1、1 2020-2021 学年奉贤区学科教学质量调研 高三数学（2021.4） （完卷时间（完卷时间 120120 分钟，满分分钟，满分 150150 分）分） 一填空题一填空题( (本大题满分本大题满分 5454 分）本大题共有分）本大题共有 1212 题，考生应在答题纸相应编号的空格内直接题，考生应在答题纸相应编号的空格内直接 写结果，写结果，1 1- -6 6 题每个空格填对得题每个空格填对得 4 4 分分, 7, 7- -1212 题每个空格填对得题每个空格填对得 5 5 分分) ) 1、 经过点2,4的抛物线 2 yax焦点坐标是_ 2、把一个表面积为16平方厘米实心铁球铸成一个底面半
2、径与球的半径一样的圆锥（假设 没有任何损耗） ，则圆锥的高是_厘米 3、 已 知 1 1 i z i （i是 虚 数 单 位 ） 是 方 程 2 10 xax aR的 一 个 根 ， 则 za_ 4、 已知各项为正的等差数列 n a的前n项和为 n S，若 2 576 0aaa，则 11 S=_ 5、已知某社区的家庭年收入的频率分布如下表所示，可以估计该社区内家庭的平均年收入 为_万元 家庭年收入 （以万元为单位） 4,5 5,6 6,7 7,8 8,9 9,10 频率f 0.2 0.2 0.2 0.26 0.07 0.07 6、某参考辅导书上有这样的一个题： 你对这个题目的评价是_（用简短语
3、句回答） 7、用 0、1 两个数字编码，码长为 4 的二进制四位数（首位可以是 0） ，从所有码中任选一 码，则事件1A 码中至少有两个的概率是_ 8、设 n S为正数列 n a的前n项和， 11nn SqSS ，1q ,对任意的1n，nN均有 +1 4 nn Sa ，则q 的取值为_ 9、函数3 31 x x a y 在0,内单调递增，则实数a的取值范围是_ 10、假如 1 n x x 的二项展开式中 3 x项的系数是84，则 1 n x x 二项展开式中系数最小 的项是_ 2 11、函数 2 cosf xx n (xZ)的值域有6个实数组成， 则非零整数n的值是_ 12、如图，已知P是半径
4、为 2 圆心角为 3 的一段圆弧AB上的一点， 若2ABBC，则PAPC的值域是_ 二选择题（本大题满分二选择题（本大题满分 20 分）本大题共有分）本大题共有 4 题，每题有且只有一个正确答案，考生应在题，每题有且只有一个正确答案，考生应在 答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得 5 分，否则一律零分分，否则一律零分 13、如图，PA面ABCD，ABCD为矩形，连接AC、BD、PB、PC、PD，下面各组向 量中，数量积不一定为零的是（ ） APC与BD BPB与DA CPD与AB DPA与CD 14、下列选项中，y可表示为x的函数
5、是（ ） A 2 30 y x B 2 3 xy Csin arcsinsinxy D 2 ln yx 15、已知 1 x、 2 x、 1 y、 2 y都是非零实数， 2 2222 12121122 x xy yxyxy成立的 充要条件是（ ） A 21 21 101 00 11 0 xx yy B 11 22 101 00 0 yx yx C 11 22 101 00 0 yx xy D 21 12 101 00 11 0 xx yy 16、设点A的坐标为ba,，O是坐标原点，向量OA绕着O点顺时针旋转后得到A O ， 则 A 的坐标为（ ） Acossinsincosabab， Bcoss
6、insabbcosa in， Csincoscossabab in， Dcosssincosba inba， 题图题图12 题图题图13 3 三解答题（第三解答题（第 17-19 题每题题每题 14 分，第分，第 20 题题 16 分，第分，第 21 题题 18 分，满分分，满分 76 分）分） 17、已知M、N是正四棱柱 1111 ABCDABC D的棱 11 BC、 11 C D的中点 异面直线MN与 1 AB所成角的大小为 10 arccos 10 （1） 、求证：M、N、B、D在同一平面上； （2） 、求二面角 1 CMNC的大小 18、设函数 lg 1 cos2cosf xxx，0,
7、 2 （1） 、讨论函数 yf x的奇偶性，并说明理由； （2） 、设0，解关于x的不等式 3 0 44 fxfx 19、假设在一个以米为单位的空间直角坐标系Oxyz中，平面xOy内有一跟踪和控制飞 行机器人T的控制台A，A的位置为0,200,170 上午 10 时 07 分测得飞行机器人T在 120,80,150P处,并对飞行机器人T发出指令:以速度 1 13v 米/秒沿单位向量 1 3 124 13 1313 d ， ，作匀速直线飞行（飞行中无障碍物） ，10 秒后到达Q点，再发出指令让 机器人在Q点原地盘旋2秒，在原地盘旋过程中逐步减速并降速到8米/秒，然后保持8米/ 秒，再沿单位向量
8、2 121 222 d ，作匀速直线飞行（飞行中无障碍物） ，当飞行机器 人T最终落在平面xOy内发出指令让它停止运动机器人T近似看成一个点 （1） 、求从P点开始出发 20 秒后飞行机器人T的位置； （2） 、求在整个飞行过程中飞行机器人T与控制台A的最近距离（精确到米） z x y A P O 题图题图19 4 20、曲线 22 1 1 xy a 与曲线 22 1 49 xy a 0a 在第一象限的交点为A曲线C是 22 1 1 xy a （1 A xx）和 22 1 49 xy a （ A xx）组成的封闭图形曲线C与x轴的左 交点为M、右交点为N （1） 、设曲线 22 1 1 xy
9、a 与曲线 22 1 49 xy a 0a 具有相同的一个焦点F，求线段AF 的方程； （2） 、在（1）的条件下，曲线C上存在多少个点S，使得NSNF，请说明理由 （3） 、设过原点O的直线l与以,0D t0t为圆心的圆相切，其中圆的半径小于 1，切点 为T直线l与曲线C在第一象限的两个交点为P、Q当 2 22 11 +=OT OPOQ 对任意直 线l恒成立，求t的值 21、设数列 n a满足， 1 1 1 sin cos nnnn n nnnn akaaa a akaaa ， 1nn aa ，设 1 aa， 2 ab （1） 、设 5 = 6 b ，k ，若数列的前四项 1 a、 2 a、
10、 3 a、 4 a满足 1423 a aa a，求a； （2） 、已知0k ，4n，nN，当0 2 a ，0 2 b ，ab时，判断数列 n a是 否能成等差数列，请说明理由； （3） 、设4a ，=7b，1k ，求证：对一切的1n，nN，均有 7 2 n a 5 2020-2021 高三数学二模参考答案 一、填空 1、 1 0, 4 2、8 3、1 4、22 5、6.51 6、无正确选择支，条件自相矛盾，是错题，无解（意思对即可） 7、 11 16 8、2 9、,4 10、 126 x 11、10, 11、 12、52 13,0 二、选择题 13、A 14、D 15、C 16、B 三、解答题
11、 17 （1）画出图 连接MN、DB、 11 D B M是棱 11 BC的中点、N是棱的 11 C D的中点， MN平行 11 D B DB平行 11 D B 所以MN平行DB M、N、B、D确定一个平面 即M、N、B、D在同一平面上 （2） 、 由（1）可知 11 AB D（或其补角）是异面直线MN与 1 AB所成的角 设底面ABCD的边长为a，正四棱柱高h 22 1 ABah， 22 1 ADah， 11 2BDa， 22222 11 22 210 cos 10 22 ahaah AB D aha ，解得2ha 取MN的中点O，因为CMCN， 11 C MC N， 则 1 ,COMN CO
12、MN， 1 COC是二面角 1 CMNC的平面角 1 2 4 C Oa， 1 Rt COC中， 1 1 1 2 tan4 2 2 4 CCa COC OC a 二面角 1 CMNC的大小为arctan4 2 18（1）根据对数有意义，得1 cos20 x，cos21x xkkZ 定义域关于原点对称， 当函数是偶函数，那么有 fxf x， lg 1 cos2coslog 1 cos2cosxxxx coscosxx 展开整理得2sin sin0 x对一切xkkZ恒成立， O 6 0,0 2 当函数是奇函数，那么任意定义域内 0 x有0 00 xfxf， 例如 4 0 x，0 44 ff ， lg
13、 1 cos()coscos 4244 f lg 1 coscos=cos 4244 f 0 44 ff ，推得cos0显然这样0 2 ，是不存在的， 所以当0, 2 时既不是奇函数又不是偶函数 说明假命题只能举反例 （2） 3 0 44 fxfx 代入得 33 lg 1 cos2coslg 1 cos2cos0 4444 xxxx 这一步没有分 3 lg 1 sin2coslg 1 sin2cos0 44 xxxx 化简coscos0 44 xx 展开整理得2coscos0 4 x 0, 2 cos0，所以cos0 4 x 112 2 cos0 4 , 4 3 4 x xkkZ kZ xk
14、， 所以不等式解集为 335 2,22,2, 4444 mmmmmZ 19、 （1）设飞行时间为t秒，T的位置xyz， ， 当010t 时，13v 11 ,13PTdt， 3 124 150,80,12013, 13 1313 xyzt 当010t 时，所以 1503 80 12 1204 xt yt zt 10t 得180 200,80Q， 7 当1012t 时180 200,80Q， 当1232t 时 22 ,812QTdt， 121 180,200,80812, 222 xyzt 所以 1804121324 2004 21220048 24 2 804121284 xtt ytt ztt
15、 20t 秒后飞行机器人T的位置 212,20032 2,48 （2）当010t 时 222 150317080 122001204ATttt 2 169369029200ATtt定义域内单调递减 min 10,10 6581tATAQ 当1012t 时 min 10 6581ATAQ 当1232t 时 1324 20048 24 2 ,1284Tttt， 2 22 132417020048 24 22001284ATttt 2 22 43848 24 21284ATttt 2 64209622436ATtt 2 131 645275 8 ATt min 16.375,73tAT 答：在整个行
16、驶过程中飞行机器人T与控制台A的最近距离73米 20、 （1）线段AF的方程 420 7 5 335 yxx 7 24 , 55 A ， 5,0F ，线段 AF的方程 37 55 45 yxx （2）方法一：7,0N，2NF 假设点S在曲线 22 1 124 xy 上 22 222 7 77241251450 1 5 SNxyxxxxx 单调递增 6SN 8 所以点S不可能在曲线 22 1 124 xy 上 所以点S只可能在曲线 22 1 4924 xy 上，根据NFNS得 2 2 22 74 1 4924 xy xy 可以得到 16148 , 2525 S 当 F 左焦点，12NF ,同样这
17、样的S使得NFNS不存在 所以这样的点S一共 2 个 （3）设直线方程ykx，圆方程为 2 22 01xtyrr 直线与圆相切，所以 22 1 kt r k 1 2 2 222 2 k t DTODOTOT 2 2 2 2 1 P ykx a x y akx a ， 2 2 222 11 11 P ak kxka OP 2 2 2 2 49 49 1 49 Q ykx a x xy ak a ， 2 2 222 1149 1491 Q ak kxka OQ 22 22 22 1149 1491 akak kaka OPOQ 22 22 14950 491491 akak aakk 根据 2 2
18、2 11 +=OT OPOQ 得到 2 505 2 497 tt 补充说明：由于直线的曲线有两个交点，受参数a的影响，蕴含着如下关系， 2 22 2 2 5050124 1,0 4914917 1200 1, 117649 ka rk kk a rTT a 当，存在否则不存在 这里可以不需讨论，因为题目前假定直线与曲线 C 有两个交点的大前提，当共焦点时 24 2 0,0,1 35 r 存在2 7 5 t 24 2 1 35 r ，不存在 21、 （1）当ab时， 322 5 sin 623 aaa ， 433 cos 326 aaa 根据条件得 1423 5 3 a aa aa 当ab时，
19、322 53 3 53 cos 626 aaa ， 0 6 )335( sin 34 aa 9 所以 34 aa ， 3 4 1 a a 根据条件得 3 142322 4 , a a aa aaaa a 与ab不符合，舍去 所以 5 3 a （2）假设数列 n a成等差数列，设公差为d 因为ab，所以 21 0 2 daaba ，则 n a是单调递增的正数列 因此 1 sin nnn daaka ， 211 sin nnn daaka 所以 1 sinsin nn aa 得到Zmmmaa nn , 0,2 1 （舍去）或者 1 2,0, nn aammmZ 从而 12 2,0, nn aall
20、lZ lm 推得 2 =22 , nn aalmddlm 与 1 0 2 nn daa ，矛盾 所以数列不可能成等差数列 （3）设4a ，=7b，1k 得到 3 7 =7+sin78 2 a 得到 433 7 =+sin=7+sin7+sin 7+sin79 2 aaa 假设数列 n a中有不小于 7 2 的项，设 k a是第一个不小于 7 2 的项，(4,kkN)， 即 1 7 2 kk aa 根据运算性质可以得 1 1 1 sin cos nnn nn nnn aaa aa aaa ， 即数列中的任何相邻两项的差都不大于 1， 因此 1 77 31 22 k a ，即 1 7 3 , 2 k a ， 而在这个区间中 11 sin0,cos0 kk aa ，从而 112 1 112 sin 0 cos kkk kk kkk aaa aa aaa ， 得到 1 7 3 , 2 kk aa 产生矛盾 所以对一切的nN，均有 7 2 n a
