1、第二课时第二课时 导数与函数的极值、最值导数与函数的极值、最值 知识梳理 双基自测 知 识 梳 理 知识点一 函数的极值 1函数的极值 (1)设函数 f(x)在点 x0附近有定义，如果对 x0附近的所有的点，都有 f(x)_ f(x0)，那么 f(x0)是函数 f(x)的一个极小值，记作 f(x)极小值f(x0)极大值与极小值统称为极值 (2)当函数 f(x)在 x0处连续时，判别 f(x0)是极大(小)值的方法： 如果 x_0，xx0有 f(x)_0，那么 f(x0)是极大值 如果 xx0有 f(x)_x0有 f(x)_0，那么 f(x0)是极小值 2求可导函数 f(x)极值的步骤 (1)_
2、求导数 f(x)_； (2)_求方程 f(x)0 的根_； (3)检验 f(x)在方程 f(x)0 的_根左右的值_的符号，如果在根的左侧附近为正，右 侧附近为负，那么函数 yf(x)在这个根处取得_极大值_；如果在根的左侧附近为负，右侧 附近为正，那么函数 yf(x)在这个根处取得_极小值_. 知识点二 函数的最值 1函数的最值的概念 设函数 yf(x)在_a，b_上连续，在_(a，b)_内可导，函数 f(x)在a，b上一切函数值 中的最大(最小)值，叫做函数 yf(x)的最大(最小)值 2连续函数在闭区间a，b上一定有最大值和最小值 3求函数最值的步骤 设函数 yf(x)在a，b上连续，在
3、(a，b)内可导，求 f(x)在a，b上的最值，可分两步进行： (1)_求 f(x)在(a，b)内的极值_； (2)_将 f(x)的各极值与 f(a)， f(b)比较， 其中最大的一个是最大值， 最小的一个是最小值 _ 归 纳 拓 展 1f(x0)0 与 x0是 f(x)极值点的关系 函数 f(x)可导， 则 f(x0)0 是 x0为 f(x)的极值点的必要不充分条件 例如， f(x)x3， f(0) 0，但 x0 不是极值点 2极大值(或极小值)可能不止一个，可能没有，极大值不一定大于极小值 3极值与最值的关系 极值只能在定义域内取得(不包括端点)，最值却可以在端点处取得；有极值的不一定有最
4、 值，有最值的也未必有极值；极值有可能成为最值，非常数可导函数最值只要不在端点处取， 则必定在极值处取 4定义在开区间(a，b)内的函数不一定存在最大(小)值 双 基 自 测 题组一 走出误区 1判断下列结论是否正确(请在括号中打“”或“”) (1)函数在某区间上或定义域内极大值是唯一的( ) (2)函数的极大值不一定比极小值大( ) (3)导数等于 0 的点不一定是函数的极值点( ) (4)函数的最大值不一定是极大值，函数的最小值也不一定是极小值( ) 解析 (1)函数的极值是局部概念，极值点是与该点附近的点的函数值比较得到的，而不 是在某区间或定义域上比较 (2)如图，在 x1处的极大值点
5、比在 x2处的极小值点小 (3)如 yx3在 x0 处，导数为 0，但不是极值点 (4)如图知正确 题组二 走进教材 2(理)(选修 22P32AT4 改编)(文)(选修 11P98AT4 改编)若函数 f(x)的导函数 f(x)的图 象如图所示，则下面正确的是( C ) Ax1 是最小值点 Bx0 是极小值点 Cx2 是极小值点 D函数 f(x)在(1,2)上单调递增 解析 由导函数图象可知，x0，x2 为两极值点，x0 为极大值点，x2 为极小值 点，f(x)在(1,2)上小于 0，因此 f(x)单调递减，选 C 3 (理)(选修 22P32AT5 改编)(文)(选修 11P99AT5 改
6、编)函数 f(x)(x21)22 的极值点 是( C ) Ax1 Bx1 Cx1 或1 或 0 Dx0 解析 f(x)x42x23，由 f(x)4x34x4x(x1)(x1)0，得 x0 或 x1 或 x 1.又当 x1 时，f(x)0，当1x0，当 0 x1 时，f(x)1 时， f(x)0，x0,1，1 都是 f(x)的极值点 4(理)(选修 22P32AT6 改编)(文)(选修 11P99AT6 改编)函数 f(x)ln xx 在区间(0，e 上的最大值为( B ) A1e B1 Ce D0 解析 因为 f(x)1 x1 1x x ，当 x(0,1)时，f(x)0；当 x(1，e时，f(
7、x)0，f(x)单调递增；x(2,1)时，f(x)0， f(x)单调递减f(x)极小值f(1)1.故选 A 6(2018 课标，16,5 分)已知函数 f(x)2sin xsin 2x，则 f(x)的最小值是_3 3 2 _. 解析 由 f(x)2sin xsin 2x，得 f(x)2cos x2cos 2x4cos2x2cos x2，令 f(x) 0，得 cos x1 2或 cos x1，可得当 cos x 1，1 2 时，f(x)0，f(x)为增函数，所以当 cos x 1 2时，f(x)取最小值，此时 sin x 3 2 .又 因为 f(x)2sin x2sin xcos x2sin x
8、(1cos x)，1cos x0 恒成立，f(x)取最小值时，sin x 3 2 ，f(x)min2 3 2 11 2 3 3 2 . 考点突破 互动探究 考点一 用导数求解函数极值问题多维探究 角度 1 根据函数图象判断极值 例 1 设函数 f(x)在 R 上可导，其导函数为 f(x)，且函数 y(1x)f(x)的图象如 图所示，则下列结论中一定成立的是( D ) A函数 f(x)有极大值 f(2)和极小值 f(1) B函数 f(x)有极大值 f(2)和极小值 f(1) C函数 f(x)有极大值 f(2)和极小值 f(2) D函数 f(x)有极大值 f(2)和极小值 f(2) 解析 由题图可
9、知， 当 x0； 当2x1 时， f(x)0； 当 1x2 时， f(x)2 时， f(x)0.由此可以得到函数 f(x)在 x2 处取得极大值， 在 x2 处取得极小值 故 选 D 角度 2 求函数的极值 例 2 求下列函数的极值 (1)f(x)1 2(x5) 26ln x； (2)f(x)xaln x(aR) 分析 求导，研究函数的单调性从而确定极值 解析 (1)函数 f(x)的定义域为(0，)， f(x)x56 x x2x3 x . 令 f(x)0，解得 x12，x23，可得 x (0,2) 2 (2,3) 3 (3，) f(x) 0 0 f(x) 极大值 极小值 由上表可知当 x2 时
10、，极大值 f(2)9 26ln 2，当 x3 时，极小值 f(3)26ln 3. (2)f(x)1a x xa x ，x0. 若 a0，则 f(x)0 恒成立，f(x)不存在极值 若 a0，则 x，f(x)，f(x)的变化情况如下表： x (0，a) a (a，) f(x) 0 f(x) 极小值 所以 f(x)的极小值 f(a)aaln a无极大值 综上可知 a0 时，无极值；a0 时，极小值 f(a)aaln a. 名师点拨 可导函数求极值的步骤 (1)确定函数的定义域 (2)求方程 f(x)0 的根 (3)用方程 f(x)0 的根和不可导点的 x 的值顺次将函数的定义域分成若干个小开区间，
11、 并形成表格 (4)由f(x)0的根左右的符号以及f(x)在不可导点左右的符号来判断f(x)在这个根或 不可导点处取极值的情况，此步骤不可缺少f(x)0 是函数有极值的必要条件 角度 3 根据极值求参数的取值范围 例 3 (1)已知函数 f(x)xex在区间(a，a1)上存在极值点，则实数 a 的取值范围为 _(2，1)_. (2)(2019 青岛模拟)若函数 f(x)ax2(4a1)x4a3ex，在 x2 处取得极大值，则实 数 a 的取值范围为_ ，1 2 _. 解析 (1)f(x)exxexex(x1)，令 f(x)0，得 x1，当 x(，1)时，f(x) 单调递减；当 x(1，)时，f
12、(x)单调递增，则1 是函数 f(x)的极值点，所以 a1a 1，即2a1.故填(2，1) (2)f(x)(x2)(ax1)ex.当 a0，解得1 ax2，由 f(x)0，解得 x2，所以函数 f(x)在 1 a，2 上单调递增，在 ，1 a 和(2，)上单调递减，所以函数 f(x) 在 x2 处取得极大值 当 a0 时，f(x)(2x)ex. 由 f(x)0，解得 x2； 由 f(x)2. 所以函数 f(x)在(，2)上单调递增，在(2，)上单调递减， 所以 f(x)在 x2 处取得极大值 当 a0 时，若要 f(x)在 x2 处取得极大值，则需 f(x)在(，2)， 1 a， 上单调递增，
13、 在 2，1 a 上单调递减，则有1 a2，解得 0af(a)f(c) B函数 f(x)在 xc 处取得极小值，在 xe 处取得极大值 C函数 f(x)在 xc 处取得极大值，在 xe 处取得极小值 D函数 f(x)的最小值为 f(d) (2)(理)(角度 2)(2020 河南中原名校质量检查)已知函数 f(x)2f(1)ln xx，则 f(x)的极大 值为( B ) A2 B2ln 22 Ce D2e (文)(角度 2)函数 ye x x的极小值为( B ) A1 Be C1 D1 e (3)(角度 3)(2021 广东肇庆第二次检测)已知 x1 是 f(x)x2(a3)x2a3ex的极小值
14、 点，则实数 a 的取值范围是( D ) A(1，) B(1，) C(，1) D(，1) 解析 (1)由图可知 xa，c时 f(x)0，f(x)单调递增，又 abc，f(a)f(b)f(c)，A 错；x0，f(x)递增；cxe 时，f(x)e 时，f(x)0，f(x)递增 f(x)在 xc 处取得极大值，在 xe 处取得极小值，B 错，C 对；f(d)不是极值，又不是定义域 端点的函数值，f(d)不是最小值，D 错，故选 C (2)(理)因为 f(x)2f(1)ln xx， 所以 f(x)2f(1)1 x1， 令 x1 得 f(1)2f(1)1， 所以 f(1)1，则 f(x)2 x1，所以函
15、数 f(x)在(0,2)上单调递增，在(2，)上单调递减， 则 f(x)的极大值为 f(2)2ln 22.故选 B (文)yxe xex x2 x1e x x2 ， x，y，y 的极值情况如下表. x (，0) 0 (0,1) 1 (1，) y 0 y 极小值 f(x)极小值为 f(1)e，故选 B (3)依题意 f(x)(xa)(x1)ex，它的两个零点为 x1，xa，若 x1 是函数 y(x)的极 小值点，则需 a1，此时函数 f(x)在(a,1)上单调递减，在(1，)上单调递增，在 x1 处取得 极小值故选 D 考点二 用导数求函数的最值师生共研 例 4 (2017 北京，20)已知函数
16、 f(x)excos xx. (1)求曲线 yf(x)在点(0，f(0)处的切线方程； (2)求函数 f(x)在区间 0， 2 上的最大值和最小值 解析 (1)因为 f(x)excos xx，所以 f(x)ex(cos xsin x)1，f(0)0. 又因为 f(0)1，所以曲线 yf(x)在点(0，f(0)处的切线方程为 y1. (2)设 h(x)ex(cos xsin x)1，则 h(x)ex(cos xsin xsin xcos x)2exsin x. 当 x 0， 2 时，h(x)0， 所以 h(x)在区间 0， 2 上单调递减 所以对任意 x 0， 2 有 h(x)h(0)0，即 f
17、(x)0，得 0 x1， 由 f(x)1， 所以 f(x)11 xln x 在(0,1)上单调递增，在(1，)上单调递减 (2)由(1)得 f(x)在 1 e，1 上单调递增，在1，e上单调递减， 所以 f(x)在 1 e，e 上的最大值为 f(1)1 1 1ln 10. 又 f 1 e 1eln 1 e2e， f(e)11 eln e 1 e，所以 f 1 e 0)，求当下潜速度 v 取什么值时，总用氧量最少 解析 (1)由题意，下潜用时60 v (单位时间)，用氧量为 v 10 31 60 v 3v2 50 60 v (升)，水 底作业时的用氧量为 100.99(升)，返回水面用时60 v
18、 2 120 v (单位时间)，用氧量为120 v 1.5 180 v (升)，因此总用氧量 y3v 2 50 240 v 9(v0) (2)y6v 50 240 v2 3v 32 000 25v2 ，令 y0 得 v1032， 当 0v1032时，y1032时，y0，函数单调递增 若 c1032，函数在c,1032上递减，在(1032，15上递增， 所以当 v1032时，总用氧量最少 若 c1032，则函数在c,15上递增， 所以当 vc 时，总用氧量最少 名师点拨 函数的优化问题即实际问题中的最值问题，其一般解题步骤为：一设，设出自变量、因 变量；二列，列出函数关系式，并写出定义域；三解，
19、解出函数的最值，一般常用导数求解； 四答，回答实际问题 变式训练 3 某商场销售某种商品的经验表明， 该商品每日的销售量 y(单位：千克)与销售价格 x(单位： 元/千克)满足关系式 y a x310(x6) 2.其中 3x6，a 为常数已知销售价格为 5 元/千克时， 每日可售出该商品 11 千克 (1)求 a 的值； (2)若该商品的成本为 3 元/千克，试确定销售价格 x 的值，使商场每日销售该商品所获得 的利润最大 解析 (1)因为 x5 时，y11，所以a 21011，a2. (2)由(1)可知，该商品每日的销售量 y 2 x310(x6) 2，所以商场每日销售该商品所获得的利润 f(x)(x3) 2 x310(x 6)2 210(x3)(x6)2,3x6. 从而，f(x)30(x4)(x6) 于是，当 x 变化时，f(x)，f(x)的变化情况如下表： x (3,4) 4 (4,6) f(x) 0 f(x) 极大值 42 由上表可得，x4 是函数 f(x)在区间(3,6)内的极大值点，也是最大值点 所以，当 x4 时，函数 f(x)取得最大值，且最大值等于 42. 即当销售价格为 4 元/千克时，商场每日销售该商品所获得的利润最大
