1、第二课时第二课时 最值、范围、证明问题最值、范围、证明问题 考点突破 互动探究 考点一 圆锥曲线中的最值问题自主练透 例1 (2021 广东调研)已知圆x2y22 6x260的圆心为F1， 直线l过点F2( 6， 0)且与 x 轴不重合，l 交圆 F1于 C，D 两点，过 F2作 F1C 的平行线，交 F1D 于点 E设点 E 的轨迹为 (1)求 的方程； (2)直线 l1与 相切于点 M， l1与两坐标轴的交点为 A 与 B， 直线 l2经过点 M 且与 l1垂直， l2与 的另一个交点为 N当|AB|取得最小值时，求ABN 的面积 解析 (1)因为 F1CEF2，所以F1CDEF2D 又
2、F1CF1D，所以F1CDF1DC， 则EDF2EF2D，所以|ED|EF2|， 从而|EF2|EF1|ED|EF1|DF1| x2y22 6x260 可化为(x 6)2y232， 所以|EF2|EF1| 324 22 6 从而 E 的轨迹为以 F1( 6，0)，F2( 6，0)为焦点，长轴长为 4 2的椭圆(剔除左、右顶 点) 所以 的方程为x 2 8 y2 21(y0) (2)易知 l1的斜率存在，所以可设 l1的方程为 ykxm(k0)联立 ykxm， x2 8 y2 21， 消去 y， 得(14k2)x28kmx4m280 因为直线 l 与 相切，所以 (8km)24(14k2)(4m
3、28)0 即 m28k22 l1在 x 轴、y 轴上的截距分别为m k，m， 则|AB| m k 2m2 m2 1 k21 8k22 1 k21 8k22 k210 8103 2， 当且仅当 8k2 2 k2，即 k 2 2 时取等号 所以当 k21 2时，|AB|取得最小值，此时 m 26， 根据对称性，不妨取 k 2 2 ，m 6， 此时 2xM 8km 14k2 8 3 3 ， 即 xM4 3 3 ，从而 yM4 3 3 2 2 6 6 3 ， 联立 y 6 3 2 x4 3 3 x2 8 y2 21， 消去 y，得 9x216 3x160， 则 xMxN4 3 3 xN16 3 9 ，
4、 解得 xN4 3 9 ， 所以|MN|12|xMxN|8 3， 故ABN 的面积为1 2 8 33 24 2 例 2 (2021 四川省联合诊断)已知抛物线 x28y， 过点 M(0,4)的直线与抛物线交于 A，B 两点，又过 A，B 两点分别作抛物线的切线，两条切线交于 P 点 (1)证明：直线 PA，PB 的斜率之积为定值； (2)求PAB 面积的最小值 解析 (1)证明：由题意设 l 的方程为 ykx4， 联立 ykx4 x28y ，得 x28kx320， 因为 (8k)24(32)0， 所以设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，则 x1x232， 设直线 PA，PB 的斜率分别为
5、k1，k2， 对 yx 2 8，求导得 y x 4， 所以 k1x1 4，k2 x2 4， 所以，k1k2x1 4 x2 4 x1x2 44 32 16 2(定值) (2)由(1)可得直线 PA 的方程为 yx 2 1 8 x1 4(xx1) 直线 PB 的方程为 yx 2 2 8 x2 4(xx2) 联立，得点 P 的坐标为 x1x2 2 ，x1x2 8 ， 由(1)得 x1x28k，x1x232， 所以 P(4k，4) 于是|AB|8 1k2k22， 点 P 到直线 AB 的距离 d4k 22 1k2 ， 所以 SPAB16 k22(k22)， 当 k20，即 k0 时，PAB 的面积取得
6、最小值 32 2 名师点拨 处理圆锥曲线最值问题的求解方法 (1)几何法：若题目的条件和结论能明显体现几何特征及意义，则考虑利用图形性质来解 决，这就是几何法 (2)代数法：若题目的条件和结论能体现一种明确的函数，则可首先建立起目标函数，再 求这个函数的最值，求函数最值的常用方法有配方法、判别式法、重要不等式法及函数的单 调性法等 变式训练 1 (2021 广东省佛山市质检)已知 F 为椭圆 C：x 2 a2 y2 b21(ab0)的左焦点，过原点 O 的动 直线 l 与 C 交于 A，B 两点当 A 的坐标为 1，2 5 5 时，|OB|BF| (1)求椭圆 C 的标准方程； (2)延长 B
7、F 交椭圆 C 于 Q，求QAB 的面积的最大值 解析 (1)由 A 1，2 5 5 ，得 B 1，2 5 5 ， 而|OB|BF|F(2,0)，即 c2 由 1 a2 4 5b21 a2b24 ，解得 a25，b21 椭圆 C 的标准方程为x 2 5y 21 (2)当直线 BF 斜率不存在时，BF：x2， 此时 B 2， 5 5 ，|BQ|2 5 5 ，A 2， 5 5 ， SQAB1 2 2 5 5 44 5 5 ； 当 BF 所在直线斜率存在时，设 BF：yk(x2)(k0)， 联立 ykx2 x2 5y 21 ，得 (15k2)x220k2x20k250， 设 B(x1，y1)，Q(x
8、2，y2)， 则 x1x220k 2 15k2，x1x2 20k25 125k2 则|BQ|1k2x1x224x1x2 1k2 20k2 15k2 280k 220 15k2 1k2 2 5 1k2 15k2 又 O 到 BQ 的距离 d |2k| 1k2， 则 A 到 BQ 的距离为 |4k| 1k2， SQAB4 5 k 4k2 15k2 令 15k2t(t1)， 则 SQAB4 5 4 25 1 t 23 25 1 t 1 25 8 5 5 1 t 3 8 225 64 当1 t 3 8时，(SQAB)max 5 综上，QAB 的面积的最大值为 5 考点二 圆锥曲线中的范围问题师生共研
9、例 3 (2021 西安模拟)已知椭圆 C：x 2 a2 y2 b21(ab0)的右焦点为 F(1,0)，且点 P 1，3 2 在椭圆 C 上，O 为坐标原点 (1)求椭圆 C 的标准方程； (2)设过定点 T(0,2)的直线 l 与椭圆 C 交于不同的两点 A，B，且AOB 为锐角，求直线 l 的斜率 k 的取值范围 解析 (1)由题意，得 c1，所以 a2b21 因为点 P 1，3 2 在椭圆 C 上， 所以 1 a2 9 4b21，所以 a 24，b23 则椭圆 C 的标准方程为x 2 4 y2 31 (2)设直线 l 的方程为 ykx2，点 A(x1，y1)，B(x2，y2)， 由 x
10、2 4 y2 31， ykx2 得(4k23)x216kx40 因为 48(4k21)0，所以 k21 4， 由根与系数的关系，得 x1x2 16k 4k23，x1x2 4 4k23 因为AOB 为锐角，所以OA OB 0，即 x1x2y1y20 所以 x1x2(kx12)(kx22)0， 即(1k2)x1x22k(x1x2)40， 所以(1k2) 4 4k232k 16k 4k2340， 即12k 216 4k23 0，所以 k24 3 综上可知1 4k 24 3， 解得2 3 3 k1 2或 1 2k 2 3 3 所以直线 l 的斜率 k 的取值范围为 2 3 3 ，1 2 1 2， 2
11、3 3 引申本例中，若OA OB 0，则 k_ 2 3 3 _，若 O 在以 AB 为直径的圆内，则 k 的取值范围是_ ，2 3 3 2 3 3 ， _ 名师点拨 求解范围问题的常见求法 (1)利用判别式来构造不等式关系，从而确定参数的取值范围 (2)利用已知参数的范围，求新参数的范围，解这类问题的核心是在两个参数之间建立等 量关系 (3)利用隐含或已知的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围 (4)利用基本不等式求出参数的取值范围 (5)利用函数的值域的求法，确定参数的取值范围 变式训练 2 (2021 广东省质检)已知椭圆 C 的两个焦点分别是(1,0)，(1,0)，并且经过点 1，
12、 2 2 (1)求椭圆 C 的标准方程； (2)已知点 Q(0,2)，若 C 上总存在两个点 A、B 关于直线 yxm 对称，且QA QB 4，求 实数 m 的取值范围 解析 (1)因为椭圆 C 的焦点在 x 轴上， 所以设它的标准方程为x 2 a2 y2 b21(ab0) 由椭圆的定义得 2a112 2 2 0 2 112 2 2 0 22 2， 所以 a 2 因为 c1，所以 b2a2c21 因此，椭圆 C 的标准方程为x 2 2y 21 (2)根据题意可设直线 AB 的方程为 yxn， 联立 yxn x2 2y 21 ， 整理得 3x24nx2n220， 由 (4n)243(2n22)0
13、， 得 n23 设 A(x1，x1n)，B(x2，x2n)， 则 x1x24n 3 ，x1x22n 22 3 又设 AB 的中点为 M(x0，x0n)，则 x0 x1x2 2 2n 3 ，x0nn 3 由于点 M 在直线 yxm 上， 所以n 3 2n 3 m，得 n3m， 代入 n23，得 9m23，所以 3 3 m 3 3 因为QA (x1，x1n2)，QB (x2，x2n2)， 所以OA OB 2x1x2(n2)(x1x2)(n2)2 4n 24 3 4n 28n 3 3n 24n4 3 3n 24n8 3 由OA OB 4，得 3n24n812,3n24n40 得2 3n2，得 2 3
14、3m2，所以 2 3m 2 9 由得 3 3 m2 9， 故实数 m 的取值范围为 3 3 ，2 9 考点三,圆锥曲线中的证明问题师生共研 例 4 (2018 课标卷)设椭圆 C： x2 2y 21 的右焦点为 F，过 F 的直线 l 与 C 交于 A，B 两点，点 M 的坐标为(2,0) (1)当 l 与 x 轴垂直时，求直线 AM 的方程； (2)设 O 为坐标原点，证明：OMAOMB 解析 (1)由已知得 F(1,0)，l 的方程为 x1， 由已知可得，点 A 的坐标为 1， 2 2 或 1， 2 2 所以 AM 的方程为 y 2 2 x 2或 y 2 2 x 2 (2)当 l 与 x
15、轴重合时，OMAOMB0 当 l 与 x 轴垂直时，直线 OM 为 AB 的垂直平分线 所以OMAOMB 当 l 与 x 轴不重合也不垂直时， 设 l 的方程为 yk(x1)(k0)，A(x1，y1)，B(x2，y2)， 则 x1 2，x2 2，直线 MA，MB 的斜率之和为 kMAkMB y1 x12 y2 x22， 将由 y1kx1k，y2kx2k 得 kMAkMB2kx1x23kx1x24k x12x22 ，将 yk(x1)代入x 2 2 y21 得(2k21)x24k2x2k220， 所以，x1x2 4k2 2k21，x1x2 2k22 2k21 则 2kx1x23k(x1x2)4k4
16、k 34k12k38k34k 2k21 0， 从而 kMAkMB0，故 MA，MB 的倾斜角互补， 所以OMAOMB 综上，OMAOMB 名师点拨 圆锥曲线中的证明问题，常见的有位置关系方面的，如证明相切、垂直、过定点等；数 量关系方面的，如存在定值、恒成立等在熟悉圆锥曲线的定义和性质的前提下，要多采用 直接法证明，但有时也会用到反证法 解决证明问题的答题模板 联立方程 直线方程与圆锥曲线方程联立，得一元二次方程，涉及中点弦问题 可用点差法. | 坐标表示 借助根与系数的关系、点差法等把所涉及的量用动点坐标表示出来. | 证明结论 根据条件及证明方向进行转化并运算，直到符合所证结论. 变式训练
17、 3 (2021 河北张家口模拟)已知椭圆 E：x 2 a2 y2 b21(ab0)的焦距为 4且过点 1， 14 2 (1)求椭圆 E 的方程； (2)设 A(0，b)，B(0，b)，C(a，b)，过 B 点且斜率为 k(k0)的直线 l 交椭圆 E 于另一点 M，交 x 轴于点 Q，直线 AM 与直线 xa 相交于点 P证明：PQOC(O 为坐标原点) 解析 (1)由题可知，2c4，c2， 椭圆的左，右焦点分别为(2,0)，(2,0) 由椭圆的定义知 2a122 14 2 2 122 14 2 24 2，a2 2， b2a2c24， 椭圆 E 的方程为x 2 8 y2 41 另解：由题可知
18、 1 a2 7 2b21 a2b24 ，解得 b24 a28 (2)证明：易得 A(0,2)，B(0，2)，C(2 2，2)， 直线 l：ykx2 与椭圆 x22y28 联立， 得(2k21)x28kx0， xM 8k 2k21， 从而 M 8k 2k21， 4k22 2k21 ，Q 2 k，0 直线 AM 的斜率为 4k22 2k212 8k 2k21 1 2k， 直线 AM 的方程为 y 1 2kx2 令 x2 2得 P 2 2， 2 k 2 ， 直线 PQ 的斜率 kPQ 2 k 2 2 22 k 22k 2 2k2 2 2k1 2 2k1 2 2 直线 OC 的斜率 kOC 2 2 2
19、 2 2 ， kPQkOC，从而 PQOC 名师讲坛 素养提升 圆锥曲线中的对称问题 例 5 试确定 m 的取值范围，使得椭圆x 2 4 y2 31 上有不同两点关于直线 y4xm 对称 解析 解法一：设椭圆上两点 A(x0u，y0v)，B(x0u，y0v)，AB 的中点为 C(x0， y0) A，B 关于 y4xm 对称， kABv u 1 4 又 x0u2 4 y0v 2 3 1， x0u2 4 y0v 2 3 1， 两式相减，得v u 3x0 4y0，y03x0 而点 C 在直线 y4xm 上， x0m， y03m. 点 C 在椭圆x 2 4 y2 31 内， m 2 4 3m 2 3
20、1 m 2 13 13 ，2 13 13 解法二：设椭圆上两点 A(x1，y1)，B(x2，y2)关于直线 y4xm 对称 设 AB 的中点为 P(x0，y0)， 则 y1y2 x1x2 1 4， y04x0m. 又由 x21 4 y21 31， x22 4 y22 31， 得x1x2x1x2 4 y1y2y1y2 3 0 x1x2 4 y1y2 3 1 4 0 y1y23(x1x2)，得 y03x0 代入 y04x0m，得 x0m，y03m 以下同解法一 引申(1)在例题中将椭圆x 2 4 y2 31 换成抛物线 y 22x，则相应 m 的范围为_(， 36)_ (2)在例题中将直线改为 y
21、mx1 2，则相应的 m 的范围为_ ，1 2 (2，)_ 名师点拨 圆锥曲线上两点的对称问题是圆锥曲线的常见题型，处理方法是： 1设对称两点所在的直线方程与圆锥曲线方程联立，由 0 建立不等关系，再由对称 两点的中点在所给直线上，建立相等关系，由相等关系消参，由不等关系确定范围 2用参数表示中点坐标，利用中点在圆锥曲线内部建立关于参数的不等式，解不等式得 参数范围 变式训练 4 若抛物线 yax21 上恒有关于直线 xy0 对称的相异两点 A，B，则 a 的取值范围是 _a3 4_ 解析 设抛物线上的两点为 A(x1，y1)，B(x2，y2)，直线 AB 的方程为 yxb，代入抛物 线方程 yax21，得 ax2x(b1)0，设直线 AB 的中点为 M(x0，y0)，则 x0 1 2a，y0 x0 b 1 2ab由于 M(x0，y0)在直线 xy0 上，故 x0y00，由此解得 b 1 a，此时 ax 2x (b1)0 可变形为 ax2x 1 a1 0，由 14a 1 a1 0，解得 a 3 4
