1、 虹口区高三数学 本卷共 4 页 第 1 页 虹口区 2020-2021 第二学期期中学生学习能力诊断测试 高三数学 试 卷 （时间 120 分钟，满分 150 分） 2021.4 一填空题（一填空题（16 题每小题题每小题 4 分，分，712 题每小题题每小题 5 分，本大题满分分，本大题满分 54 分）分） 1已知集合RxyyA x ,10，21 2 xxyyB，则BA 2 13 13 lim n n n _. 3在 6 ) 1 ( x x的二项展开式中，常数项是 4某班级要从 4 名男生和 3 名女生中选取 3 名同学参加志愿者活动，则选出的 3 人中既 有男生又要有女生的概率等于 5给
2、出下列命题： 若两条不同的直线垂直于第三条直线，则这两条直线互相平行； 若两个不同的平面垂直于一条直线，则这两个平面互相平行； 若一条直线平行于一个平面，另一条直线与这个平面垂直，则这两条直线互相垂直 其中所有正确命题的序号为 6 已知P为抛物线)0(2: 2 ppxyC上一点， 点P到抛物线C的焦点的距离为 7， 到y 轴的距离为 5，则p 7若cossink，则cossin的值等于 （用k表示） 8 设 函 数)(xf的 定 义 域 为D. 若 对 于D内 的 任 意 1 x, 2 x)( 21 xx ， 都 有 0)()()( 1212 xfxfxx， 则称函数)(xf为 “Z 函数”
3、.有下列函数： 1)(xf； 12)(xxf； 3 )(xxf；xxflg)(.其中“Z 函数”的序号是 （写出所有的正确序号） 9 已知直三棱柱的各棱长都相等， 体积等于18( 3 cm) 若该三棱柱的所有顶点都在球O的 表面上，则球O的体积等于_( 3 cm). 10 在 平 面 直 角 坐 标 系xOy中 ， 定 义),( 11 yxA，),( 22 yxB两 点 的 折 线 距 离 2121 ),(yyxxBAd.设点),( 22 nmP，),(nmQ，)0 , 0(O，)0 , 2(C，若1),(OPd， 则),(CQd的取值范围 虹口区高三数学 本卷共 4 页 第 2 页 11 已
4、 知MN为 圆1 22 yx的 一 条 直 径 ， 点),(yxP的 坐 标 满 足 不 等 式 组 2 0103 02 y yx yx ，则PNPM 的取值范围是 12在数列 n a中，对任意 Nn， kan，当且仅当Nkn kk ,22 1 ，若满足 52 16842 mmmmm aaaaa，则m的最小值为_. 二选择题（每小题二选择题（每小题 5 分，满分分，满分 20 分）分） 13双曲线1 3 2 2 y x的两条渐近线的夹角的大小等于（ ） . A 6 .B 3 .C 3 2 .D 6 5 14已知函数 )2sin(2)(xxf ，则“ 2 ”是“)(xf为偶函数”的（ ）条件 .
5、 A充分非必要条件 .B 必要非充分条件 .C充要条件 .D既非充分也非必要条件 15复数z满足1z，且使得关于x的方程0 2 zxzx有实根，则这样的复数z的个数 为（ ） . A 1 个 .B2 个 .C 3 个 .D4 个 16在平面上，已知定点)0 ,2(A，动点)cos,(sinP当在区间 4 , 4 上变化时， 动线段AP所形成图形的面积为（ ） . A 4 2 .B 3 3 .C 6 .D 4 三解答题（本大题满分三解答题（本大题满分 76 分）分） 17（本题满分 14 分.第（1）小题 7 分，第（2）小题 7 分.） 在三棱锥ABCP中，22ACPCPBPA，2 BCBA，
6、O是线段AC的 中点，M是线段BC的中点 （1）求证：PO平面ABC； （2）求直线PM与平面PBO所成的角的大小 虹口区高三数学 本卷共 4 页 第 3 页 18（本题满分 14 分.第（1）小题 7 分，第（2）小题 7 分.） 设0a且1a，Rt，已知函数)2(log2)(),1(log)(txxgxxf aa （1）当1t时，求不等式)()(xgxf的解； （2）若函数12)( 2)( ttxaxF xf 在区间2 , 1上有零点，求t的取值范围 19（本题满分 14 分.第（1）小题 6 分，第（2）小题 8 分.） 如图某公园有一块直角三角形ABC的空地，其中 2 ACB， 6 A
7、BC，AC长a 千米， 现要在空地上围出一块正三角形区域DEF建文化景观区， 其中D、E、F分别在BC、 AC、AB上设DEC. （1）若 3 ，求DEF的边长； （2）当多大时，DEF的边长最小？并求出最小值. 虹口区高三数学 本卷共 4 页 第 4 页 20（本题满分 16 分.第（1）小题 4 分，第（2）小题 6 分，第（3）小题 6 分） 已知椭圆C的方程为1 2 2 2 y x . （1）设),( MM yxM是椭圆C上的点，证明：直线1 2 yy xx M M 与椭圆C有且只有一个 公共点； （2）过点)21 ( ，N作两条与椭圆只有一个公共点的直线，公共点分别记为A、B，点N
8、在直线AB上的射影为点Q，求点Q的坐标； （3）互相垂直的两条直线 1 l与 2 l相交于点P，且 1 l、 2 l都与椭圆C只有一个公共点，求 点P的轨迹方程 21（本题满分 18 分.第（1）小题 4 分，第（2）小题 6 分，第（3）小题 8 分）. 若数列 n a满足“对任意正整数i，j，ji ，都存在正整数k，使得 jik aaa”，则 称数列 n a具有“性质P” （1）判断各项均等于a的常数列是否具有“性质P”，并说明理由； （2）若公比为2的无穷等比数列 n a具有“性质P”，求首项 1 a的值； （3）若首项2 1 a的无穷等差数列 n a具有“性质P”，求公差d的值. 虹口
9、区高三数学 本卷共 4 页 第 5 页 虹口区 2020-2021 第二学期期中学生学习能力诊断测试 高高三数学三数学试题答案试题答案 一一. 填空题（填空题（16 题每小题题每小题 4 分，分，712 题每小题题每小题 5 分，本大题满分分，本大题满分 54 分）分） 1. 4 , 1； 2. 1； 3. 20； 4. 7 6 ； 5. ； 6. 4； 7. 2 1k k ； 8. ； 9. 3 728 ； 10. 22 , 1 ； 11. 19, 1； 12. 512； 二二. 选择题（每小题选择题（每小题 5 分，满分分，满分 20 分）分） 13.B； 14.A； 15.C； 16.D
10、； 三三. 解答题（本大题满分解答题（本大题满分 76 分）分） 17.（14 分）解:（1）由2 BCBA，22AC，有 222 BABCAC，从而有 2 ABC ， BOAC 且2BO .3 分 又PAC是边长等于2 2的等边三角形， ACPO，6PO .又2 2PB ， 从而有 222 PBPOBO ， 2 POB ，BOPO.又OBOAC，PO平 面ABC.7 分 （2）过点M作BOMN 交BO于点N，连PN. 由（1）知PO平面ABC，得POMN ，又BOMN ，MN 平面ABC，MPN是直线PM与平面PBO所成的角.10 分 由 （ 1 ） 证B OA C， 从 而N为 线 段BO
11、的 中 点 ， 2 2 4 1 2 1 ACOCMN，71)22( 222 MCPCPM， 14 14 7 2 2 sin PM MN MPN， 14 14 arcsinMPN. 所以直线PM与平面PBO所成的角的大小等于 14 14 arcsin.14 分 注：用空间向量解答的相应给分 虹口区高三数学 本卷共 4 页 第 6 页 18.（14 分）解：(1)1t，不等式)()(xgxf可化为) 12(log2) 1(logxx aa 若10a，则 012 ) 12(1 2 x xx ，解得 4 5 2 1 x，不等式)()(xgxf的解集为 4 5 2 1 ，. 若 1a，则 012 ) 1
12、2(10 2 x xx ，解得 4 5 x，不等式)()(xgxf的解集为 , 4 5 . 综上所述：10a，)()(xgxf的解集为 4 5 2 1 ，；1a，)()(xgxf的解集为 , 4 5 .7 分 （2）2212112)( 222)( txtxttxxttxaxF xf .8 分 令022 2 txtx，即)2()2( 2 xxt，2 , 1x，4 , 12x， 02, 0 2 xt；4 2 2 )2( 2 21 2 x x x x t .11 分 设4 , 12 xm，4) 2 ( 2 21 2 m m x x t ， 得：224 1 00 1 2 1 tt 或， 解得 4 22
13、 2 tt或.14 分 19.（14 分）解：（1）设DEF的边长为x千米. 由 3 ，得xCE 2 1 ，xaAE 2 1 . 在AEF中， 33 FEA， 3 A，AEF为等边三角， 得xaxAE 2 1 ,解得ax 3 2 . 所以DEF的边长等于a 3 2 千米. 6 分 （2）设DEF的边长为x千米. cosxCE ，cosxaAE8 分 虹口区高三数学 本卷共 4 页 第 7 页 在AEF中， 3 2 FEA， 3 A，EFA， sin cos 3 sin xax ，解得 ) 2 3 arctansin(7 3 )cos 7 3 sin 7 2 (7 3 cos3sin2 3 aa
14、a x，当 22 3 arctan ， 2 3 arctan 2 时， 7 21 7 3 min aa x.13 分 所以当 2 3 arctan 2 时，DEF的边长取得最小值为 7 21a 千米.14 分 20. （16 分） 解： 解： （1） 当0 M y时，2 M x， 直线1 2 yy xx M M 即直线2x， 与椭圆C只有一个公共点. 当0 M y时 ， 由 1 2 1 2 2 2 y x yy xx M M 得01 1 ) 42 1 22 2 2 2 MM M M M y x y x x y x （， 2 22 22 2 4 2 22 ) 1 1 )( 42 1 (4 M M
15、M MM M M M y xy yy x y x ，又1 2 2 2 M M y x ，有0，从而方 程组只有一组解，直线1 2 yy xx M M 与椭圆C的有且只有一个公共点.4 分 （2）设),( 11 yxA，),( 22 yxB.则两条直线为1 2 1 1 yy xx ，1 2 2 2 yy xx ，又)21 ( ，N 是它们的交点，12 2 1 1 y x ，12 2 2 2 y x ，从而有),( 11 yxA，),( 22 yxB的坐标满足 直线方程12 2 y x ，所以直线AB：12 2 y x .8 分 直线NQ的方程为) 1(222xy，由 ) 1(222 12 2 x
16、y y x 解得 3 2 3 2 y x ，即 ) 3 2 , 3 2 (Q，10 分 虹口区高三数学 本卷共 4 页 第 8 页 由 1 2 ) 1(2 2 2 y x xky 得02)2(2)2(4) 12( 222 kxkkxk，由0，得 0122 2 kk，得32 k，相应的给分） （3）设),( 00 yxP. 当直线 1 l与 2 l有一条斜率不存在时，) 1,2(P，3 2 0 2 0 yx.11 分 当 直 线 1 l与 2 l的 斜 率 都 存 在 时 ， 设 为 1 k和 2 k， 由 1 2 )( 2 2 00 y x xxkyy 得 0) 12(2)(4)21 ( 00
17、 2 0 2 0 2 00 22 ykxyxkxkxykxk， 由0) 12(2)21 (4)(4 00 2 0 2 0 222 00 ykxyxkkkxyk，整理得 012)2( 2 000 22 0 ykyxkx，2 2 0 x， 1 k和 2 k是 这 个 方 程 的 两 个 根 ，有 1 2 1 2 0 2 0 21 x y kk，得3 2 0 2 0 yx， 所以点P的轨迹方程是3 22 yx.16 分 21. （18 分） 解： （1） 若数列 n a具有 “性质P” ， 由已知对于任意正整数i，j，ji ， ， 都存在正整数k，使得 jik aaa，所以 2 aa ,解得0a或1
18、a.3 分 所以当0a或1a时，常数数列满足“性质P”的所有条件，数列具有“性质P”； 当0a且1a时，数列 n a不具有“性质P”.4 分 （2）对于任意正整数i，j，ji ，存在正整数k，使得 jik aaa，即 1 1 1 1 1 1 222 jik aaa， jik a 1 1 2，令Zmjik1，则 m a2 1 .6 分 当1m且Zm时，则 11 1 22 nmn n aa，对任意正整数i，j，ji ，由 jik aaa得 111 222 jmimkm ,得1mjik，而1mji是正整数，所以存 在正整数1mjik使得 jik aaa成立,数列具有“性质P”.8 分 当2m且Zm时
19、，取2, 1ji，则021mmji，正整数k不存在， 数列不具有“性质P”. 综上所述 m a2 1 ，1m且Zm.10 分 （3）dnan) 1(2.对于任意的正整数n,存在整数k，使得 nk aaa 1 得 虹口区高三数学 本卷共 4 页 第 9 页 12 2 nk d.12 分 对于任意的正整数n,存在整数 1 k和 2 k，使得 nk aaa 1 1 ， nk aaa 2 2 ，两式相减得 dkkdan)( 12 . 当0d时，显然不合题意. 当0d时，得 12 kkan，是整数，从而得到公差d也是整数.14 分 若0d时，此数列是递减的等差数列，取满足 2)( 0 1 2 aa a m m 正整数m，解得 1 22 1 2 d m d m ，由 1 2 1 aaaa mmm ，所以不存在正整数k使得 kmm aaa 1 成立.从 而0d时，不具有“性质P”.16 分 当1d时， 数列 2， 3， 4， ，1n， ， 对任意正整数i，j，ji ， 由 jik aaa 得) 1() 1(1jik,得jijik， 而jiji是正整数， 从而数列具有 “性质P” . 当2d时，数列 2，4，6，n2，对任意正整数i，j，ji ，由 jik aaa 得jik222,得jik 2，而ji2是正整数，从而数列具有“性质P”. 综上所述1d或2d.18 分
