1、D6 联考数学试题 第 1 页（共 9 页） 江苏省六校联合 2021 届高三第四次适应性考试 数学 命题：徐州一中高三数学组、兴化中学高三数学组、淮阴中学高三数学组 审核：盐城中学高三数学组、南京十三中高三数学组、泗阳中学高三数学组2021.4 注意事项： 1答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如 需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写 在本试卷上无效。 3考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。
2、在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的。 1已知向量集合|(1 2)(3 4)MR ,a a ，|( 22)(4 5)N R ,a a ， 则MN A(1 2) ,B( 22), C(1 2) ( 22) ,D 2十六进制是一种逢16进1的计数制我国曾在重量单位上使用过十六进制，比如成语“半 斤八两” ，即十六两为一斤在现代，计算机中也常用到十六进制，其采用数字09和字 母AF共16个计数符号这些符号与十进制的数的对应关系如下表： 十六进制0123456789ABCDEF 十进制0123456789101112131415 例如，用十六进制表示： ED1B，则AB A 6EB72
3、C 5FDBD 3正三棱柱PABC的高为2，侧棱与底面ABC成45角，则点A到侧面PBC的距离为 A3B2 3C 3 5 5 D 6 5 5 4用有机溶剂萃取水溶液中的溶质是化学中进行物质分离与提纯的一种重要方法根据能斯 特分配定律，一次萃取后，溶质在有机溶剂和水中的物质的量浓度（单位： mol/L）之比 为常数K， 并称K为该溶质在水和有机溶剂中的分配常数 现用一定体积的有机溶剂进行 n次萃取，每次萃取后溶质在水溶液中的残留量为原物质的量的 10 10K 倍，溶质在水溶液 中原始的物质的量浓度为 1.0mol/L，该溶质在水和有机溶剂中的分配常数为20，则至少 经过几次萃取，溶质在水溶液中的
4、物质的量浓度低于 5 1.0 10mol/L ？（假设萃取过程中 水溶液的体积不变参考数据： ln31.099， ln102.303 ） A9次B10次C11次D12次 D6 联考数学试题 第 2 页（共 9 页） 5 6103 4 1 (1) (1)x x 展开式中的常数项为 A1B46C4245D4246 6学校组织开展劳动实践，高二某班15名学生利用假期时间前往敬老院、消防队等场所劳动 服务经统计，该15名学生的劳动服务时长平均为20小时，标准差为s后来经核实， 发现统计的甲、乙两名同学的劳动服务时长有误甲同学的劳动服务时长实际为20小时， 被误统计为15小时；乙同学的劳动服务时长实际为
5、18小时，被误统计为23小时更正后 重新计算，得到标准差为 1 s，则s与 1 s的大小关系为 A 1 ssB 1 ssC 1 ssD无法判断 7已知向量 ae， |1e，且对任意tR， |taeae恒成立，则 AaeB()aae C()eaeD()()aeae 8 在平面直角坐标系xOy中， 点A是抛物线 2 2(0)ypx p上的一点， 以抛物线的焦点F为 圆心， 以FA为半径的圆交抛物线的准线于B，C两点，ABC的面积为128 3 ， 记BFC， 若 2 2sinsin23cossin，则p的值为 A4B8C4 2D8 2 二、选择题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。在每
6、小题给出的选项中，有多项符合题 目要求。全部选对的得 5 分，部分选对的得 2 分，有选错的得 0 分。 9已知，是两个不同的平面，m，n是两条不同的直线，下列说法正确的是 A “经过两条平行直线，有且仅有一个平面”是空间图形的基本事实（公理）之一 B “若/，m，则/m”是平面与平面平行的性质定理 C “若/mn，m，n，则/m”是直线与平面平行的判定定理 D若/，/m，/mn，n，则/n 10若 0 x， 0y，且xyxy，则 A 4xyB 2xy C 252 6xyxyD 24 64 2 11 xy xy 11已知椭圆 1 C： 22 22 1(0) xy ab ab 的左右焦点分别为
7、1 F， 2 F，离心率为 1 e，上顶点为P， 且 12 PFF的面积为 2 b双曲线 2 C与椭圆 1 C的焦点相同，且 2 C的离心率为 2 e，M为 1 C与 2 C的一个公共点，若 12 3 FMF，则 A 2 1 3 e e B 1 2 3 4 ee C 22 12 2eeD 22 21 5 8 ee D6 联考数学试题 第 3 页（共 9 页） 12设函数 3 2 ln2 ( )ln e x xax f xbx ，下列说法正确的是 A若0ab，( )f x是奇函数 B若1a ，0b ，( )f x在 3 () 2 , 单调递减 C若0a ，1b ，( )f x在(1) ,有且仅有
8、一个零点 D若 0a， 0b， 1212 12 1212 ()()()() (1) f xf xf xf x xx xxxx 三、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。 13国际象棋中骑士（Knight）的移动规则是沿着3 2格或2 3 格的对角移动 若骑士限制在图中的3412格内按规则移 动，存在唯一一种给方格标数字的方式，使得骑士从左上角 标1的方格内出发，依次不重复经过2，3，4，到达右 下角标12的方格内，那么图中X处所标的数应为_ 14写出一个使得 23 0成立的非零复数_ 15已知数列 n a为正项数列， 1 1a ， n S为 n a的前n项和，且满足 2 1
9、1 nnn SaS ，则分 别以1， n S， 1n a 为三边边长的三角形有一内角为定值_， n a的通项公式为 _ （本题第一空 2 分，第二空 3 分 ） 16在长方体 1111 ABCDABC D中，13AB ，5AD ， 1 12AA ，过点A且与直线CD平行 的平面将长方体分成两部分现同时将两个球分别放入这两部分几何体内，则在平面 变化的过程中，这两个球的半径之和的最大值为_ 四、解答题：本题共 6 小题，共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17 （10 分） 设 n a是集合22 |0 ts sts tZ 且,中所有的数从小到大排列成的数列，即 1 3a ，
10、2 5a ， 3 6a ， 4 9a ， 5 10a ， 6 12a ，将 n a各项按照上小下大、左小右大的原则 写成如下的三角形数表 3 56 910 12 （1）写出该三角形数表的第四行、第五行各数（不必说明理由） ，并求 100 a； （2）设 n b是该三角形数表第n行的n个数之和所构成的数列，求 n b的前n项和 n S 1 X 312 D6 联考数学试题 第 4 页（共 9 页） 18 （12 分） 如图，在水平桌面上放置一块边长为1的正方形薄木板 ABCD先以木板的AD边为轴，将木板向上缓慢转动，得到平 面 11 ABC D， 此时 1 B AB的大小为 (0) 2 再以木板的
11、 1 AB 边为轴， 将木板向上缓慢转动， 得到平面 121 ABC D， 此时 211 C BC 的大小也为 （1）求整个转动过程木板扫过的体积； （2）求平面 121 ABC D与平面ABCD所成锐二面角的余弦值 19 （12 分） 在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，(3cos)tansin 2 B AA，ABC 的周长为8 （1）求b； （2）求ABC面积的最大值 20 （12 分） 郑州中原福塔的外立面呈双曲抛物面状，造型优美，空中俯瞰犹 如盛开的梅花绽放在中原大地，是现代建筑与艺术的完美结合双曲 抛物面又称马鞍面，其在笛卡儿坐标系中的方程与在平面直角坐标系 中的双曲线
12、方程类似双曲线在物理学中具有很多应用，比如波的干 涉图样为双曲线、反射式天文望远镜利用了其光学性质等等 （1）已知A，B是在直线l两侧且到直线l距离不相等的两点，P 为直线l上一点试探究当点P的位置满足什么条件时，|PAPB取 最大值； （2）若光线在平滑曲线上发生反射时，入射光线与反射光线关于 曲线在入射点处的切线在该点处的垂线对称证明：由双曲线一个焦 点射出的光线，在双曲线上发生反射后，反射光线的反向延长线交于 双曲线的另一个焦点 D6 联考数学试题 第 5 页（共 9 页） 21 （12 分） 已知函数 2 2 ( )ln (1) 1 x f xx x （1）求( )f x的单调区间；
13、（2）若不等式 1 (1)e n a n 对任意 * nN恒成立，求a的取值范围 22 （12 分） 品酒师需定期接受酒味鉴别功能测试， 通常采用的测试方法如下： 拿出 * (4)n nnN 且瓶 外观相同但品质不同的酒让品酒师品尝，要求其按品质优劣为它们排序；经过一段时间，等其 记忆淡忘之后，再让其品尝这n瓶酒，并重新按品质优劣为它们排序这称为一轮测试，根据 一轮测试中的两次排序的偏离程度的高低为其评分现分别以 1 a， 2 a， 3 a， n a表示第一 次 排 序 时 被 排 在1，2，3， ，n的n种 酒 在 第 二 次 排 序 时 的 序 号 ， 并 令 123 |1|2|3| n
14、Xaaana ，则X是对两次排序的偏离程度的一种描述 （1）证明：无论n取何值，X的可能取值都为非负偶数； （2）取4n ，假设在品酒师仅凭随机猜测来排序的条件下， 1 a， 2 a， 3 a， 4 a等可能地为 1，2，3，4的各种排列，且各轮测试相互独立 求X的分布列和数学期望； 若某品酒师在相继进行的三轮测试中，都有2X ，则认为该品酒师有较好的酒味鉴别 功能求出现这种现象的概率，并据此解释该测试方法的合理性 数学试题评分参考 第 6 页（共 9 页） 江苏省六校联合 2021 届高三第四次适应性考试 数学试题评分参考 一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题
15、给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的。 1B2A3D4C5D6C7C8B 二、选择题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题 目要求。全部选对的得 5 分，部分选对的得 2 分，有选错的得 0 分。 9CD10ACD11AC12BC 三、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。 13814 13 i 22 （或 13 i 22 ） 15 3 （2 分） 22 3 1 4sin ( ) 32 n n a （3 分）16172 30 四、解答题：本题共 6 小题，共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17 （10
16、 分） （1）第四行：17182024，（1 分） 第五行：3334364048，（2 分） 在该三角形数表中第t行中有t个数，其中第1s 个数为22 ts ，（4 分） 设 00 100 22 ts a，则 0000 00 0 (11)(1)(1) 100 22 (11)(1) 1001 2 ttt t tt s ，解得 0 0 14 8 t s ， 从而 148 100 2216640a（6 分） （2） 0121 1(1 2 ) 2(2222)2(1)21 1 2 n nnnn n bnnn ，（8 分） 故 123 2 23 24 2(1) 2n n Snn ， 2341 22 23
17、24 2(1) 22 n n Snn ， 从而 1 11 4(12) (1) 242 12 n nn n Snnnn （10 分） 考生若有其它解法，应给予充分尊重，并参照本标准评分 18 （12 分） （1）整个转动过程木板扫过的几何体由两个底面为圆心角为，半径为1的扇形，高为1的 直棱柱组成，（2 分） 故其体积 2 2 ( 11) 2 V （4 分） （2）以A为坐标原点，DA 方向为x轴正方向， 1 AB 方向为y轴正方向，建立如图所示的 数学试题评分参考 第 7 页（共 9 页） 空间直角坐标系Axyz， 则(0 0 0)A , ,，(0 cossin )B ,，( 1 0 0)D
18、, ,， 1(0 1 0) B , ,， 1( cos 0 sin )D , ,， (0 cossin )AB ,，( 1 0 0)AD , ,， 1 (0 1 0)AB , ,， 1 ( cos0 sin )AD , ,，（6 分） 设()x y z , ,n 是平面ABCD的一个法向量，则 0 0 AB AD n n ，即 cossin0 0 yz x ，不妨令siny， 可取(0 sincos ) ,n，（8 分） 同理平面 121 ABC D的一个法向量(sin0 cos ) , ,m，（10 分） 设平面 121 ABC D与平面ABCD所成锐二面角为， 则 2 2 2222 cos
19、 coscoscos sincossincos ,n m ， 所以平面 121 ABC D与平面ABCD所成锐二面角的余弦值为 2 cos（12 分） 考生若有其它解法，应给予充分尊重，并参照本标准评分 19 （12 分） （1）因为(3cos)tansin 2 B AA，所以 2 (3cos)2sincossin2cos 222 BBB AA， 所以sin(3cos)sin(1cos)BAAB，（2 分） 化简得3sinsinsincossincossinsin()BABAABAAB， 又因为ABC，故3sinsinsin()sinsinBAABAC，（4 分） 在ABC中，由正弦定理得 s
20、insinsin abc ABC ，故3bac， 从而48abcb，即2b （6 分） （2）由于 62acac，所以 9ac，当且仅当3ac时等号成立，（7 分） 而 1 sin 2 ABC SacB ，在ABC中，由余弦定理得 222 cos 2 acb B ac ，（9 分） 故 222 2222222222 111 sin(1 cos)1 () 4442 ABC acb Sa cBa cBa c ac 22 222 1()2 1 () 8648 42 acacb a cac ac ， 所以 2 2 ABC S，故ABC面积的最大值为2 2（12 分） 考生若有其它解法，应给予充分尊重，
21、并参照本标准评分 20 （12 分） （1）不妨设A点到直线l的距离比B点到直线l的距离大，作A点 关于直线l的对称点 A 当l为APB的平分线时， A ，B，P三点共线， 故PAPBPAPBA B， 数学试题评分参考 第 8 页（共 9 页） 当l不是APB的平分线时，取这样的点 P ，则 A ，B， P 能构成一个三角形， 故 P AP BP AP BA B ， 因此，当且仅当P的位置使得l为APB的平分线时，|PAPB取最大值 （4 分） （2）不妨设双曲线的焦点在x轴上，半实轴长为a，左右焦点分别为 1 F， 2 F，入射光线 1 l 从 2 F出射，入射点Q，反射光线 2 l，双曲线
22、在Q点处的切线 3 l， 3 l在Q点处的垂线 4 l， 由光的反射定律， 1 l， 2 l关于 4 l对称，故 1 l， 2 l关于 3 l对称， 要证：反射光线 2 l过点 1 F， 只要证： 3 l是 12 FQF的角平分线，（7 分） 定义双曲线焦点所在区域为双曲线的内部，渐近线所在区域为双曲线的外部， 由双曲线的定义， 12 2FQF Qa， 对于双曲线内部的一点 Q 有 12 |2FQF Qa， 对于双曲线外部的一点 Q 有 12 |2FQF Qa，（9 分） （命题：淮阴中学-朱振东 兴化中学-姚楷 徐州一中-赵嘉钰） 又 3 l是双曲线在Q点处的切线，故在 3 l上有且仅有一点
23、Q使得 12 2FQF Qa， 3 l上其他点 Q 均有 12 2FQF Qa， 故Q是 3 l上唯一使得 12 FQF Q取最大值的点，（11 分） 又 1 F， 2 F到直线 3 l距离不相等，根据（1）中结论，可知 3 l是 12 FQF的角平分线， 故反射光线 2 l过点 1 F，命题得证（12 分） 考生若有其它解法，应给予充分尊重，并参照本标准评分 21 （12 分） （1）( )f x的定义域( 1) ,， 22 22 2ln(1)22(1)ln(1)2 ( ) 1(1)(1) xxxxxxx fx xxx ，（1 分） 令 2 ( )2(1)ln(1)2g xxxxx，( 1)
24、x ,，( )2ln(1)2g xxx ， （2 分） 令( )2ln(1)2h xxx，( 1)x ,， 2 ( )2 1 h x x ，当 10 x 时， ( )0h x，当 0 x时， ( )0h x，（3 分） 所以( )h x在( 1 0) ,单调递增，在(0) ,单调递减， 又(0)0h，故 ( )0h x，即当 1x时， ( )0g x， 所以( )g x在( 1) ,单调递减，（4 分） 于是当 10 x 时， ( )(0)0g xg，当 0 x时， ( )(0)0g xg， 所以当 10 x 时， ( )0fx，当 0 x时， ( )0fx， 所以( )f x的单调递增区间为
25、( 1 0) ,，单调递减区间为(0) ,（6 分） （2）不等式 1 (1)e n a n * ()nN等价于 1 ()ln(1)1na n ， 又 1 11 n ，故 1 1 ln(1) an n ，（8 分） 数学试题评分参考 第 9 页（共 9 页） 设 11 ( ) ln(1) x xx ，(0 1x ,， 22 2222 (1)ln (1)( ) ( ) (1)ln (1)ln (1) xxxf x x xxxxx ， 又 ( )(0)0f xf，故当(0 1x ,时， ( )0 x，（10 分） 所以( ) x在(0 1 ,单调递减，于是 1 ( )(1)1 ln2 x，故 1
26、1 ln2 a， 所以a的取值范围为 1 (1 ln2 ,（12 分） 考生若有其它解法，应给予充分尊重，并参照本标准评分 22 （12 分） （1）首先有 123 |1|2|3|0 n Xaaana，（1 分） 取绝对值不影响数的奇偶性，故 123 |1|2|3| n Xaaana 与 123 123 n aaana 的奇偶性一致，而 123123 123(123)()0 nn aaananaaaa为偶数， 故X的可能取值都为非负偶数（3 分） （2）由（1）知当4n 时，X的可能取值为0，2，4，6，8， 4 4 11 (0) A24 P X ， 1 3 4 4 C1 (2) A8 P X
27、 ， 11 42 4 4 CC17 (4) A24 P X ， 1111 2222 4 4 CCCC13 (6) A8 P X ， 1 2 4 4 C1 11 (8) A6 P X ， 所以X的分布列为 X02468 P 1 24 1 8 7 24 3 8 1 6 （8 分） 从而X的数学期望 11731 ()024685 2482486 E X （9 分） 记“在相继进行的三轮测试中都有2X ”为事件A， “在某轮测试中有2X ” 为事件B，则 111 ( )(0)(2) 2486 P BP XP X，（10 分） 又各轮测试相互独立， 1111 ( )()( ) ( ) ( ) 666216 P AP BBBP B P B P B，（11 分） 因为( )P A表示仅凭随机猜测得到较低偏离程度的结果的概率， 而 1 ( )0.0046 216 P A ，该可能性非常小，所以我们可以认为该品酒师确实有较 好的酒味鉴别能力，而不是靠随机猜测，故这种测试方法合理（12 分） 考生若有其它解法，应给予充分尊重，并参照本标准评分
