2021年湖南省普通高中名校高考数学信息试卷（一）（3月份）.docx

1、第 1页（共 22页） 2021 年湖南省普通高中名校高考数学信息试卷（一年湖南省普通高中名校高考数学信息试卷（一） （3 月份）月份） 一一、选择题选择题：本题共本题共 8 小题小题，每小题每小题 5 分分，共共 40 分分在每小题给出的四个选项中在每小题给出的四个选项中，只有一只有一 项是合题目要求的项是合题目要求的 1 （5 分）已知集合 2 |320Ax xx， |1| 1Bxx，则(AB ) A |12xxB |02xxC |01xxD |2x x 2 （5 分） 3 2 (1) ( (1) i i ) A1iB1iC1i D1i 3 （5 分）命题“ 1 ,3 4 x ， 2 2

2、0 xa ”为真命题的一个充分不必要条件是() A9aB8aC6aD11a 4 （5 分）洛书，古称龟书，是阴阳五行术数之源，在古代传说中有神龟出于洛水，其甲壳 上心有此图象，结构是戴九履一，左三右七，二四为肩，六八为足，以五居中，五方白圈皆 阳数，四角黑点为阴数如图，若从四个阴数和五个阳数中分别随机选取 1 个数，则其和等 于 11 的概率是() A 1 5 B 2 5 C 3 10 D 1 4 5 （5 分）已知向量a ，b 满足| 1a ，| 2b ，且a 与b 的夹角为60，则| (ab ) A7B3C5D2 2 6 （5 分）已知函数 |,010 ( ) 1 3,10 5 lgxx

3、f x xx ，若a、b、c均不相等且f（a）f（b）f （c） ，则abc的取值范围为() 第 2页（共 22页） A(1,10)B(5,6)C(10,15)D(20,24) 7 （5 分）若函数( )(cos) x f xexa在区间(,) 2 2 上单调递减，则实数a的取值范围是( ) A(2,)B(1,)C1，)D 2,) 8 （5 分）已知 1 F， 2 F是双曲线 22 22 :1(0,0) xy Cab ab 的左右焦点，过 1 F的直线与圆 222 xya相切，切点T，且交双曲线右支于点P，若 1 2FTTP ，则双曲线C的渐近线方 程为() A0 xyB230 xyC320

4、xyD20 xy 二二、选择题选择题：本题共本题共 4 小题小题，每小题每小题 5 分分，共共 20 分分在每小题给出的选项中在每小题给出的选项中，有多项符合有多项符合 题目要求全部选对的得题目要求全部选对的得 5 分，部分选对的得分，部分选对的得 2 分，有选错的得分，有选错的得 0 分分 9 （5 分）下列命题正确的是() A函数 1 ( )f xx x 的图象关于坐标原点对称 B若 1 (xe，1)，alnx，2blnx， 3 cln x，则bac C如果函数3cos(2)yx的图象关于点 4 ( 3 ，0)中心对称，那么|的最小值为 6 D设a ，b ，c 是任意的非零平面向量，且相互

5、不共线，则()()b c ac a b 不与c 垂直 10 （5 分）已知 2 1 () (0) n axa x 的展开式中第 5 项与第 7 项的二项式系数相等，且展开 式的各项系数之和为 1024，则下列说法正确的是() A展开式中奇数项的二项式系数和为 256 B展开式中第 6 项的系数最大 C展开式中存在常数项 D展开式中含 15 x项的系数为 45 11 （5 分）古希腊著名数学家阿波罗尼斯与欧几里得、阿基米德齐名，他发现：平面内到 两个定点A、B的距离之比为定值(1) 的点所形成的图形是圆后来，人们将这个圆以 他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆已知在平面直角坐标系xOy中，

6、( 2,0)A 、 (4,0)B，点P满足 1 2 PA PB ，设点P所构成的曲线为C，下列结论正确的是() 第 3页（共 22页） AC的方程为 22 (4)16xy B在C上存在点D，使得D到点(1,1)的距离为 3 C在C上存在点M，使得| 2|MOMA D在C上存在点N，使得 22 |4NONA 12 （5 分）如图，直三棱柱 111 ABCA BC，ABC为等腰直角三角形，ABBC，且 1 2ACAA，E，F分别是AC， 11 AC的中点，D，M分别是 1 AA， 1 BB上的两个动点， 则() AFM与BD一定是异面直线 B三棱锥DMEF的体积为定值 1 3 C直线 11 BC与

7、BD所成角为 2 D若D为 1 AA的中点，则四棱锥 1 DBB FE的外接球表面积为5 三、填空题：本题共三、填空题：本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分 13 （5 分）已知数列 n a满足： 1 1 4 a ， 1 1 1 n n a a ，则 2021 a 14 （5 分）某工厂需要建造一个仓库，根据市场调研分析，运费与工厂和仓库之间的距离 成正比，仓储费与工厂和仓库之间的距离成反比，当工厂和仓库之间的距离为 4 千米时，运 费为 20 万元，仓储费用为 5 万元，当工厂和仓库之间的距离为千米时，运费与仓储费 之和最小，最小值为万元 15 （5 分）某单位

8、为了制定节能减排的计划，随机统计了某 4 天的用电量y（单位：度） 与当天气温x（单位：C) ，并制作了对照表（如表所示） 由表中数据，得线性回归方程 2yxa ，当某天的气温为5 C 时，预测当天的用电量约为度 x 1813101 y 24343864 第 4页（共 22页） 16（5 分） 已知函数 1 ( )sin2(2)cos(1) 2 f xaxaxax在 2 ， 2 上无极值， 则a 四、解答题：本题共四、解答题：本题共 6 小题，共小题，共 70 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 17 （10 分）在 1 1 2 n n a a ，

9、 1 1 6 nn aa ， 1 8 nn aan 这三个条件中任选一个， 补充在下面的问题中，并解答 问题：设 n S是数列 n a的前n项和，且 1 4a ，_，求 n a的通项公式，并判断 n S是否 存在最大值，若存在，求出最大值；若不存在，说明理由 18 （12 分）如图，在平面四边形ABCD中，1AD ，2CD ，7AC （1）求cosCAD的值； （2）若 7 cos 14 BAD ， 21 sin 6 CBA，求BC的长 19 （12 分）如图，在四棱锥中PABCD，PA 平面ABCD，/ /ADBC，ADCD，且 2 2ADCD，4 2BC ，2PA （1）求证：ABPC；

10、（2）在线段PD上，是否存在一点M，使得二面角MACD的大小为45，如果存在， 求BM与平面MAC所成角的正弦值，如果不存在，请说明理由 20 （12 分）已知点A，B的坐标分别为( 2,0)，(2,0)三角形ABM的两条边AM，BM 所在直线的斜率之积是 3 4 （）求点M的轨迹方程； （）设直线AM方程为2(0)xmym，直线l方程为2x ，直线AM交l于P，点P， 第 5页（共 22页） Q关于x轴对称，直线MQ与x轴相交于点D若APD面积为2 6，求m的值 21 （12 分）2019 年 7 月 1 日至 3 日，世界新能源汽车大会在海南博鳖召开，以“新时代、 新变革、新产业”为主题，

11、突出电动化、智能化、共享化融合发展特色某汽车公司顺应时 代潮流，新研发了一款新能源汽车，并在出厂前对 100 辆汽车进行了单次最大续航里程（理 论上是指新能源汽车所装载的燃料或电池所能够提供给车行驶的最远里程） 的测试 现对测 试数据进行分析，得到如图所示的频率分布直方图 （1）估计这 100 辆汽车的单次最大续航里程的平均值x（同一组中的数据用该组区间的中 点值代表） ； （2）根据大量的汽车测试数据，可以认为这款汽车的单次最大续航里程X近似地服从正态 分布 2 ( ,)N ，用样本平均数x作为的近似值，用样本标准差s作为的估计值，经计算 样本标准差s的近似值为 50，现任取一辆汽车，求它的

12、单次最大续航里程恰在 250 千米到 400 千米之间的概率 参考数据：若随机变量服从正态分布 2 ( ,)N ，则()0.6827P， (22 )0.9545P，(33 )0.9973P （3）某汽车销售公司为推广此款新能源汽车，现面向意向客户推出“玩游戏，送大奖”活 动，客户可根据抛掷硬币的结果，操控微型遥控车在方格图上行进，若遥控车最终停在“胜 利大本营” ，则可获得购车优惠券已知硬币出现正反面的概率都是 1 2 ，方格图上标有第 0 格、第 1 格、第 2 格、第 50 格遥控车开始在第 0 格，客户每掷一次硬币，遥控车向 前移动一次，若掷出正面，遥控车向前移动一格（从k到1)k ，若

13、掷出反面，遥控车向前 移动两格（从k到2)k ，直到遥控车移到第 49 格（胜利大本营）或第 50 格（失败大本营） 时，游戏结束设遥控车移到第n格的概率为 n P，试说明 1 nn PP 是等比数列，并解释此 方案能否成功吸引顾客购买该款新能源汽车 第 6页（共 22页） 22 （12 分）已知函数( ) 1 axlnx f x x （1）当1a 时，判断( )f x有没有极值点？若有，求出它的极值点；若没有，请说明理由； （2）若( )1f xx，求a的取值范围 第 7页（共 22页） 2021 年湖南省普通高中名校高考数学信息试卷（一年湖南省普通高中名校高考数学信息试卷（一） （3 月份

14、）月份） 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一一、选择题选择题：本题共本题共 8 小题小题，每小题每小题 5 分分，共共 40 分分在每小题给出的四个选项中在每小题给出的四个选项中，只有一只有一 项是合题目要求的项是合题目要求的 1 （5 分）已知集合 2 |320Ax xx， |1| 1Bxx，则(AB ) A |12xxB |02xxC |01xxD |2x x 【解答】解： |12Axx， |02Bxx， |12ABxx 故选：A 2 （5 分） 3 2 (1) ( (1) i i ) A1iB1iC1i D1i 【解答】解： 3 2 (1)2 (1) (1)1 (1)2 iii i

15、i ii ， 故选：D 3 （5 分）命题“ 1 ,3 4 x ， 2 2 0 xa ”为真命题的一个充分不必要条件是() A9aB8aC6aD11a 【解答】解： 1 ,3 4 x ， 2 2 0 xa ， 则 2 2ax 在 1 4x，3恒成立， 故2 9a ，解得：7a， 命题“ 1 ,3 4 x ， 2 2 0 xa ”为真命题的一个充分不必要条件是9a， 故选：A 4 （5 分）洛书，古称龟书，是阴阳五行术数之源，在古代传说中有神龟出于洛水，其甲壳 上心有此图象，结构是戴九履一，左三右七，二四为肩，六八为足，以五居中，五方白圈皆 阳数，四角黑点为阴数如图，若从四个阴数和五个阳数中分别

16、随机选取 1 个数，则其和等 于 11 的概率是() 第 8页（共 22页） A 1 5 B 2 5 C 3 10 D 1 4 【解答】解：从四个阴数和五个阳数中分别随机选取 1 个数， 基本事件总数4520n ， 其和等于 11 包含的基本事件有： (9,2)，(3,8)，(7,4)，(5,6)，共 4 个， 其和等于 11 的概率 41 205 p 故选：A 5 （5 分）已知向量a ，b 满足| 1a ，| 2b ，且a 与b 的夹角为60，则| (ab ) A7B3C5D2 2 【解答】解：| 1,| 2,60aba b ， 2 1 ()142 1 27 2 ab ， |7ab 故选：

17、A 6 （5 分）已知函数 |,010 ( ) 1 3,10 5 lgxx f x xx ，若a、b、c均不相等且f（a）f（b）f （c） ，则abc的取值范围为() A(1,10)B(5,6)C(10,15)D(20,24) 【解答】解：作出函数( )f x的图象如图， 不妨设abc，则 1 3(0,1) 5 lgalgbc 第 9页（共 22页） 1ab ， 1 031 5 c 则(10,15)abcc 故选：C 7 （5 分）若函数( )(cos) x f xexa在区间(,) 2 2 上单调递减，则实数a的取值范围是( ) A(2,)B(1,)C1，)D 2,) 【解答】解：( )(

18、cossin) x fxexxa， 若( )f x在区间(,) 2 2 上单调递减， 则cossin0 xxa 区间(,) 2 2 上恒成立， 即cossinaxx，(,) 2 2 x ， 令( )cossin2sin() 4 h xxxx ，(,) 2 2 x ， 故( 44 x ， 3 ) 4 ， 故sin() 4 x 的最大值是 1，此时 42 x ，即 4 x ， 故( )h x的最大值是2， 故2a， 故选：D 8 （5 分）已知 1 F， 2 F是双曲线 22 22 :1(0,0) xy Cab ab 的左右焦点，过 1 F的直线与圆 第 10页（共 22页） 222 xya相切，

19、切点T，且交双曲线右支于点P，若 1 2FTTP ，则双曲线C的渐近线方 程为() A0 xyB230 xyC320 xyD20 xy 【解答】解：连 2 PF，过 2 F作 2 / /F QOT，若 1 2FTTP ， 则易知 1 |OFc，|OTa， 1 | | |TFTQQPb， 2 |2QFa， 21 | | 232PFPFaba， 所以在 2 Rt PQF中， 222 (32 )(2 )baab，整理得 3 2 b a ， 所以渐近线方程为 3 2 yx ，即320 xy， 故选：C 二二、选择题选择题：本题共本题共 4 小题小题，每小题每小题 5 分分，共共 20 分分在每小题给出

20、的选项中在每小题给出的选项中，有多项符合有多项符合 题目要求全部选对的得题目要求全部选对的得 5 分，部分选对的得分，部分选对的得 2 分，有选错的得分，有选错的得 0 分分 9 （5 分）下列命题正确的是() A函数 1 ( )f xx x 的图象关于坐标原点对称 B若 1 (xe，1)，alnx，2blnx， 3 cln x，则bac C如果函数3cos(2)yx的图象关于点 4 ( 3 ，0)中心对称，那么|的最小值为 6 D设a ，b ，c 是任意的非零平面向量，且相互不共线，则()()b c ac a b 不与c 垂直 【解答】解：对于A，( )f x的定义域为 |0 x x ，故关

21、于原点对称， 又 11 ()()( )fxxxf x xx ，故函数( )f x为奇函数， 所以函数 1 ( )f xx x 的图象关于坐标原点对称，故选项A正确； 对于B，由 1 (xe，1)，可得( 1,0)lnx ， 第 11页（共 22页） 则2lnxlnx， 3 ln xlnx，故bac，故选项B正确； 对于C，函数3cos(2)yx的图象关于点 4 ( 3 ，0)中心对称， 所以 4 3cos(2)0 3 ，则 2 , 32 kkZ ， 当0k 时，|的最小值为 6 ，故选项C正确； 对于D，()() ()()0b c ac a bcb c a cc a b c ， 所以()()b

22、 c ac a b 与c 垂直，故选项D错误 故选：ABC 10 （5 分）已知 2 1 () (0) n axa x 的展开式中第 5 项与第 7 项的二项式系数相等，且展开 式的各项系数之和为 1024，则下列说法正确的是() A展开式中奇数项的二项式系数和为 256 B展开式中第 6 项的系数最大 C展开式中存在常数项 D展开式中含 15 x项的系数为 45 【解答】解：因为 2 1 () (0) n axa x 的展开式中第 5 项与第七项的二项式系数相等； 46 10 nn n痧； 展开式的各项系数之和为 1024， 10 (1)1024a； 0a ； 1a 原二项式为： 210 1

23、 ()x x ；其展开式的通项公式为： 5 20 2 10 2 11010 1 ()() r rrrr r Txx x 痧； 展开式中奇数项的二项式系数和为： 1 1024512 2 ；故A错； 因为本题中二项式系数和项的系数一样， 且展开式有 11 项， 故展开式中第 6 项的系数最大， B对； 令 5 2008 2 rr，即展开式中存在常数项，C对； 第 12页（共 22页） 令 5 20152 2 rr， 2 10 45，D对； 故选：BCD 11 （5 分）古希腊著名数学家阿波罗尼斯与欧几里得、阿基米德齐名，他发现：平面内到 两个定点A、B的距离之比为定值(1) 的点所形成的图形是圆后

24、来，人们将这个圆以 他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆已知在平面直角坐标系xOy中，( 2,0)A 、 (4,0)B，点P满足 1 2 PA PB ，设点P所构成的曲线为C，下列结论正确的是() AC的方程为 22 (4)16xy B在C上存在点D，使得D到点(1,1)的距离为 3 C在C上存在点M，使得| 2|MOMA D在C上存在点N，使得 22 |4NONA 【解答】解：设点( , )P x y，由 |1 |2 PA PB ， 得 22 22 (2)1 2 (4) xy xy ，化简得 22 80 xyx，即 22 (4)16xy， 故A选项正确； 对于B选项，设 0 (D x，

25、 0) y，由D到点(1,1)的距离为 3， 得 22 00 (1)(1)3xy，又 22 00 (4)16xy，联立方程可知有解， 故B选项正确； 对于C选项，设 0 (M x， 0) y，由| 2|MOMA，得 2222 0000 2 (2)xyxy， 又 22 00 (4)16xy，联立方程消去 0 y得 0 2x ，解得 0 y无解， 故C选项错误； 对于D选项，设 0 (N x， 0) y，由 22 |4NONA，得 2222 0000 (2)4xyxy， 又 22 00 (4)16xy，联立方程消去 0 y得 0 0 x ，解得 0 0y ，有解， 故D选项正确 故选：ABD 12

26、 （5 分）如图，直三棱柱 111 ABCA BC，ABC为等腰直角三角形，ABBC，且 1 2ACAA，E，F分别是AC， 11 AC的中点，D，M分别是 1 AA， 1 BB上的两个动点， 第 13页（共 22页） 则() AFM与BD一定是异面直线 B三棱锥DMEF的体积为定值 1 3 C直线 11 BC与BD所成角为 2 D若D为 1 AA的中点，则四棱锥 1 DBB FE的外接球表面积为5 【解答】解：对于A，当M与B重合时，FM与BD是相交直线，故A错误； 对于B，由已知可得 111 B FAC，又平面ABC 平面 11 CAAC， 1 B F平面 11 CAAC， 在矩形 1 A

27、EFA中，DEF的面积 1 11 2 11 22 SEFAF ， 又 111 1 1 2 B FAC， 11 1 1 33 D MEFMDEF VV ，故B正确； 对于C，由 1 AA 平面 111 A B C，得 111 AABC， 又 1111 B CA B， 1111 ABAAA ， 11 BC平面 11 A B BA，得直线 11 BC与BD所成角为 2 ，故 C正确； 对于D， 由题意可知， 四边形 1 BB FE为矩形， 连接BF， 则矩形 1 BB FE的外接圆的圆心为BF 的中点 1 O， 且 11 5 2 O FO B， 过 1 O作 1 O NEF， 垂足为N， 连接DN，

28、 1 O D， 则 1 1 2 O N ，1DN ， 1 O NDN， 故 1 5 2 O D ， 1 O就是四棱锥 1 DBB FE的外接球的球心，外接球的半径为 5 2 R ， 则外接球的表面积为 2 5 4()5 2 S，故D正确 故选：BCD 第 14页（共 22页） 三、填空题：本题共三、填空题：本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分 13 （5 分）已知数列 n a满足： 1 1 4 a ， 1 1 1 n n a a ，则 2021 a5 【解答】解： 1 1 4 a ， 1 1 1 n n a a ， 2 5a， 3 4 5 a ， 4 1 4 a

29、， 数列 n a是周期为 3 的数列， 2021673 3 22 5aaa ， 故答案为：5 14 （5 分）某工厂需要建造一个仓库，根据市场调研分析，运费与工厂和仓库之间的距离 成正比，仓储费与工厂和仓库之间的距离成反比，当工厂和仓库之间的距离为 4 千米时，运 费为 20 万元，仓储费用为 5 万元，当工厂和仓库之间的距离为2千米时，运费与仓储费 之和最小，最小值为万元 【解答】 解： 设工厂和仓库之间的距离为x千米， 运费为 1 y万元， 仓储费为 2 y万元， 则 11 yk x， 2 2 k y x 工厂和仓库之间的距离为 4 千米时，运费为 20 万元，仓储费用为 5 万元， 1

30、5k， 2 20k ， 运费与仓储费之和为 20 5x x 2020 52 520 xx xx ，当且仅当 20 5x x ，即2x 时，运费与仓储费之和最小为 20 万 元 故答案为：2，20 15 （5 分）某单位为了制定节能减排的计划，随机统计了某 4 天的用电量y（单位：度） 与当天气温x（单位：C) ，并制作了对照表（如表所示） 由表中数据，得线性回归方程 2yxa ，当某天的气温为5 C 时，预测当天的用电量约为70度 第 15页（共 22页） x 1813101 y 24343864 【解答】解：由题意， 1813101 10 4 x ， 24343864 40 4 y 将(10

31、,40)代入回归方程2yxa 中， 4010( 2)a ，解得：60a ， 260yx 当5x 时，2( 5)6070y 故答案为：70 16 （5 分）已知函数 1 ( )sin2(2)cos(1) 2 f xaxaxax在 2 ， 2 上无极值，则a 2 【解答】解：( )cos2(2)sin1(2sin1)( sin1)fxaxaxaxax ， ( )0fx时一定有根， 1 sin 2 x ，即 62 x ， 2 ， 故要使( )f x无极值，则2a ， 此时 2 ( )(2sin1)0fxx 恒成立，( )f x单调递减，函数( )f x无极值 故答案为：2 四、解答题：本题共四、解答

32、题：本题共 6 小题，共小题，共 70 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 17 （10 分）在 1 1 2 n n a a ， 1 1 6 nn aa ， 1 8 nn aan 这三个条件中任选一个， 补充在下面的问题中，并解答 问题：设 n S是数列 n a的前n项和，且 1 4a ，_，求 n a的通项公式，并判断 n S是否 存在最大值，若存在，求出最大值；若不存在，说明理由 【解答】解：选 因为 1 1 2 n n a a ， 1 4a ，所以 n a是首项为 4，公比为 1 2 的等比数列 所以 13 11 4()() 22 nn n

33、a 当n为奇数时， 1 41() 81 2 (1) 1 32 1 2 n n n S ， 因为 81 (1) 32n 随着n的增大而减小，所以此时 n S的最大值为 1 4S ； 第 16页（共 22页） 当为偶数时， 1 41() 81 2 (1) 1 32 1 2 n n n S ，且 818 (1)4 323 n n S ， 综上， n S存在最大值，且最大值为 4 选 解法 1：因为 1 1 6 nn aa ， 1 4a ，所以 n a是首项为 4，公差为 1 6 的等差数列 所以 1125 4(1) () 666 n ann ， 由于 125 0 66 n，得25n，所以.存在最大值

34、，且最大值为 25 S或 24 S， 因为 25 25241 425()50 26 S ，所以 n S的最大值为 50 选 因为 1 8 nn aan ，所以 1 8 nn aan ， 所以 21 7aa ， 32 6aa ， 1 9 nn aan ， 所以 2 1 ( 79)(1)1716 22 n nnnn aa ， 由于 1 4a ， 所以 2 1724 2 n nn a ， 当16n时，0 n a ，故 n S不存在最大值 18 （12 分）如图，在平面四边形ABCD中，1AD ，2CD ，7AC （1）求cosCAD的值； （2）若 7 cos 14 BAD ， 21 sin 6 C

35、BA，求BC的长 【解答】解：1AD ，2CD ，7AC （1）在ADC中，由余弦定理，得 222 cos 2 ACADCD CAD AC AD 2 7 cos 7 CAD； 第 17页（共 22页） （2）设BAC，则BADCAD ， 2 77 cos,cos 714 21 sin 7 3 21 sin 14 3 sin 2 CADBAD CAD BAD ， 在ABC中，由正弦定理， sinsin BCAC CBA ， 解得：3BC 即BC的长为 3 19 （12 分）如图，在四棱锥中PABCD，PA 平面ABCD，/ /ADBC，ADCD，且 2 2ADCD，4 2BC ，2PA （1）求

36、证：ABPC； （2）在线段PD上，是否存在一点M，使得二面角MACD的大小为45，如果存在， 求BM与平面MAC所成角的正弦值，如果不存在，请说明理由 【解答】解： （1）证明：四边形ABCD是直角梯形， 2 2ADCD，4 2BC ， 4AC， 22 ()884ABBCADCD， ABC是等腰直角三角形，即ABAC， PA 平面ABCD，AB 平面ABCD， PAAB， AB平面PAC，又PC 平面PAC， ABPC （2）假设存在符合条件的点M，过点M作MNAD于N，则/ /MNPA， 第 18页（共 22页） MN平面ABCD，MNAC 过点M作MGAC于G，连接NG，则AC 平面MN

37、G， ACNG，即MGN是二面角MACD的平面角 若45MGN，则NGMN，又22ANNGMN， 1MN，即M是线段PD的中点 存在点M使得二面角MACD的大小为45 在三棱锥MABC中， 1118 44 1 3323 MABCABC VSMN ， 设点B到平面MAC的距离是h，则 1 3 B MACMAC VSh ， 22MGMN， 11 422 2 22 MAC SAC MG ， 18 2 2 33 h，解得2 2h 在ABN中，4AB ，2AN ，135BAN， 2 16224226 2 BN ， 22 3 3BMBNMN， BM与平面MAC所成角的正弦值为 2 6 9 h BM 20

38、（12 分）已知点A，B的坐标分别为( 2,0)，(2,0)三角形ABM的两条边AM，BM 所在直线的斜率之积是 3 4 （）求点M的轨迹方程； （）设直线AM方程为2(0)xmym，直线l方程为2x ，直线AM交l于P，点P， Q关于x轴对称，直线MQ与x轴相交于点D若APD面积为2 6，求m的值 【解答】解： （）设( , )M x y，点A，B的坐标分别为( 2,0)，(2,0) 第 19页（共 22页） 由题意得： 3 (2) 224 AMBM yy kkx xx ， 化简，得点M的轨迹的方程为 22 1 43 xy ，(2)x （） 直线AM的方程为2xmy，(0)m ， 直线直线l

39、方程为2x ， 联立可得点 4 (2,)P m ， 4 (2,)Q m ， 由 22 2 1 43 xmy xy 消x可得 22 (34)120mymy，解得0y 或 2 12 34 m y m ， 由题设可得点 2 2 68 (3 4 m M m ， 2 12 ) 34 m m ， 可得直线MQ的方程为 2 22 124684 ()(2)(2)()0 3434 mm xy mmmm ， 令0y ，可得 2 2 64 32 m x m ， 故 2 2 64 (3 2 m D m ，0)， 22 22 6412 | 2 3232 mm AD mm ， APD面积 2 22 112424| 2 6

40、 232|32 mm S mmm ， 解得 6 3 m 21 （12 分）2019 年 7 月 1 日至 3 日，世界新能源汽车大会在海南博鳖召开，以“新时代、 新变革、新产业”为主题，突出电动化、智能化、共享化融合发展特色某汽车公司顺应时 代潮流，新研发了一款新能源汽车，并在出厂前对 100 辆汽车进行了单次最大续航里程（理 论上是指新能源汽车所装载的燃料或电池所能够提供给车行驶的最远里程） 的测试 现对测 试数据进行分析，得到如图所示的频率分布直方图 （1）估计这 100 辆汽车的单次最大续航里程的平均值x（同一组中的数据用该组区间的中 点值代表） ； （2）根据大量的汽车测试数据，可以认

41、为这款汽车的单次最大续航里程X近似地服从正态 分布 2 ( ,)N ，用样本平均数x作为的近似值，用样本标准差s作为的估计值，经计算 样本标准差s的近似值为 50，现任取一辆汽车，求它的单次最大续航里程恰在 250 千米到 400 千米之间的概率 参考数据：若随机变量服从正态分布 2 ( ,)N ，则()0.6827P， 第 20页（共 22页） (22 )0.9545P，(33 )0.9973P （3）某汽车销售公司为推广此款新能源汽车，现面向意向客户推出“玩游戏，送大奖”活 动，客户可根据抛掷硬币的结果，操控微型遥控车在方格图上行进，若遥控车最终停在“胜 利大本营” ，则可获得购车优惠券已

42、知硬币出现正反面的概率都是 1 2 ，方格图上标有第 0 格、第 1 格、第 2 格、第 50 格遥控车开始在第 0 格，客户每掷一次硬币，遥控车向 前移动一次，若掷出正面，遥控车向前移动一格（从k到1)k ，若掷出反面，遥控车向前 移动两格（从k到2)k ，直到遥控车移到第 49 格（胜利大本营）或第 50 格（失败大本营） 时，游戏结束设遥控车移到第n格的概率为 n P，试说明 1 nn PP 是等比数列，并解释此 方案能否成功吸引顾客购买该款新能源汽车 【解答】解：（1） 0.002502050.004502550.009503050.004503550.001 50405300 x （

43、千米） （2）由(300XN， 2 50 ) 0.95450.6827 (250400)0.95450.8186 2 PX （3）遥控车开始在第 0 格为必然事件， 0 1P 第一次掷硬币出现正面，遥控车移到第一 格，其概率为 1 2 ，即 1 1 2 P 遥控车移到第(249)nn 格的情况是下面两种，而且只有两种： 遥控车先到第2n 格，又掷出反面，其概率为 2 1 2 n P 遥控车先到第1n格，又掷出正面，其概率为 1 1 2 n P 21 11 22 nnn PPP 112 1 () 2 nnnn PPPP 第 21页（共 22页） 149n 时，数列 1 nn PP 是等比数列，首

44、项为 10 1 2 PP ，公比为 1 2 的等比数列 1 1 1 2 P ， 2 21 1 () 2 PP ， 3 32 1 () 2 PP ， 1 1 () 2 n nn PP 1 11 112100 1 1() 11121 2 ()()()()()11() 1 22232 1() 2 n nnn nnnnn PPPPPPPP ，(0n ，1，49) 遥控车停在“胜利大本营”的概率 50 49 21 1() 32 P ， 遥控车停在“失败大本营”的概率 4949 5048 112111 1() 1( ) 223232 PP 504948 4950 211111 1() 1( ) 1( )

45、0 323232 PP 遥控车停在“胜利大本营”的概率大 此方案能成功吸引顾客购买该款新能源汽车 22 （12 分）已知函数( ) 1 axlnx f x x （1）当1a 时，判断( )f x有没有极值点？若有，求出它的极值点；若没有，请说明理由； （2）若( )1f xx，求a的取值范围 【解答】解：函数( ) 1 axlnx f x x ，则0 x 且1x ，即函数的定义域为(0，1)(1，)； （1 分） （1）当1a 时，( ) 1 xlnx f x x ，则 2 1 ( ) (1) xlnx fx x ，（2 分） 令( )1g xxlnx，则 11 ( )1 x g x xx ，

46、 当(0,1)x时，( )0g x，( )g x为减函数，( )g xg（1）0， ( )0fx，( )f x无极值点； 当(1,)x时，( )0g x，( )g x为增函数，( )g xg（1）0， ( )0fx，( )f x无极值点； 综上，当1a 时，( )f x没有极值点；（4 分） （2）由( )1f xx，得1 1 axlnx x x ，即 1 ()0 1 x alnxx xx ； 令 1 ( )h xalnxx x ，则 2 2 1(1) ( )1 axax h x xxx ；（5 分） 当0a时，(0,1)x时 0 10 lnx x ； 第 22页（共 22页） (1,)x时

47、0 10 lnx x ， 1 1 axlnx x x 成立，即0a符合题意；（7 分） 当02a 时， 2 1 20 xaxxax，( ) 0h x； 当(0,1)x时，( )h x为减函数，( )h xh（1）0， 1 ()0 1 x alnxx xx 成立； 当(1,)x时，( )h x为减函数，( )h xh（1）0， 1 ()0 1 x alnxx xx 成立； 即02a 符合题意；（9 分） 当2a 时，由( )0h x，得 2 10 xax ，且 2 40a； 设 2 10 xax 两根为 1 x， 212 ()xxx， 12 0 xxa， 12 1x x ， 12 01xx； 由( )0h x，得 2 10 xax ，解集为 1 (x，1)(1， 2) x， ( )h x在 1 (x，1)上为增函数， 1 ()h xh（1）0， 1 11 11 1 ()0 1 x alnxx xx ，2a不合题意；（11 分） 综上，a的取值范围是(，2（12 分）