1、 28.2.2 应用举例应用举例 第第 2 课时课时 方向角方向角和和坡角问题坡角问题 一、新课导入一、新课导入 1.课题导入 情景：如图，一艘海轮位于灯塔 P 的北偏东 65方向，距离灯塔 80 n mile 的 A 处，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔 P 的南偏东 34方向上 的 B 处，这时，海轮所在的 B 处距离灯塔 P 有多远？ 问题：怎样由方向角确定三角形的内角？ 2.学习目标 （1）能根据方向角画出相应的图形，会用解直角三角形的知识解决方位问 题. （2）知道坡度与坡角的含义，能利用解直角三角形的知识解决与坡度有关 的实际问题. 3.学习重、难点 重点：会用解直角三角形
2、的知识解决方向角、坡度的相关问题. 难点：将实际问题转化为数学问题（即数学建模）. 二、分层学习二、分层学习 1.自学指导 （1）自学内容：教材 P76 例 5. （2）自学时间：10 分钟. （3）自学方法：独立探索解题思路，然后同桌之间讨论，写出规范的解题 过程. （4）自学参考提纲： 如图， 一艘海轮位于灯塔 P 的北偏东 65方向， 距离灯塔 80 海里的 A 处， 它沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔 P 的南偏东 34方向上的 B 处， 这时，海轮所在的 B 处距离灯塔 P 有多远？(结果取整数，参考数据：cos25 0.91，sin250.42，tan250.47，sin34
3、0.56，cos340.83，tan34 0.67） a.根据已知在图中标出方向角：如图所示. b.根据方向角得到三角形的内角：在PAB 中，海轮沿正 南方向航行，A= 65 ，B= 34 ，PA= 80 . c.作高构造直角三角形：如图所示. d.写出解答过程： 在 RtAPC 中，PC=PAcos(90-65)=80cos2572.505（n mile）. 在 RtBPC 中，B=34,PB= 72 505 sinsin34 .PC B 130（n mile）. 如图，海中有一个小岛 A，它周围 8 海里内有暗礁，渔船跟踪鱼群由西向 东航行，在 B 点测得小岛 A 在北偏东 60的方向上，
4、航行 12 海里到达 D 点， 这时测得小岛 A 在北偏东 30的方向上，如果渔船不改变航向继续向东航行， 有没有触礁的危险？ 解：过 A 作 AEBD 于 E.由题意知：ABE=30,ADE=60. BAD=60-30=30=ABD.AD=BD=12. AE=ADsin60=12 3 2 =6 3 (海里)8 海里. 无触礁的危险. 2.自学： 结合自学指导进行自学. 3.助学 （1）师助生： 明了学情：观察学生自学提纲的答题情况. 差异指导：根据学情对学习有困难的学生进行个别或分类指导. （2）生助生：小组内互相交流、研讨. 4.强化：利用解直角三角形的知识解方向角问题的一般思路. 1.自
5、学指导 （1）自学内容：教材 P77. （2）自学时间：5 分钟. （3）自学方法：先独立归纳利用解直角三角形的知识解决实际问题的一般 思路，然后对照课本 P77 的内容归纳，进行反思总结. （4）自学参考提纲： 利用解直角三角形的知识解决实际问题的一般思路： a.将实际问题抽象为数学问题；b.根据问题中的条件，适当选用锐角三角函 数等解直角三角形； c.得到数学问题的答案；d.得到实际问题的答案. 练习：如图，拦水坝的横断面为梯形 ABCD，斜面坡度 i=11.5 是指坡 面的铅直高度 AF 与水平宽度 BF 的比，斜面坡度 i=13 是指 DE 与 CE 的比， 根据图中数据，求： a.坡
6、角和的度数； b.斜坡 AB 的长(结果保留小数点后一位). 2.自学： 学生可参考自学指导进行自学. 3.助学 （1）师助生： 明了学情：明了学生解答问题的情况. 差异指导：根据学情进行相应指导. （2）生助生：小组内互相交流、研讨. 4.强化 （1）坡度、坡角的含义及其关系，梯形问题的解题方法. （2）在自学参考提纲第题中，若补充条件“坝顶宽 AD=4 m” ，你能求出 坝底 BC 的长吗？ （3）利用解直角三角形的知识解决实际问题的一般思路： 三、评价三、评价 1.学生自我评价：在这节课的学习中你有哪些收获？掌握了哪些解题技巧和 方法？ 2.教师对学生的评价： （1）表现性评价：点评学生
7、学习的主动性、小组交流协作情况、解题方法 的掌握情况等. （2）纸笔评价：课堂评价检测. 3.教师的自我评价（教学反思）. 本课时应先认知“方向角” “坡度”及其所代表的实际意义，添作适当的辅 助线，构建直角三角形.然后结合解直角三角形的有关知识加以解答，层层展开， 步步深入. 一、基础巩固（70 分） 1.(10 分)已知外婆家在小明家的正东方，学校在外婆家的北偏西 40，外婆 家到学校与小明家到学校的距离相等，则学校在小明家的（D） A.南偏东 50 B.南偏东 40 C.北偏东 50 D.北偏东 40 2.(10 分)如图，某村准备在坡度为 i=11.5 的斜坡上栽树， 要求相邻两棵树之
8、间的水平距离为 5 m，则这两棵树在坡面上 的距离 AB 为 5 13 3 m （结果保留根号） 3.（10 分）在菱形 ABCD 中，AB=13，锐角 B 的正弦值 sinB= 5 13 ，则这个 菱形的面积为 65 . 4.(20 分)为方便行人横过马路， 打算修建一座高 5 m 的过街天桥.已知天桥的 斜面坡度为 11.5，计算斜坡 AB 的长度(结果取整数). 解：i= 1 1 5 . AC BC ,AC=5,BC=1.55=7.5. AB= 22 81 25.ACBC9(m). 5.(20 分)一轮船原在 A 处，它的北偏东 45方向上有一灯塔 P，轮船沿着北 偏西 30方向航行 4
9、 h 到达 B 处，这时灯塔 P 正好在轮船的正东方向上.已知轮 船的航速为 25 n mile/h，求轮船在 B 处时与灯塔的距离（结果可保留根号）. 解：过点 A 作 ACBP 于点 C.由题意知：BAC=30,CAP=45, AB=25 4=100. 在 RtABC 中，BC= 1 2 AB=50，AC= 3 2 AB=503. 在 RtACP 中，CP=AC=503. BP=BC+CP=50(3+1)(n mile). 二、综合应用（20 分） 6.(20 分)某型号飞机的机翼形状如图所示.根据图中数据计算 AC,BD 和 AB 的长度（结果保留小数点后两位）. 解：如图所示，在 Rt
10、BDE 中，BE=5.00，DBE=30, DE=BEtan30= 5 3 3 ,BD= 10 3 cos303 BE 5.77(m). 在 RtACF 中，CF=BE=5.00,FCA= 4 5 , AF=CF=5.00,AC=2CF=527.07(m). AB=BF-AF=DE+CD-AF= 5 3 3 +3.40-5.001.29(m). 三、拓展延伸（10 分） 7.(10 分)海中有一小岛 P， 在以 P 为圆心、 半径为 162 n mile 的圆形海域内有 暗礁，一艘船自西向东航行，它在 A 处时测得小岛 P 位于北偏东 60方向上, 且 A，P 之间的距离为 32 n mile.若轮船继续向正东方向航行,轮船有无触礁危险? 请通过计算加以说明.若有危险,轮船自 A 处开始至少沿东偏南 多少度的方向航行,才能安全通过这一海域? 解：如图，PAB=30,AP=32.PB= 1 2 AP=16(n mile). PB162n mile.轮船有触礁危险. 假设轮船沿东偏南恰好能安全通过，此时航线 AC 与P 相切，即 PC AC. 又AP=32，PC=162,PAC=45,=15. 轮船自 A 处开始至少沿东偏南 15 度方向航行,才能安全通过这一海域.
