2021年内蒙古包头市高考数学一模试卷（理科）.docx

1、第 1 页（共 21 页） 2021 年内蒙古包头市高考数学一模试卷（理科）年内蒙古包头市高考数学一模试卷（理科） 一、选择题：本题共一、选择题：本题共 12 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 60 分。在每个题给出的四个选项中，只有分。在每个题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的。一项是符合题目要求的。 1 （5 分）设集合 2 |20Ax xx， | (2)0Bx x x，则()( R BA ) A( 1,2) B(0,2) C2，) D 1，0) 2 （5 分）已知角(0, )，且 1 tan() 47 ，则sin( ) A 3 5 B 3 5 C 4 5 D 4 5

2、3 （5 分） 为全面贯彻党的教育方针， 落实立德树人的根本任务， 某学校积极推进教学改革， 开发了 10 门校本课程，其中艺术类课程 4 门，劳动类课程 6 门李杰同学从 10 门课程中任 选 3 门，则含有劳动类课程的概率为( ) A 13 .15 B 29 30 C 1 . 2 D 4 . 5 4 （5 分）在悠久灿烂的中国古代文化中，数学文化是其中的一朵绚丽的奇葩 张丘建算 经是我国古代有标志性的内容丰富的众多数学名著之一，大约创作于公元五世纪书中有 如下问题： “今有女善织，日益功疾，初日织五尺，今一月织九匹三丈，问日益几何？” 其 大意为： “今有一女子擅长织布，织布的速度一天比一

3、天快，从第二天起，每天比前一天多 织相同数量的布，第一天织 5 尺，一个月共织了九匹三丈，问从第二天起，每天比前一天多 织多少尺布？” 已知 1 匹4丈，1 丈10尺，若这个月有 30 天，记该女子这一个月中的 第n天所织布的尺数为 n a，2 n a n b ，对于数列 n a， n b，则 5 210 ( log a b ) A 193 209 B 209 193 C 209 289 D 289 209 5（5 分） 若圆心在直线30 xy上， 与x轴相切的圆， 被直线0 xy截得的弦长为2 7， 则圆心到直线yx的距离为( ) A4 B2 2 C2 D2 6 （5 分）设数列 n a的前

4、n项和为 n S，若232(*) nn SanN，则 10 6 2 ( 2 S a ) A243 B244 C245 D246 7 （5 分）如图是一个多面体的三视图，这个多面体某条棱的一个端点在正视图中对应的点 为M，在俯视图中对应的点为N，则该端点在侧视图中对应的点为( ) 第 2 页（共 21 页） AF BE CH DG 8 （5 分） 已知 2 F是双曲线 22 :1 27 xy C的右焦点，P是C左支上一点，(0,3)A， 当 2 APF 周长最小时，该三角形的面积为( ) A12 5 B16 5 C18 5 D 24 5 9 （5 分）设函数 3 3 1 ( )3 3 f xln

5、lnx x ，则( )(f x ) A是偶函数，且在(, 3) 单调递增 B是奇函数，且在( 3,3)单调递减 C是奇函数，且在(3,)单调递减 D是偶函数，且在( 3,3)单调递增 10 （5 分）已知946 xy ，则 2 22 () ( xy x y ) A25 B16 C9 D4 11 （5 分）在长方体 1111 ABCDABC D中， 1 2 3ABAA，3AD ，点E为 11 A B的中点， 若三棱锥 11 CEC D的所有顶点都在球O的球面上，则球O的表面积为( ) A22 B26 C24 D28 12 （5 分）定义“规范 01 数列” n a如下： n a共有2k项，其中k

6、项为 0，k项为 1，且 对任意2mk， 1 a， 2 a， m a中 0 的个数不少于 1 的个数若5k ，则形如“0001” 的不同的“规范 01 数列”的个数为( ) A16 B14 C12 D9 二、填空题：本题共二、填空题：本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分. 13 （5 分） 已知两非零向量b与a的夹角为120， 且| | 2a ，|2| 2 7ab， 则|b 14 （5 分）安排 3 名志愿扶贫干部完成 4 个贫困村的脱贫工作每人至少完成 1 个村的脱贫 工作，每个村的脱贫工作由 1 人完成，则不同的安排方式共有 种 第 3 页（共 21 页） 1

7、5 （5 分）设复数 1 z， 2 z满足 12 | | 2zz， 12 | 2 3zz，则 12 |zz 16 （5 分）设有下列四个命题： 1 p：空间共点的三条直线不一定在同一平面内 2 p：若两平面有三个不共线的公共点，则这两个平面重合 3 p：若三个平面两两相交，则交线互相平行 4 p：若直线/ /n平面，直线n 直线b，则直线b 平面 则下述命题中所有真命题的序号是 14 pp； 12 pp； 23 pp； 34 pp 三、解答题：共三、解答题：共 70 分。解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤。第分。解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤。第 1721 题题 为必考

8、题，每个试题考生都必须作答。第为必考题，每个试题考生都必须作答。第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答。 （一）题为选考题，考生根据要求作答。 （一） 必考题：共必考题：共 60 分。分。 17 （ 12 分 ）ABC的 内 角A，B，C的 对 边 分 别 为a，b，c 已 知 cos2cos2()cos22sinsin()1AABBAAB （1）求B； （2）若ABC的外接圆半径为3，当ABC的周长最大时，求它的面积 18 （12 分）某贫困县为了响应国家精准扶贫的号召，特地承包了一块土地，已知土地的使 用面积以及相应的管理时间的关系如表： 土地使用面积x （单位：亩） 1 2 3 4

9、 5 管理时间y（单位： 月） 9 11 14 26 20 并调查了某村 300 名村民参与管理的意愿，得到的部分数据如表所示： 愿意参与 管理 不愿意参 与管理 男性村民 140 60 女性村民 40 （1）求相关系数r的大小（精确到0.01)，并判断管理时间y与土地使用面积x的线性相关 程度； 第 4 页（共 21 页） （2）是否有99.9%的把握认为村民的性别与参与管理的意愿具有相关性？ （3）若以该村的村民的性别与参与管理意愿的情况估计贫困县的情况，则从该贫困县中任 取 3 人，记取到不愿意参与管理的男性村民的人数为X，求X的分布列及数学期望 参考公式： 2 21 22 11 ()(

10、) () ()()()() ()() n ii i nn ii ii xxyy n adbc rK ab cd ac bd xxyy ， 其中nabcd 临界值表： 2 0 ()P Kk 0.100 0.050 0.025 0.010 0.001 0 k 2.706 3.841 5.024 6.635 10.828 参考数据：48522.02 19 （12 分）已知椭圆 22 22 :1(0) xy Cab ab 短轴的两个顶点与右焦点 2 F的连线构成等边 三角形，离心率和长半轴的比值为 3 4 （1）求椭圆C的标准方程； （2）若直线l过椭圆C的左焦点 1 F，与C交于P，Q两点，当 2

11、PQF的面积最大时，求直 线PQ的方程 20 （12 分）如图，已知三棱柱 111 ABCABC的底面是边长为 2 的正三角形，侧面 11 BCC B为 菱形，G为其两对角线的交点， 1 2 3BC ， 1 2 2AC ，D，E分别为 11 AC， 1 BB的中点， 顶点 1 B在底面ABC的射影O为底面中心 （1）求证：/ /DE平面 1 ABC，且 1 BC 平面 1 ABC； （2）求二面角 1 BACC的正弦值 21 （12 分）已知函数 2 ( )coscos2f xxxa （1）讨论( )f x在区间(0, )的单调性； 第 5 页（共 21 页） （2）证明：当 1 8 a 时，

12、 9 0( ) 8 f x剟； （3）若函数( )f x在区间0，上有且只有两个零点，求a的取值范围 （二）选考题：共（二）选考题：共 10 分。请考生在第分。请考生在第 22、23 两题中任选一题作答并用两题中任选一题作答并用 2B 铅笔将所选题号铅笔将所选题号 涂黑，多涂、错涂、漏涂均不给分，如果多做，按所做的第一题记分涂黑，多涂、错涂、漏涂均不给分，如果多做，按所做的第一题记分.选修选修 4-4：坐标系与：坐标系与 参数方程参数方程 22 （10 分）在平面直角坐标系xOy中，以O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系已 知曲线 1 C的参数方程为 sin ( cos2 x y 为参数）

13、，直线 2 C的极坐标方程为 6 （1）将 1 C的参数方程化为普通方程， 2 C的极坐标方程化为直角坐标方程； （2）求与直线 2 C平行且与曲线 1 C相切的直线l的直角坐标方程 选修选修 4-5：不等式选讲：不等式选讲 23已知函数( ) |1| 3|1|f xxx （1）画出( )yf x的图象； （2）求不等式( )(1)f xf x的解集 第 6 页（共 21 页） 2021 年内蒙古包头市高考数学一模试卷（理科）年内蒙古包头市高考数学一模试卷（理科） 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、选择题：本题共一、选择题：本题共 12 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 60

14、 分。在每个题给出的四个选项中，只有分。在每个题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的。一项是符合题目要求的。 1 （5 分）设集合 2 |20Ax xx， | (2)0Bx x x，则()( R BA ) A( 1,2) B(0,2) C2，) D 1，0) 【解答】解： |1Ax x 或2x ， |0Bx x或2x ， | 12 RA xx 剟，() 1 R BA ，0) 故选：D 2 （5 分）已知角(0, )，且 1 tan() 47 ，则sin( ) A 3 5 B 3 5 C 4 5 D 4 5 【解答】解：因为 tan11 tan() 41tan7 ， 所以解得 sin3

15、tan cos4 ，可得 4sin cos 3 ， 又(0, )， 22 sincos1， 所以 22 4sin sin()1 3 ，可得 2 9 sin 25 ， 解得 3 sin 5 故选：A 3 （5 分） 为全面贯彻党的教育方针， 落实立德树人的根本任务， 某学校积极推进教学改革， 开发了 10 门校本课程，其中艺术类课程 4 门，劳动类课程 6 门李杰同学从 10 门课程中任 选 3 门，则含有劳动类课程的概率为( ) A 13 .15 B 29 30 C 1 . 2 D 4 . 5 【解答】解：从 10 门课程中任选 3 门，一共 3 10 120C 种， 其中艺术类课程的选法有

16、3 4 4C 种， 设“含有劳动类课程”为事件A，则 429 ( )1 12030 P A 故选：B 第 7 页（共 21 页） 4 （5 分）在悠久灿烂的中国古代文化中，数学文化是其中的一朵绚丽的奇葩 张丘建算 经是我国古代有标志性的内容丰富的众多数学名著之一，大约创作于公元五世纪书中有 如下问题： “今有女善织，日益功疾，初日织五尺，今一月织九匹三丈，问日益几何？” 其 大意为： “今有一女子擅长织布，织布的速度一天比一天快，从第二天起，每天比前一天多 织相同数量的布，第一天织 5 尺，一个月共织了九匹三丈，问从第二天起，每天比前一天多 织多少尺布？” 已知 1 匹4丈，1 丈10尺，若这

17、个月有 30 天，记该女子这一个月中的 第n天所织布的尺数为 n a，2 n a n b ，对于数列 n a， n b，则 5 210 ( log a b ) A 193 209 B 209 193 C 209 289 D 289 209 【解答】解：由题意可知数列 n a是等差数列，且 1 5a ， 设其前n项和为 n S，公差为d， 则 301 3029 30390 2 Sad ，解得 16 29 d ， 所以 1616129 5(1) 2929 n n an ， 所以 55 2 1010 165129209 16 10129289 aa log ba ， 故选：C 5（5 分） 若圆心在

18、直线30 xy上， 与x轴相切的圆， 被直线0 xy截得的弦长为2 7， 则圆心到直线yx的距离为( ) A4 B2 2 C2 D2 【解答】解：设圆心坐标为( ,3 )a a，则|3 |ra， 圆心到直线0 xy的距离 |3 | 2 | 2 aa da ， 222 ( 2 |)( 7)|3 |aa，解得| 1a ， 所以圆心到直线yx的距离为： 22 |3 |2| 2 2 11 aaa ， 故选：C 6 （5 分）设数列 n a的前n项和为 n S，若232(*) nn SanN，则 10 6 2 ( 2 S a ) A243 B244 C245 D246 【解答】解： 1 2323()2

19、nnnn SaSS ， 1 13(1)(2) nn SSn ， 第 8 页（共 21 页） 由 1111 232213aaaa ， 数列1 n S 是首项与公比均为 3 的等比数列， 13n n S ， 655 665 332 32 243486aSS ， 1055 10 6 22 (31)(31)(31)(243 1)(243 1) 244 24862242242 S a ， 故选：B 7 （5 分）如图是一个多面体的三视图，这个多面体某条棱的一个端点在正视图中对应的点 为M，在俯视图中对应的点为N，则该端点在侧视图中对应的点为( ) AF BE CH DG 【解答】解：根据几何体的三视图可

20、知，该几何体一个三棱锥，一个四棱锥和三棱柱的组合 体， 如图所示： 由直观图可知，该端点在侧视图中对应的点为F 故选：A 第 9 页（共 21 页） 8 （5 分） 已知 2 F是双曲线 22 :1 27 xy C的右焦点，P是C左支上一点，(0,3)A， 当 2 APF 周长最小时，该三角形的面积为( ) A12 5 B16 5 C18 5 D 24 5 【解答】解：设左焦点为 1( 3,0) F ，右焦点为(3,0)F APF周长为 111 |(|2)|2|2AFAPPFAFAPPFaAFAPPFaAFAFa， 当且仅当A，P， 1 F三点共线，即P位于 0 P时，三角形周长最小 此时直线

21、 1 AF的方程为3yx，代入 22 1 27 xy 中， 可求得 0 8 ( 5 P ， 7 ) 5 ， 故 011 0 11724 636 2255 AP FAFFF P F SSS 故选：D 9 （5 分）设函数 3 3 1 ( )3 3 f xlnlnx x ，则( )(f x ) A是偶函数，且在(, 3) 单调递增 B是奇函数，且在( 3,3)单调递减 C是奇函数，且在(3,)单调递减 D是偶函数，且在( 3,3)单调递增 【解答】解：由题意可得 30 30 x x ，解得33x ，即函数( )f x的定义域为( 3,3)， 33 33 11 ()33( ) 33 fxlnlnxl

22、nxlnf x xx ， 所以( )f x为奇函数， 第 10 页（共 21 页） 由复合函数的单调性可知 3 1 3 yln x 为减函数， 3 3ylnx为减函数， 所以 3 3 1 ( )3 3 f xlnlnx x 为减函数 综上可知，( )f x是奇函数，且在( 3,3)单调递减 故选：B 10 （5 分）已知946 xy ，则 2 22 () ( xy x y ) A25 B16 C9 D4 【解答】解：由946 xy ，得 93 1 66 4 xloglog， 42 1 66 4 yloglog， 6 1 43log x ， 6 1 42log y ， 222 2 222222

23、()211211 () xyxxyy x yx yxyxyxy 22 666 (4342)(46)16logloglog 故选：B 11 （5 分）在长方体 1111 ABCDABC D中， 1 2 3ABAA，3AD ，点E为 11 A B的中点， 若三棱锥 11 CEC D的所有顶点都在球O的球面上，则球O的表面积为( ) A22 B26 C24 D28 【解答】解：如图， 以D为坐标原点，分别以DA，DC， 1 DD所在直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标 系， 则(0C，2 3，0)， 1(0 D，0，2 3)，(3E，3，2 3)， 设 11 CC D的外心为G，则(0G，3，3)

24、， 第 11 页（共 21 页） 设球O的球心为(O a，3，3)，半径为R，则| |OCOER， 222 33(3)3Raa ， 解得1a ，则 2 7R ， 球O的表面积为 2 428R 故选：D 12 （5 分）定义“规范 01 数列” n a如下： n a共有2k项，其中k项为 0，k项为 1，且 对任意2mk， 1 a， 2 a， m a中 0 的个数不少于 1 的个数若5k ，则形如“0001” 的不同的“规范 01 数列”的个数为( ) A16 B14 C12 D9 【解答】解：当5k 时，数列中共有 10 项，其中 5 项为 0，5 项为 1， 若对任意2mk， 1 a， 2

25、a， m a中 0 的个数不少于 1 的个数， 则 0 0a ， 10 1a，而形如0001的规范 01 数列的前 4 项为 0001，且 10 1a， 所以当 5 0a 时， 6 a， 7 a， 8 a， 9 a中任意有一项为 0 即可，共有 1 4 4C 种， 当 5 1a 且 6 0a 时，则 7 a， 8 a， 9 a中任意有一项为 0 即可，共有 1 3 3C 种， 当 5 1a 且 6 1a 时，则 7 a必为 0， 8 a， 9 a中有一项为 0 即可，共有 1 2 2C 种， 综上，满足题意的共有4329种， 故选：D 二、填空题：本题共二、填空题：本题共 4 小题，每小题小题

26、，每小题 5 分，共分，共 20 分分. 13（5 分） 已知两非零向量b与a的夹角为120， 且| | 2a ，|2| 2 7ab， 则|b 2 【解答】解：由题可知， 2 (2)28ab， 22 4|4| |cos120|28aabb，即 2 1 4442 | () |28 2 bb ， 解得，| 2b （负值舍去） 故答案为：2 14 （5 分）安排 3 名志愿扶贫干部完成 4 个贫困村的脱贫工作每人至少完成 1 个村的脱贫 工作，每个村的脱贫工作由 1 人完成，则不同的安排方式共有 36 种 【解答】解：根据题意，3 名志愿扶贫干部完成 4 个贫困村的脱贫工作，其中 1 名志愿者必 须

27、完成 2 个贫困村的工作，其他 2 人其他 2 个村的脱贫工作， 第 12 页（共 21 页） 分 2 步进行分析： 将 4 个贫困村分为 3 组，有 2 4 6C 种方法， 将分好的三组安排给三名志愿者，有 3 3 6A 种情况， 则有6636种不同的安排方式； 故答案为：36 15 （5 分）设复数 1 z， 2 z满足 12 | | 2zz， 12 | 2 3zz，则 12 |zz 2 【解答】解：因为 12 | | 2zz， 12 | 2 3zz， 所以 222 11 221 2 |2|22412zz zzz z， 则 12 24z z ， 所以 222 1211 22 |2|4444

28、zzzz zz ， 故 12 | 2zz 故答案为：2 16 （5 分）设有下列四个命题： 1 p：空间共点的三条直线不一定在同一平面内 2 p：若两平面有三个不共线的公共点，则这两个平面重合 3 p：若三个平面两两相交，则交线互相平行 4 p：若直线/ /n平面，直线n 直线b，则直线b 平面 则下述命题中所有真命题的序号是 14 pp； 12 pp； 23 pp； 34 pp 【解答】解：命题 1 p为真命题事实上，共点的三条直线可能在同一个平面内，也可能不 在同一平面内如三棱锥，从同一顶点出发的三条侧棱就不在同一平面内 命题 2 p为真命题公理三知，如果两个不重合的平面有一个公共点，那么

29、他们有且仅有一 条过该点的公共直线若两个平面有三个不共线的共同点，则这两个平面必定重合 命题 3 p为假命题若三个平面两两相交，则交线交于一点或互相平行 命题 4 p为假命题直线/ /n平面，直线n 直线b，则直线b与平面相交，平行，或在 平面内 综上可知， 1 p为真命题， 2 P为真命题， 3 P为假命题， 4 P为假命题， 14 pp为假命题， 12 pp 第 13 页（共 21 页） 为真命题， 23 pp为假命题， 34 ()pp为真命题 故答案为： 三、解答题：共三、解答题：共 70 分。解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤。第分。解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步

30、骤。第 1721 题题 为必考题，每个试题考生都必须作答。第为必考题，每个试题考生都必须作答。第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答。 （一）题为选考题，考生根据要求作答。 （一） 必考题：共必考题：共 60 分。分。 17 （ 12 分 ）ABC的 内 角A，B，C的 对 边 分 别 为a，b，c 已 知 cos2cos2()cos22sinsin()1AABBAAB （1）求B； （2）若ABC的外接圆半径为3，当ABC的周长最大时，求它的面积 【解答】解： （1）因为cos2cos2()cos22sinsin()1AABBAAB， 所以cos2cos2()cos22sinsin()

31、1ACBAC， 可得cos2cos2cos22sinsin1ACBAC， 可得： 222 12sin12sin12sin2sinsin1ACBAC ， 可得 222 sinsinsinsinsinACBAC， 由正弦定理可得： 222 acbac ， 可得 222 1 cos 222 acbac B acac ， 因为(0, )B， 所以 2 3 B （2）因为ABC的外接圆半径为3， 2 3 B ，由2 3 3 2 b ，可得3b ， 所以由余弦定理知， 222222 3 92cos()()()2() 24 ac bacacBacacacac ， 当且仅当3ac时，等号成立， 所以2 3ac

32、 ，此时ABC的周长最大值为32 3，3ac ， 所以ABC的面积 1133 3 sin3 2224 SacB 18 （12 分）某贫困县为了响应国家精准扶贫的号召，特地承包了一块土地，已知土地的使 用面积以及相应的管理时间的关系如表： 土地使用面积x1 2 3 4 5 第 14 页（共 21 页） （单位：亩） 管理时间y（单位： 月） 9 11 14 26 20 并调查了某村 300 名村民参与管理的意愿，得到的部分数据如表所示： 愿意参与 管理 不愿意参 与管理 男性村民 140 60 女性村民 40 （1）求相关系数r的大小（精确到0.01)，并判断管理时间y与土地使用面积x的线性相关

33、 程度； （2）是否有99.9%的把握认为村民的性别与参与管理的意愿具有相关性？ （3）若以该村的村民的性别与参与管理意愿的情况估计贫困县的情况，则从该贫困县中任 取 3 人，记取到不愿意参与管理的男性村民的人数为X，求X的分布列及数学期望 参考公式： 2 21 22 11 ()() () ()()()() ()() n ii i nn ii ii xxyy n adbc rK ab cd ac bd xxyy ， 其中nabcd 临界值表： 2 0 ()P Kk 0.100 0.050 0.025 0.010 0.001 0 k 2.706 3.841 5.024 6.635 10.828

34、参考数据：48522.02 【解答】解： （1）由题意可得 12345 3 5 x ， 911 142620 16 5 y ， 5 1 ()()( 2)( 7)( 1)( 5)0( 2)1 102437 ii i xxyy ， 55 2222222222 11 ()()( 2)( 1)012 ( 7)( 5)( 2)104 1940 ii ii xxyy ， 37 0.84 1940 r ， 管理时间y与土地使用面积x具有较强的相关性 （2）由题意可知： 第 15 页（共 21 页） 愿意参与管 理 不愿意参与 管理 总计 男性村民 140 60 200 女性村民 40 60 100 总计 1

35、80 120 300 2 2 300 (140 6040 60) 2510.828 200 100 180 120 K ， 有99.9%的把握认为村民的性别与参与管理的意愿具有相关性 （3）由题意可知X的可能取值为 0，1，2，3， 3 464 (0)( ) 5125 P X ； 12 3 4148 (1)( ) 55125 P XC； 22 3 4112 (2)( ) 55125 P XC； 3 11 (3)( ) 5125 P X ； 所以X的分布列为： X 0 1 2 3 P 64 125 48 125 12 125 1 125 64481213 ()0123 1251251251255

36、 E X 19 （12 分）已知椭圆 22 22 :1(0) xy Cab ab 短轴的两个顶点与右焦点 2 F的连线构成等边 三角形，离心率和长半轴的比值为 3 4 （1）求椭圆C的标准方程； （2）若直线l过椭圆C的左焦点 1 F，与C交于P，Q两点，当 2 PQF的面积最大时，求直 线PQ的方程 【解答】解： （1）由题可知，2ab， 3 4 e a ， 所以 2 3 4 ca， 把2ab， 2 3 4 ca代入 222 abc， 得 2 4a ， 第 16 页（共 21 页） 所以 2 2 1 4 a b ， 所以椭圆C的方程为 2 2 1 4 x y （2）设直线l的方程为：3xmy

37、，( P P x，) P y，( Q Q x，) Q y， 联立 2 2 3 1 4 xmy x y ，得 22 (4)2 310mymy ， 所以 2 2 3 4 pQ m yy m ， 2 1 4 PQ y y m ， 设 PQ yy，则 2 2 12 1 |()3 ()4 2 PQFPQPQPQ SFFyyyyy y 22 22222 12448(1) 3 (4)4(4) mm mmm ， 因为 2222222 2 2222 (4)(1)3(1)6(1)99 (1)6 12 1111 mmmm m mmmm ， 当且仅当 2 2 9 (1) 1 m m ，即 2 2m 时，上式取等号，

38、此时 2 PQF S取得最大值为 2， 所以直线l的方程为23xy ，即230yx 20 （12 分）如图，已知三棱柱 111 ABCABC的底面是边长为 2 的正三角形，侧面 11 BCC B为 菱形，G为其两对角线的交点， 1 2 3BC ， 1 2 2AC ，D，E分别为 11 AC， 1 BB的中点， 顶点 1 B在底面ABC的射影O为底面中心 （1）求证：/ /DE平面 1 ABC，且 1 BC 平面 1 ABC； （2）求二面角 1 BACC的正弦值 【解答】 （1）证明：取 1 AA中点M，因为D，E分别为 11 AC， 1 B B的中点， 第 17 页（共 21 页） 所以 1

39、 / /DMAC，/ /EMAB， 又DMEMM， 1 ACABA，所以平面/ /DME平面 1 ABC， 又DE 平面DME，所以/ /DE平面 1 ABC； 侧面 11 BCC B为菱形，所以 11 BCBC， 又 1 BO 平面ABC，AB平面ABC，所以 1 ABBO， 又O为正三角形ABC的中心，所以COAB，且 1 COBOO， 所以AB 平面 1 CBO，又 1 BC 平面 1 CBO， 所以 1 BCAB，又 1 ABBCB， 所以 1 BC 平面 1 ABC； （2）解：以O为坐标原点，Ox，OC， 1 OB分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系 如图所示， 因为O为边长为

40、 2 的正ABC的中心， 所以 232 3 2 323 OC ， 所以 1 2 3332 6 (0,0), (1,0), ( 1,0),(0,0,) 2233 CBAB ， 设 1( C m，n，)p，由 11 BBCC， 则 3 2 62 3 ( 1,)( , ) 333 m np，解得 2 6 1,3, 3 mnp ， 所以 1 2 6 ( 1, 3,) 3 C ， 故 1 4 3 2 6 (2,0,0),(0,),( 1,3,0) 33 ABACCA ， 设平面 1 BAC的法向量为( , , )nx y z， 则有 1 20 4 32 6 0 33 n ABx n ACyz ， 令1y

41、 ，则2z ，所以(0, 1, 2)n ， 设平面 1 AC C的法向量为( , , )ma b c， 则有 1 4 32 6 0 33 30 m ACbc m CAab ， 第 18 页（共 21 页） 令1b ，则3a ，2c ，所以( 3, 1, 2)m ， 所以 |122 |cos,| |236 n m n m n m ， 所以二面角 1 BACC的正弦值为 2 22 1() 22 21 （12 分）已知函数 2 ( )coscos2f xxxa （1）讨论( )f x在区间(0, )的单调性； （2）证明：当 1 8 a 时， 9 0( ) 8 f x剟； （3）若函数( )f x在

42、区间0，上有且只有两个零点，求a的取值范围 【解答】解： （1） 2 ( )2cos ( sin )cos2cos( 2sin2 )sin2 (2cos21)f xxxxxxxx 当( 3 x ， 2 )( 23 ，)时，( )0fx， 当(0 x，)( 32 ， 2 ) 3 时，( )0fx， ( )f x在区间( 3 ，) 2 和 2 ( 3 ，)上单调递增， 在区间(0,) 3 和( 2 ， 2 ) 3 上单调递减 （2）证明：当 1 8 a 时， 2 1 ( )coscos2 8 f xxx， 由（1）知( )f x在区间0，的最大值为(0)f、() 2 f 、( )f中的最大者， 而

43、 1 () 28 f ， 故( )f x的最大值为 9 8 ，最小值为 2 ()()0 33 ff ， 第 19 页（共 21 页） 而( )f x是周期为的周期函数，故 9 0( ) 8 f x剟 （3）( )f x在0，上有且只有两个零点，可得( )0f x 在0，上有两组解 2 ( )coscos2g xxx，( )g x的单调性与性质均与( )f x相同 (0)( )1gg， 21 ()() 338 gg ，()0 2 g ， ( )g x在0，上的图像如图所示： 在0，上，当01a 时，或 1 8 a 时， ( )yg x与ya的图像有且只有两个交点， 即0a，1或 1 8 a 时，

44、( )f x在0，上有且只有两个零点 （二）选考题：共（二）选考题：共 10 分。请考生在第分。请考生在第 22、23 两题中任选一题作答并用两题中任选一题作答并用 2B 铅笔将所选题号铅笔将所选题号 涂黑，多涂、错涂、漏涂均不给分，如果多做，按所做的第一题记分涂黑，多涂、错涂、漏涂均不给分，如果多做，按所做的第一题记分.选修选修 4-4：坐标系与：坐标系与 参数方程参数方程 22 （10 分）在平面直角坐标系xOy中，以O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系已 知曲线 1 C的参数方程为 sin ( cos2 x y 为参数） ，直线 2 C的极坐标方程为 6 （1）将 1 C的参数方程化为

45、普通方程， 2 C的极坐标方程化为直角坐标方程； （2）求与直线 2 C平行且与曲线 1 C相切的直线l的直角坐标方程 【解答】解： （1）已知曲线 1 C的参数方程为 sin ( cos2 x y 为参数） ，根据 2 cos212sin 转换为普通方程为： 2 21yx； 直线 2 C的极坐标方程为 6 ，转换为直角坐标方程为330 xy 第 20 页（共 21 页） （2）设直线l的方程为 3 3 yxb ，由于直线l与抛物线相切， 故 2 21 3 3 yx yxb ， 整理得 2 3 210 3 xxb ， 利用 2 3 ()42(1)0 3 b ， 解得 25 24 b ， 故直线

46、的方程为 325 324 yx 选修选修 4-5：不等式选讲：不等式选讲 23已知函数( ) |1| 3|1|f xxx （1）画出( )yf x的图象； （2）求不等式( )(1)f xf x的解集 【解答】解： （1）根据题意， 42,1 ( ) |1| 3|1|24,11 42,1 xx f xxxxx xx 剟， 则对应图象如图： （2）设( )( )(1)g xf xf x， 则 4,1 62, 10 ( ) |1| 3|1|2| 3|2,01 2 ,12 4,2 x xx g xxxxxx xx x ， 若( )(1)f xf x，即( )0g x ，必有620 x ， 第 21 页（共 21 页） 解可得 1 3 x ， 故不等式的解集为 1 ( 3 ，)