1、第五讲第五讲 数系的扩充与复数的引入数系的扩充与复数的引入 知识梳理 双基自测 知 识 梳 理 知识点一 复数的有关概念 (1)复数的定义：形如 abi(a，bR)的数叫做复数其中 a 叫做复数的实部，b 叫做复数 的虚部i 是虚数单位规定 i21.由此可知： i4k1，i4k 1i，i4k21，i4k3i，1 ii，全体复数所成的集合 C 叫复数集 (2)复数相等：abicdi(a，b，c，dR)ac 且 bd. (3)共轭复数：若 zabi(a，bR)，则 z _abi_. (4)复数的模：在复平面内，若点 Z 的坐标为(a，b)，则向量OZ 的模 r 叫做复数 zabi 的模，记作_|z
2、|_或_|abi|_，即|z|abi|r_ a2b2_(r0，rR) 知识点二 复数的几何意义 (1)复平面的概念：建立平面直角坐标系来表示复数的平面，叫做复平面，x 轴叫做_实轴 _，y 轴叫做_虚轴_. (2)实轴上的点都表示_实数_；除了原点外，虚轴上的点都表示_纯虚数_. (3)复数的几何表示：复数 zabi(a，bR) 一一 对应 复平面内的点 Z(a，b) 一一 对应 向量 OZ . 知识点三 复数的运算 (1)复数的加、减、乘、除运算法则 设 z1abi，z2cdi(a，b，c，dR)，则 加法：z1z2(abi)(cdi)_(ac)(bd)i_； 减法：z1z2(abi)(cd
3、i)_(ac)(bd)i_； 乘法：z1 z2(abi) (cdi)_(acbd)(adbc)i_； 除法：z1 z2 abi cdi abicdi cdicdi acbdbcadi c2d2 ；(cdi0) (2)复数的运算律：复数加法满足交换律、结合律，即 交换律：z1z2_z2z1_； 结合律：(z1z2)z3_z1(z2x3)_. 归 纳 拓 展 1两个虚数不能比较大小，但虚数的模可以比较大小 2(1 i)2 2i；1i 1ii； 1i 1ii. 3zz |z|2| z |2. 双 基 自 测 题组一 走出误区 1判断下列结论是否正确(请在括号中打“”或“”) (1)方程 x2x10
4、没有解( ) (2)复数 z32i 中，虚部为2i.( ) (3)复数中有相等复数的概念，因此复数可以比较大小，如 43i33i,34i33i 等( ) (4)原点是实轴与虚轴的交点( ) (5)若 aC，则|a|2a2.( ) 题组二 走进教材 2 (理)(选修 22P116A 组 T2 改编)(文)(选修 12P106A 组 T2 改编)若复数(a23a2)(a 1)i 是纯虚数，则实数 a 的值为( B ) A1 B2 C1 或 2 D1 解析 依题意，有 a23a20， a10， 解得 a2.故选 B 3(理)(选修 22P116B 组 T1 改编)(文)(选修 12P112A 组 T
5、5 改编)设 i 为虚数单位，若复 数 z 满足 z1i 2 1i ，则 z( D ) A1i B1i C1i D1i 解析 由题意，得 z1i 2 1i 2i1i 1i1i 22i 2 1i. 4(理)(选修 22P111A 组 T2 改编)(文)(选修 12P105T3 改编)若 i 为虚数单位，图中复平 面内点 Z 表示复数 z，则表示复数 z 1i的点是( D ) AE BF CG DH 解析 由图知复数 z3i，则 z 1i 3i 1i 3i1i 1i1i2i，所以复数 z 1i所对应的 点是 H，故选 D 题组三 走向高考 5(2019 全国卷)设 z32i，则在复平面内 z 对应
6、的点位于( C ) A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限 解析 由题意，得 z 32i，其在复平面内对应的点为(3，2)，位于第三象限， 故选 C 6(2020 课标，2,5 分)复数 1 13i的虚部是( D ) A 3 10 B 1 10 C 1 10 D 3 10 解析 利用复数除法法则得 1 13i 13i 13i13i 13i 10 ，所以虚部为 3 10，选 D 7(2020 课标，2 ,5 分)若 z12ii3，则|z|( C ) A0 B1 C 2 D2 解析 z12ii312ii1i，|z|1i| 1212 2，故选 C 考点突破 互动探究 考点一 复数的基本概念自
7、主练透 例 1 (1)(2020 浙江，2,4 分)已知 aR，若 a1(a2)i(i 为虚数单位)是实数，则 a( C ) A1 B1 C2 D2 (2)(2020 江苏，2,5 分)已知 i 是虚数单位，则复数 z(1i)(2i)的实部是_3_. (3)(2021 辽宁鞍山一中模拟)在复平面内，复数23i 34i 所对应的点位于( B ) A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限 (4)(2020 课标，1,5 分)若 z1i，则|z22z|( D ) A0 B1 C 2 D2 解析 (1)因为 a1(a2)i 为实数，aR，所以 a20.解得 a2，故选 C (2)z(1i)(2i
8、)2i2i13i，z 的实部为 3. (3)设 z23i 34i ，则 z18 25 1 25i，所以复数 23i 34i 在复平面内所对应的点位于第二象 限故选 B (4)z1i， z22z(1i)22(1i)12ii222i2， |z22z|2|2.故选 D 易错点 (4)复数 zabi(a，bR)为纯虚数的充要条件为 a0， b0， 做题时容易忽略 b0，从而造成错误 考点二 复数的运算多维探究 角度 1 复数的乘法运算 例 2 (1)(2020 课标，2,5 分)(1i)4( A ) A4 B4 C4i D4i (2)(2019 北京)已知复数 z2i，则 z z ( D ) A 3
9、B 5 C3 D5 (3)(2021 长春质检)设复数 z1，z2在复平面内的对应点关于虚轴对称，z12i，则 z1z2等 于( A ) A5 B5 C4i D4i 解析 (1)(1i)4(1i)22(2i)24i24，故选 A (2)解法一：因为 z2i，所以 z 2i，所以 z z (2i)(2i)42i2ii24( 1)5，故选 D 解法二：z z |z|222125，故选 D (3)z22i，z1 z2(2i)(2i)5，故选 A 角度 2 复数的除法运算 例 3 (1)(2020 新高考，2,5 分) 2i 12i( D ) A1 B1 Ci Di (2)(2017 天津)已知 aR
10、，i 为虚数单位，若ai 2i为实数，则 a 的值为_2_. 解析 (1) 2i 12i 2i12i 12i12i 5i 5 i.故选 D (2)ai 2i ai2i 2i2i 2a1a2i 5 2a1 5 a2 5 i 为实数，则a2 5 0，a2.故填 2. 角度 3 复数的综合运算 例 4 (1)(2020 课标，2,5 分)若 z (1i)1i，则 z( D ) A1i B1i Ci Di (2)(2020 浙江期末联考)已知 i 是虚数单位，若复数 z 满足 4 1z1i，则 zz ( B ) A4 B5 C6 D8 (3)(2020 课标，15,5 分)设复数 z1，z2满足|z1
11、|z2|2，z1z2 3i， 则|z1z2|_2 3 _. 解析 (1) z (1i)1i， z1i 1i 1i2 1i1i 2i 2 i，zi，故选 D (2)由 4 1z1i，得 z 4 1i112i，则 zz |z|25，故选 B (3)设复数 z1abi，z2cdi(a，b，c，dR)，则 a2b24，c2d24，又 z1z2(a c)(bd)i 3i，ac 3，bd1，则(ac)2(bd)2a2c2b2d22ac2bd 4， 82ac2bd4，即 2ac2bd4， |z1z2|ac2bd2 a2b2c2d22ac2bd 842 3. 名师点拨 复数运算的技巧 (1)复数的加法、减法、
12、乘法运算可以类比多项式运算，除法关键是分子分母同乘以分母 的共轭复数，注意要把 i 的幂写成最简形式 (2)记住以下结论，可提高运算速度 (1 i)2 2i；1i 1ii； 1i 1ii； abi i bai； 简单的复数方程的解法 (1)利用复数的四则运算求解即可 (2)待定系数法：设 zabi(a、bR)代入方程，利用复数相等的条件、列出关于 a、b 的方程组(复数问题实数化)求解 变式训练 1 (1)(角度 1)(2020 新高考，2,5 分)(12i)(2i)( B ) A5i B5i C5 D5 (2)(角度 2)(2020 天津，10,5 分)i 是虚数单位，复数8i 2i_32i
13、_. (3)(角度 3)(2020 北京，2,4 分)在复平面内，复数 z 对应的坐标是(1,2)，则 i z( B ) A12i B2i C12i D2i (4)(角度 1)(2020 安徽毛坦厂中学模拟)设复数 z 的共轭复数是 z ，若复数 z 134i，z2t i，且 z1z2是实数，则实数 t 等于_3 4_. 解析 (1)(12i)(2i)24ii25i，故选 B (2)8i 2i 8i2i 2i2i 1610i1 5 1510i 5 32i. (3)由复数的几何意义可知，z12i，所以 i zi (12i)2i，故选 B (4)z1z2(34i)(ti)(3t4)(4t3)i 是
14、实数，则 4t30，t3 4. 考点三 复数的几何意义师生共研 例 5 (1)(2019 全国卷)设复数 z 满足|zi|1，z 在复平面内对应的点为(x，y)则 ( C ) A(x1)2y21 B(x1)2y21 Cx2(y1)21 Dx2(y1)21 (2)在复平面内，复数 z 与 6 zi对应的点关于实轴对称，则复数 z ( C ) A2i B3i C2i 或3i D2i 或3i 解析 (1)解法一：z 在复平面内对应的点为(x，y)，zxyi(x，yR)|zi|1， |x(y1)i|1，x2(y1)21.故选 C 解法二：|zi|1 表示复数 z 在复平面内对应的点(x，y)到点(0,
15、1)的距离为 1，x2(y 1)21.故选 C 解法三：在复平面内，点(1,1)所对应的复数 z1i 满足|zi|1，但点(1,1)不在选项 A， D 的圆上，排除 A，D；在复平面内，点(0,2)所对应的复数 z2i 满足|zi|1，但点(0,2) 不在选项 B 的圆上，排除 B故选 C (2)设 zabi，a，bR， 6 zi 6 ab1i 6a a2b12 6b1 a2b12i， 由已知得 a 6a a2b12 b 6b1 a2b12 ，解得 a0 b3或2 ， z2i 或 3i， z 2i 或3i，故选 C 名师点拨 复数几何意义及应用 (1)复数 z、复平面上的点 Z 及向量OZ 相
16、互联系，即 zabi(a，bR)Z(a，b)OZ. (2)|z|表示复平面内复数 z 对应的点到原点的距离；|z1z2|表示复平面内复数 z1、z2对应的 两点间的距离 (3)由于复数、点、向量之间建立了一一对应的关系，因此可把复数、向量与解析几何联 系在一起，解题时可运用数形结合的方法，使问题的解决更加直观 变式训练 2 (1)(2021 广西柳州摸底)已知复数 z 在复平面内对应点是(1， 2)， i 为虚数单位， 则z2 z1 ( D ) A1i B1i C13 2i D13 2i (2)设复数 z(x1)yi(x，yR)，若|z|1，则 yx 的概率为( D ) A3 4 1 2 B1
17、 2 1 C1 2 1 D1 4 1 2 解析 (1)由题知 z12i， z2 z1 12i2 12i1 32i 2i 32i2i 4 13 2i. (2)由|z|1 知复数 z 在复平面内对应的点构成的区域是以(1,0)为圆心，1 为半径的圆及其 内部， 如图中阴影部分表示在圆内(包括边界)且满足 yx 的区域， 该区域的面积为1 4 1 211 1 4 1 2，故满足 yx 的概率为 1 4 1 2 12 1 4 1 2.故选 D 名师讲坛 素养提升 与复数模有关问题的解法 例 6 (1)若复数 z 满足|z|1，则|z34i|的最大值为_6_. (2)若复数 z1，z2满足|z1|z2|
18、1，|z1z2| 2，则|z1z2|_ 2_. (3)若复数 z 满足|zi|zi|4，则点 z 的轨迹方程为_x 2 3 y2 41_. 分析 利用复数模的几何意义求解 解析 (1)令 zxyi(x，yR)， |z|1，x2y21， |z34i|表示圆 x2y21 上的点到 Z(3，4)的距离， |OZ|5， |z34i|的最大值为 6. (2)由题意知|OZ1 |OZ2 |1，|OZ1 OZ2 | 2， 即|OZ1 |22OZ1 OZ2 |OZ2 |22， OZ1 OZ2 0，即OZ1 OZ2 ， |OZ1 OZ2 |22，|OZ1 OZ2 | 2， |z1z2| 2. (3)|zi|zi
19、|4 表示复平面内复数 z 对应的点 Z 到(0，1)、(0,1)距离的和为 4，故其 轨迹是以(0，1)、(0、1)为焦点的椭圆又 a2，c1，b2a2c23，故点 Z 的轨迹方 程为x 2 3 y2 41. 名师点拨 |z|OZ |；|z 1z2|OZ1 OZ2 |；|z1z2|OZ1 OZ2 |Z2Z1 |. 变式训练 3 (1)已知复数 z112i，z21i，z332i，它们所对应的点分别为 A，B，C，若OC xOA yOB ，则 xy_5_. (2)复数 z 满足|z3 3i| 3，则|z|的最大值和最小值分别是_3 3、 3_ 解析 (1)由OC xOA yOB ，得 32ix(12i)y(1i)(xy)(2xy)i， xy3， 2xy2. 解得 x1， y4， 故 xy5. (2)由题意可知复平面内复数 z 对应的点在以 C(3， 3)为圆心，以 3为半径的圆上，由 |CO|2 3知， 圆上的点 Z 到原点距离的最大值、 最小值分别为 3 3， 3， 故|z|的最大值为 3 3， 最小值为 3.
