1、第 1 页（共 12 页） 2021 年湖南省跨地区普通高等学校对口招生高考数学二轮联考年湖南省跨地区普通高等学校对口招生高考数学二轮联考 试卷（试卷（3 月份）月份） 一、选择题（本大题共一、选择题（本大题共 10 小题，每小题小题，每小题 4 分，共分，共 40 分在每小题给出的四个选项中，只分在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的有一项是符合题目要求的 1 （4 分）设集合 | 12Axx ， 1B ，0，1，2，3，则(AB ) A 1，0，1，2 B0，1，2 C0，1 D | 12xx ，或3x 2 （4 分） “3a ”是“函数( )(1)xf xa在R上为增函数”
2、的( ) A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 3 （4 分）直线l垂直于直线1yx，且l在y轴上的截距为2，则直线l的方程是( ) A20 xy B10 xy C10 xy D20 xy 4 （4 分）函数( )f xx的图象经过点 1 (9, ) 3 ，则 1 ( ) 9 f等于( ) A 1 3 B3 C9 D81 5 （4 分）若0a ，则关于x的不等式(1)(2)0axx的解集为( ) A 1 |2xx a B 1 |2xx a C 1 |x x a 或2x D |2x x 或 1 x a 6 （4 分）已知tan2 ，(0, )，则cos()的值为
3、( ) A 5 5 B 2 5 5 C 5 5 D 2 5 5 7 （4 分）已知向量a与b的夹角为45，|2a ，| 2b ，则(2 )(aab ) A2 B2 C4 D4 8 （4 分）设函数 2 ( )()2 3 xx f xee，若( )1f m ，则()(fm ) A1 B1 C3 D3 9 （4 分）在空间中，下列命题正确的是( ) A若三条直线两两相交，则这三条直线可以确定一个平面 B若直线n与平面内的一条直线平行，则/ /m C若直线m垂直于梯形的任意两边，则直线m垂直于梯形所在的平面 第 2 页（共 12 页） D已知直线a，b，l，若/ /ab，1a，则lb 10 （4 分
4、）若双曲线 22 22 :1(0,0) xy Cab ab 的一条渐近线被曲线 22 420 xyx所截 得的弦长为 2则双曲线C的离心率为( ) A3 B 2 3 3 C5 D 2 5 5 二、填空题（本大题共二、填空题（本大题共 5 小题，每小题小题，每小题 4 分，共分，共 20 分）分） 11 （4 分）已知某单位有职工 120 人，男职工有 90 人，现采用分层抽样（按男、女分层） 抽取一个样本，若已知样本中有 27 名男职工，则样本容量为 12 （4 分）设 55432 543210 (23)xa xa xa xa xa xa，则 3 a .（用数字作答） 13 （4 分）已知向量
5、AB与向量( 3,4)a 方向相反，若| 10AB ，点A的坐标是(1,2)，则 点B的坐标为 14 （4 分）某住宅小区计划植树不少于 100 棵，若第一天种 2 棵，以后每天植树的棵数是 前一天的 2 倍，则需要的最少天数为 天 15 （4 分）某城市一年中 12 个月的平均气温与月份的关系可近似地用三角函数 cos(6)(1 6 yaAxx ， 2， 3，12)来表示， 已知 6 月份的月平均气温最高为28 C ， 12 月份的月平均气温最低为18 C ，则 10 月份的平均气温值为 C 三、解答题（本大题共三、解答题（本大题共 5 小题，其中第小题，其中第 21，22 小题为选做题共小
6、题为选做题共 60 分解答应写出文字分解答应写出文字 说明、证明过程或演算步骤说明、证明过程或演算步骤 16 （10 分） 已知公差不为 0 的等差数列 n a的前 3 项和 3 9S ， 且 1 a， 2 a， 5 a成等比数列 （）求数列 n a的通项公式； （）设 n T为数列( 1) n n a的前n项和，求 100 T 17 （10 分）5 个大小相同的小球分别标有数字 1，1，2，2，3，把它们放在一个盒子中， 现从中任意摸出 2 个小球，它们的标号分别为x，y，记xy （）求(4)P； （）求随机变量的分布列和数学期望 18 （10 分）已知函数( )log (31)(0 x a
7、 f xa且1)a ，f（2）3 （）若1x，2，求( )f x的取值范围； （）求不等式( ) 3f x 的解集 第 3 页（共 12 页） 19 （10 分）如图所示，直三棱柱 111 ABCABC的底面是边长为 2 的正三角形，E，F分别 是BC， 1 CC的中点 （）求证：平面AEF 平面 11 B BCC （）若二面角FAEC为45，求三棱锥FAEC的体积 20 （10 分）已知椭圆 22 22 :1(0) xy Cab ab 过点 3 ( 1,) 2 ，且椭圆的一个焦点与抛物线 2 4 3yx 的焦点重合 （）求椭圆C的方程； （）已知点(0,2)A，点P是椭圆C上的一个动点，求|
8、PA的最值 选做题： 请考生在第选做题： 请考生在第 21， 22 题中选择一题作答 如果两题都做， 则按所做的第题中选择一题作答 如果两题都做， 则按所做的第 21 题计分 作题计分 作 答时，请写清题号答时，请写清题号 21 （10 分）如图所示，在ABC中，90ABC，4AB ，3BC ，点D在线段AC上， 45BDC （）求BD的长； （）已知复数z的模为 10，且以ABD为辐角，求 2 z 22某家电厂在扶贫攻坚活动中，要将 100 台洗衣机运往扶贫点现有 4 辆甲型货车和 8 辆乙型货车可供使用每辆甲型货车的运输费用为 800 元，可装洗衣机 20 台；每辆乙型货 车的运输费用为
9、600 元，可装洗衣机 10 台若每辆车至多只运 1 次，求该厂所花的最少运 输费用 第 4 页（共 12 页） 2021 年湖南省跨地区普通高等学校对口招生高考数学二轮联考年湖南省跨地区普通高等学校对口招生高考数学二轮联考 试卷（试卷（3 月份）月份） 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、选择题（本大题共一、选择题（本大题共 10 小题，每小题小题，每小题 4 分，共分，共 40 分在每小题给出的四个选项中，只分在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的有一项是符合题目要求的 1 （4 分）设集合 | 12Axx ， 1B ，0，1，2，3，则(AB ) A 1，0，1，2
10、B0，1，2 C0，1 D | 12xx ，或3x 【解答】解： | 12Axx ， 1B ，0，1，2，3， 0AB，1，2 故选：B 2 （4 分） “3a ”是“函数( )(1)xf xa在R上为增函数”的( ) A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 【解答】解：若( )f x在R上为增函数，则11a ，即2a ， 则3a 是2a 的充分不必要条件， 故选：A 3 （4 分）直线l垂直于直线1yx，且l在y轴上的截距为2，则直线l的方程是( ) A20 xy B10 xy C10 xy D20 xy 【解答】解：因为直线l垂直于直线1yx， 所以设直线l
11、的方程为yxb ， 又因为l在y轴上的截距为2， 所以2b ， 故所求直线l的方程为2yx ，即20 xy 故选：A 4 （4 分）函数( )f xx的图象经过点 1 (9, ) 3 ，则 1 ( ) 9 f等于( ) 第 5 页（共 12 页） A 1 3 B3 C9 D81 【解答】解：函数( )f xx的图象经过点 1 (9, ) 3 ， f（9） 1 9 3 ， 解得 1 2 ， 1 2 ( )f xx ， 1 2 11 ( )( )3 99 f 故选：B 5 （4 分）若0a ，则关于x的不等式(1)(2)0axx的解集为( ) A 1 |2xx a B 1 |2xx a C 1 |
12、x x a 或2x D |2x x 或 1 x a 【解答】解：方程(1)(2)0axx的两个根为2x 和 1 x a ， 因为0a ，所以 1 2 a ， 故不等式(1)(2)0axx的解集为 1 |2xx a 故选：B 6 （4 分）已知tan2 ，(0, )，则cos()的值为( ) A 5 5 B 2 5 5 C 5 5 D 2 5 5 【解答】解： sin tan2 cos ，(0, )，故为钝角，再根据 22 sincos1， 可得 5 cos 5 ， 则 5 cos()cos 5 ， 故选：C 7 （4 分）已知向量a与b的夹角为45，|2a ，| 2b ，则(2 )(aab )
13、 A2 B2 C4 D4 【解答】解：向量a与b的夹角为45，|2a ，| 2b ， 则 2 2 (2 )222222 2 aabaa b 故选：B 第 6 页（共 12 页） 8 （4 分）设函数 2 ( )()2 3 xx f xee，若( )1f m ，则()(fm ) A1 B1 C3 D3 【解答】解：设 2 ( )() 3 xx g xee，则 2 ()()( ) 3 xx gxeeg x ， 故函数( )g x为奇函数， 所以( )()0g mgm， 即( )2()20f mfm， 所以( )()4f mfm， 又( )1f m ， 所以()3fm 故选：D 9 （4 分）在空间
14、中，下列命题正确的是( ) A若三条直线两两相交，则这三条直线可以确定一个平面 B若直线n与平面内的一条直线平行，则/ /m C若直线m垂直于梯形的任意两边，则直线m垂直于梯形所在的平面 D已知直线a，b，l，若/ /ab，1a，则lb 【解答】解：对于A：若三条直线两两相交，且不共点，则这三条直线可以确定一个平面， 故A错误； 对于B：若直线n与平面内的一条直线平行，且n，则/ /m，故B错误； 对于C：若直线m垂直于梯形的任意两条邻边，则直线m垂直于梯形所在的平面，故C错 误； 对于D：已知直线a，b，l，若/ /ab，1a，则lb，故D正确 故选：D 10 （4 分）若双曲线 22 22
15、 :1(0,0) xy Cab ab 的一条渐近线被曲线 22 420 xyx所截 得的弦长为 2则双曲线C的离心率为( ) A3 B 2 3 3 C5 D 2 5 5 【解答】解：双曲线 22 22 :1(0,0) xy Cab ab 的一条渐近线不妨为：0bxay， 圆 22 420 xyx即为 22 (2)2xy的圆心(2,0)，半径为2， 第 7 页（共 12 页） 双曲线的一条渐近线被圆 22 420 xyx所截得的弦长为 2， 可得圆心到直线的距离为： 22 22 2 ( 2)11 b ab ， 222 22 44 1 bca cc ， 解得： 2 3 3 c e a ， 故选：B
16、 二、填空题（本大题共二、填空题（本大题共 5 小题，每小题小题，每小题 4 分，共分，共 20 分）分） 11 （4 分）已知某单位有职工 120 人，男职工有 90 人，现采用分层抽样（按男、女分层） 抽取一个样本，若已知样本中有 27 名男职工，则样本容量为 36 【解答】解：设样本容量为n， 则 2790 120n ，解得36n ， 故答案为：36 12 （4 分）设 55432 543210 (23)xa xa xa xa xa xa，则 3 a 720 .（用数字作答） 【解答】解：由题意可知 2323 5(2 ) ( 3) 720Cxx， 故答案为：720 13 （4 分）已知向
17、量AB与向量( 3,4)a 方向相反，若| 10AB ，点A的坐标是(1,2)，则 点B的坐标为 (7, 6) 【解答】解：AB与( 3,4)a 方向相反， 设( 3,4)ABk，0k ，且| 10AB ， 510k，解得2k ， (6, 8)AB ，设( , )B x y，且(1,2)A， (1x，2)(6y ，8)， 16 28 x y ，解得 7 6 x y ， (7, 6)B 故答案为：(7, 6) 14 （4 分）某住宅小区计划植树不少于 100 棵，若第一天种 2 棵，以后每天植树的棵数是 前一天的 2 倍，则需要的最少天数为 6 天 第 8 页（共 12 页） 【解答】解：由题设
18、知：每天植树的棵数构成首项、公比均为 2 的等比数列 n a，设其前n 项和为 n S，则 2(12 ) 12 n n S ， 令100 n S ，可得： 1 22 100 n ，即 1 2102 n ，解得：6n， 故答案为：6 15 （4 分）某城市一年中 12 个月的平均气温与月份的关系可近似地用三角函数 cos(6)(1 6 yaAxx ， 2， 3，12)来表示， 已知 6 月份的月平均气温最高为28 C ， 12 月份的月平均气温最低为18 C ，则 10 月份的平均气温值为 20.5 C 【解答】解：据题意得28aA，18cos(126) 6 aAaA 解得23a ，5A 所以2
19、35cos(6) 6 yx 令10 x 得 2 235cos(106)235cos20.5 63 y 故答案为：20.5 三、解答题（本大题共三、解答题（本大题共 5 小题，其中第小题，其中第 21，22 小题为选做题共小题为选做题共 60 分解答应写出文字分解答应写出文字 说明、证明过程或演算步骤说明、证明过程或演算步骤 16 （10 分） 已知公差不为 0 的等差数列 n a的前 3 项和 3 9S ， 且 1 a， 2 a， 5 a成等比数列 （）求数列 n a的通项公式； （）设 n T为数列( 1) n n a的前n项和，求 100 T 【解答】解： （）设公差为d且不为 0 的等差
20、数列 n a的前 3 项和 3 9S ，且 1 a， 2 a， 5 a 成等比数列 所以 123 2 215 9aaa aa a ，整理得 1 2 111 339 ()(4 ) ad adaad ， 解得：2d 或0(0舍去） ， 故 1 1a ， 所以12221 n ann （）设( 1)(21) n n bn ， 所以 100 ( 13)( 57)( 197199)250100T 17 （10 分）5 个大小相同的小球分别标有数字 1，1，2，2，3，把它们放在一个盒子中， 第 9 页（共 12 页） 现从中任意摸出 2 个小球，它们的标号分别为x，y，记xy （）求(4)P； （）求随机
21、变量的分布列和数学期望 【解答】解： （）从盒中摸出球的基本事件总数为 2 5 10C ， 4的事件数有 112 212 3C CC， 故 3 (4) 10 P； （）的可能取值为 2，3，4，5， 所以 2 2 2 5 1 (2) 10 C P C ， 12 22 2 5 2 (3) 5 C C P C ， 112 212 2 5 3 (4) 10 C CC P C ， 11 21 2 5 1 (5) 5 C C P C ， 所以的分布列为： 2 3 4 5 P 1 10 2 5 3 10 1 5 数学期望为 1231 ( )23453.6 105105 E 18 （10 分）已知函数( )
22、log (31)(0 x a f xa且1)a ，f（2）3 （）若1x，2，求( )f x的取值范围； （）求不等式( ) 3f x 的解集 【解答】解： （）函数( )log (31)(0 x a f xa且1)a ，f（2）log 83 a ， 2a，函数 2 ( )log (31) x f x 若1x，2，31 2 x ，8，故( )f x的取值范围为1，3 第 10 页（共 12 页） （）不等式( ) 3f x ，即 2 log (31) 3 x ，031 8 x ，解得02x ， 故不等式的解集为(0，2 19 （10 分）如图所示，直三棱柱 111 ABCABC的底面是边长为
23、2 的正三角形，E，F分别 是BC， 1 CC的中点 （）求证：平面AEF 平面 11 B BCC （）若二面角FAEC为45，求三棱锥FAEC的体积 【解答】（） 证明： 几何体是直棱柱， 1 BB底面ABC，AE 底面ABC， 1 AEBB， 直三棱柱 111 ABCABC的底面是边长为 2 的正三角形，E是BC的中点，AEBC， 又 1 BCBBB，BC、 1 BB 平面 11 B BCC， AE平面 11 B BCC， AE 平面AEF，平面AEF 平面 11 B BCC； （）解：由（）知，AE 平面 11 B BCC，则AEBC，AEEF， 可得FEC为二面角FAEC的平面角为45
24、， 在Rt FCE中，可得FCEC， 等边三角形ABC的边长为 2，3AE，1CECF， 则三棱锥FAEC的体积 113 13 1 326 V 第 11 页（共 12 页） 20 （10 分）已知椭圆 22 22 :1(0) xy Cab ab 过点 3 ( 1,) 2 ，且椭圆的一个焦点与抛物线 2 4 3yx 的焦点重合 （）求椭圆C的方程； （）已知点(0,2)A，点P是椭圆C上的一个动点，求|PA的最值 【解答】解： （）由抛物线方程可得2 3p ，则3c ， 又 22 13 1 4ab ，而 222 cab，联立解得2a ，1b ， 所以椭圆的方程为 2 2 1 4 x y； （）设
25、点P的坐标为( , )m n，则 2 2 1 4 m n，所以 22 4(1)mn， 所以 22222 |(2)4(1)(2)348PAmnnnnn 2 228 3() 33 n， 1n ，1， 所以当 2 3 n 时， 282 21 | 33 min PA， 当1n 时，|1 max PA 选做题： 请考生在第选做题： 请考生在第 21， 22 题中选择一题作答 如果两题都做， 则按所做的第题中选择一题作答 如果两题都做， 则按所做的第 21 题计分 作题计分 作 答时，请写清题号答时，请写清题号 21 （10 分）如图所示，在ABC中，90ABC，4AB ，3BC ，点D在线段AC上， 4
26、5BDC （）求BD的长； （）已知复数z的模为 10，且以ABD为辐角，求 2 z 【解答】解： （）在ABC中，90ABC，4AB ，3BC ， 22 435AC， 4 sin 5 ACB， 3 cos 5 ACB， 又在BCD中，45BDC， 第 12 页（共 12 页） 由正弦定理可得： sinsin45 BDBC ACB ，即 3 4 2 5 2 BD ，解得： 12 2 5 BD ； （）由（）可得： 2 347 2 cossinsin(45)() 25510 ABDDBCACB， 2 2 sin1 10 ABDcosABD， 又复数z的模为 10， 7 22 10()7 22 1010 zii ， 222 (7 22 )2(7)9628ziii 22某家电厂在扶贫攻坚活动中，要将 100 台洗衣机运往扶贫点现有 4 辆甲型货车和 8 辆乙型货车可供使用每辆甲型货车的运输费用为 800 元，可装洗衣机 20 台；每辆乙型货 车的运输费用为 600 元，可装洗衣机 10 台若每辆车至多只运 1 次，求该厂所花的最少运 输费用 【解答】解：设甲型货车为x辆，则乙型货车为100 20 10 x 辆，04x剟，运输费为y， 10020 8006006000400 10 x yxx ， 当4x 时，y取最小值为 4400 元 即该厂所花的最少运输费用为 4400 元
