1、第 1 页（共 20 页） 2021 年江苏省南京市高考数学二模测试试卷年江苏省南京市高考数学二模测试试卷 一、单项选择题：本题共一、单项选择题：本题共 8 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 40 分。在每小题给出的四个选项中，只分。在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的。有一项是符合题目要求的。 1 （5 分）若复数z满足(1)|34 |i zi，则z的虚部为( ) A5 B5 C 5 2 D 5 2 2 （5 分）已知集合 |(3)(1)0Axxx， |1| 1Bx x，则()( RA B ) A 1，0)(2，3 B(2，3 C(，0)(2，) D( 1，0)(2
2、，3) 3 （5 分）已知tan2，则sin()sin()( 44 ) A 3 10 B 3 5 C 3 10 D 3 5 4 （5 分）直线0 xy与双曲线 22 22xy有两个交点为A，B，则| (AB ) A2 B2 2 C4 D4 2 5 （5 分）已知平面向量a，b满足()3a ab，且| 2a ，| 1b ，则向量a与b的夹角 为( ) A 6 B 3 C 2 3 D 5 6 6 （5 分） “微信红包”自 2015 年以来异常火爆，在某个微信群某次进行的抢红包活动中， 若所发红包的金额为 10 元，被随机分配成 1.36 元，1.59 元，2.31 元，3.22 元，1.52 元
3、，供 甲乙丙丁戊 5 人抢，每人只能抢一次，则甲乙二人抢到的金额之和不低于 4.5 元的概率是( ) A 1 2 B 2 5 C 3 5 D 4 5 7 （5 分）已知定义域为R的函数( )f x满足 11 ( ),( )40 22 ffxx，其中( )fx为( )f x的导 函数，则不等式(sin )cos20fxx的解集为( ) A2,2, 33 kkkZ B2,2, 66 kkkZ C 2 2,2, 33 kkkZ D 5 2,2, 66 kkkZ 8 （5 分）已知正方体 1111 ABCDABC D的棱长为 2，以A为球心，2 2为半径的球面与平 第 2 页（共 20 页） 面 11
4、11 A BC D的交线长为( ) A 2 B 2 2 C2 D 二、多项选择题：本题共二、多项选择题：本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分。在每小题给出的选项中，有多项分。在每小题给出的选项中，有多项 符合题目要求。全部选对的得符合题目要求。全部选对的得 5 分，部分选对的得分，部分选对的得 3 分，有选错的得分，有选错的得 0 分。分。 9 （5 分）若函数( )f x的图象在R上连续不断， 且满足(0)0f，f（1）0，f（2）0， 则下列说法错误的是( ) A( )f x在区间(0,1)上一定有零点，在区间(1,2)上一定没有零点 B( )f x在区间(0,
5、1)上一定没有零点，在区间(1,2)上一定有零点 C( )f x在区间(0,1)上一定有零点，在区间(1,2)上可能有零点 D( )f x在区间(0,1)上可能有零点，在区间(1,2)上一定有零点 10 （5 分）已知 n S是等差数列(*) n anN的前n项和，且 786 SSS，则下列说法正确的 是( ) A n S中的最大项为 14 S B数列 n a的公差0d C 14 0S D当且仅当15n时，0 n S 11 （5 分）将函数( )sin2f xx的图象向左平移 6 个单位，得到函数( )yg x的图象，则以 下说法正确的是( ) A函数( )g x在(0,) 6 上单调递增 B
6、函数( )yg x的图象关于点( 6 ，0)对称 C()( ) 2 g xg x D()( ) 6 gg x 12 （5 分）已知函数( )(1) x f xx e，( )(1)g xxlnx，则( ) A函数( )f x在R上无极值点 B函数( )g x在(0,)上存在唯一极值点 C若对任意0 x ，不等式 2 ()()f axf lnx恒成立，则实数a的最大值为 2 e D若 12 ()()(0)f xg xt t，则 12 (1) lnt x x 的最大值为 1 e 三、填空题：本题共三、填空题：本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分。请把答案直接填写在答题卡相
7、应位置分。请把答案直接填写在答题卡相应位置 上。上。 第 3 页（共 20 页） 13 （5 分）在等差数列 n a中， 1 2a ， 24 8aa ，则数列 n a的公差为 14 （5 分）斜率为 1 的直线经过抛物线 2 4yx的焦点，与抛物线相交于A，B两点，则 |AB 15 （5 分） 数书九章是中国南宋时期杰出数学家秦九韶的著作，全书十八卷共八十一个 问题，分为九类，每类九个问题， 数书九章中记录了秦九韶的许多创造性成就，其中在 卷五“三斜求积“中提出了已知三角形三边a，b，c求面积的公式，这与古希腊的海伦公 式完全等价，其求法是： “以小斜幂并大斜幂减中斜幂，余半之，自乘于上，以小
8、斜幂乘大 斜幂减上，余四约之，为实，一为从隅，开平方得积 ”若把以上这段文字写成公式，即 222 222 1 () 42 cab Sc a ，S为三角形的面积，a，b，c为三角形的三边长， 现有ABC 满足sin:sin:sin3:2 2 :5ABC 且12 ABC S则ABC的外接圆的半径为 16 （5 分）已知函数( ) 2 elnx f x x ， 2 2 ( ) x g x xm ，若函数( )( ( )h xg f xm有 3 个不同的零 点 1 x， 2 x， 3123 ()x xxx，则 123 2 ()()()f xf xf x的取值范围是 四、解答题：本题共四、解答题：本题共
9、 6 小题，共小题，共 70 分。请在答题卡指定区域内作答。解答时应写出文字说分。请在答题卡指定区域内作答。解答时应写出文字说 明、证明过程或演算步骤。明、证明过程或演算步骤。 17 （10 分）已知数列 n a的前n项和为 n S，且22 nn Sa （1）求数列 n a的通项公式； （2） 设 2 2 l o g1 1 nn ba， 数列 n b的前n项和为 n T， 求 n T的最小值及取得最小值时n的值 18 （12 分）在平面直角坐标系xOy中，已知角的顶点与坐标原点重合，始边与x轴的非 负半轴重合，它的终边过点 34 (,) 55 P （1）求sin() 3 的值； （2）若角满足
10、 5 sin() 13 ，求cos的值 19 （12 分）如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD为正方形，PD 底面ABCD，M 为线段PC的中点，PDAD，N为线段BC上的动点 （1）证明：平面MND 平面PBC； （2） 当点N在线段BC的何位置时， 平面MND与平面PAB所成锐二面角的大小为30？指 出点N的位置，并说明理由 第 4 页（共 20 页） 20 （12 分）某学校共有 1000 名学生，其中男生 400 人，为了解该校学生在学校的月消费 情况， 采取分层抽样随机抽取了 100 名学生进行调查， 月消费金额分布在450 950之间 根 据调查的结果绘制的学生在校月消费金额的
11、频率分布直方图如图所示： 将月消费金额不低于 750 元的学生称为“高消费群” （）求a的值，并估计该校学生月消费金额的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点 值作代表） ； （）现采用分层抽样的方式从月消费金额落在550，650)，750，850)内的两组学生中 抽取 10 人，再从这 10 人中随机抽取 3 人，记被抽取的 3 名学生中属于“高消费群”的学生 人数为随机变量X，求X的分布列及数学期望； （） 若样本中属于 “高消费群” 的女生有 10 人， 完成下列22列联表， 并判断是否有97.5% 的把握认为该校学生属于“高消费群”与“性别”有关？ 属于“高消费群” 不属于“高消费群”
12、 合计 男 女 合计 （参考公式： 2 2 () ()()()() n adbc K ab cd ac bd ，其中)nabcd 2 ()P Kk 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 k 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828 第 5 页（共 20 页） 21 （12 分）已知点B是圆 22 :(1)16Cxy上的任意一点，点( 1,0)F ，线段BF的垂直 平分线交BC于点P （1）求动点P的轨迹E的方程； （2）设曲线E与x轴的两个交点分别为 1 A， 2 A，Q为直线4x 上的动点，且Q不在x轴 上，
13、 1 QA与E的另一个交点为M， 2 QA与E的另一个交点为N，证明：FMN的周长为定 值 22 （12 分）已知函数( )1 x f xeax （1）当2a 时，求曲线在(1，f（1）)处的切线方程； （2）若 2 ( )( )g xf xx，且( )g x在0，)上的最小值为 0，求a的取值范围 第 6 页（共 20 页） 2021 年江苏省南京市高考数学二模测试试卷年江苏省南京市高考数学二模测试试卷 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、单项选择题：本题共一、单项选择题：本题共 8 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 40 分。在每小题给出的四个选项中，只分。在每小题给出的四
14、个选项中，只 有一项是符合题目要求的。有一项是符合题目要求的。 1 （5 分）若复数z满足(1)|34 |i zi，则z的虚部为( ) A5 B5 C 5 2 D 5 2 【解答】解：(1)|34 |i zi， 22 (1)345i z， 55(1)5555 1(1)(1)222 ii zi iii ， z的虚部为 5 2 故选：D 2 （5 分）已知集合 |(3)(1)0Axxx， |1| 1Bx x，则()( RA B ) A 1，0)(2，3 B(2，3 C(，0)(2，) D( 1，0)(2，3) 【解答】解：集合 |(3)(1)0 |1Axxxx x 或3x ， |1| 1 |0Bx
15、 xx x或2x ， | 13 R C Axx 剟， () | 10 RA Bxx或23 1x ，0)(2，3 故选：A 3 （5 分）已知tan2，则sin()sin()( 44 ) A 3 10 B 3 5 C 3 10 D 3 5 【解答】解：tan2， sin()sin()sin()sin()sin()cos() 4442444 ， 22 11 cos2(cossin) 22 ， 2 2 111tan3 sin()sin()cos2() 44221tan10 ， 故选：C 第 7 页（共 20 页） 4 （5 分）直线0 xy与双曲线 22 22xy有两个交点为A，B，则| (AB )
16、 A2 B2 2 C4 D4 2 【解答】解：把yx代入双曲线 22 22xy，整理得 2 2x ， 设 1 (A x， 1) y， 2 (B x， 2) y， 1 2x ， 2 2x ， 1 2y ， 2 2y ， 则 22 |( 22)( 22)4AB 故选：C 5 （5 分）已知平面向量a，b满足()3a ab，且| 2a ，| 1b ，则向量a与b的夹角 为( ) A 6 B 3 C 2 3 D 5 6 【解答】解：|2a ， 2 4a 又()3a ab， 2 43aa ba b，得1a b ， 设a与b的夹角为， 则|cos1a ba b ，即2 1 cos1 ，得 1 cos 2
17、0， 2 3 故选：C 6 （5 分） “微信红包”自 2015 年以来异常火爆，在某个微信群某次进行的抢红包活动中， 若所发红包的金额为 10 元，被随机分配成 1.36 元，1.59 元，2.31 元，3.22 元，1.52 元，供 甲乙丙丁戊 5 人抢，每人只能抢一次，则甲乙二人抢到的金额之和不低于 4.5 元的概率是( ) A 1 2 B 2 5 C 3 5 D 4 5 【解答】 解：若所发红包的金额为 10 元，被随机分配成 1.36 元，1.59 元， 2.31 元， 3.22 元， 1.52 元， 第 8 页（共 20 页） 供甲乙丙丁戊 5 人抢，每人只能抢一次， 考虑甲、乙二
18、人抢到的金额之和，基本事件总数 2 5 10nC， 甲乙二人抢到的金额之和不低于 4.5 元包含的基本事件有： (1.36,3.22)，(1.59,3.22)，(2.31,3.22)，(3.22,1.52)，共 4 个， 甲乙二人抢到的金额之和不低于 4.5 元的概率是 42 105 P 故选：B 7 （5 分）已知定义域为R的函数( )f x满足 11 ( ),( )40 22 ffxx，其中( )fx为( )f x的导 函数，则不等式(sin )cos20fxx的解集为( ) A2,2, 33 kkkZ B2,2, 66 kkkZ C 2 2,2, 33 kkkZ D 5 2,2, 66
19、kkkZ 【解答】解：设 2 ( )( )21g xf xx， ( )( )40g xfxx 在R上恒成立， ( )g x在R上单调递增，不等式 2 (sin )cos2(sin )2sin1fxxfxx，且 1 ( )0 2 g， 不等式(sin )cos20fxx 1 (sin )( ) 2 gxg， 1 sin 2 x， 5 22 66 kx xk 剟，kZ 故选：D 8 （5 分）已知正方体 1111 ABCDABC D的棱长为 2，以A为球心，2 2为半径的球面与平 面 1111 A BC D的交线长为( ) A 2 B 2 2 C2 D 【解答】解：由题意知 22 11 222 2
20、ABAD， 如图，在平面 1111 A BC D内任取一点P，使 1 2AP ，则 22 11 2 2APAAAP， 故以A为球心，2 2为半径的球面与平面 1111 A BC D的交线是以 1 A为圆心，以 2 为半径的圆 第 9 页（共 20 页） 弧 11 B PD， 故该交线长为2 2 故选：D 二、多项选择题：本题共二、多项选择题：本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分。在每小题给出的选项中，有多项分。在每小题给出的选项中，有多项 符合题目要求。全部选对的得符合题目要求。全部选对的得 5 分，部分选对的得分，部分选对的得 3 分，有选错的得分，有选错的得 0
21、 分。分。 9 （5 分）若函数( )f x的图象在R上连续不断， 且满足(0)0f，f（1）0，f（2）0， 则下列说法错误的是( ) A( )f x在区间(0,1)上一定有零点，在区间(1,2)上一定没有零点 B( )f x在区间(0,1)上一定没有零点，在区间(1,2)上一定有零点 C( )f x在区间(0,1)上一定有零点，在区间(1,2)上可能有零点 D( )f x在区间(0,1)上可能有零点，在区间(1,2)上一定有零点 【解答】 解： 函数( )f x的图象在R上连续不断， 且满足(0)0f，f（1）0，f（2）0， 所以(0)ff（1）0，所以函数在(0,1)内一定存在零点；f
22、（1）f（2）0，在(1,2)内 也可能有零点，也可能没有零点， 所以( )f x在区间(0,1)上一定有零点， 在区间(1,2)上可能有零点， 正确； 其它选项都不正确 故选：ABD 10 （5 分）已知 n S是等差数列(*) n anN的前n项和，且 786 SSS，则下列说法正确的 是( ) A n S中的最大项为 14 S B数列 n a的公差0d C 14 0S D当且仅当15n时，0 n S 【解答】解： 786 SSS， 7 0a， 8 0a ， 78 0aa， 1 0a，0d ， 第 10 页（共 20 页） 114 1478 14() 7()0 2 aa Saa ， 115
23、 158 15() 150 2 aa Sa ， 因此 n S中的最大项为 7 S，0d ， 14 0S， 15 0S， 故选：BCD 11 （5 分）将函数( )sin2f xx的图象向左平移 6 个单位，得到函数( )yg x的图象，则以 下说法正确的是( ) A函数( )g x在(0,) 6 上单调递增 B函数( )yg x的图象关于点( 6 ，0)对称 C()( ) 2 g xg x D()( ) 6 gg x 【解答】 解： 函数( )sin2f xx的图象向左平移 6 个单位， 得到函数( )sin(2) 3 yg xx 的 图象， 对于A： 由于(0,) 6 x ， 所以 2 2(
24、,) 333 x ， 故函数在该区间上， 先增后减， 故A错误； 对于B：当 6 x 时，()0 6 g ，故B正确； 对于C：由于函数( )g x的最小正周期 2 2 T ，所以()( ) 2 g xg x 成立，故C正确； 低于D：当 6 x 时， 23 ( )sin1 632 g ，即()( ) 6 gg x ，不成立，故D错误 故选：BC 12 （5 分）已知函数( )(1) x f xx e，( )(1)g xxlnx，则( ) A函数( )f x在R上无极值点 B函数( )g x在(0,)上存在唯一极值点 C若对任意0 x ，不等式 2 ()()f axf lnx恒成立，则实数a的
25、最大值为 2 e D若 12 ()()(0)f xg xt t，则 12 (1) lnt x x 的最大值为 1 e 【解答】解：对于:( )(1)1 x A f xxe，则( )(2) x fxxe， 令( )0fx，解得：2x ，令( )0fx，解得：2x ， 第 11 页（共 20 页） 故( )fx在(, 2) 递减，在( 2,)递增， 故 2 ( )( 2)10 min f xfe ，故( )f x在R递增， 故函数( )f x在R上无极值点，故A正确； 对于 1 :( )1B g xlnx x ， 2 1 ( ) x gx x ， 令( )0gx，解得：1x ，令( )0gx，解得
26、：01x， 故( )g x在(0,1)递减，在(1,)递增， 故( )ming xg（1）20，故( )g x在(0,)递增， 函数( )g x在(0,)上无极值点，故B错误； 对于C：由A得：( )f x在(0,)递增， 不等式 2 ()()f axf lnx恒成立， 则 2 ax lnx恒成立，故 2lnx a x ， 设 2 ( ) lnx h x x ，则 2 2(1) ( ) lnx h x x ， 令( )0h x，解得：0 xe，令( )0h x，解得：xe， 故( )h x在(0, ) e递增，在( ,)e 递减， 故( )maxh xh（e） 2 e ，故 2 a e ，故C
27、错误； 对于D：若 12 ()()(0)f xg xt t， 则 1 122 (1)(1) x x exlnxt， 0t ， 1 0 x， 2 1x ， 当 1 2 x xe时， 1 1 1 121 (1) (1)(1) x x ln x elnt x xx e ， 设 1 1( 1) x kx e，设( ) lnk g k k ，则 2 1 ( ) lnk g k k ， 令( )0g k，解得：0ke，令( )0g k，解得：ke， 故( )g k在(0, ) e递增，在( ,)e 递减， 故( )maxg kg（e） 1 e ，此时 1 122 (1)(1) x ex exlnx， 故
28、12 (1) lnt x x 的最大值是 1 e ，故D正确； 故选：AD 第 12 页（共 20 页） 三、填空题：本题共三、填空题：本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分。请把答案直接填写在答题卡相应位置分。请把答案直接填写在答题卡相应位置 上。上。 13 （5 分）在等差数列 n a中， 1 2a ， 24 8aa ，则数列 n a的公差为 3 【解答】解：设数列 n a的公差为d，因为 24 8aa ，所以 3 4a ，则 31 3 31 aa d ， 故答案为：3 14（5 分） 斜率为 1 的直线经过抛物线 2 4yx的焦点， 与抛物线相交于A，B两点，
29、则|AB 8 【解答】解：抛物线焦点为(1,0) 则直线方程为1yx，代入抛物线方程得 2 610 xx 12 6xx 根据抛物线的定义可知 1212 |628 22 pp ABxxxxp 故答案为：8 15 （5 分） 数书九章是中国南宋时期杰出数学家秦九韶的著作，全书十八卷共八十一个 问题，分为九类，每类九个问题， 数书九章中记录了秦九韶的许多创造性成就，其中在 卷五“三斜求积“中提出了已知三角形三边a，b，c求面积的公式，这与古希腊的海伦公 式完全等价，其求法是： “以小斜幂并大斜幂减中斜幂，余半之，自乘于上，以小斜幂乘大 斜幂减上，余四约之，为实，一为从隅，开平方得积 ”若把以上这段文
30、字写成公式，即 222 222 1 () 42 cab Sc a ，S为三角形的面积，a，b，c为三角形的三边长， 现有ABC 满足sin:sin:sin3:2 2 :5ABC 且12 ABC S则ABC的外接圆的半径为 10 【解答】解：由正弦定理可得，sin:sin:sin:3:2 2 :5ABCa b c， 设3 (0)ak k，则2 2bk，5ck， 由余弦定理可得， 222222 9852 cos 22232 2 abckkk C abkk ， 因为(0, )C，可得 4 C ， 由 222 222 1 () 12 42 cab Sc a ，将3ak，2 2bk，5ck代入，解得2k
31、 ， 第 13 页（共 20 页） 所以可得2 5c ， 设ABC的外接圆的半径为R，由正弦定理可知， 2 5 22 10 sin2 2 c R C ， 即ABC的外接圆的半径为10 故答案为：10 16 （5 分）已知函数( ) 2 elnx f x x ， 2 2 ( ) x g x xm ，若函数( )( ( )h xg f xm有 3 个不同的零 点 1 x， 2 x， 3123 ()x xxx， 则 123 2 ( )( )( )f xf xf x的取值范围是 ( 1，0)(0，1) 2 【解答】解：函数( ) 2 elnx f x x ， 2 2 ( ) x g x xm ，若函数
32、( )( ( )h xg f xm有 3 个不同的零点 1 x， 2 x， 3123 ()x xxx， 令( )tf x，则由( )g xm ，化简 22 20tmtm，解得 12 , 2 m ttm ，即( ) 2 m f x ， ( )f xm ， 下面判断( )f x的单调性， 2 (1) ( )(0) 2 elnx fxx x ， 当( 0 , )xe，( )0fx，( )f x单调递增， 当( ,)xe，( )0fx，( )f x单调递减， ( )f x的最大值是f（e） 1 2 ，图象如下：( ) 2 m f x ，( )f xm 有 3 个不同的零点 ( ) 2 m f x 有一
33、个，( )f xm 有 2 个， 则 1 22 m 或者0 2 m ， 1 0 2 m ， 解得 1 0 2 m， 此时， 由 123 xxx， 1 () 2 m f x， 23 ()()f xf xm ， 123 1 2 ()()()(0, ) 2 f xf xf xm ； ( ) 2 m f x 有二个，( )f xm 有 1 个，则 1 0 22 m ， 1 2 m（不成立）或者0m，解 得01m， 由 123 xxx， 1 ()f xm ， 23 ()() 2 m f xf x， 123 2 ()()()( 1f xf xf xm ，0)； 综上， 123 2 ()()()f xf x
34、f x的取值范围是( 1，0)(0， 1 ) 2 故答案为：( 1，0)(0， 1 ) 2 第 14 页（共 20 页） 四、解答题：本题共四、解答题：本题共 6 小题，共小题，共 70 分。请在答题卡指定区域内作答。解答时应写出文字说分。请在答题卡指定区域内作答。解答时应写出文字说 明、证明过程或演算步骤。明、证明过程或演算步骤。 17 （10 分）已知数列 n a的前n项和为 n S，且22 nn Sa （1）求数列 n a的通项公式； （2） 设 2 2 l o g1 1 nn ba， 数列 n b的前n项和为 n T， 求 n T的最小值及取得最小值时n的值 【解答】解： （1）数列
35、n a满足22 nn Sa， 当1n 时，有 111 22Saa，变形可得 1 2a ， 当2n时，有 11 22 nn Sa ， 可得： 1 22 nnn aaa ，变形可得： 1 2 nn aa ， 则数列an是以 1 2a 为首项，公比为 2 的等比数列，故2n n a ， （2）根据题意， 22 2log112log 2 nn ba11211 n n， 当1n 时， 1 1 119b ， 数列 n b为等差数列，且首项 1 9b ，公差2d ； 则 21 ()( 9211) 10 22 n n nbbnn Tnn ， 则当5n 时， n T取得最小值，且其最小值为25 18 （12 分
36、）在平面直角坐标系xOy中，已知角的顶点与坐标原点重合，始边与x轴的非 负半轴重合，它的终边过点 34 (,) 55 P （1）求sin() 3 的值； （2）若角满足 5 sin() 13 ，求cos的值 【解答】解： （1）角的终边经过点 34 (,) 55 P ， 第 15 页（共 20 页） 22 34 ()()1 55 OP 43 sin,cos 55 （4 分） 13143343 3 sin()sincos()() 322252510 （7 分） （2） 5 sin() 13 ， 22 512 cos()1sin()1() 1313 （9 分） ()， coscos()cossin
37、()sin 当 12 cos() 13 时， 56 cos 65 ；（11 分） 当 12 cos() 13 时， 16 cos 65 （13 分） 综上所述： 56 cos 65 或 16 cos 65 （14 分） 19 （12 分）如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD为正方形，PD 底面ABCD，M 为线段PC的中点，PDAD，N为线段BC上的动点 （1）证明：平面MND 平面PBC； （2） 当点N在线段BC的何位置时， 平面MND与平面PAB所成锐二面角的大小为30？指 出点N的位置，并说明理由 【解答】 （1）证明：因为PD 底面ABCD，BC 面ABCD，所以PDBC， 又C
38、DBC，PDCDD，PD、CD 平面PCD， 所以BC 平面PCD， 又DM 平面PCD，所以BCDM， 因为PDADCD，且M为PC的中点， 所以DMPC， 又PCBCC，PC、BC 平面PBC， 第 16 页（共 20 页） 所以DM 平面PBC， 因为DM 平面MND， 所以平面MND 平面PBC （2）解：设1PDAD， 以D为原点，分别以DA，DC，DP方向为x，y，z轴的正方向，建立空间直角坐标系， 则(0D，0，0)，(1A，0，0)，(1B，1，0)，(0P，0，1)，(0M， 1 2 ， 1 ) 2 ， 所以( 1,0,1)AP ，(0,1,0)AB ， 1 1 (0, )
39、2 2 DM ， 设(N，1，0)，则( ,1,0)DN， 设平面PAB的一个法向量为 111 (,)mx y z，则 0 0 m AP m AB ，即 11 1 0 0 xz y ， 令 1 1x ，则 1 0y ， 1 1z ，所以(1,0,1)m ， 同理可得，平面MND的一个法向量为(1, )n ， 因为平面MND与平面PAB所成锐二面角的大小为30， 所以|cosm， 2 13 | | | cos30 | |2 212 m n n mn ， 化简得 2 4410 ，解得 1 2 ， 故N为线段BC的中点 20 （12 分）某学校共有 1000 名学生，其中男生 400 人，为了解该校
40、学生在学校的月消费 情况， 采取分层抽样随机抽取了 100 名学生进行调查， 月消费金额分布在450 950之间 根 据调查的结果绘制的学生在校月消费金额的频率分布直方图如图所示： 将月消费金额不低于 750 元的学生称为“高消费群” 第 17 页（共 20 页） （）求a的值，并估计该校学生月消费金额的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点 值作代表） ； （）现采用分层抽样的方式从月消费金额落在550，650)，750，850)内的两组学生中 抽取 10 人，再从这 10 人中随机抽取 3 人，记被抽取的 3 名学生中属于“高消费群”的学生 人数为随机变量X，求X的分布列及数学期望； （）
41、 若样本中属于 “高消费群” 的女生有 10 人， 完成下列22列联表， 并判断是否有97.5% 的把握认为该校学生属于“高消费群”与“性别”有关？ 属于“高消费群” 不属于“高消费群” 合计 男 女 合计 （参考公式： 2 2 () ()()()() n adbc K ab cd ac bd ，其中)nabcd 2 ()P Kk 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 k 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828 【解答】解： （）由题意知100 (0.00150.00250.00150.001)1a，解得0.
42、0035a ， 样本平均数为5000.156000.357000.258000.159000.10670 x 元 （）由题意，从550，650)中抽取 7 人，从750，850)中抽取 3 人， 随机变量X的所有可能取值有 0，1，2，3 3 37 3 10 ()(0 kk C C P Xkk C ，1，2，3)所以随机变量X的分布列为： X 0 1 2 3 第 18 页（共 20 页） P 35 120 63 120 21 120 1 120 随机变量X的数学期望 632119 ()23 12012012010 E X （）由题可知，样本中男生 40 人，女生 60 人属于“高消费群”的 2
43、5 人，其中女生 10 人；得出以下22列联表： 属于“高消费群” 不属于“高消费群” 合计 男生 15 25 40 女生 10 50 60 合计 25 75 100 22 2 ()100(102515 50)50 5.024 ()()()()257540609 n adbc K ab cd ac bd ， 所以有97.5%的把握认为概型学生属于“高消费群”与性别有关 21 （12 分）已知点B是圆 22 :(1)16Cxy上的任意一点，点( 1,0)F ，线段BF的垂直 平分线交BC于点P （1）求动点P的轨迹E的方程； （2）设曲线E与x轴的两个交点分别为 1 A， 2 A，Q为直线4x
44、上的动点，且Q不在x轴 上， 1 QA与E的另一个交点为M， 2 QA与E的另一个交点为N，证明：FMN的周长为定 值 【解答】 （1）解：由题意可知，42PFPCPBPCFC， 所以动点的轨迹是以F，C为焦点且长轴长为 4 的椭圆， 所以2a ，1c ，故 222 3bac， 所以动点P的轨迹E的方程为 22 1 43 xy ； （2）证明：题意可知， 1( 2,0) A ， 2(2,0) A，(4Q，)(0)t t 为直线4x 上一点， 设 1 (M x， 1) y， 2 (N x， 2) y， 直线 1 AQ的方程为(2) 6 t yx， 直线 2 A Q的方程为(2) 2 t yx，
45、联立方程组 22 (2) 6 1 43 t yx xy ，可得 2222 (27)441080txt xt， 可得 2 1 2 4108 ( 2) 27 t x t ， 第 19 页（共 20 页） 所以 2 1 2 542 27 t x t ， 故 2 2 542 ( 27 t M t ， 2 18 ) 27 t t ， 同理可得 2 22 266 (,) 33 tt N tt ， 故直线MN的方程为 2 222 6626 () 393 ttt yx ttt ， 即 222 666 (1) 999 ttt yxx ttt ， 故直线MN过定点(1,0)， 所以FMN的周长为定值 8 当3t
46、时，MN是椭圆的通径，经过焦点(1,0)，此时FMN的周长为定值48a ， 综上可得，FMN的周长为定值 8 22 （12 分）已知函数( )1 x f xeax （1）当2a 时，求曲线在(1，f（1）)处的切线方程； （2）若 2 ( )( )g xf xx，且( )g x在0，)上的最小值为 0，求a的取值范围 【解答】解： （1）当2a 时，( )21 x f xex，f（1）3e， ( )2 x f xe ，f（1）2e， 故切线方程是：(2)10exy ； （2）(0)(0)00gf， 故原条件等价于：在(0,)上， 2 ( )1 0 x g xexax 恒成立， 化为 2 1 x ex a x ，令 2 1 ( ) x ex h x x ， 则 2 (1)(1) ( ) x xex h x x ， 第 20 页（共 20 页） 令( )1 x m xex，则( )1 x m xe， 令( )0m x，解得：0 x ，故( )m x在(0,)递增， 而(0)0m，故10 x ex 在(0,)恒成立， 令( )0h x，解得：1x ，令( )0h x，解得：01x， 故( )h x在(0,1)递减，在(1,)递增， 故( )minh xh（1）2e， 故2a e
