1、第二讲第二讲 参数方程参数方程 知识梳理 双基自测 知 识 梳 理 知识点一 参数方程的概念 如果曲线 C 上任意一点 P 的坐标 x 和 y 都可以表示为某个变量 t 的函数 xft， ygt. 反过来，对于 t 的每个允许值，由函数式 xft， ygt 所确定的点 P(x，y)都在曲线 C 上， 那么方程 xft， ygt 叫做曲线 C 的参数方程，变量 t 是参数 知识点二 圆锥曲线的参数方程 (1)圆心为(a，b)，半径为 r 的圆的参数方程为 _ xarcos ， ybrsin ( 为参数)_ (2)椭圆x 2 a2 y2 b21(ab0)的参数方程为 _ xacos ， ybsin
2、 ( 为参数)_ (3)双曲线x 2 a2 y2 b21(a0，b0)的参数方程为_ x a cos ， ybtan ( 为参数)_ (4)抛物线 y22px(p0)的参数方程为 x2pt2， y2pt (t 为参数) 知识点三 直线的参数方程 过点 M(x0，y0)，倾斜角为 的直线 l 的参数方程为_ xx0tcos ， yy0tsin (t 为参数)_，其 中 t 表示直线上以定点 M0为起点，任意一点 M(x，y)为终点的有向线段M0M 的_数量_当 t 0 时，M0M 的方向向上；当 t0 时，M0M 的方向向下；当 t0 时，M 与 M0重合 根据直线的参数方程的标准式中 t 的几
3、何意义，有如下常用结论： 过定点 M0的直线与圆锥曲线相交，交点为 M1，M2，所对应的参数分别为 t1，t2 弦长 l|t1t2|； M0是弦 M1M2的中点t1t20； |M0M1|M0M2|t1t2| 双 基 自 测 题组一 走出误区 1判断下列结论是否正确(请在括号中打“”或“”) (1)参数方程 xt1， y2t (t1)表示的曲线为直线( ) (2)参数方程 xcos m， ysin m 当 m 为参数时表示直线，当 为参数时表示的曲线为 圆( ) (3)直线 x2tcos 30 ， y1tsin 150 ， (t 为参数)的倾斜角 为 150 ( ) (4)参数方程 x2cos
4、， y5sin ， ( 为参数且 0， 2 )表示的曲线为椭圆( ) 题组二 走进教材 2(P25例 3)曲线 x1cos ， y2sin ( 为参数)的对称中心( B ) A在直线 y2x 上 B在直线 y2x 上 C在直线 yx1 上 D在直线 yx1 上 解析 由 x1cos ， y2sin 得 cos x1， sin y2. 所以(x1)2(y2)21 曲线是以(1,2)为圆心， 1 为半径的圆， 所以对称中心为(1,2)， 在直线 y2x 上 3(P37例 2)在平面直角坐标系 xOy 中，若直线 l： xt， yta (t 为参数)过椭圆 C： x3cos ， y2sin ( 为参
5、数)的右顶点，则常数 a 的值为_3_ 解析 直线 l 的普通方程为 xya0， 椭圆 C 的普通方程为x 2 9 y2 41， 椭圆 C 的右顶点坐标为(3,0)，若直线 l 过(3,0)， 则 3a0，a3 题组三 走向高考 4(2020 新课标卷)在直角坐标系 xOy 中，曲线 C 的参数方程为 x2tt2 y23tt2 (t 为参 数且 t1)，C 与坐标轴交于 A、B 两点 (1)求|AB|； (2)以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，求直线 AB 的极坐标方程 解析 (1)令 x0，则 t2t20，解得 t2 或 t1(舍)，则 y26412，即 A(0,12)令 y
6、0，则 t23t20，解得 t2 或 t1(舍)，则 x2244，即 B(4,0) |AB|04212024 10 (2)由(1)可知 kAB 120 043， 则直线 AB 的方程为 y3(x4)， 即 3xy120 由 xcos，ysin 可得，直线 AB 的极坐标方程为 3cos sin 120 5(2018 课标全国)在直角坐标系 xOy 中，曲线 C 的参数方程为 x2cos ， y4sin ( 为参 数)，直线 l 的参数方程为 x1tcos ， y2tsin (t 为参数) (1)求 C 和 l 的直角坐标方程； (2)若曲线 C 截直线 l 所得线段的中点坐标为(1,2)，求
7、l 的斜率 解析 (1)曲线 C 的直角坐标方程为x 2 4 y2 161 当 cos 0 时，l 的直角坐标方程为 ytan x2tan ， 当 cos 0 时，l 的直角坐标方程为 x1 (2)将 l 的参数方程代入 C 的直角坐标方程， 整理得关于 t 的方程(13cos2)t24(2cos sin )t80 因为曲线 C 截直线 l 所得线段的中点(1,2)在 C 内， 所以有两个解，设为 t1，t2，则 t1t20 又由得 t1t242cos sin 13cos2 ， 故 2cos sin 0， 于是直线 l 的斜率 ktan 2 考点突破 互动探究 考点一 参数方程与普通方程的互化
8、 例 1 (1)把下列参数方程化为普通方程： xcos ， ysin ( 为参数， 2， )； xt1 t， yt21 t2 (t 为参数) (2)(2019 课标全国)在直角坐标系 xOy 中，曲线 C 的参数方程为 x1t 2 1t2， y 4t 1t2 (t 为参 数)以坐标原点 O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线 l 的极坐标方程为 2cos 3sin 110 求 C 和 l 的直角坐标方程； 求 C 上的点到 l 距离的最小值 解析 (1) xcos ysin ，由22得： x2y21 其中 x1,0，y0,1 xt1 t yt21 t2 ，由2得： x2y2，即 y
9、x22，其中 x(，22，) (2)因为11t 2 1t21， 且 x2 y 2 2 1t2 1t2 2 4t2 1t221， 所以 C 的直角坐标方程为 x2y 2 41(x1) l 的直角坐标方程为 2x 3y110 由可设 C 的参数方程为 xcos ， y2sin ( 为参数，) C 上的点到 l 的距离为 |2cos 2 3sin 11| 7 4cos 3 11 7 当 2 3 时，4cos 3 11 取得最小值 7，故 C 上的点到 l 距离的最小值为 7 名师点拨 将参数方程化为普通方程的方法 (1)将参数方程化为普通方程，需要根据参数方程的结构特征，选取适当的消参方法常 见的消
10、参方法有：代入消参法、加减消参法、平方消参法等，对于含三角函数的参数方程， 常利用同角三角函数关系式消参如 sin2cos21 等 (2)将参数方程化为普通方程时，要注意两种方程的等价性，不要增解 变式训练 1 (2017 全国卷)在直角坐标系 xOy 中，曲线 C 的参数方程为 x3cos ， ysin ( 为参数)，直 线 l 的参数方程为 xa4t， y1t (t 为参数) (1)若 a1，求 C 与 l 的交点坐标； (2)若 C 上的点到 l 距离的最大值为 17，求 a 解析 (1)曲线 C 的普通方程为x 2 9y 21 当 a1 时，直线 l 的普通方程为 x4y30 由 x4
11、y30， x2 9y 21， 解得 x3， y0 或 x21 25， y24 25. 从而 C 与 l 的交点坐标为(3,0)， 21 25， 24 25 (2)直线 l 的普通方程为 x4ya40，故 C 上的点(3cos ，sin )到 l 的距离为 d |3cos 4sin a4| 17 当 a4 时，d 的最大值为a9 17 由题设得a9 17 17，所以 a8； 当 a4 时，d 的最大值为a1 17 由题设得a1 17 17， 所以 a16 综上，a8 或 a16 考点二 参数方程的应用 例 2 (1)(2020 广东梅州质检)在极坐标系中，圆 C：4cos 以极点 O 为原点，
12、极轴为 x 轴正半轴建立直角坐标系 xOy，直线 l 经过点 M(1，3 3)且倾斜角为 求圆 C 的直角坐标方程和直线 l 的参数方程； 已知直线 l 与圆 C 交与 A，B，满足 A 为 MB 的中点，求 (2)(2021 山西太原期中)在平面直角坐标系 xOy 中， 曲线 C1的参数方程为 x1 2t y 3 2 t1 (t 为参数)，以坐标原点 O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 C2的极坐标方程为 4sin 求曲线 C1的普通方程和 C2的直角坐标方程； 设点 P 的直角坐标为(0，1)，若曲线 C1与 C2相交于 A，B 两点，求 1 |PA| 1 |PB|的值 解析
13、 (1)由圆 C：4cos 可得 24cos ， 因为 2x2y2，xcos ， 所以 x2y24x，即(x2)2y24 直线 l： x1tcos ， y3 3tsin (t 为参数，0) 设 A，B 对应的参数分别为 tA，tB， 将直线 l 的方程代入 C 并整理， 得 t26t( 3sin cos )320， 所以 tAtB6( 3sin cos )，tA tB32 又 A 为 MB 的中点，所以 tB2tA， 因此 tA2( 3sin cos )4sin 6 ， tB8sin 6 ， 所以 tA tB32sin2 6 32，即 sin2 6 1 因为 0，所以 6 6 7 6 ， 从而
14、 6 2，即 3 (2)由 x1 2t， y 3 2 t1 消去参数 t 得曲线 C1的普通方程为 3xy10， 由 xcos ， ysin 得曲线 C2的直角坐标方程为 x2y24y0 设 A 1 2t1， 3 2 t11 ，B 1 2t2， 3 t t21 ， 将 x1 2t， y 3 2 t1 代入 x2y24y0 得 t2 3t30， t1t2 3，t1t23， 1 |PA| 1 |PB| 1 |t1| 1 |t2| |t1|t2| |t1t2| |t1t2| |t1t2| t1t224t1t2 |t1t2| 3212 3 15 3 引申若本例(1)中去掉“A 为 MB 的中点”，则
15、1 |MA| 1 |MB|的最大值为_ 3 8_ 解析 1 |MA| 1 |MB| |MA|MB| |MA| |MB| tAtB tA tB 3 16( 3sin cos ) 3 8sin 6 显然当 3时 1 |MA| 1 |MB| max3 8 名师点拨 (1)解决与圆、圆锥曲线的参数方程有关的综合问题时，要注意普通方程与参数方程的互 化公式，主要是通过互化解决与圆、圆锥曲线上与动点有关的问题，如最值、范围等 (2)利用直线参数方程中参数 t 的几何意义求相关的距离(线段长)时，解题的思路是： 判断直线的参数方程是否是标准式； 在求直线 l 与曲线 C： f(x， y)0 的交点间的距离时
16、， 把直线 l 的参数方程 xx0tcos yy0tsin (t 为参数)代入曲线 C：f(x，y)0，化简整理后得到关于 t 的方程 f(x0tcos ，y0tsin )0设该方程的根为 t1，t2，直线 l 与曲线 C 的交点为 A，B 则 |AB|t1t2| t1t224t1t2； 设点 P 是直线 l 上一定点，l 与曲线 C 的交点为 A，B，则|PA| |PB|t1t2|； ()当线段 PA 与 PB 同向时， |PA|PB|t1t2|； ()当线段 PA 与 PB 反向时， |PA|PB|t1t2|； 线段 AB 的中点 M 对应的参数为 tMt1t2 2 注：当直线的参数方程不
17、是标准式时，如 xx0mt yy0nt (t 为参数 m2n21)，可化为标准 式，即 t m2n2t，化为 xx0 m m2n2t， yy0 n m2n2t (t为参数)求解 变式训练 2 (2021 广西钦州、崇左质检)在平面直角坐标系中，直线 l 过点 P(3,2)，且倾斜角 6，以 坐标原点 O 为极点， x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系， 已知圆 C 的极坐标方程为 4sin (1)求圆 C 的直角坐标方程； (2)设直线 l 与圆 C 交于 A，B 两点，求|PA|PB|的值 解析 (1)由 4sin 得 24sin ， 从而有 x2y24y，即 x2(y2)24 (2)设直线
18、l 的参数方程为 x3tcos 6 y2tsin 6 ， 即 x3 3 2 t y21 2t 代入圆的方程得 3 3 2 t 2 1 2t 24 整理得：t23 3t50，t1t23 3， t1t25 由 t1t20 且 t1t20， 可知|PA|PB|t1|t2| (t1t2)3 3 考点三,极坐标方程与参数方程的综合应用 例 3 (1)(2020 山西大同联考)在平面直角坐标系 xOy 中， 已知曲线 C1的参数方程为 x32cos y2sin ( 为参数)，以坐标原点 O 为极点，以 x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系， 曲线 C2的极坐标方程为 2 设点 M，N 分别为曲线 C1与曲线
19、 C2上的任意一点，求|MN|的最大值； 设直线 l： x1tcos ytsin (t 为参数)与曲线 C1交于 P，Q 两点，且|PQ|1，求直线 l 的普通方程 (2)(2021 东北师大附中摸底)在直角坐标系 xOy 中，以原点 O 为极点，以 x 轴非负半轴为 极轴，与直角坐标系 xOy 取相同的长度单位，建立极坐标系设曲线 C 的参数方程为 x 3cos ysin ，( 为参数)，直线 l 的极坐标方程为 cos 4 4 2 写出曲线 C 的普通方程和直线 l 的直角坐标方程； 求曲线 C 上的点到直线 l 的最大距离 解析 (1)由题意知，曲线 C1的普通方程为(x3)2y24，圆
20、心 C1(3,0)，半径 r12， 曲线 C2的直角坐标方程为 x2y24，圆心 C2(0,0)，半径 r22， |MN|max|C1C2|r1r23227 将直线 l 的参数方程代入(x3)2y24 中， 得(tcos 4)2(tsin )24， 整理得 t28tcos 120， 64cos2480 设 P，Q 两点对应的参数分别为 t1，t2， 则 t1t28cos ，t1t212 由|PQ|1 及参数 t 的几何意义， 得|t1t2| t1t224t1t2 8cos 24121， 解得 cos 7 8，满足 0， 直线 l 的斜率为 tan 15 7 ， 直线 l 的方程为 15x 7y
21、 150 (2)由 cos 4 4 2， 得 (cos sin )4， 直线 l 的直角坐标方程为 xy80 由 x 3cos ， ysin 得 C 的普通方程为x 2 3y 21 在曲线 C：x 2 3y 21 上任取一点 P( 3cos ，sin )， 则点 P 到直线 l 的距离为 d| 3cos sin 8| 2 2sin 3 8 2 5 2 曲线 C 上的点到直线 l 的最大距离为 5 2 名师点拨 极坐标方程与参数方程综合问题的解题策略 (1)求交点坐标、距离、线段长可先求出直角坐标方程，然后求解 (2)判断位置关系先转化为平面直角坐标方程，然后再作出判断 (3)求参数方程与极坐标
22、综合的问题一般是先将方程化为直角坐标方程，利用直角坐标 方程来研究问题 变式训练 3 (2020 辽宁沈阳东北育才学校模拟)在极坐标系中，已知圆 C 的圆心 C 2， 4 ，半径 r 3 (1)求圆 C 的极坐标方程； (2)若 0， 4 ，直线 l 的参数方程为 x2tcos ， y2tsin (t 为参数)，直线 l 交圆 C 于 A、B 两点，求弦长|AB|的取值范围 解析 (1)由 C 2， 4 得，C 直角坐标(1,1)， 所以圆 C 的直角坐标方程为(x1)2(y1)23， 由 xcos ysin 得圆 C 的极坐标方程为 22cos 2sin 10 (2)将 x2tcos ， y2tsin 代入 C 的直角坐标方程(x1)2(y1)23， 得 t22(cos sin )t10，则 0， 设 A，B 对应参数分别为 t1，t2，则 t1t22(cos sin )，t1t21， |AB|t1t2| t1t224t1t2 84sin 2， 因为 0， 4 ，所以 sin 20,1， 所以 84sin 28,12， 所以|AB|的取值范围为2 2，2 3
