1、第三讲第三讲 逻辑联结词、全称量词与存在量词逻辑联结词、全称量词与存在量词 知识梳理 双基自测 知 识 梳 理 知识点一 简单的逻辑联结词 (1)用联结词“且”联结命题 p 和命题 q，记作_pq_， (2)用联结词“或”联结命题 p 和命题 q，记作_pq_， (3)对一个命题 p 的否定记作_ p_， (4)命题 pq，pq， p 的真假判断真值表 p q p pq pq 真 真 _假_ _真_ _真_ 真 假 _假_ _真_ _假_ 假 真 _真_ _真_ _假_ 假 假 _真_ _假_ _假_ 知识点二 全称量词与存在量词 1全称量词与全称命题 (1)短语“_所有的_”“_任意一个_”
2、在逻辑中通常叫做全称量词，并用符号“” 表示 (2)含有_全称量词_的命题，叫做全称命题 (3)全称命题“对 M 中任意一个 x，有 p(x)成立”可用符号简记为：_xM，p(x)_. 2存在量词与特称命题 (1)短语“_存在一个_”“_至少有一个_”在逻辑中通常叫做存在量词，并用符号 “”表示 (2)含有_存在量词_的命题，叫做特称命题 (3)特称命题“存在 M 中的一个 x0，使 p(x0)成立”可用符号简记为：_x0M，p(x0)_. 3含有一个量词的命题的否定 (1) 命题 命题的否定 xM，p(x) _x0M， p(x0)_ x0M，p(x0) _xM， p(x)_ (2)pq 的否
3、定是_( p)( q)_； pq 的否定是_( p)( q)_. 归 纳 拓 展 1逻辑联结词与集合的关系 (1)“或”与集合的“并”密切相关，集合的并集是用“或”来定义的，命题“pq”为 真有三个含义：只有 p 成立，只有 q 成立，p、q 同时成立； (2)“且”与集合的“交”密切相关，集合的交集是用“且”来定义的，命题 pq 为真表 示 p、q 同时成立； (3)“非”与集合中的补集相类似 2常用短语的否定词 若给定 语为 等于 大于 是 且 或 一定 都是 至多 有一个 至少 有一个 至多 有 n 个 其否定 语为 不等 于 小于或 等于 不 是 或 且 一定 不 不都 是 至少有 两
4、个 没有 至少有 n1 个 双 基 自 测 题组一 走出误区 1判断下列结论是否正确(请在括号中打“”或“”) (1)命题“20232022”是真命题( ) (2)命题 p 和 p 不可能都是真命题( ) (3)“全等三角形的面积相等”是特称命题( ) (4)命题 (pq)是假命题，则命题 p，q 都是真命题( ) 题组二 走进教材 2(理)(选修 21P23T2 改编)(文)(选修 11P23T2 改编)下列命题中的假命题是( C ) Ax0R，lg x01 Bx0R，sin x00 CxR，x30 DxR,2x0 解析 对于 C，任意 xR，x3R，故选 C 3(理)(选修 21P18A1
5、(3)，改编)(文)(选修 11P18A1(3)改编)已知 p：2 是偶数，q：2 是 质数，则命题 p， q，pq，pq 中真命题的个数为( B ) A1 B2 C3 D4 解析 命题 p 是真命题，q 是真命题，因此命题 p， q 都是假命题，pq，pq 都是 真命题，故选 B 题组三 走向高考 4(2020 课标，5 分)设有下列四个命题： p1：两两相交且不过同一点的三条直线必在同一平面内 p2：过空间中任意三点有且仅有一个平面 p3：若空间两条直线不相交，则这两条直线平行 p4：若直线 l平面 ，直线 m平面 ，则 ml. 则下述命题中所有真命题的序号是_. p1p4 p1p2 (
6、p2)p3 ( p3)( p4) 解析 对于命题 p1，两两相交且不过同一点的三条直线的交点记为 A、B、C，易知 A、 B、C 三点不共线，所以可确定一个平面，记为 ，由 A，B，可得直线 AB，同理， 另外两条直线也在平面 内，所以 p1是真命题； 对于命题 p2，当三点共线时，过这三点有无数个平面，所以 p2是假命题，从而 p2是真命 题； 对于命题 p3，空间两条直线不相交，则这两条直线可能平行，也可能异面，所以 p3是假 命题，从而 p3是真命题； 对于命题 p4，由直线与平面垂直的性质定理可知，是真命题，从而 p4是假命题 综上所述， p1p4是真命题， p1p2是假命题， ( p
7、2)p3是真命题， ( p3)( p4)是真命题， 所以答案为. 5(2016 浙江，5 分)命题“xR，nN*，使得 nx2”的否定形式是( D ) AxR，nN*，使得 nx2 BxR，xN*，使得 nx2 CxR，nN*，使得 nx2 DxR，nN*，使得 nsin y，则 xy；命题 q：x2y22xy.下列命题为假命题的是( B ) Ap 或 q Bp 且 q Cq D p (3)已知命题 p：若平面 平面 ，平面 平面 ，则有平面 平面 .命题 q：在空间 中，对于三条不同的直线 a，b，c，若 ab，bc，则 ac.对以上两个命题，有以下命题： pq 为真；pq 为假；pq 为真
8、；( p)( q)为假 其中，正确的是_.(填序号) 解析 (1)命题 p 是“甲降落在指定范围”， 则 p 是“甲没降落在指定范围”， q 是“乙 降落在指定范围”，则 q 是“乙没降落在指定范围”，命题“至少有一位学员没有降落在指 定范围”包括“甲降落在指定范围，乙没降落在指定范围”“甲没降落在指定范围，乙降落 在指定范围”“甲没降落在指定范围，乙没降落在指定范围”，所以命题“至少有一位学员 没有降落在指定范围”可表示为( p)( q) (2)取 x 3，y 5 6 ，可知命题 p 是假命题； 由(xy)20 恒成立，可知命题 q 是真命题，故 p 为真命题，p 或 q 是真命题，p 且
9、q 是 假命题 (3)命题 p 是假命题，这是因为 与 也可能相交；命题 q 也是假命题，这两条直线也可 能异面，相交 考点二 含有一个量词的命题多维探究 角度 1 全称命题、特称命题的真假 例 2 ( 2021 山东济宁期末)下列命题中假命题是( B ) AxR,2x 10 Bx N*，(x1)2 0 CxR，lg x 1 DxR，tan x 2 解析 根据指数函数的值域知 A 是真命题； 取 x1， 计算知(x1)20， 故 B 是假命题； 取 x1，计算知 lg x00 CxR，exx10 DxR，exx10 (2)(2021 陕西部分学校摸底)命题“xR， x x10”的否定是( D
10、) AxR， x0 x010 BxR,0 x01 CxR， x x10 DxR,00”， 故选 C (2)xR， x x10 的否定是x0R，使 x x1不大于等于 0，包括小于零和无意义，即 x0R,0 x0cos x Cx(0，)，x21x Dx0R，x20 x01 (2)(角度 2)已知命题 p：x0R，log2(3x01)0，则( B ) Ap 是假命题； p：xR，log2(3x1)0 Bp 是假命题； p：xR，log2(3x1)0 Cp 是真命题； p：xR，log2(3x1)0 Dp 是真命题； p：xR，log2(3x1)0 (3)(角度 3)已知命题 p：“x1,2，x2a
11、0”，命题 q：“x0R，x202ax02a 0”若命题“( p)q”是真命题，则实数 a 的取值范围是( C ) A(，2)1 B(，21,2 C(1，) D2,1 (4)(角度 3)已知函数 f(x)x22xa 和 g(x)2x x1，对x11，)，x2R 使 g(x1)f(x2)成立，则实数 a 的取值范围是_1，)_. 解析 (1)对于 A，由同角三角函数的平方关系，我们知道xR，sin2 x 2cos 2 x 21， 所以 A 为假命题；对于 B，取特殊值，当 x 4时，sin xcos x 2 2 ，所以 B 为假命题；对于 C，一元二次方程根的判别式 1430，所以原方程没有实数
12、根，所以 C 为真命题； 对于 D，判别式 1430，3x11，则 log2(3x1)0，p 是假命题， p：xR，log2(3x1)0.故 选 B (3)命题 p 为真命题时 a1；命题 q：“x0R，x202ax02a0”为真命题，即方程 x22ax2a0 有实根，故 4a24(2a)0，解得 a1 或 a2.又( p)q 为真命题， 即 p 真且 q 真，所以 a1，即 a 的取值范围为(1，)故选 C (4)因为 f(x)x22xa(x1)2a1， 所以 f(x)a1，) 因为 g(x)2x x1在1，)上单调递增， 所以 g(x)2，)由题意得 a12， 所以 a1，故实数 a 的取
13、值范围是(，1 名师讲坛 素养提升 简易逻辑的综合应用 例 5 (2019 全国卷，5 分)在“一带一路”知识测验后，甲、乙、丙三人对成绩进 行预测 甲：我的成绩比乙高 乙：丙的成绩比我和甲的都高 丙：我的成绩比乙高 成绩公布后，三人成绩互不相同且只有一个人预测正确，那么三人按成绩由高到低的次 序为( A ) A甲、乙、丙 B乙、甲、丙 C丙、乙、甲 D甲、丙、乙 解析 依题意，若甲预测正确，则乙、丙均预测错误，此时三人成绩由高到低的次序为 甲、乙、丙；若乙预测正确，此时丙预测也正确，这与题意相矛盾；若丙预测正确，则甲预 测错误，此时乙预测正确，这与题意相矛盾综上所述，三人成绩由高到低的次序为
14、甲、乙、 丙，选 A 名师点拨 在一些逻辑问题中，当字面上并未出现“或”“且”“非”字样时，应从语句的陈述中 搞清含义，并根据题目进行逻辑分析，找出各个命题之间的内在联系，从而解决问题 变式训练 2 (2017 全国卷)甲、乙、丙、丁四位同学一起去向老师询问成语竞赛的成绩老师说： 你们四人中有 2 位优秀，2 位良好，我现在给甲看乙、丙的成绩，给乙看丙的成绩，给丁看甲 的成绩看后甲对大家说：我还是不知道我的成绩根据以上信息，则( D ) A乙可以知道四人的成绩 B丁可以知道四人的成绩 C乙、丁可以知道对方的成绩 D乙、丁可以知道自己的成绩 解析 由甲说：“我还是不知道我的成绩”可推知甲看到乙、丙的成绩为“1 个优秀、1 个良好”乙看丙的成绩，结合甲的说法，丙为“优秀”时，乙为“良好”；丙为“良好” 时，乙为“优秀”，可得乙可以知道自己的成绩丁看甲的成绩，结合甲的说法，甲为“优 秀”时，丁为“良好”；甲为“良好”时，丁为“优秀”，可得丁可以知道自己的成绩故 选 D
