1、大题专练一解三角形 一一知识梳理知识梳理 1正弦定理和余弦定理 定理 正弦定理 余弦定理 内容 a sin A b sin B c sin C2R (R 为ABC 外接圆半径) a2b2c22bccos_A； b2c2a22cacos_B； c2a2b22abcos_C 变形 (1)a2Rsin A，b2Rsin_B，c2Rsin_C； (2)abcsin_Asin_Bsin_C； (3)asin Bbsin A，bsin Ccsin B，asin Ccsin A cos Ab 2c2a2 2bc ； cos Bc 2a2b2 2ca ； cos Ca 2b2c2 2ab 2.ABC 的面积公
2、式 (1)SABC1 2a h(h 表示边 a 上的高) (2)SABC1 2absin C 1 2acsin B 1 2bcsin A (3)SABC1 2r(abc)(r 为内切圆半径). 二二、高考真题高考真题 1在ABC中，角 , ,A B C所对的边分别为, ,a b c已知 2 2,5,13abc （）求角C的大小； （）求sin A的值； （）求sin2 4 A 的值 2在ABC中，11ab ，再从条件、条件这两个条件中选择一个作为已知， 求： （）a 的值： （）sinC和ABC的面积 条件： 1 7,cos 7 cA ； 条件： 19 cos,cos 816 AB 注：如果选
3、择条件和条件分别解答，按第一个解答计分 3在 3ac ， sin3cA， 3cb这三个条件中任选一个，补充在下面问题 中，若问题中的三角形存在，求c的值；若问题中的三角形不存在，说明理由 问题：是否存在ABC，它的内角, ,A B C的对边分别为, ,a b c，且sin3sinAB=， 6 C ，_? 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分 4在 ABC 中，角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，已知3,2,45acB （1）求sinC的值； （2）在边 BC 上取一点 D，使得 4 cos 5 ADC ，求tan DAC的值 5ABC的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c
4、.已知 B=150 . （1）若 a= 3c，b=27，求ABC的面积； （2）若 sinA+ 3sinC= 2 2 ，求 C. 6 ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，已知 2 5 cos ()cos 24 AA （1）求 A； （2）若 3 3 bca，证明： ABC 是直角三角形 7ABC 中，sin2Asin2Bsin2C=sinBsinC （1）求 A； （2）若 BC=3，求ABC周长的最大值. 参考答案参考答案 1 （） 4 C =； （） 2 13 sin 13 A； （） 17 2 sin 2 426 A . （）在ABC中，由2 2,5,13abc及余弦定
5、理得 222 825 132 cos 222 2 25 abc C ab ，又因为(0, )C，所以 4 C =； （）在ABC中，由 4 C =， 2 2,13ac 及正弦定理，可得 2 2 2 sin 2 sin 13 aC A c 2 13 13 ； （）由ac知角A为锐角，由 2 13 sin 13 A，可得 2 cos1 sinAA 3 13 13 ， 进而 2 125 sin22sincos,cos22cos1 1313 AAAAA ， 所以 12252 sin(2)sin2 coscos2 sin 444132132 AAA 17 2 26 . 2选择条件（）8（） 3 sin
6、2 C , 6 3S ； 选择条件（）6（） 7 sin 4 C , 15 7 4 S . 选择条件（） 1 7,cos 7 cA ，11ab 222222 1 2cos(11)72(11) 7 () 7 abcbcAaaa 8a （） 2 14 3 cos(0, )sin1 cos 77 AAAA ， 由正弦定理得： 873 sin sinsinsin24 3 7 ac C ACC 113 sin(11 8) 86 3 222 SbaC 选择条件（） 19 cos,cos,(0, ) 816 ABA B， 22 3 75 7 sin1 cos,sin1 cos 816 AABB 由正弦定理得
7、： 11 6 sinsin3 75 7 816 abaa a AB （） 3 795 717 sinsin()sincossincos 8161684 CABABBA 11715 7 sin(11 6) 6 2244 SbaC 3 解法一：由sin3sinAB=可得： 3 a b ，不妨设3 ,0am bm m， 则： 222222 3 2cos323 2 cababCmmm mm ，即c m. 选择条件的解析： 据此可得： 2 333acm mm ，1m，此时1cm. 选择条件的解析： 据此可得： 222222 2 31 cos 222 bcammm A bcm ， 则： 2 13 sin1
8、 22 A ，此时： 3 sin3 2 cAm，则：2 3cm . 选择条件的解析： 可得1 cm bm ，cb， 与条件3cb矛盾，则问题中的三角形不存在. 解法二： 3, 6 sinAsinB CBAC , 3sin3sin 6 sinAACA , 31 3sin3?3? 22 sinAACsinAcosA ， 3sinAcosA , 3tanA , 2 3 A , 6 BC , 若选， 3ac , 33abc , 2 33c ,c=1; 若选，3csinA,则 3 3 2 c , 2 3c ; 若选,与条件3cb矛盾. 4 （1） 5 sin 5 C ； （2） 2 tan 11 DAC
9、. （1）由余弦定理得 222 2 2cos922 325 2 bacacB ，所以5b . 由正弦定理得 sin5 sin sinsin5 cbcB C CBb . （2）由于 4 cos 5 ADC ，, 2 ADC ，所以 2 3 sin1 cos 5 ADCADC. 由于, 2 ADC ，所以0, 2 C ，所以 2 2 5 cos1 sin 5 CC . 所以sinsinDACDACsinADCC sincoscossinADCCADCC 32 5452 5 555525 . 由于0, 2 DAC ，所以 2 11 5 cos1 sin 25 DACDAC . 所以 sin2 tan
10、 cos11 DAC DAC DAC . 5 （1）3； （2）15. （1）由余弦定理可得 2222 282cos1507bacacc ， 2,2 3,caABC 的面积 1 sin3 2 SacB； （2）30A C， sin3sinsin(30)3sinACCC 132 cossinsin(30 ) 222 CCC ， 030 ,303060CC， 3045 ,15CC . 6 （1） 3 A ； （2）证明见解析 （1）因为 2 5 coscos 24 AA ，所以 2 5 sincos 4 AA， 即 2 5 1 coscos 4 AA， 解得 1 cos 2 A，又0A， 所以 3
11、 A ； （2）因为 3 A ，所以 222 1 cos 22 bca A bc ，即 222 bcabc ， 又 3 3 bca ， 将代入得， 2 22 3bcbcbc，即 22 2250bcbc，而 bc，解得2bc，所以3ac，故 222 bac，即ABC是直角三角形 7 （1） 2 3 ； （2）32 3. （1）由正弦定理可得： 222 BCACABAC AB， 222 1 cos 22 ACABBC A AC AB ，0,A， 2 3 A . （2）由余弦定理得： 22222 2cos9BCACABAC ABAACABAC AB ， 即 2 9ACABAC AB. 2 2 ACAB AC AB （当且仅当ACAB时取等号） ， 2 2223 9 24 ACAB ACABAC ABACABACAB ， 解得：2 3ACAB（当且仅当ACAB时取等号） ， ABC周长32 3LACABBC ，ABC周长的最大值为32 3.
