1、绝密启用前 湘豫名校联考(2021 年 3 月) 数学(文科)试卷 注意事项： 1.本试卷分第 I 卷(选择题)和第 II 卷(非选择题)两部分。答卷前，考生务必将自己的姓名、准 考证号填写在答题卡上。 2.回答第 I 卷时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动， 用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。 3.回答第 II 卷时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。 4.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第 I 卷 一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的。 1.已知
2、全集 U，集合 M，N 是 U 的子集，且 MN，则下列结论中一定正确的是 A(UM)(UN)U B.M(UN) C.M(UN)U D.(UM)N 2.在复平面内，若复数 z 与 1 12 i i 表示的点关于虚轴对称，则复数 z A. 13 55 i B. 13 55 i C. 13 55 i D. 13 55 i 3.关于 x 的方程 x2axb0，有下列四个命题： 甲：x1 是方程的一个根；乙：x4 是方程的一个根； 丙：该方程两根之和为 3；丁：该方程两根异号。 如果只有一个假命题，则假命题是 A.甲 B.乙 C.丙 D.丁 4.在平面直角坐标系中定义点 P(x，y)的“准奇函数点”为
3、 P(2ax，2by)，若函数 C 上所有 点的“准奇函数点”都在函数 C 上，则称函数 C 为“准奇函数” 。下列函数不是“准奇函数” 的是 A.f(x)cos(x1) B.f(x) 2x1 x1 C.f(x)e|x| D.f(x)x 5.已知空间中不重合的直线 a，b 和不重合的平面 ，下列判断正确的是 A.若 a/，b/，则 a/b B.若 a/b，b，则 a/ C.若 ab，a，则 b/ D.若 a，a，则 / 6.已知单位向量 a，b 满足 ab0，若向量 c5a3b，则 sin A. 10 4 B. 6 4 C. 5 8 D. 59 8 7.已知 x，y 满足约束条件 xy0 xy
4、40 y1 ，则 z2xy 的最大值是 A.1 B.2 C.5 D.7 8.下列函数中，同时满足以下两个条件“xR，f( 6 x)f( 6 x)0” ；“将图 象向左平移 12 个单位长度后得到的图象对应函数为 g(x)cos2x”的一个函数是 A.sin(2x 5 6 ) B.cos(2x 3 ) C.cos(2x 5 6 ) D.sin(2x 3 ) 9.在平面直角坐标系 xOy 中，A(3，0)，B(0，3)，点 M 满足OMxOAyOB，xy1， 点 N 为曲线 y 2 x2x上的动点，则|MN|的最小值为 A.221 B.22 C. 3 2 2 D. 3 2 1 2 10.已知双曲线
5、 T 的焦点在 x 轴上， 对称中心为原点， ABC 为等边三角形。 若点 A 在 x 轴上， 点 B，C 在双曲线 T 上，且双曲线 T 的虚轴为ABC 的中位线，则双曲线 T 的渐近线方程为 A. 15 3 yx B. 5 3 yx C. 3 3 yx D. 5 5 yx 11.已知正方体棱长为 6，如图，有一球的球心是 AC1的中点，半径为 2，平面 B1D1C 截此球 所得的截面面积是 A. B.7 C.4 D.3 12.数列an各项均是正数，a1 1 2 ，a2 3 2 ，函数 y 1 3 x3在点(an， 1 3 an3)处的切线过点(an2 2an1， 7 3 an3)，则下列命
6、题正确的个数是 a3a418； 数列anan1是等比数列； 数列an13an是等比数列； an3n 1。 A.1 B.2 C.3 D.4 第 II 卷 二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。 13.函数 f(x)3xcosx 在(0，f(0)处的切线与直线 2xmy10 垂直，则实数 m 的值 为 。 14.已知函数 f(x)满足 f(x)f(x)2， g(x) 1 x 1， yf(x)与 yg(x)交于点(x1， y1)， (x2， y2)， 则 y1y2 。 15.已知等比数列an满足 a1a3 8 27 ，a2a4 8 9 ，则使得 a1a2an取得最小值的 n
7、为 。 16.已知过点 A(2，2)作直线 AB，AC 与圆 x2(y2)21 相切，且交抛物线 x22y 于 B，C 两点，则 BC 的直线方程为 。 三、解答题：本大题共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第 1721 题为必考题，每个试题考生都必须作答。第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答。 (一)必考题：共 60 分。 17.(本小题满分 12 分) 如图，在ABC 中，B60 ，AB8，AD7，点 D 在 BC 上，且 cosADC 1 7 。 (1)求 BD； (2)若 cosCAD 3 2 ，求ABC 的面积。 18.(本小题满分 12 分) 某校食堂按月
8、订购一种螺蛳粉，每天进货量相同，进货成本每碗 6 元，售价每碗 10 元，未售 出的螺蛳粉降价处理，以每碗 5 元的价格当天全部处理完。根据往年销售经验，每天需求量 与当天最高气温(单位：C)有关。如果最高气温不低于 25，需求量为 200 碗；如果最高气温 位于区间20，25)，需求量为 300 碗；如果最高气温低于 20，需求量为 500 碗。为了确定六月 份的订购计划，统计了前三年六月份各天的最高气温数据，得下面的频数分布表： 最高气温 10，15) 15，20) 20，25) 25，30) 30，35) 35，40) 天数 4 7 25 36 16 2 以最高气温位于各区间的频率估计最
9、高气温位于该区间的概率。 (1)求六月份这种螺蛳粉一天的需求量不超过 300 碗的概率； (2)设六月份一天销售这种螺蛳粉的利润为 Y(单位：元)，当六月份这种螺蛳粉一天的进货量为 450 碗时，写出 Y 的所有可能值，并估计 Y 的平均值(即加权平均数)。 19.(本小题满分 12 分) 图 1 是由正方形 ABCD，RtABE，RtCDF 组成的一个平面图形，其中 ABAEDF1， 将其沿 AB、CD 折起使得点 E 与点 F 重合，如图 2。 (1)证明：图 2 中的平面 ABE 与平面 ECD 的交线平行于底面 ABCD； (2)求二面角 BECD 的余弦值。 20.(本小题满分 12
10、 分) 在平面直角坐标系 xOy 中，已知椭圆 C： 22 22 1(0) xy ab ab 的离心率为 6 3 ，且过点(0， 1)。如图所示，斜率为 k(k0)且过点(1，0)的直线 l 交椭圆 C 于 A，B 两点，线段 AB 的中 点为 E，射线 OE 交椭圆 C 于点 G，若 F 在射线 OE 上，且|OG|2|OE|OF|。 (1)求椭圆 C 的标准方程； (2)求证：点 F 在定直线上。 21.(本小题满分 12 分) 已知函数 f(x)3x2sinx31(x0)，g(x)23x5sinx3cosx3。 (1)求 f(x)在0，上的最小值； (2)证明：g(x)f(x)。 (二)
11、选考题：共 10 分。请考生在 22、23 题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计 分。 22.(本小题满分 10 分)选修 44：坐标系与参数方程 在平面直角坐标系xOy中， 曲线C1的参数方程为 x2 3cos y2 32 3sin (为参数且 2 ， 2 ，以坐标原点 O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 C2的极坐标方程为 4cos。 (1)说明 C1是哪种曲线，并将 C1的方程化为极坐标方程； (2)设点 A 的极坐标为(43， 2 )，射线 (0 2 )与 C1的交点为 M(异于极点)，与 C2的 交点为 N(异于极点)，若|MN|3|MA|，求 tan 的值。 23.(本小题满分 10 分)选修 45：不等式选讲 已知函数 f(x)|2x|x2|。 (1)求不等式 f(x)1 的解集； (2)若xR，使得 f(x)cosxa 成立，求实数 a 的取值范围。
