1、第 1页（共 18页） 2021 年河南省洛阳市高考数学第二次考试试卷（文科年河南省洛阳市高考数学第二次考试试卷（文科） （二模（二模） 一、选择题：本大题共一、选择题：本大题共 12 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 60 分在每小题给出的四个选项中，只分在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的有一项是符合题目要求的 1 （5 分）已知集合 | 42Mxx ， 3 |0 2 x Nx x ，则(MN ) A | 43xx B | 42xx C | 22xx D |23xx 2 （5 分）若复数z满足(34 )| 43 |i zi，则z的虚部为() A 4 5 B4C 4
2、 5 D4 3 （5 分）已知平面，直线m，n满足m，n，则“/ /m”是“/ /mn”的() A充分不必要条件B必要不充分条件 C充分必要条件D既不充分也不必要条件 4 （5 分）设x，y满足 2 239 0 xy xy x ，则 22 (1)xy的取值范围是() A0，10B1，10C1，17D0，17 5（5 分） 记 n S为等差数列 n a的前n项和 若 45 24aa， 5 30S ， 则 n a的公差为() A1B2C4D8 6 （5 分）已知a，b，c均为正实数，若 1 212 2 1 2log,2log,( )log 2 abc abc ，则() AcabBcbaCabcDb
3、ac 7 （5 分） 已知双曲线 2 2 2 :4(0) y Cxa a 的一条渐近线经过圆 22 :2440P xyxy的 圆心，则C的离心率为() A 5 2 B5C10D 10 2 8 （5 分）中国古代数学著作算法统宗中有这样一个问题： “三百七十八里关，初行健 步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还 ”意思 为有一个人要走 378 里路，第一天健步行走，从第二天起脚痛，每天走的路程为前一天的一 半，走了六天恰好到达目的地，请问第二天比第四天多走了() A96 里B72 里C48 里D24 里 9 （5 分）已知函数 2 ( )2sin ()3sin(
4、2)1 63 f xxx ，则下列判断正确的是() 第 2页（共 18页） A( )f x的图象关于 6 x 对称B( )f x为奇函数 C( )f x的值域为 3，1D( )f x在0, 3 上是增函数 10（5 分） 已知三棱锥OABC中，A，B，C三点在以O为球心的球面上， 若2ABBC， 120ABC，且三棱锥OABC的体积为3，则球O的半径为() A2B5C13D13 11（5 分） 过抛物线 2 2(0)ypx p的焦点F的直线与抛物线交于A，B两点， 且2AFFB ， 抛物线的准线l与x轴交于C，ACF的面积为8 2，则| (AB ) A6B9C9 2D6 2 12 （5 分）在
5、正四棱柱（侧面为矩形，底面为正方形的棱柱） 1111 ABCDABC D中，E，F 分别是 1 AB， 1 BC的中点，则以下结论中不成立的是() A 1 EFBBBEFBD CEF与CD为异面直线DEF与 11 AC为异面直线 二、填空题（每题二、填空题（每题 5 分，满分分，满分 20 分，将答案填在答题卡上）分，将答案填在答题卡上） 13 （5 分）某校共有高一、高二、高三学生 1290 人，其中高一 480 人，高二比高三多 30 人，为了解该校学生的身体健康情况，现采用分层抽样方法进行调查，在抽取的样本中 有高一学生 96 人，则该样本中的高三学生人数为 14 （5 分）已知点P在曲
6、线 3 yxx上移动，设点P处切线的倾斜角为，则角的取值 范围是 15 （5 分）平面向量a 、b 满足() (2)4abab ，且| 2a ，| 4b ，则a 与b 的夹角 等于 16 （5 分）已知函数( ) x f xeb的一条切线为(1)ya x，则ab的最小值为 三、解答题（本大题共三、解答题（本大题共 5 小题，共小题，共 70 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 17 （12 分）在ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，已知5b ， 4 B ， 2 5 cos 5 C （1）求c的值； （2）求ABC的面积 第 3页（共 1
7、8页） 18（12分） 如图1所示， 在直角梯形ABCD中，90ADC，/ /ABCD， 1 2 2 ADCDAB， E为AC的中点，将ACD沿AC折起，使折起后的平面ACD与平面ABC垂直，得到如图 2 所示的几何体DABC （1）求证：BC 平面ACD； （2）点F在棱CD上，且满足/ /AD平面BEF，求几何体FBCE的体积 19 （12 分）改革开放以来，我国经济持续高速增长如图给出了我国 2010 年至 2019 年第 二产业增加值与第一产业增加值的差值（以下简称为：产业差值）的折线图，记产业差值为 y（单位：万亿元） （1）求出y关于年份代码t的线性回归方程； （2）利用 （1）中
8、的回归方程，分析20102019年我国产业差值的变化情况，并预测我国 产业差值在哪一年约为 34 万亿元； （3）结合折线图，试求出除去 2014 年产业差值后剩余的 9 年产业差值的平均值及方差（结 果精确到0.1) 附： 回归直线的斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为： 1 2 1 ()() () n ii i n i i ttyy b tt ， a ybt 样本方差公式： 22 1 1 () n i i syy n 参考数据： 10 1 1 10.8 10 i i yy ， 10 1 ()()132 ii i ttyy ， 10 2 1 ()211.6 i i yy 注：年份代码1 10
9、分别对应年份20102019 第 4页（共 18页） 20 （12 分）已知椭圆 22 22 :1(0) xy Cab ab 的离心率为 3 3 ，点E，F分别为其下顶点 和右焦点，坐标原点为O，且EOF的面积为2 （1）求椭圆C的方程； （2）设直线l与椭圆相交于A，B两点，若点F恰为EAB的重心，求直线l的方程 21 （12 分）已知函数( )f xxlnx （1）求( )f x的最小值； （2）设m为整数，且对于任意正整数(2)n n， 222 111 (1)(1)(1) 23 m n ，求m的 最小值 选修选修 4-4：极坐标与参数方程：极坐标与参数方程 22 （10 分）在直角坐标系
10、xOy中，曲线 1 C的参数方程为 2sin2cos ( 2sin2cos x y 为参 数） 经过伸缩变换 2 2 : 1 2 xx yy 后，曲线 1 C变为曲线 2 C （1）求曲线 1 C和曲线 2 C的普通方程； （2）已知点P是曲线 2 C上的任意一点，曲线 1 C与x轴和y轴正半轴的交点分别为A，B， 试求PAB面积的最大值和此时点P的坐标 选修选修 4-5：不等式选讲：不等式选讲 23已知函数( ) |2|f xxxa （1）当1a 时，画出( )yf x的图象； （2）若关于x的不等式( ) 3f xa有解，求a的取值范围 第 5页（共 18页） 2021 年河南省洛阳市高考
11、数学第二次考试试卷（文科年河南省洛阳市高考数学第二次考试试卷（文科） （二模（二模） 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、选择题：本大题共一、选择题：本大题共 12 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 60 分在每小题给出的四个选项中，只分在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的有一项是符合题目要求的 1 （5 分）已知集合 | 42Mxx ， 3 |0 2 x Nx x ，则(MN ) A | 43xx B | 42xx C | 22xx D |23xx 【解答】解： | 42Mxx ， 3 |0 | 23 2 x Nxxx x ， | 43MNxx ， 故选：A
12、2 （5 分）若复数z满足(34 )| 43 |i zi，则z的虚部为() A 4 5 B4C 4 5 D4 【解答】解：由(34 )| 43 |i zi，得 55(34 )34 34(34 )(34 )55 i zi iii ， z的虚部为 4 5 故选：C 3 （5 分）已知平面，直线m，n满足m，n，则“/ /m”是“/ /mn”的() A充分不必要条件B必要不充分条件 C充分必要条件D既不充分也不必要条件 【解答】解：因为m，n，当/ /m时，m与n不一定平行，即充分性不成立； 当/ /mn时，满足线面平行的判定定理，/ /m成立，即必要性成立； 所以“/ /m”是“/ /mn”的必要
13、不充分条件 故选：B 4 （5 分）设x，y满足 2 239 0 xy xy x ，则 22 (1)xy的取值范围是() A0，10B1，10C1，17D0，17 【解答】解：由约束条件作出可行域如图， 第 6页（共 18页） 联立 239 2 xy xy ，解得(3, 1)A， 22 (1)xy的几何意义为可行域内动点与定点( 1,0)P 距离的平方， 由图可知，可行域内动点与定点( 1,0)P 距离的最小值且为 1， 最大值为 22 |( 13)117PA ， 22 (1)xy的取值范围是1，17 故选：C 5（5 分） 记 n S为等差数列 n a的前n项和 若 45 24aa， 5 3
14、0S ， 则 n a的公差为() A1B2C4D8 【解答】解：因为等差数列 n a中， 45 24aa， 5 30S ， 所以 1 1 2724 51030 ad ad ， 解得4d ， 1 2a ， 故选：C 6 （5 分）已知a，b，c均为正实数，若 1 212 2 1 2log,2log,( )log 2 abc abc ，则() AcabBcbaCabcDbac 【解答】解： 1 2 2alog a， 1 2 1 ( ) 2 b log b， 2 1 ( ) 2 c log c， 利用函数2xy ， 1 2 logyx， 1 ( ) 2 x y ， 2 logyx， 如图所示： 由图
15、象可得：abc， 故选：C 第 7页（共 18页） 7 （5 分） 已知双曲线 2 2 2 :4(0) y Cxa a 的一条渐近线经过圆 22 :2440P xyxy的 圆心，则C的离心率为() A 5 2 B5C10D 10 2 【解答】解：由圆 22 :2440P xyxy，得(1,2)P， 由双曲线 2 2 2 :4(0) y Cxa a ，得渐近线方程为yax ， 则2a 22 5cab ， 即C的离心率为 5 2 c e a 故选：A 8 （5 分）中国古代数学著作算法统宗中有这样一个问题： “三百七十八里关，初行健 步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔
16、细算相还 ”意思 为有一个人要走 378 里路，第一天健步行走，从第二天起脚痛，每天走的路程为前一天的一 半，走了六天恰好到达目的地，请问第二天比第四天多走了() A96 里B72 里C48 里D24 里 【解答】解：由题意可知此人每天走的步数构成 1 2 为公比的等比数列， 由题意和等比数列的求和公式可得 6 1 1 1( ) 2 378 1 1 2 a ， 第 8页（共 18页） 解得 1 192a ， 此人第二天走 1 19296 2 里， 此人第四天走 3 1 192( )24 2 里， 第二天比第四天多走了962472里， 故选：B 9 （5 分）已知函数 2 ( )2sin ()3
17、sin(2)1 63 f xxx ，则下列判断正确的是() A( )f x的图象关于 6 x 对称B( )f x为奇函数 C( )f x的值域为 3，1D( )f x在0, 3 上是增函数 【解答】解： 2 ( )2sin ()3sin(2)1 63 f xxx 11 3sin(2)cos(2) 33 xx 2sin(2) 6 x ， 由于 6 x 时，函数值为 2 为函数的最大值，满足对称的性质，故A正确， 故选：A 10（5 分） 已知三棱锥OABC中，A，B，C三点在以O为球心的球面上， 若2ABBC， 120ABC，且三棱锥OABC的体积为3，则球O的半径为() A2B5C13D13
18、【解答】解：设ABC的外接圆的圆心为 1 O，半径为r， 在ABC中，2ABBC，120ABC， 由余弦定理可得 22 2cos2 3ACABBCAB BCABC， 由正弦定理可得 2 3 24 sinsin120 AC r ABC ，解得2r ， 所以 113 sin223 222 ABC SAB BCABC ， 又三棱锥OABC的体积为3， 所以 11 11 33 33 O ABCABC VSOOOO ， 故三棱锥OABC的高 1 3OO ， 第 9页（共 18页） 所以球O的半径为 22 2313 故选：D 11（5 分） 过抛物线 2 2(0)ypx p的焦点F的直线与抛物线交于A，B
19、两点， 且2AFFB ， 抛物线的准线l与x轴交于C，ACF的面积为8 2，则| (AB ) A6B9C9 2D6 2 【解答】解：由抛物线的方程可得焦点( 2 p F，0)， 有题意可得直线AB的斜率存在且不为 0，设直线AB的方程为： 2 p xmy，设 1 (A x， 1) y， 2 (B x， 2) y， 直线与抛物线联立可得： 2 2 2 p xmy ypx ，整理可得 22 20ympyp， 12 2yymp， 2 12 y yp ， 因为2AFFB ， 即 1 ( 2 p x， 12 )2( 2 p yx， 2) y， 所以可得： 12 2yy ， 12 | 2|2yyp， 第
20、10页（共 18页） 所以 1 11 | |28 2 22 CFA SCFypp ，解得：4p ， 所以抛物线的方程为： 2 8yx， 所以 2 1212 1 |()2222489 8 ABxxpm yypm pp， 故选：B 12 （5 分）在正四棱柱（侧面为矩形，底面为正方形的棱柱） 1111 ABCDABC D中，E，F 分别是 1 AB， 1 BC的中点，则以下结论中不成立的是() A 1 EFBBBEFBD CEF与CD为异面直线DEF与 11 AC为异面直线 【解答】解在正四棱柱（侧面为矩形，底面为正方形的棱柱） 1111 ABCDABC D中， E，F分别是 1 AB， 1 BC
21、的中点， 连接AC， 1 B C，则F是 1 B C的中点， EF是 1 ACB的中位线， 11 / / /EFACAC，故D错误； 1 BB 平面ABCD，AC 平面ABCD， 1 BBAC， 1 EFBB，故A正确； 四边形ABCD是正方形，ACBD， / /EFAC，EFBD，故B正确； / /EFAC，EF 平面ABCD，AC 平面ABCD，/ /EF平面ABCD， CDACC ，EF与CD为异面直线，故C正确 故选：D 二、填空题（每题二、填空题（每题 5 分，满分分，满分 20 分，将答案填在答题卡上）分，将答案填在答题卡上） 13 （5 分）某校共有高一、高二、高三学生 1290
22、 人，其中高一 480 人，高二比高三多 30 人，为了解该校学生的身体健康情况，现采用分层抽样方法进行调查，在抽取的样本中 有高一学生 96 人，则该样本中的高三学生人数为78 【解答】解：高一 480 人，高二比高三多 30 人， 设高三x人，则304801290 xx， 第 11页（共 18页） 解得390 x ， 故高二 420，高三 390 人， 若在抽取的样本中有高一学生 96 人， 则该样本中的高三学生人数为 96 39078 480 故答案为：78 14 （5 分）已知点P在曲线 3 yxx上移动，设点P处切线的倾斜角为，则角的取值 范围是0， 3 ) 24 ，) 【解答】解：
23、 3 yxx， 2 311yx ， tan1， 0 ， 过P点的切线的倾斜角的取值范围是0， 3 ) 24 ，)， 故答案为：0， 3 ) 24 ，) 15 （5 分）平面向量a 、b 满足() (2)4abab ，且| 2a ，| 4b ，则a 与b 的夹角 等于 3 【解答】解：由题设() (2)4abab 得8164a b ，故4a b 所以，两向量夹角的余弦为 41 242 可求得两向量夹角大小是 3 故答案为 3 16 （5 分）已知函数( ) x f xeb的一条切线为(1)ya x，则ab的最小值为 1 2e 【解答】解：设切点为( , )m n， 可得 m ebn， 由函数(
24、) x f xeb的导数( ) x fxe， 可得切线的斜率为 m ea， 第 12页（共 18页） 且(1) m eba m， 可得balna， 则 2 aba lna， 设g（a） 2 a lna，0a ， 则g（a）(21)alna， 当 1 0a e 时，g（a）0，g（a）递减； 1 a e 时，g（a）0，g（a）递增， 可得g（a）在 1 a e 处取得最小值 1 2e ， 故答案为： 1 2e 三、解答题（本大题共三、解答题（本大题共 5 小题，共小题，共 70 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 17 （12 分）在ABC中，内角
25、A，B，C的对边分别是a，b，c，已知5b ， 4 B ， 2 5 cos 5 C （1）求c的值； （2）求ABC的面积 【解答】解： （1）因为5b ， 4 B ， 2 5 cos 5 C ， 所以 5 sin 5 C ， 由正弦定理得 sinsin bc BC ， 故 5 5 sin 5 2 sin2 2 bC c B ； （2）由余弦定理得 222 cos 2 abc C ab ， 故 2 2 552 52 5 a a ， 整理得， 2 430aa， 解得1a 或3a ， 当1a 时， 1121 sin12 2222 ABC SacB ， 第 13页（共 18页） 当3a 时， 112
26、3 sin32 2222 ABC SacB 18（12分） 如图1所示， 在直角梯形ABCD中，90ADC，/ /ABCD， 1 2 2 ADCDAB， E为AC的中点，将ACD沿AC折起，使折起后的平面ACD与平面ABC垂直，得到如图 2 所示的几何体DABC （1）求证：BC 平面ACD； （2）点F在棱CD上，且满足/ /AD平面BEF，求几何体FBCE的体积 【解答】 （1）证明：由图 1 可知2 2ACBC， 所以 22 2ACBCAB，所以ACBC， 取AC中点E，连接DE，则DEAC，又平面ACD 平面ABC， 又平面ACD平面ABCAC，DE 平面ACD，所以ED 平面ABC，
27、 而BC 平面ABC，所以EDBC，又ACBC，ACEDE ， 所以BC 平面ACD； （2）解：取DC中点F，连接EF，BF，因为E是AC的中点，所以/ /EFAD， 又EF 平面BEF，AD 平面BEF，所以/ /AD平面BEF， 由（1）知，BC为三棱锥BACD的高， 因为三棱锥FBCE的高 1 2 2 hBC， 111 221 222 BCEACD SS ， 所以三棱锥FBCE的体积 112 12 333 FBCEBCE VSh 19 （12 分）改革开放以来，我国经济持续高速增长如图给出了我国 2010 年至 2019 年第 二产业增加值与第一产业增加值的差值（以下简称为：产业差值）
28、的折线图，记产业差值为 y（单位：万亿元） （1）求出y关于年份代码t的线性回归方程； （2）利用 （1）中的回归方程，分析20102019年我国产业差值的变化情况，并预测我国 产业差值在哪一年约为 34 万亿元； 第 14页（共 18页） （3）结合折线图，试求出除去 2014 年产业差值后剩余的 9 年产业差值的平均值及方差（结 果精确到0.1) 附： 回归直线的斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为： 1 2 1 ()() () n ii i n i i ttyy b tt ， a ybt 样本方差公式： 22 1 1 () n i i syy n 参考数据： 10 1 1 10.8 10
29、 i i yy ， 10 1 ()()132 ii i ttyy ， 10 2 1 ()211.6 i i yy 注：年份代码1 10分别对应年份20102019 【解答】 解： （1） 由题意可得， 1 (12310)5.5 10 t ，10.8y ， 10 2 1 ()82.5 i i tt ， 所以 4 1 4 2 1 ()() 132 1.6 82.5 () ii i i i ttyy b tt ， 故10.81.65.52aybt， 所以回归直线为1.62yt； （2）由（1）值， 1.60b ， 故20102019年我国产业差值逐年增加，平均每年增加 1.6 万亿元， 令1.623
30、4t ，解得20t ， 故预测我国产业差值在 2029 约为 34 万亿元； （3）结合折线图，2014 年产业差值为 10.8 万亿元， 除去 2014 年(5t 时）产业差值外的 9 年的产业差值的平均值为 1 (10 10.810.8)10.8 9 ， 又 10 2 1 ()211.6 i i yy ，故除去 2014 年(5t 时）产业差值外的 9 年的产业差值的方差为 2 1211.6 (10.810.8) 23.5 9 20 （12 分）已知椭圆 22 22 :1(0) xy Cab ab 的离心率为 3 3 ，点E，F分别为其下顶点 第 15页（共 18页） 和右焦点，坐标原点为
31、O，且EOF的面积为2 （1）求椭圆C的方程； （2）设直线l与椭圆相交于A，B两点，若点F恰为EAB的重心，求直线l的方程 【解答】解： （1）依据题意得 222 3 3 1 2 2 c a bc abc ，解得6a ，2b ，2c ， 所以椭圆C的方程为 22 1 64 xy （2）延长EF交直线l于点D， 因为点F为EAB的重心， 所以点D为线段AB的中点， 由点(0, 2)E，( 2F，0)，得 3 2 ( 2 D，1)， 设 1 (A x， 1) y， 2 (B x， 2) y， 则 12 12 3 2 2 xx yy ， 由 22 11 22 22 1 64 1 64 xy xy
32、， 得 1212 1212 () ()()0 64 xxyy xxyy ， 所以 1212 3 2()2() 0 64 xxyy ， 所以 12 12 2 AB yy k xx ， 所以直线l的方程为 3 2 12() 2 yx ， 第 16页（共 18页） 即240 xy 21 （12 分）已知函数( )f xxlnx （1）求( )f x的最小值； （2）设m为整数，且对于任意正整数(2)n n， 222 111 (1)(1)(1) 23 m n ，求m的 最小值 【解答】解： （1） 11 ( )1 x fx xx ， 当(0,1)x时，( )0fx，故( )f x在(0,1)单调递减，
33、 当(1,)x时，( )0fx，( )f x在(1,)单调递增， 故( )f xf（1）1，故( )f x的最小值为 1； （2）由（1）可得，( )1f xxlnx即1lnx x， 所以 222 114422 (1) 4(21)(21)2121 ln kkkkkkk ， * kN，2n， 则 222 111222222222 (1)(1)(1)2 23355721213213 lnlnlnln nnnn ， 故 222 111 (1)(1)(1)2 23 lnln n ， 所以 222 111 (1)(1)(1)2 23n ， 又因为 222 111 (1)(1)(1)1 23n ， 故对任
34、意正整数n， 222 111 (1)(1)(1) 23 m n 的整数m的最小值为 2 选修选修 4-4：极坐标与参数方程：极坐标与参数方程 22 （10 分）在直角坐标系xOy中，曲线 1 C的参数方程为 2sin2cos ( 2sin2cos x y 为参 数） 经过伸缩变换 2 2 : 1 2 xx yy 后，曲线 1 C变为曲线 2 C （1）求曲线 1 C和曲线 2 C的普通方程； （2）已知点P是曲线 2 C上的任意一点，曲线 1 C与x轴和y轴正半轴的交点分别为A，B， 试求PAB面积的最大值和此时点P的坐标 第 17页（共 18页） 【解答】解： （1）由题设知：曲线 1 C的
35、参数方程为 22 22 xsincos ysincos ， 由 2 2 得： 22 4xy， 经过伸缩变换 2 2 : 1 2 xx yy 后，曲线 1 C变为曲线 2 C， 所以 22 ( 2 )(2 )4xy， 整理得 2 2 1 2 x y ，即： 2 2 1 2 x y （2）曲线 1 C与x轴和y轴正半轴的交点分别为A，B，即 22 4xy与x轴的正半轴的交 点坐标为(2,0)A，与y轴的正半轴交点的坐标为(0,2)B， 所以直线AB的方程为20 xy 所以：直线AB的斜率为1， 直线AB的垂直平分线的斜率为1k ， 点A和B的中点为 20 20 (,) 22 ，即(1,1) 所以l
36、的方程为yx， 所以 2 2 1 2 x y yx ，解得 6 3 6 3 x y ， 故 66 (,) 33 P或 66 (,) 33 P ， 点 66 (,) 33 P 到直线AB的距离最大， 且 2 6 |2| 2 32 2 3 322 d ， 所以 112 22 32 6 |2 2()2 22233 PAB SAB d 选修选修 4-5：不等式选讲：不等式选讲 23已知函数( ) |2|f xxxa （1）当1a 时，画出( )yf x的图象； （2）若关于x的不等式( ) 3f xa有解，求a的取值范围 第 18页（共 18页） 【解答】解： （1）1a 时， 1,2 ( ) |2|1|23, 21 1,1 x f xxxxx x ， 其图像为： （2）若关于x的不等式( ) 3f xa有解，即( )3 max f xa， ( ) |2|2| |2|f xxxaxxaa， |2|3aa，23aa 或23aa， 故 1 2 a或1a，故 1 2 a， 故a的取值范围是(， 1 2
