边分别为a，b若2 sin3aBb，则角A等 于( ) A 12 B 6 C 4 D 3 【解答】解：利用正弦定理化简已知等式得
15、：2sinsin3sinABB， sin0B ， 3 sin 2 A， A为锐角， 3 A 故选：D 13 （4 分）函数 1 ( )|f xln x x 的图象大致为( ) A B 第 9 页（共 13 页） C D 【解答】解：当x时， 1 ( )|f xln x x ，由此排除C，D； 当0 x 时， 1 ( )f xlnx x ， 22 111 ( ) x fx xxx ， 当(0,1)x时，( )0fx，( )f x单调递减，当(1,)x时，( )0fx，( )f x单调递增 图象A符合 故选：A 14 （4 分）若直线1(0,0) xy ab ab 过点(1,1)，则ab的最小值等
16、于( ) A2 B3 C4 D5 【解答】解：直线1(0,0) xy ab ab 过点(1,1)， 11 1(0,0)ab ab ， 所以 11 ()()2224 bab a abab ababa b ， 当且仅当 ba ab 即2ab时取等号， ab最小值是 4， 故选：C 15 （4 分）公比为 2 的等比数列 n a的各项都是正数，且 410 16a a，则 6 (a ) A1 B2 C4 D8 【解答】解：由题意可得 2 74 10 16aa a， 又数列的各项都是正数， 故 7 4a ，故 7 6 4 2 22 a a 故选：B 二、填空题（本大题共二、填空题（本大题共 4 小题，每
17、小题小题，每小题 4 分，共分，共 16 分将正确答案填在题中横线上）分将正确答案填在题中横线上） 16 （4 分）某高校甲、乙、丙、丁四个专业分别有 150、150、400、300 名学生，为了解学 生的就业倾向，用分层抽样的方法从该校这四个专业共抽取 40 名学生进行调查，应在丙专 业抽取的学生人数为 16 第 10 页（共 13 页） 【解答】解：高校甲、乙、丙、丁四个专业分别有 150、150、400、300 名学生 本校共有学生1501504003001000， 用分层抽样的方法从该校这四个专业共抽取 40 名学生进行调查 每个个体被抽到的概率是 401 100025 ， 丙专业有
18、400 人， 要抽取 1 40016 25 故答案为：16 17 （4 分）一个口袋中装有大小和形状完全相同的两个红球和两个白球，从这个口袋中任 取两个球，则取得的两个球中恰有一个红球的概率是 2 3 【解答】解：一个口袋中装有大小和形状完全相同的两个红球和两个白球， 从这个口袋中任取两个球， 基本事件总数 2 4 6nC， 其中，取得的两个球中恰有一个红球包含的基本事件个数 11 22 4mC C， 则取得的两个球中恰有一个红球的概率是 42 63 m P n 故答案为： 2 3 18 （4 分）已知a，b，c分别为ABC的三边，且 222 33320abcab，则tanC 2 2 【解答】
19、解：ABC中， 222 33320abcab， 222 2 1 3 cos 223 ab abc C abab ， 2 2 2 sin1cos 3 CC， 故 sin tan2 2 cos C C C ， 故答案为2 2 19 （4 分） 已知直线 1: 260laxy， 2 2: (1)10lxaya ， 若 12 ll， 则a 2 3 【解答】解：直线 1: 260laxy， 2 2: (1)10lxaya ，且 12 ll， 12(1)0aa ，即220aa，解得 2 3 a 第 11 页（共 13 页） 故答案为： 2 3 三、解答题（本大题共三、解答题（本大题共 3 小题，共小题，共
20、 24 分解答时应写出必要的文字说明、证明过程及演算分解答时应写出必要的文字说明、证明过程及演算 步骤）步骤） 20（12 分） 如图， 已知ABC是正三角形，EA、CD都垂直于平面ABC， 且2E A A Ba， DCa，F是BE的中点，求证： （1）/ /FD平面ABC； （2）AF 平面EDB 【解答】证明（1）F分别是BE的中点，取BA的中点M， / /FMEA， 1 2 FMEAa EA、CD都垂直于平面ABC，/ /CDEA， / /CDFM，又CDaFM 四边形FMCD是平行四边形，/ /FDMC， FD平面ABC，MC 平面ABC / /FD平面ABC （2）因M是AB的中点，
21、ABC是正三角形，所以CMAB 又EA垂直于平面ABCCMAE， 又AEABA，所以CM 面EAB，AF 面EAB CMAF，又/ /CMFD，从而FDAF， 因F是BE的中点，EAAB所以AFEB EB，FD是平面EDB内两条相交直线，所以AF 平面EDB 21 （12 分）已知公差不为零的等差数列 n a满足： 1 3a ，且 1 a， 4 a， 13 a成等比数列 （1）求数列 n a的通项公式； （2）若 n S表示数列 n a的前n项和，求数列 1 n S 的前n项和 n T 第 12 页（共 13 页） 【解答】解： （1）公差不为零的等差数列 n a满足： 1 3a ，且 1 a
22、， 4 a， 13 a成等比数列 则： 2 4113 aa a， 即： 2 (33 )3(3 12 )dd， 解得：0d 或2(0舍去） ， 所以：32(1)21 n ann （2）由于：21 n an， 则： 2 (24) 2 2 n nn Snn ， 所以： 111 11 () (2)22 n Sn nnn 则： 1111111111 (1) 232435112 n T nnnn ， 1111 (1) 2212nn ， 323 42(1)(2) n nn 22 （12 分）某兴趣小组要测量电视塔AE的高度H（单位：)m如图所示，竖直放置的 标杆BC的高度4hm，仰角ABE，ADE该小组已测得一组，的值，算 出了tan1.24，tan1.20，请据此算出H的值 【解答】解：tan H AD tan H AD ， tan H AB ， tan h BD ADABDB， tantantan HHh ， tan1.24，tan1.20，4hm， tan4 1.24 124 tantan1.241.20 h H 因此，电视塔的高度H是124m 第 13 页（共 13 页） 故答案为：124
