1、2021 届高考数学黄金预测卷届高考数学黄金预测卷 新高考版（一）新高考版（一） 【满分：【满分：150 分分】 一、单项选择题：本题共一、单项选择题：本题共 8 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 40 分分.在每小题给出的四个选项中，只有在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的一项是符合题目要求的. 1.已知集合 2 2 log (1) 1 ,1 ,MxxNxxZ则MN I( ) A.1,3 B. C.2,3 D.1,2,3 2.在复平面内，复数i(i2)对应的点的坐标为( ) A.(1,2) B.( 1,2) C.(2,1) D.(2, 1) 3.命题 2 :0,),
2、expxxx 的否定为( ) A. 2 0,),exxxx B. 2 0,),exxxx C. 2 (,0),exxxx D. 2 (,0),exxxx 4.我国最早按乐器的制造材料来对乐器进行分类，周礼春宫中记载，中国古典乐器一 般按“八音”分类，分为“金、石、土、革、丝、木匏（po）、竹”八音，其中“金、石、 木、革”为打击乐器，“土、匏、竹”为吹奏乐器，“丝”为弹拨乐器.现从“金、石、土、 匏、丝”中任取三音，则三音来自两种不同类型乐器的概率为( ) A. 1 5 B. 3 5 C. 3 4 D. 2 3 5.设数列 n a的前 n 项和为 n S，若 11 1, 21 nn aSS ，
3、则 7 S ( ) A.63 B.127 C.128 D.256 6.已知函数 ee ( ) 2 xx f x ，若 2233 ,(1) 3322 afbfcf ，则, ,a b c的大小关系是 ( ) A.abc B.acb C.cba D.bca 7.若 5 2 2 3 my xyxy x 的展开式中， 43 x y的系数为 50，则m ( ) A.-3 B.-2 C.2 D.3 8.如图，沿着等腰直角三角形 ABC 斜边上的高 BD 将三角形 ABD 折起，使点 A 到达点 A 的 位置，且45A DC，则直线A B与平面 BCD 所成的角为( ) A.30 B.45 C.60 D.90
4、 二、多项选择题：本题共二、多项选择题：本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分.在每小题给出的选项中，有多项符在每小题给出的选项中，有多项符 合题目要求合题目要求.全部选对的得全部选对的得 5 分，部分选对的得分，部分选对的得 3 分，有选错的得分，有选错的得 0 分分. 9.某经济开发区经过五年产业结构调整和优化，经济收入比调整前翻了两番，为了更好地了 解该开发区的经济收变化情况， 统计了该开发区产业结构调整前后的经济收入构成比例， 得 到如图所示的饼图，则下列结论中正确( ) A.产业结构调整后节能环保的收入与调整前的总收入一样多 B.产业结构调整后科技研发的收
5、入增幅最大 C.产业结构调整后纺织服装收入相比调整前有所降低 D.结构调整后食品加工的收入超过调整前纺织服装的收入 10.已知将函数 ( )sin(0) 3 f xx 图象向左平移 6 个单位长度得到函数( )g x的图象， 且( )g x的图象关于 y 轴对称，函数( )yf x在0,2x上至多存在两个极大值点，则下列 说法正确的是( ) A.1 B.( )f x在 , 2 上单调递增 C.2 D.( )f x的图象关于直线 6 x 对称 11.已知 F 是抛物线 2 :C yx的焦点，A，B 是抛物线 C 上的两点，O 为坐标原点，则( ) A.若 5 | 4 AF ，则AOF的面积为 1
6、 8 B.若 BB 垂直 C 的准线于点 B ，且2|BBOF ，则四边形OPBB周长为 35 4 C.若直线 AB 过点 F，则AB的最小值为 1 D.若 1 4 OA OB，则直线 AB 恒过定点 1 ,0 2 12.已知函数 2 ( )lnf xxx，则下列说法正确的是( ) A.函数( )f x在 1 2 e x 处取得极大值 1 2e B.方程( )0f x 有两个不同的实数根 C. 111 2e fff D.若不等式 2 ( ) kf xx在(0,)上恒成立，则ek 三、填空题：本题共三、填空题：本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分. 13.已知向量(
7、2,),(1,2)maab，若(2 )aab，则实数m _. 14.已知函数 2 23,1, ( ) 1,1, xx f x xxx 则 ( )5yf f x的所有零点之和为_. 15.已知双曲线 22 22 :1(0,0) xy Cab ab 的右焦点为 F，O 为坐标原点，P 为双曲线右支上 异于右顶点的一点若OPF的平分线垂直于 x 轴，则双曲线 C 的离心率的取值范围是 _. 16.已知三棱锥SABC的顶点都在球 O 的球面上，且该三棱锥的体积为2 3，SA平面 ,4,120ABC SAABC，则球 O 的体积的最小值为_. 四、解答题：本题共四、解答题：本题共 6 小题，共小题，共
8、70 分分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17.（10 分）设数列 n a的前 n 项和为 n S，在 1( 0) nn Smam ， 1 2 nn Ska， 11 2 nn aaS S这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并加以解答. 问题：已知数列 n a满足 1 1a ，_，若数列 n a是等比数列，求数列 n a的通 项公式；若数列 n a不是等比数列，说明理由. 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分. 18.（12 分）在ABC中，内角 A，B，C 的对边分别为, ,a b c(, ,a b c互不相等)，且满足 cos(
9、2) cosbCbcB. (1)求证：2AB； (2)若2 ,ca求cos .B 19.（12 分）“未来肯定是非接触的，无感支付的方式成为主流，这有助于降低交互门槛.” 云从科技联合创始人姚志强告诉南方日报记者.相对于主流支付方式二维码支付，刷脸支付 更加便利，以前出门一部手机解决所有，而现在连手机都不需要了，毕竟，手机支付还需要 携带手机，打开二维码也需要时间和手机信号.刷脸支付将会替代手机，成为新的支付方式. 某地从大型超市门口随机抽取 50 名顾客进行了调查，得到了列联表如下所示： 男性 女性 总计 刷脸支付 18 25 非刷脸支付 13 总计 50 （1） 请将上面的列联表补充完整，
10、 并判断是否有 95%的把握认为使用刷脸支付与性别有关？ （2） 从参加调查且使用刷脸支付的顾客中随机抽取 2 人参加抽奖活动， 抽奖活动规则如下： “一等奖”中奖概率为 0.25，奖品为 10 元购物券 m 张（3m ，且m N），“二等奖” 中奖概率为 0.25，奖品为 10 元购物券两张，“三等奖”中奖概率为 0.5，奖品为 10 元购物 券一张， 每位顾客是否中奖相互独立， 记参与抽奖的两位顾客中奖购物券金额总和为 X 元， 若要使 X 的均值不低于 50 元，求 m 的最小值. 附： 2 2 () ()()()() n adbc K ab cd ac bd ，其中nabcd. 2 0
11、 P Kk 0.10 0.05 0.010 0.005 0 k 2.706 3.841 6.635 7.879 20.（12 分）如图，在四棱锥PABCD中，底面 ABCD 为菱形，平面PAD平面ABCD， PAPD，60BAD. （1）求证：ADPB； （2）当直线 PB 与平面 ABCD 所成角为 45时，求二面角BPCD的平面角的大小. 21.（12 分）已知椭圆 22 22 :1(0) xy Cab ab 过点 1 3, 2 M ，且分别以椭圆的长轴和短轴 为直径的圆的面积的比值为 4. (1) 求椭圆 C 的标准方程； (2)若直线(0)ykx k与椭圆 C 交于 A，B 两点，过点
12、 A 作直线AB的垂线，交椭圆 C 于点 D， 连接BD， 与 x，y 轴分别交于点 P，Q， 过原点 O 作直线BD的垂线， 垂足为 R， 求|O RP Q 的最大值. 22.（12 分）已知函数 2 ( )6exf xxxa，e 是自然对数的底数. （1）若曲线( )yf x在(0, (0)f处的切线与直线50 xy平行，求( )f x的单调区间； （2）当11a 时，若 12 ( )(1) 2 fxfx fmm ，且 12 xx，证明： 12 2 xx m . 答案以及解析答案以及解析 一、单项选择题一、单项选择题 1.答案：C 解析：由 2 log (1) 1,x 可得01 2,x 解
13、得13,x 则3(1,M ，由 2 1x 可得1x 或 1,x 又,xZ所以2,3MN I，故选 C. 2.答案：B 解析：i(i2)12i ，其在复平面内对应点的坐标为( 1,2)，故选 B. 3.答案：B 解析：命题 2 :0,),expxxx 的否定为 2 0,),exxxx .故选 B. 4.答案：B 解析：由题意可得，从“金、石、土、匏、丝”中任取三音，共有 3 5 C10种不同的取法， 三音来自两种不同类型乐器的取法共有 2112 2222 C CC C 2121 2121 C CC C6(种)，故所求概率 63 105 P .选 B. 5.答案：B 解析： 通解： 1 21 nn
14、 SS 中， 令1n ， 得 2 3S ， 所以 2 2a .由 1 21 nn SS 得 21 21 nn SS ， 两式相减得 21 2 nn aa ，即 2 1 2 n n a a .又 2 1 1 1,2 a a a ，所以数列 n a是以 1 为首项，2 为公比 的等比数列，所以 7 7 12 127 12 S . 优解：因为 1 21 nn SS ，所以 1 121 nn SS ，又 11 112Sa ，所以数列1 n S 是 以 2 为首项，2 为公比的等比数列，所以 12n n S ，故 7 7 21,21 127 n n SS . 6.答案：D 解析：由题意知函数( )f x
15、的定义域为 R，且 ee ()( ) 2 xx fxf x ，所以( )f x为 R 上的 奇函数，易知( )f x在 R 上单调递增.令( )( )g xxf x，则( )g x为 R 上的偶函数，且( )g x在 (0,)上单调递增.又 22332 ,(1),1 33223 aggbgcg ，所以bca，故选 D. 7.答案：B 解析： 5 2 xy的通项为 5 210 2 155 CC r rrrr r r Txyxy .所以 11 21 15 Cr rr r xyTxy ， 令 1124 13. r r 无解； 8 21 15 2 Cr r r my Tmxy x ，令 824 13
16、r r ， ， 解得 10 2 15 2;33Cr rr r rTxy ， 令 1024 3 r r ， ， ，解得3r .所以 43 x y的系数为 23 55 C3C103050mm，所以2m . 故选 B. 8.答案：A 解析：因为 BD 为等腰直角三角形 ABC 斜边上的高，所以 BDA D BDCD，又 A DCDDI，所以BD 平面A CD.过点 A 作A ECD于点 E，则BDA E，所以 AE平面 BCD，连接 BE，则ABE就是直线A B与平面 BCD 所成的角.设2ABBC， 则在直角三角形ADE中，2,45ADADE，所以1AE，又2A BA EBE， 所以30A BE，
17、所以直线A B与平面 BCD 所成的角为 30.故选 A. 二、多项选择题二、多项选择题 9.答案：ABD 解析：设产业结构调整前的经济收入为 a，则调整后的经济收入为4a.由饼图知调整前纺织 服装收入为0.45a， 节能环保收入为0.15a， 食品加工收入为0.18a， 科技研发收入为0.22a， 调整后的纺织服装收入为40.150.6aa，节能环保收入为40.25aa，食品加工收入为 0.150 64.aa，科技研发收入为40.451.8aa.由以上数据易得产业结构调整后节能环保 的收入与调整前的总收人一样多，故选项 A 正确；产业结构调整后科技研发的收入增幅最 大，故选项 B 正确；产业
18、结构调整后纺织服装收入相比调整前有所升高，故选项 C 错误； 产业结构调整后食品加工收入是调整前纺织服装收入的 4 3 倍，故选项 D 正确. 10.答案：AD 解析：函数( )f x的图象向左平移 6 个单位长度后得到函数 ( )sin 63 g xx 的图象， 因为( )g x的图象关于y轴对称， 所以 () 632 kkZ， 解得61()kkZ.又0， 所以1.当1时， ( )sin,( ) 3 f xxyf x 在0,2x上只有一个极大值点，满足题 意；当7时， ( )sin 7,( ) 3 f xxyf x 在0,2x上极大值点的个数大于 2，所以当 7时，( )f x在0,2x上极
19、大值点的个数大于 2，所以1，故 A 正确，C 错误；所以 ( )sin 3 f xx ，当 6 x 时， 32 x ，因此( )f x的图象关于直线 6 x 对称， D 正确； 当 2 x剟时， 54 633 x 剟，此时( )f x是单调递减的，B 错误.故选 AD. 11.答案：ACD 解析：对于选项 A，设 11 ,A x y，由焦半径公式得 1 15 44 x ，解得 1 1x ，所以 1 1y ，从 而 111 1 248 AOF S ，选项 A 正确；对于选项 B，由题意知 1 | 4 OF ，根据抛物线的定义 可知 1 | 2 BFBB .设 BB 与 y 轴的交点为 D，易知
20、 1 | | 2 ODBF， 1 4 B D，故 22 115 244 OB ，所以四边形OFBB的周长为 111555 42244 ，选项 B 错误；对于选项 C，若直线 AB 过点 F，则当ABx轴时，AB最小，且最小值为 1，选项 C 正确；对于选项 D，设直线 1122 :,AB xmyt A x yB x y，联立直线 AB 与抛物线方程 得 2 0ymyt ， 则 12 y yt ， 所以 222 1 212 x xy yt， 由 1 4 O AO B 可得 1212 1 4 x xy y ， 即 2 1 4 tt ，解得 1 2 t ，故直线 AB 的方程为 1 2 xmy，即直
21、线 AB 恒过定点 1 ,0 2 ，选 项 D 正确.故选 ACD. 12.答案：AC 解析：易知函数( )f x的定义域为(0,) ， 2 ( )2 ln(12ln ) x fxxxxx x ，令 ( )(1 2ln )0fxxx ，则12ln0 x，解得 1 e x ，当 1 0, e x 时，( )0, ( ) fxf x 单 调递增；当 1 , e x 时，( )0, ( ) fxf x 单调递减.所以当 1 e x 时，函数( )f x有极大 值 11 2ee f ， 故选项 A 正确； 因为 11 0 2ee f ， 且当0 x 时，( )0f x ， 当 x 时( )0,f x
22、所以方程( )0f x 不可能有两个不同的实数根，选项 B 错误；因为函数( ) f x在 1 0, e 上单调递增， 且 1111 2e4 ， 所以 111 2e fff ， 选项 C 正确； 不等式 2 ( )kf xx在(0,)上恒成立即不等式 22 lnkxxx 在(0,)上恒成立，令 22 ( )lng xxxx，则( )2 ln(1 2ln )g xxxxxx ，令( )(1 2ln )0g xxx ，则 12ln0 x，解得ex ，当(0, e)x时，( )0, ( )g xg x 单调递增；当( e,)x时， ( )0, ( )g xg x 单调递减.所以当e x 时，函数(
23、)g x有最大值， e ( e) 2 g，所以 e 2 k ， 选项 D 错误. 三、填空题三、填空题 13.答案：4 解析： (1,2)(1,2),2(4,34)mm baab.又(2 ),2 (34)40mm aab， 解得4m . 14.答案： 21 4 2 解析：令( )f xt，则由( )5f t ，解得2t 或4t ，而( )2f x 无实数根，( )4f x 有 两个实数根 7 121 , 22 ，故 ( )5yf f x的所有零点之和为 21 4 2 . 15.答案：(2,) 解析：由题意可知，OPF为等腰三角形，|=|PQPF.设OPF的平分线与 x 轴交于点 H， 则点 H
24、 为线段OF的中点，所以,0 2 c H .因为 P 为双曲线 C 右支上异于右顶点的点，所以 2 c a，即e2 c a ，故双曲线 C 的离心率 e 的取值范围是(2,). 16.答案： 40 10 3 解析： 由题意得， 三棱锥SABC的体积 113 42 3 322 SABC VAB BC ， 则6A B B C ， 当球 O 的体积最小时，ABC外接圆的半径最小，即AC最小，在ABC中，由余弦定理和 基本不等式得 222 1 2318 2 ACABBCAB BCAB BC ，当且仅当6ABBC 取等号，则 min 3 2AC，此时ABC外接圆的直径 min 3 2 22 6 sin1
25、203 2 AC r ，球 O 的半径 22 210Rr，故球 O 的体积的最小值为 3 440 10 33 R . 四、解答题四、解答题 17.答案：若选： 1( 0) nn Smam ，则当2n时， 1nn Sma ， 两式相减，得 11nnnnn SSamama ，即 1 (2) 1 nn aa n mm ， 结合 1 1a ，可知0 n a ，所以 1 1( 2) n n am n am . 由 1( 0) nn Smam ，得 12 ama，即 2 1 11am amm ， 故数列 n a不是等比数列. 若选： 1 2 nn Ska，由 1 1a ，得 1 1 2 k，即 3 2 k
26、 ， 于是 31 22 nn Sa， 当2n时， 11 31 22 nn Sa ，两式相减得 1 33 22 nnn aaa ， 即 1 3 nn aa ， 所以数列 n a是首项为 1，公比为 3 的等比数列，因此 1 3n n a . 若选： 11 2 nn aaS S，由 1 1a ，得21 nn Sa， 当2n时， 11 21 nn Sa ，两式相减得 11 22 nnnnn SSaaa ，即 1 2 nn aa ， 所以数列 n a是首项为 1，公比为 2 的等比数列，因此 1 2n n a . 18.答案：(1)因为 cos(2)cos ,bCbcB 所以由正弦定理得sincos2
27、sincossincos ,BCBBCB 所以sin( )sin2 ,BCB 即sinsin2AB. 又因为0,022,AB所以2AB或2.AB 若2,AB因为,ABC所以,BC与 a，b，c 互不相等矛盾，所以2 .AB (2)由(1)知 ()3 ,CABB 因为0,C所以 0 3 B. 因为2 ,ca所以由正弦定理得sin2sinCA， 则sin(3 )2sin2 ,BB可得sin32sin2BB. 又因为sin3 sin(2)sin2 coscos2 sinBBBBBBB 222 2sincos2sincossin4sincossinBBBBBBBB， 所以 2 4sincossin2s
28、in22 2sincosBBBBBB . 因为 0 3 B ，所以sin0B ， 所以 2 4cos2 2cos10BB ， 解得 26 cos 4 B . 又 0 3 B，所以 26 cos 4 B . 19.答案：（1）由题易知 男性 女性 总计 刷脸支付 18 7 25 非刷脸支付 12 13 25 总计 30 20 50 所以 2 2 (18 137 12)50 33.841 30 20 25 25 K ， 所以没有95%的把握认为使用刷脸支付与性别有关. （2）X 的可能取值为20 1020,1010mmm，40，30，20， 111 (20 ) 4416 P Xm； 111 (10
29、20)2 448 P Xm； 111 (1010)2 424 P Xm； 111 (40) 4416 P X ； 111 (30)2 424 P X ； 111 (20) 224 P X ； 所以 X 的分布列为 X 20m 1020m 1010m 40 30 20 P 1 16 1 8 1 4 1 16 1 4 1 4 所以()520E Xm， 因为52050m，解得6m ， 所以 m 的最小值为 6. 20.答案：（1）如图，取 AD 的中点 M，连接 PM，BM，BD， ,PAPD M为 AD 的中点，PMAD. 四边形 ABCD 是菱形，且60 ,BADABD是正三角形，则BMAD.
30、又,PMBMMAD平面 PMB. 又PB 平面,PMBADPB. （2）PMAD，平面PAD平面 ABCD，平面PAD平面,ABCDADPM平面 ABCD. 又MB 平面,ABCDPMMBMA MB MP两两互相垂直. 以 M 为原点，MA，MB，MP 所在直线分别为 x，y，z 轴建立空间直角坐标系，如图所示. PM 平面,ABCDPBM即为 PB 与平面 ABCD 所成角， 45 ,PBMMBMP. 在正三角形 ABD 中，BMAD，设2AD ，则3MB . (0,0, 3),( 1,0,0), (0, 3,0), ( 2, 3,0)PDBC. ( 2, 3,3),( 2,0,0),( 1
31、,0,3)PCBCPD . 设平面 PBC 的法向量为 111 ,x y zm， 则 111 1 2330, 20, PCxyz BCx m m 不妨取 1 1y ，则(0,1,1)m. 设平面 PCD 的法向量为 222 ,x y zn， 则 222 22 2330, 30, PCxyz PDxz n n 不妨取 2 1z ，则(3, 1,1) n. 0,m n平面PBC 平面 PDC， 二面角BPCD的平面角为 90. 21.答案：(1) 因为分别以椭圆的长轴和短轴为直径的圆的面积的比值为 4， 所以 2 2 4 a b ，即 22 4ab. 将 1 3, 2 代入椭圆方程，得 22 31
32、 1 4ab . 由解得 22 4,1ab， 所以椭圆 C 的标准方程为 2 2 1 4 x y. (2) 因为ORBD，所以 11 | | | 22 ORPQOPOQ， 所以| | | |ORPQOPOQ， 故求| |ORPQ的最大值，即求| |OPOQ的最大值. 设 1122 ,A x yD xy，则 11 ,Bxy，所以 1 1 y k x . 由题意知ABAD，所以直线AD的斜率 1 1 1 x k y . 设直线AD的方程为 1 yk xm，由题意知 1 0,0km， 由 1 2 2 , 1, 4 yk xm x y 消去 y 得 222 11 148440kxk mxm， 所以 1
33、 1212112 22 11 82 ,2, 1414 mkm xxyykxxm kk 所以 121 1211 1 44 BD yyy k xxkx ， 所以直线BD的方程为 1 11 1 4 y yyxx x . 令0y ，得 1 3xx，即 1 3 ,0Px；令0 x ，得 1 3 4 yy ，即 1 3 0, 4 Qy . 所以 1111 39 | | 3 44 OPOQxyxy. 又 22 2211 111 1 12 44 xx yyx y，当且仅当 1 1 2 22 x y时等号成立， 所以| |OPOQ的最大值为 9 4 ， 故| |ORPQ的最大值为 9 4 . 22.答案：（1）
34、 2 ( )6exf xxxa， 2 ( )46 exfxxxa， 则(0)65,1faa ， 2 ( )45 e(1)(5)e xx fxxxxx. 令( )0fx，得1x 或5x ； 令( )0fx，得15x ， ( )f x的单调递增区间为(, 1),(5,)，单调递减区间为( 1,5). （2）证明： 22 ( )611 e ,( )45 e xx f xxxfxxx. 令 2 ( )45 exg xxx，则 2 ( )(1) e0 x g xx且不恒为 0， ( )g x在 R 上为增函数，即( )fx在 R 上为增函数. 12 ( )(1) 2 fxfx fmm ， 12 ( )( )fxf mf mfx， 1 ( )fxf m与 2 ( )f mfx同号. 不妨设 12 xmx，设( )(2)( )2( )(1)h xfmxfxf mmx， 则 222 ( )e(21)e (1) m xx h xmxx . 222 ee ,(21)(1)(22)(22 )0 m xx mxxmmx ， ( )0,( )h xh x在( ,)m上为增函数，( )( )0h xh m， 222 22( )0h xfmxfxf m， 221 22( )fmxf mfxfx. 又( )fx在 R 上为增函数， 21 2mxx，即 12 2 xx m
