2021年北京市海淀区高考数学一模试卷.docx

1、第 1页（共 21页） 2021 年北京市海淀区高考数学一模试卷年北京市海淀区高考数学一模试卷 一、选择题共一、选择题共 10 小题，每小题小题，每小题 4 分，共分，共 40 分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题 目要求的一项。目要求的一项。 1 （4 分）已知集合1A ， |Bx x a若ABB ，则实数a的取值范围是() A(,1)B(，1C(1,)D1，) 2 （4 分）如图，在复平面内，复数z对应的点为P则复数 z i 的虚部为() A1B1C2D2 3 （4 分）已知 n a为等差数列， n S为其前n项和若 55 5aS，则 1 (a

2、) A5B4C3D2 4 （4 分）在 6 () a x x 的展开式中， 4 x的系数为 12，则a的值为() A2B2C1D1 5 （4 分）函数( )sincosf xxx，( )sin cosf xxx， 2 1 ( )cos () 42 f xx 中，周 期是且为奇函数的所有函数的序号是() ABCD 6 （4 分）已知函数( )f x满足(1)(1)fxfx，且当1x 时， 2 ( )logf xx，则f（8） ( 2)(f) A2B1C1D3 7 （4 分）已知a ，b 是单位向量，2cab ，若ac ，则| (c ) A3B7C3D2 8 （4 分）已知点 1 (A x， 2

3、1) x， 2 (B x， 2 2) x， 1 (0, ) 4 C，则“ABC是等边三角形”是“直线AB 的斜率为 0”的() A充分而不必要条件B必要而不充分条件 第 2页（共 21页） C充分必要条件D既不充分也不必要条件 9 （4 分）设无穷等比数列 n a的前n项和为 n S，若 121 aaa，则() A n S为递减数列B n S为递增数列 C数列 n S有最大项D数列 n S有最小项 10 （4 分）我国魏晋时期的数学家刘徽创造了一个称为“牟合方盖”的立体图形来推算球 的体积，如图 1，在一个棱长为2a的立方体内作两个互相垂直的内切圆柱，其相交的部分 就是牟合方盖，如图 2，设平

4、行于水平面且与水平面距离为h的平面为，记平面截牟合 方盖所得截面的面积为S，则函数( )Sf h的图象是( ) AB CD 二、填空题共二、填空题共 5 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 25 分分. 11 （5 分）已知函数 3 ( )f xxax，若曲线( )yf x在点(1，f（1）)处的切线的斜率为 2则实数a的值是 12 （5 分）已知双曲线的两条渐近线互相垂直，则该双曲线的离心率为 13 （5 分）已知点(0,0)O，(1,2)A，(B m，0)(0)m ，则cosOA ，OB ，若B是 以OA为边的矩形的顶点，则m 14 （5 分）若实数，满足方程组 12cos2cos

5、 32sin2sin ，则的一个值是 第 3页（共 21页） 15 （5 分）对平面直角坐标系xOy中的两组点，如果存在一条直线0axbyc使这两组 点分别位于该直线的两侧，则称该直线为“分类直线” ，对于一条分类直线l，记所有的点 到l的距离的最小值为 1 d，约定： 1 d越大，分类直线l的分类效果越好，某学校高三（2） 出的 7 位同学在 2020 年期间网购文具的费用x（单位：百元）和网购图书的费用y（单位： 百元）的情况如图所示，现将 1 P， 2 P， 3 P和 4 P归为第组点，将 1 Q， 2 Q和 3 Q归为第组 点， 在上述约定下， 可得这两组点的分类效果最好的分类直线，

6、记为L 给出下列四个结论： 直线2.5x 比直线350 xy的分类效果好； 分类直线L的斜率为 2； 该班另一位同学小明的网购文具与网购图书的费用均为 300 元， 则小明的这两项网购花销 的费用所对应的点与第组点位于L的同侧； 如果从第组点中去掉点 1 P，第组点保持不变，则分类效果最好的分类直线不是L 其中所有正确结论的序号是 三、解答题共三、解答题共 6 小题，共小题，共 85 分。解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程。分。解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程。 16 （14 分）如图，在四边形ABCD中，/ /ABCD，2 6AB ，6CD ， 6 cos 3 A ， 1 cos

7、3 ADB （）求cosBDC； （）求BC的长 17 （14 分）在如图所示的多面体中，/ /ABCD，四边形ACFE为矩形，1ABAE， 2ADCD 第 4页（共 21页） （）求证：平面/ /ABE平面CDF； （）设平面BEF平面CDFl，再从条件、条件、条件这三个条件中选择若干 个作为已知，使二面角BlC 的大小确定，并求此二面角的余弦值 条件：ABAD； 条件：AE 平面ABCD； 条件：平面AED 平面ABCD 18 （14 分）每年的 4 月 23 日是联合国教科文组织确定的“世界读书日” ，又称“世界图书 和版权日” 为了解某地区高一学生阅读时间的分配情况，从该地区随机抽取了

8、 500 名高一 学生进行在线调查，得到了这 500 名学生的日平均阅读时间（单位：小时） ，并将样本数据 分成0，2，(2，4，(4，6，(6，8，(8，10，(10，12，(12，14，(14，16，(16， 18九组，绘制成如图所示的频率分布直方图 （）求a的值； （） 为进一步了解这 500 名学生数字媒体阅读时间和纸质图书阅读时间的分配情况， 从日 平均阅读时间在(12，14，(14，16，(16，18三组内的学生中，采用分层抽样的方法抽 取了 10 人， 现从这 10 人中随机抽取 3 人， 记日平均阅读时间在(14，16内的学生人数为X， 求X的分布列； 第 5页（共 21页）

9、（） 以调查结果的频率估计概率， 从该地区所有高一学生中随机抽取20名学生， 用 “ 20( ) Pk” 表示这 20 名学生中恰有k名学生日平均阅读时间在(10，12（单位：小时）内的概率，其 中0k ，1，2，20当 20( ) Pk最大时，写出k的值 （只需写出结论） 19 （15 分）已知函数( )sinf xxx （）判断函数( )f x在区间(0,) 2 上的单调性，并说明理由； （）求证：函数( )f x在( 2 ，)内有且只有一个极值点； （）求函数 ( )1 ( ) f x g x lnx 在区间(1，上的最小值 20 （14 分）已知椭圆 22 22 :1(0) xy Ma

10、b ab 过( 2,0)A ，(0,1)B两点 （）求椭圆M的离心率； （）设椭圆M的右顶点为C，点P在椭圆M上(P不与椭圆M的顶点重合） ，直线AB与 直线CP交于点Q，直线BP交x轴于点S，求证：直线SQ过定点 21 （14 分） 已知无穷数列 n a， 对于 * mN， 若 n a同时满足以下三个条件， 则称数列 n a 具有性质( )P m 条件：0(1 n an，2，)； 条件：存在常数0T ，使得(1 n aT n ，2，)； 条件： 12( 1 nnn aaman ，2，) （）若 1 54() (1 2 n n an ，2，)，且数列 n a具有性质( )P m，直接写出m的值

11、和 一个T的值； （）是否存在具有性质P（1）的数列 n a？若存在，求数列 n a的通项公式；若不存在， 说明理由； （）设数列 n a具有性质( )P m，且各项均为正整数，求数列 n a的通项公式 第 6页（共 21页） 2021 年北京市海淀区高考数学一模试卷年北京市海淀区高考数学一模试卷 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、选择题共一、选择题共 10 小题，每小题小题，每小题 4 分，共分，共 40 分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题 目要求的一项。目要求的一项。 1 （4 分）已知集合1A ， |Bx x a若ABB ，则实数a的

12、取值范围是() A(,1)B(，1C(1,)D1，) 【解答】ABB ，AB，1a 故选：B 2 （4 分）如图，在复平面内，复数z对应的点为P则复数 z i 的虚部为() A1B1C2D2 【解答】解：由题意可得，点P对应的复数12zi ， 2 2 12( 12 )() 22 ziii iii iii ， 复数 z i 的虚部为 1 故选：A 3 （4 分）已知 n a为等差数列， n S为其前n项和若 55 5aS，则 1 (a ) A5B4C3D2 【解答】解：因为 n a为等差数列， 55 5aS， 所以 1 1 45 5105 ad ad ， 解得 1 3a 故选：C 4 （4 分）

13、在 6 () a x x 的展开式中， 4 x的系数为 12，则a的值为() A2B2C1D1 第 7页（共 21页） 【解答】解：由题设可得： 6 () a x x 的展开式的通项公式为 66 2 166 ()()(0 rrrrrr r a TCxCaxr x ，1，6)， 令624r，可得1r ， 由 4 x的系数为 12，可得 1 6 12()6Caa ，解得2a ， 故选：B 5 （4 分）函数( )sincosf xxx，( )sin cosf xxx， 2 1 ( )cos () 42 f xx 中，周 期是且为奇函数的所有函数的序号是() ABCD 【解答】解：( )sincos

14、2sin() 4 f xxxx ， 所以2T，非奇非偶函数， 1 ( )sin cossin2 2 f xxxx， 故 2 2 T ，奇函数， 2 cos(2)1 111 2 ( )cos ()sin2 42222 x f xxx ， 故 2 2 T ，奇函数 故选：D 6 （4 分）已知函数( )f x满足(1)(1)fxfx，且当1x 时， 2 ( )logf xx，则f（8） ( 2)(f) A2B1C1D3 【解答】解：函数( )f x满足(1)(1)fxfx， 故其对称轴为1x ， 所以：( 2)ff（4） ， 当1x 时， 2 ( )logf xx， f（8）( 2)ff（8）f（

15、4） 22 log 8log 4321， 故选：C 7 （4 分）已知a ，b 是单位向量，2cab ，若ac ，则| (c ) 第 8页（共 21页） A3B7C3D2 【解答】解：a ，b 是单位向量，2cab ，ac ， 2 (2 )20a caabaa b ， 21a b ， 222 |(2 )44cabaa bb 124 3 故选：C 8 （4 分）已知点 1 (A x， 2 1) x， 2 (B x， 2 2) x， 1 (0, ) 4 C，则“ABC是等边三角形”是“直线AB 的斜率为 0”的() A充分而不必要条件B必要而不充分条件 C充分必要条件D既不充分也不必要条件 【解答

16、】解：由点 1 (A x， 2 1) x， 2 (B x， 2 2) x，可得点A，B在抛物线 2 yx上， 只有点A，B关于y轴对称时ABC才有可能是等边三角形，此时“直线AB的斜率为 0； 反之 “直线AB的斜率为 0” ， 虽然点A，B关于y轴对称， 但是ABC不一定是等边三角形 “ABC是等边三角形”是“直线AB的斜率为 0”的充分而不必要条件 故选：A 9 （4 分）设无穷等比数列 n a的前n项和为 n S，若 121 aaa，则() A n S为递减数列B n S为递增数列 C数列 n S有最大项D数列 n S有最小项 【解答】解：由 121 aaa可得 1 0a ， 第 9页（

17、共 21页） 所以 2 1 1 a q a ， 因为 12 aa得 2 1 1 a q a ， 所以11q ， 因为 1(1 ) 1 n n aq S q ， 当01q时， n S递增，当10q 时， n S递减，A，B错误； 当01q时， n S最小项 1 S，没有最大项， 当10q 时， 1 0a ， 2 0a ， 3 0a ， 4 0a 且 34 0aa， n S最小项 2 S，没有最大项， C错误，D正确 故选：D 10 （4 分）我国魏晋时期的数学家刘徽创造了一个称为“牟合方盖”的立体图形来推算球 的体积，如图 1，在一个棱长为2a的立方体内作两个互相垂直的内切圆柱，其相交的部分 就

18、是牟合方盖，如图 2，设平行于水平面且与水平面距离为h的平面为，记平面截牟合 方盖所得截面的面积为S，则函数( )Sf h的图象是( ) AB CD 【解答】解：由图 1 可得，正方体的内切球也是“牟合方盖”内切球， 用任意平行于水平面的平面去截“牟合方盖” ，截面均为正方形， 第 10页（共 21页） 并且此正方形是平面截内切球的截面圆的外接正方形， 内切球的半径为a，设截面圆的半径为r， 则有 222 ()ahra，解得 22 2rhah ， 设截面圆的外接正方形的边长为b，则2br， 正方形的面积为 222 448Sbrhah ，0h，2 a， 由函数的解析式可知，图象应该是开口向下的抛

19、物线 故选：D 二、填空题共二、填空题共 5 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 25 分分. 11 （5 分）已知函数 3 ( )f xxax，若曲线( )yf x在点(1，f（1）)处的切线的斜率为 2则实数a的值是1 【解答】解： 3 ( )f xxax， 2 ( )3fxxa ， f （1）32a，解得：1a ， 故答案为：1 12 （5 分）已知双曲线的两条渐近线互相垂直，则该双曲线的离心率为2 【解答】解：设双曲线方程为 22 22 1 xy ab ，则双曲线的渐近线方程为 b yx a 两条渐近线互相垂直， ()1 bb aa 22 ab， 22 2caba 2 c e

20、a 故答案为：2 13 （5 分）已知点(0,0)O，(1,2)A，(B m，0)(0)m ，则cosOA ，OB 5 5 ，若B 是以OA为边的矩形的顶点，则m 【解答】解：根据题意，点(0,0)O，(1,2)A，( ,0)B m， 第 11页（共 21页） 则(1,2)OA ，( ,0)OBm ，则|5OA ，|OBm ， OA OBm ， 故cosOA ， 5 5| OA OB OB OA OB ， 若B是以OA为边的矩形的顶点，而OA 与OB 不垂直，则必有ABOA ， 又由(1, 2)ABm ，则有(1)2 ( 2)0AB OAm ，解可得5m ， 故答案为： 5 5 ，5 14 （

21、5 分）若实数，满足方程组 12cos2cos 32sin2sin ，则的一个值是0 【解答】解：实数，满足方程组 12cos2cos 32sin2sin ， 则 1 coscos 2 3 sinsin 2 ， 由于 22 cossin1， 所以 22 13 (cos)(sin)1 22 ， 整理得 1 sin() 62 ， 故可以取0 故答案为：0 15 （5 分）对平面直角坐标系xOy中的两组点，如果存在一条直线0axbyc使这两组 点分别位于该直线的两侧，则称该直线为“分类直线” ，对于一条分类直线l，记所有的点 到l的距离的最小值为 1 d，约定： 1 d越大，分类直线l的分类效果越好

22、，某学校高三（2） 出的 7 位同学在 2020 年期间网购文具的费用x（单位：百元）和网购图书的费用y（单位： 百元）的情况如图所示，现将 1 P， 2 P， 3 P和 4 P归为第组点，将 1 Q， 2 Q和 3 Q归为第组 点， 在上述约定下， 可得这两组点的分类效果最好的分类直线， 记为L 给出下列四个结论： 直线2.5x 比直线350 xy的分类效果好； 分类直线L的斜率为 2； 该班另一位同学小明的网购文具与网购图书的费用均为 300 元， 则小明的这两项网购花销 第 12页（共 21页） 的费用所对应的点与第组点位于L的同侧； 如果从第组点中去掉点 1 P，第组点保持不变，则分类

23、效果最好的分类直线不是L 其中所有正确结论的序号是 【解答】 解： 对于： 当2.5x 时， 1(1.5,2) P， 2(1,3) P， 3(2,3) P， 4(2,3) P， 1(3,1) Q， 2(3,2) Q， 3(4,3) Q， 1 0.5d 当350 xy时， 1 210 0.5 510 d ， 故直线35xy比直线：2.5x 的分类效果好，故错误； 对于：由图可得，定位L的位置由 1 P， 3 P， 2 Q确定， 到点的距离的最小值较大， 过点 1 P， 3 P， 2 Q的外心， 即 3 232 2 kbkb， 解得2k ，故正确； 对于： 3 P到L的距离与 2 Q到L的距离相等

24、时为L的临界值，点(3,3)在L右侧，故正确； 对于：去掉 1 P后，2332kbkb，解得1k ，故正确 故答案为： 第 13页（共 21页） 三、解答题共三、解答题共 6 小题，共小题，共 85 分。解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程。分。解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程。 16 （14 分）如图，在四边形ABCD中，/ /ABCD，2 6AB ，6CD ， 6 cos 3 A ， 1 cos 3 ADB （）求cosBDC； （）求BC的长 【解答】解： （）因为/ /ABCD， 6 cos 3 A ， 1 cos 3 ADB， 所以 2 3 sin1 3 Acos A， 2

25、2 2 sin1 3 ADBcosADB， 32 2616 coscos()cos()sinsincoscos 33339 BDCAADBAADBAADBAADB （）由已知及正弦定理 sinsin BDAB AADB ，可得 2 6 32 2 33 BD ，解得3BD ， 由于 6 cos 9 BDC，6CD ， 在BCD中，由余弦定理可得 22 2cosBCCDBDCD BDBDC 6 6926311 9 第 14页（共 21页） 17 （14 分）在如图所示的多面体中，/ /ABCD，四边形ACFE为矩形，1ABAE， 2ADCD （）求证：平面/ /ABE平面CDF； （）设平面BEF

26、平面CDFl，再从条件、条件、条件这三个条件中选择若干 个作为已知，使二面角BlC 的大小确定，并求此二面角的余弦值 条件：ABAD； 条件：AE 平面ABCD； 条件：平面AED 平面ABCD 【解答】解： （）证明：因为四边形ACFE为矩形，所以/ /CFAE， 又AE 平面ABE，CF 平面ABE，所以/ /CF平面ABE， 又因为/ /ABCD，又AB 平面ABE，CD 平面ABE， 所以/ /CD平面ABE， 又CDCFC ，CD，CF 平面CDF， 所以平面/ /ABE平面CDF； （）选择： 因为AE 平面ABCD，AB，AD 平面ABCD， 所以AEAB，AEAD，又因为ABA

27、D， 所以AB，AE，AD两两互相垂直， 以点A为坐标原点建立空间直角坐标系如图所示， 则(1B，0，0)，(0E，0，1)，(2F，2，1)， 第 15页（共 21页） 所以( 1,0,1),(1,2,1)BEBF ， 设平面BEF的法向量为( , , )nx y z ， 则 0 0 n BE n BF ，即 0 20 xz xyz ， 令1x ，则1y ，1z ，故(1, 1,1)n ， 因为AD 平面ABE，又平面/ /ABE平面CDF， 所以AD 平面CDF， 取平面CDF的一个法向量为(0,1,0)m ， 所以 |13 |cos,| |313 m n m n m n ， 故二面角Bl

28、C 的余弦值为 3 3 选择： 因为AE 平面ABCD，AD 平面ABCD，所以AEAD， 因为平面AED 平面ABCD，平面AED平面ABCDAD，ABAD， 所以AB 平面ADE，又AE 平面ADE， 所以ABAE，又因为ABAD， 所以AB，AE，AD两两互相垂直， 以点A为坐标原点建立空间直角坐标系如图所示， 则(1B，0，0)，(0E，0，1)，(2F，2，1)， 所以( 1,0,1),(1,2,1)BEBF ， 设平面BEF的法向量为( , , )nx y z ， 则 0 0 n BE n BF ，即 0 20 xz xyz ， 令1x ，则1y ，1z ，故(1, 1,1)n ，

29、 因为AD 平面ABE，又平面/ /ABE平面CDF， 所以AD 平面CDF， 取平面CDF的一个法向量为(0,1,0)m ， 所以 |13 |cos,| |313 m n m n m n ， 第 16页（共 21页） 故二面角BlC 的余弦值为 3 3 选择： 因为平面AED 平面ABCD，平面AED平面ABCDAD，ABAD， 所以AB 平面ADE，又AE 平面ADE， 所以ABAE， 在矩形ACFE中，AEAC， 又AC，AB 平面ABCD，ACABA ， 所以AE 平面ABCD，又AD 平面ABCD， 所以AEAD， 所以AB，AE，AD两两互相垂直， 以点A为坐标原点建立空间直角坐标

30、系如图所示， 则(1B，0，0)，(0E，0，1)，(2F，2，1)， 所以( 1,0,1),(1,2,1)BEBF ， 设平面BEF的法向量为( , , )nx y z ， 则 0 0 n BE n BF ，即 0 20 xz xyz ， 令1x ，则1y ，1z ，故(1, 1,1)n ， 因为AD 平面ABE，又平面/ /ABE平面CDF， 所以AD 平面CDF， 取平面CDF的一个法向量为(0,1,0)m ， 所以 |13 |cos,| |313 m n m n m n ， 故二面角BlC 的余弦值为 3 3 第 17页（共 21页） 18 （14 分）每年的 4 月 23 日是联合国

31、教科文组织确定的“世界读书日” ，又称“世界图书 和版权日” 为了解某地区高一学生阅读时间的分配情况，从该地区随机抽取了 500 名高一 学生进行在线调查，得到了这 500 名学生的日平均阅读时间（单位：小时） ，并将样本数据 分成0，2，(2，4，(4，6，(6，8，(8，10，(10，12，(12，14，(14，16，(16， 18九组，绘制成如图所示的频率分布直方图 （）求a的值； （） 为进一步了解这 500 名学生数字媒体阅读时间和纸质图书阅读时间的分配情况， 从日 平均阅读时间在(12，14，(14，16，(16，18三组内的学生中，采用分层抽样的方法抽 取了 10 人， 现从这

32、10 人中随机抽取 3 人， 记日平均阅读时间在(14，16内的学生人数为X， 求X的分布列； （） 以调查结果的频率估计概率， 从该地区所有高一学生中随机抽取20名学生， 用 “ 20( ) Pk” 表示这 20 名学生中恰有k名学生日平均阅读时间在(10，12（单位：小时）内的概率，其 中0k ，1，2，20当 20( ) Pk最大时，写出k的值 （只需写出结论） 【解答】解： （）由频率分布直方图得： 2(0.020.030.050.050.150.050.040.01)1a， 解得0.10a 第 18页（共 21页） （）由频率分布直方图得： 这 500 名学生中日平均阅读时间在(12

33、，14，(14，16，(16，18三组内的学生人数分别 为： 5000.1050人，5000.0840人，5000.0210人， 若采用分层抽样的方法抽取了 10 人， 则从日平均阅读时间在(14，16内的学生中抽取： 40 104 504010 人， 现从这 10 人中随机抽取 3 人，则X的可能取值为 0，1，2，3， 3 6 3 10 201 (0) 1206 C P X C ， 12 46 3 10 601 (1) 1202 C C P X C ， 21 46 3 10 363 (2) 12010 C C P X C ， 3 4 3 10 41 (3) 12030 C P X C ，

34、X的分布列为： X0123 P 1 6 1 2 3 10 1 30 （）当 20( ) Pk最大时，4k 19 （15 分）已知函数( )sinf xxx （）判断函数( )f x在区间(0,) 2 上的单调性，并说明理由； （）求证：函数( )f x在( 2 ，)内有且只有一个极值点； （）求函数 ( )1 ( ) f x g x lnx 在区间(1，上的最小值 【解答】解：( )( )sincosI fxxxx， 因为(0,) 2 x ，所以sin0 x ，cos0 x ， 所以( )0fx， 所以函数( )f x在区间(0,) 2 上的单调递增 第 19页（共 21页） （）证明：( )

35、( )h xfx，则( )2cossinh xxxx， 当( 2 x ，)时，( )0h x，( )h x单调递减， 又因为()10 2 f ，( )0f ， 所以存在唯一 0 ( 2 x ，)，使得 0 ()0fx， 随着x变化，( )fx，( )f x的变化情况如下： x ( 2 ， 0) x 0 x 0 (x，) ( )fx 0 ( )f x 极大值 所以( )f x在( 2 ，)内有且只有一个极值点 （）由（） （）可知，( )f x在 0 (1,)x内单调递增，在 0 (x，)内单调递减， 又因为f（1）sin10，( )0f， 所以当(1x，时，( )1 1f x ， 又因为当(1

36、x，时，0lnx ln， 所以 ( )11 ( ) f x g x lnxln ，当且仅当x时取等号， 所以( )g x在(1，上的最小值为 1 ln 20 （14 分）已知椭圆 22 22 :1(0) xy Mab ab 过( 2,0)A ，(0,1)B两点 （）求椭圆M的离心率； （）设椭圆M的右顶点为C，点P在椭圆M上(P不与椭圆M的顶点重合） ，直线AB与 直线CP交于点Q，直线BP交x轴于点S，求证：直线SQ过定点 【解答】解： （）因为点( 2,0)A ，(0,1)B都在椭圆M上， 所以2a ，1b ， 所以 22 3cab， 所以椭圆M的离心率为 3 2 c e a （）证明：由

37、（）知椭圆M的方程为 2 2 1 4 x y，(2,0)C， 由题意知直线BA的方程为22xy， 第 20页（共 21页） 设 0 (P x， 00 )(0yy ， 0 1)y ，(22 Q Qy ，) Q y，( S S x，0)， 因为C，P，Q三点共线， 所以/ /CPCQ ， 所以 00 (2)(24) QQ xyyy， 所以 0 00 4 22 Q y y yx ， 所以 00 00 424 ( 22 yx Q yx ， 0 00 4 ) 22 y yx ， 因为B，S，P三点共线， 所以 0 0 11 S y xx ，即 0 0 1 S x x y ， 所以 0 0 (1 x S

38、y ，0)， 所以直线QS的方程为 000 0000 0 0 00 424 221 4 1 22 yxx yxyx xy y y yx ， 因为点P在椭圆M上， 所以 22 00 44xy， 所以直线QS的方程为 00 0 22 (1)2 1 yx xy y ， 所以直线QS过定点(2,1) 21 （14 分） 已知无穷数列 n a， 对于 * mN， 若 n a同时满足以下三个条件， 则称数列 n a 具有性质( )P m 条件：0(1 n an，2，)； 条件：存在常数0T ，使得(1 n aT n ，2，)； 条件： 12( 1 nnn aaman ，2，) （）若 1 54() (1

39、2 n n an ，2，)，且数列 n a具有性质( )P m，直接写出m的值和 一个T的值； （）是否存在具有性质P（1）的数列 n a？若存在，求数列 n a的通项公式；若不存在， 说明理由； （）设数列 n a具有性质( )P m，且各项均为正整数，求数列 n a的通项公式 第 21页（共 21页） 【解答】解： （）2m ，6T （答案不唯一） ； （）不存在具有性质P（1）的数列 n a，理由如下： 依题意有： 12( 1 nnn aaan ，2，) 0(1 n an，2，)， 234 aaa 432 aaa， 542 aaa， 312nn aaa ， 323n anaa ， 当 3

40、 2 Ta n a 时， 3n aT 不符合题意 不存在具有性质P（1）的数列 n a （）由（）可得1m 当2m 时， 12 1 ()(1 2 nnn aaan ，2，)， 211 1 ()()(1 2 nnnn aaaan ，2，)， 2121 1 |(1 2 nn n aaaan ，2，)， 当 21 (aac c为常数，且为正整数）时， n ac，数列 n a具有性质P（2） 当 21 aa时，当 221 log |naa时， 2121 1 | (0 2 nn n aaaa ，1)(1n ，2，)， 与数列 n a各项均为正整数矛盾，不符合题意 当3m时，令 nn bmax a， 1n a ， 211 111 ()()() 33 nnnnnnnn aaaaabbb m ， 31212 111 ()()() 33 nnnnnnnn aaaaabbb m ， 2 1 nn bb ， 21 1bb， 32 1bb， 211n bbn ， 当 1 n b时， 211 0 n bbn 与 21n bN 矛盾 综上，数列 n a的通项公式为( n ac c为常数，且为正整数）