2021年山西省太原市高考数学模拟试卷（理科）（一）（一模）.docx

1、第 1页（共 22页） 2021 年山西省太原市高考数学模拟试卷（理科年山西省太原市高考数学模拟试卷（理科） （一（一） （一模）（一模） 一、选择题：本题共一、选择题：本题共 12 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 60 分，在每小题给出的四个选项中，只有分，在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的一项是符合题目要求的 1 （5 分）已知集合 | 1Axx， |21 x Bx，则(AB ) A( 1,0)B(,1)C( 1,1)D(0,1) 2 （5 分）已知复数z满足 1 zi i z ，则复数(z ) A1iB1iC1i D1i 3 （5 分）公元前 6 世纪，古希

2、腊毕达哥拉斯学派在研究正五边形和正十边形的作图时，发 现了黄金分割数 51 2 ，其近似值为 0.618，这是一个伟大的发现，这一数值也表示为 2sin18a ，若 2 4ab，则 2 ( 1cos72 a b ) A 1 2 B2C 51 2 D4 4 （5 分）函数 cos ( ) sin xx f x xx 的部分图象大致是() A B C 第 2页（共 22页） D 5 （5 分）在区间 1，1上任取一个实数k，则使得直线ykx与圆 22 (2)1xy有公共 点的概率是() A 3 2 B 2 2 C 3 3 D 1 2 6 （5 分）已知梯形ABCD中，/ /ABDC，且2ABDC，

3、点P在线段BC上，若 5 6 APABAD ，则实数() A 3 4 B 2 3 C 1 3 D 1 2 7 （5 分）已知 n a是各项均为正数的等比数列，其前n项和为 n S，且 n S是等差数列，给 出以下结论： nn aS是等差数列； nn aS是等比数列； 2 n a是等差数列； n S n 是等比数列 则其中正确结论的个数为() A4B3C2D1 8 （5 分）已知实数x，y满足 313 0 3211 0 25 0 xy xy xy ，若不等式1 0 xmy 恒成立，则实数m的 取值范围是() A(0， 1 4 B 4， 1 2 C(， 1 2 D(，4 9 （5 分）已知2 3a

4、ln ，3 2bln ， 3 2cln，则下列结论正确的是() AbcaBcbaCbacDabc 10 （5 分）已知三棱锥ABCD中，4ABBCBDCDAD，二面角ABDC的 余弦值为 1 3 ，点E在棱AB上，且3BEAE，过E作三棱锥ABCD外接球的截面，则所 第 3页（共 22页） 作截面面积的最小值为() A 10 3 B3C 3 D 3 4 11 （5 分）已知过抛物线 2 2(0)ypx p的焦点 1 ( ,0) 2 F的直线与该抛物线相交于A，B两 点，点M是线段AB的中点，以AB为直径的圆与y轴相交于P，Q两点，若2AFFB ， 则sin(MPQ) A 5 9 B 3 7 C

5、 9 17 D 5 13 12（5 分） 已知函数( )sin()(0f xx ，|) 2 的图象关于 3 x 对称， 且()0 6 f ， ( )f x在 3 ， 11 24 上单调递增，则的所有取值的个数是() A3B4C1D2 二二、填空题填空题：本大题共本大题共 4 小题小题，每小题每小题 5 分分，共共 20 分分试题中包含两空的试题中包含两空的，答对第一空的答对第一空的 给给 3 分，全部答对的给分，全部答对的给 5 分分 13 （5 分）函数( )(2) x f xxe的图象在点(0，(0)f处的切线方程为 14 （5 分）在 23456 (1)(1)(1)(1)(1)(1)xx

6、xxxx的展开式中， 3 x的系数 为 15 （ 5 分 ） 已 知 数 列 n a满 足 12 3 2 aa， 2 2 3 (*) n nn aanN ， 且 1( *) nnn baanN 则数列 n b的通项公式为若 2 4(1) (*) 3(41) nn n b cnN n ，则数列 n c的前n项和为 16 （5 分）已知椭圆 22 22 :1(0) xy Cab ab 的左焦点是点F，过原点倾斜角为 3 的直线l 与椭圆C相交于M，N两点，若 2 3 MFN ，则椭圆C的离心率是 三、解答题：共三、解答题：共 70 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤第分，解答应写出文字说明

7、、证明过程或演算步骤第 1721 题为必考题为必考 题题，毎个试题考生都必须作答毎个试题考生都必须作答第第 22、23 题为选考题题为选考题，考生根据要求作答考生根据要求作答 （一一）必考题必考题： 共共 60 分分 17 （12 分）已知a，b，c分别是ABC的内角A，B，C所对的边，3 sin4 sincAbC， 再从下面条件与中任选一个作为已知条件，完成以下问题： （）证明：ABC为等腰三角形； 第 4页（共 22页） （）若ABC的面积为2 5，点D在线段AB上，且2BDDA，求CD的长 条件： 2 cos 3 C ；条件： 1 cos 9 A 18 （12 分）某地区为了实现产业的转

8、型发展，利用当地旅游资源丰富多样的特点，决定大 力发展旅游产业， 一方面对现有旅游资源进行升级改造， 另一方面不断提高旅游服务水平 为 此该地区旅游部门， 对所推出的报团游和自助游项目进行了深入调查， 如表是该部门从去年 某月到该地区旅游的游客中，随机抽取的 100 位游客的满意度调查表 满意度老年人中年人青年人 报团游自助游报团游自助游报团游自助游 满意121184156 一般2164412 不满意116232 （）已知甲是此次调查时满意度为“满意”的报团游游客，由表中的数据分析，老年人、 中年人和青年人这三种人群中，哪一类人群更倾向于选择报团游？ （）为了提高服务水平，该旅游部门要从上述样

9、本里满意度为“不满意”的游客中，随机 抽取 3 人征集整改建议，记X表示这 3 人中老年人的人数，求X的分布列和期望， （）若你朋友要到该地区旅游，根据表中的数据，你会建议他选择哪种旅游项目？ 19 （12 分）如图，在三棱锥PABC中，PAB是正三角形，G是PAB的重心，D，E， H分别是PA，BC，PC的中点，点F在BC上，且3BFFC （）求证：平面/ /DFH平面PGE； （）若PBAC，2ABAC，2 2BC ，求二面角APCB的余弦值 20 （12 分）已知椭圆 22 22 :1(0) xy Cab ab 的左、 右焦点分别是 1 F、 2 F， 其离心率 1 2 e ， 点P是椭

10、圆C上一动点， 12 PF F内切圆面积的最大值为 3 第 5页（共 22页） （）求椭圆C的标准方程； （）直线 1 PF， 2 PF与椭圆C分别相交于点A，B，求证： 12 12 | | PFPF F AF B 为定值 21 （12 分）已知函数( )cos2() x f xexaxaR （）设( )( )g xf xax，求( )g x在0，)上的最小值； （）若不等式( ) 0 xf x 在 2 ，)上恒成立，求实数a的取值范围 （二）选考题：共（二）选考题：共 10 分请考生在第分请考生在第 22、23 题中任选一题作答如果多做，则按所做的题中任选一题作答如果多做，则按所做的 第一题

11、计分第一题计分作答时请用作答时请用 2B 铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑选修选修 4-4：坐标系坐标系 与参数方程与参数方程 22 （10 分）在平面直角坐标系xOy中，曲线 1 C的参数方程为 11 () 2 ( 1 xt t t yt t 为参数） ，以坐 标原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系， 曲线 2 C的极坐标方程为cos()0 3 （）求曲线 1 C的普通方程和 2 C的直角坐标方程； （）已知点(3, 3)P，曲线 1 C与 2 C相交于A，B两个不同点，求|PAPB的值 选修选修 4-5：不等式选讲：不等式选讲 23已知函数 2

12、 ( ) |(0)f xxxmm m （）当1m 时，求函数( )f x的最小值； （）若存在(0,1)x，使得不等式( ) 3f x 成立，求实数m的取值范围 第 6页（共 22页） 2021 年山西省太原市高考数学模拟试卷（理科年山西省太原市高考数学模拟试卷（理科） （一（一） （一模）（一模） 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、选择题：本题共一、选择题：本题共 12 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 60 分，在每小题给出的四个选项中，只有分，在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的一项是符合题目要求的 1 （5 分）已知集合 | 1Axx， |21 x B

13、x，则(AB ) A( 1,0)B(,1)C( 1,1)D(0,1) 【解答】解：集合 | 1 | 11Axxxx ， |21 |0 x Bxx x， | 10( 1,0)ABxx 故选：A 2 （5 分）已知复数z满足 1 zi i z ，则复数(z ) A1iB1iC1i D1i 【解答】解： 1 zi i z ， zizii ， 22 (1)22 1 1(1)(1)2 iiii zi iii ， 故选：D 3 （5 分）公元前 6 世纪，古希腊毕达哥拉斯学派在研究正五边形和正十边形的作图时，发 现了黄金分割数 51 2 ，其近似值为 0.618，这是一个伟大的发现，这一数值也表示为 2s

14、in18a ，若 2 4ab，则 2 ( 1cos72 a b ) A 1 2 B2C 51 2 D4 【解答】解：2sin18a ，若 2 4ab， 2222 444sin 184(1 sin 18 )4cos 18ba ， 2222 2 418418436 2 1cos721cos72236 a bsincossin sin 故选：B 4 （5 分）函数 cos ( ) sin xx f x xx 的部分图象大致是() 第 7页（共 22页） A B C D 【解答】解： cos()cos ()( ) sin()sin xxxx fxf x xxxx ， 函数( )f x为偶函数，其图象关

15、于y轴对称，故排除CD； 又f（6） 6cos6 0 6sin6 ，故排除B 故选：A 5 （5 分）在区间 1，1上任取一个实数k，则使得直线ykx与圆 22 (2)1xy有公共 点的概率是() A 3 2 B 2 2 C 3 3 D 1 2 【解答】解：圆 22 (2)1xy的圆心为(2,0)，半径为 1 要使直线ykx与圆 22 (2)1xy有公共点， 则圆心到直线ykx的距离 2 |2 | 1 1 k k ，解得： 33 33 k 第 8页（共 22页） 在区间 1，1中随机取一个实数k，则事件“直线ykx与圆 22 (2)1xy有公共点” 发生的概率为： 33 () 3 33 1(

16、1)3 故选：C 6 （5 分）已知梯形ABCD中，/ /ABDC，且2ABDC，点P在线段BC上，若 5 6 APABAD ，则实数() A 3 4 B 2 3 C 1 3 D 1 2 【解答】解：如图， P在线段BC上，且2ABDC，设 11 ()()()() 22 BPkBCk ACABk ADDCABk ADABABk ADAB ， 1 ()(1) 22 k APABBPABk ADABABkAD ， 又 5 6 APABAD ， 5 1 26 k k ，解得 1 3 故选：C 7 （5 分）已知 n a是各项均为正数的等比数列，其前n项和为 n S，且 n S是等差数列，给 出以下结

17、论： nn aS是等差数列； nn aS是等比数列； 2 n a是等差数列； n S n 是等比数列 则其中正确结论的个数为() A4B3C2D1 第 9页（共 22页） 【解答】解：由 n S是等差数列， 可得： 121123 2()aaaaaa， 23 aa， n a是各项均为正数的等比数列， 22 aa q，可得1q 1 0 n aa， 1 (1) nn aSna，数列 nn aS是等差数列 22 1n aa， 2 n a是常数列，为等差数列 1 0 n S a n ， n S n 是等比数列 2 1nn a Sna， nn aS不是等比数列 故选：B 8 （5 分）已知实数x，y满足

18、313 0 3211 0 25 0 xy xy xy ，若不等式1 0 xmy 恒成立，则实数m的 取值范围是() A(0， 1 4 B 4， 1 2 C(， 1 2 D(，4 【解答】解：由约束条件作出可行域如图， 联立 250 32110 xy xy ，解得(3,1)A， 直线10 xmy 过定点( 1,0)，要使不等式1 0 xmy 恒成立， 则可行域在直线10 xmy 的左上方，则31 0m ，即4m 第 10页（共 22页） 实数m的取值范围是(，4 故选：D 9 （5 分）已知2 3aln ，3 2bln ， 3 2cln，则下列结论正确的是() AbcaBcbaCbacDabc

19、【解答】解：2 3239alnlnln ，3 2328blnlnln ， 36 26clnlnln， 239 1 328 alnln blnln ，ab， 设( ) lnx f x x ，则 2 1 ( ) lnx fx x ，令( )0fx，xe ， ( )f x在( ,)e 上递减，3e， 3 3 lnln ，33lnln， 3 3， 632 ()， 2 9(3 ) ， 3 3， 6 9，ca ， 623 ()， 3 8(2 ) ， 2 2， 6 8，cb ， acb 故选：A 10 （5 分）已知三棱锥ABCD中，4ABBCBDCDAD，二面角ABDC的 余弦值为 1 3 ，点E在棱AB

20、上，且3BEAE，过E作三棱锥ABCD外接球的截面，则所 作截面面积的最小值为() A 10 3 B3C 3 D 3 4 【解答】解：由已知可得，ABD，BCD都是边长为 4 的正三角形， 由二面角ABDC的余弦值为 1 3 ，结合余弦定理可得4AC ， 则三棱锥ABCD是棱长为 4 的正四面体，放置在棱长为2 2的正方体中， 则正四面体ABCD的外接球即正方体的外接球， 第 11页（共 22页） 其半径为 222 2(2 2)(2 2)(2 2)2 6R ， 6R ， 46 cos 32 6 AB OAB AM ， 6OAR， 11 41 44 AEAB， 222 6 ( 6)12613 3

21、 OE ， 则截面圆的半径 22 633rROE， 截面面积的最小值为 2 3Sr 故选：B 11 （5 分）已知过抛物线 2 2(0)ypx p的焦点 1 ( ,0) 2 F的直线与该抛物线相交于A，B两 点，点M是线段AB的中点，以AB为直径的圆与y轴相交于P，Q两点，若2AFFB ， 则sin(MPQ) A 5 9 B 3 7 C 9 17 D 5 13 【解答】解：由抛物线的焦点坐标可得 1 22 p ，所以1p ， 所以抛物线的方程为： 2 2yx， 设直线AB的方程为： 1 2 xmy，设 1 (A x， 1) y， 2 (B x， 2) y，设A在x轴上方， 联立 2 1 2 2

22、 xmy yx ，整理可得： 2 210ymy ， 可得： 12 1y y ， 由2AFFB ，即 1 1 (2x， 12 1 )2( 2 yx， 2) y， 可得 12 2yy ，代入可得： 2 2 1 2 y ，所以 2 2 2 y ， 1 2y 代入抛物线的方程可得： 2 1 4 x ， 1 1x ， 即(1, 2)A， 1 (4B， 2 ) 2 ， 所以AB的中点 5 (8M， 2 ) 4 ， 22 129 |(1)( 2) 424 AB ，即圆的直径为 9 4 ， 第 12页（共 22页） 所以圆的方程为 22 5281 ()() 8464 xy， 令0 x ，可得 142 44 y

23、 ，所以 142 (0,) 4 P ， 142 (0,) 4 Q ， 所以 5 5 8 tan 14222 14 44 MPQ ， 所以 22 55 sin 9 5(2 14) MPQ ， 故选：A 12（5 分） 已知函数( )sin()(0f xx ，|) 2 的图象关于 3 x 对称， 且()0 6 f ， ( )f x在 3 ， 11 24 上单调递增，则的所有取值的个数是() A3B4C1D2 【解答】解：由于函数( )sin()(0f xx ，|) 2 的图象关于 3 x 对称， 则： 1 32 k ， 1 ()kZ， 由于()0 6 f ，所以 2 () 6 kkZ ， 得： 2

24、1 () 22 kk ， 所以 2112 2()1()kkkkZ， 故为奇数， 且( )f x在 3 ， 11 24 上单调递增， 所以 11 2243 T ，解得08 当 21 1kk，2，3，4， 故的取值为：1，3，5，7， 第 13页（共 22页） 当1时，结合条件得到 6 ，满足条件， 当3时，求不出满足条件的值，故舍去； 当5时，解得 6 ，满足条件， 当7时， 解得 6 ， 由于 3 x ，11 24 时， 则 1359 7, 6624 x ， 容易验证sinyx 不在 1359 , 624 上单调递增， 故的值为 1 和 5 故选：D 二二、填空题填空题：本大题共本大题共 4

25、小题小题，每小题每小题 5 分分，共共 20 分分试题中包含两空的试题中包含两空的，答对第一空的答对第一空的 给给 3 分，全部答对的给分，全部答对的给 5 分分 13 （5 分）函数( )(2) x f xxe的图象在点(0，(0)f处的切线方程为20 xy 【解答】解：由题意可得( )(2) xx fxexe ， 则(0)1 f 因为(0)2f，所以所求切线方程为2yx ，即20 xy 故答案为：20 xy 14 （5 分）在 23456 (1)(1)(1)(1)(1)(1)xxxxxx的展开式中， 3 x的系数为 35 【解答】解：在 23456 (1)(1)(1)(1)(1)(1)xx

26、xxxx的展开式中， 3 x的系数为 3333 3456 35CCCC ， 故答案为：35 15 （ 5 分 ） 已 知 数 列 n a满 足 12 3 2 aa， 2 2 3 (*) n nn aanN ， 且 1( *) nnn baanN 则 数 列 n b的 通 项 公 式 为3n n b ，*nN 若 2 4(1) (*) 3(41) nn n b cnN n ，则数列 n c的前n项和为 【解答】解： 12 3 2 aa， 2 2 3 (*) n nn aanN ，可得 112 3baa， 2 23n nn aa ， 又 11212 ()2 3n nnnnnnnn bbaaaaaa

27、 ， 第 14页（共 22页） 则 21 121321 2(13 ) ()()()323232313 13 n nn nnn bbbbbbbb ， 上式对1n 也成立， 所以3n n b ，*nN； 由 2 4(1) (*) 3(41) nn n b cnN n ，可得 11 4411 3(21)(21)3 (21)3(21) n nnn n c nnnn ， 则数列 n c的前n项和为 2231 111111 3 13333353 (21)3(21) nn nn 1 11 33(21) n n 故答案为：3n n b ，*nN； 1 11 33(21) n n 16 （5 分）已知椭圆 22

28、 22 :1(0) xy Cab ab 的左焦点是点F，过原点倾斜角为 3 的直线l 与椭圆C相交于M，N两点，若 2 3 MFN ，则椭圆C的离心率是 3 210 2 【解答】 解： 设右焦点为 F ， 由题意可得直线l的方程为：3yx， 设 0 (M x， 0) y， 0 (Nx， 0) y， 连接 MF ， NF ，因为 2 3 MFN ， 所以四边形FMF N 为平行四边形，则 3 FMF ， 而 22 0 31 tan 632 MFF Sbbcy ， （焦三角形面积公式 2 tan 2 Sb ，为焦顶角） ， 所以可得 0 3 3 b y c ，代入直线l的方程可得： 2 0 3 b

29、 x c ， 将M的坐标代入椭圆的方程可得： 42 22 22 3 99 1 bb cc ab ， 整理可得： 4224 4140aa cc，即 42 1440ee， 解得： 2 73 5e ，由椭圆的离心率(0,1)e， 所以 3 210 73 5 2 e ， 故答案为： 3 210 2 三、解答题：共三、解答题：共 70 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤第分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤第 1721 题为必考题为必考 题题，毎个试题考生都必须作答毎个试题考生都必须作答第第 22、23 题为选考题题为选考题，考生根据要求作答考生根据要求作答 （一一）必考题必考题： 第 1

30、5页（共 22页） 共共 60 分分 17 （12 分）已知a，b，c分别是ABC的内角A，B，C所对的边，3 sin4 sincAbC， 再从下面条件与中任选一个作为已知条件，完成以下问题： （）证明：ABC为等腰三角形； （）若ABC的面积为2 5，点D在线段AB上，且2BDDA，求CD的长 条件： 2 cos 3 C ；条件： 1 cos 9 A 【解答】解：若选择条件： 2 cos 3 C ， （）证明：因为3 sin4 sincAbC，所以34acbc，所以 4 3 b a ， 由余弦定理 2 222222 1682 2cos 933 b cababCbbb， 所以bc，可得ABC为

31、等腰三角形，得证 （）因为 2 cos 3 C ，(0,) 2 C ，所以 2 5 sin1 3 Ccos C， 所以 1145 sin2 5 2233 ABC b SabCb ，解得3b ， 则 4 4 3 b a ，所以3bc， 又2BDAD，所以1AD ，2BD ， 因为3 sin4 sincAbC，所以 5 43 4 5 3 sin 3 39 A ，所以 2 1 cos1 9 Asin A， 在ACD中，由余弦定理可得 222 128 2cos192 1 3 93 CDADACAD ACA ， 所以 2 21 3 CD 若选择条件： 1 cos 9 A ， （）证明：因为3 sin4

32、sincAbC，所以34acbc，所以 4 3 b a ， 由余弦定理 2 22222 116 2cos2 99 b abcbcAbcb c ，整理可得 22 9270cbcb， 解得cb，或 7 9 b （舍去） ， 所以bc，所以ABC为等腰三角形，得证 （）因为 1 cos 9 A ，(0,) 2 A ，所以 4 5 sin 9 A ， 第 16页（共 22页） 所以 2 114 5 sin2 5 229 ABC SbcAb ，解得3b ， 则 4 4 3 b a ，所以3bc， 又2BDAD，所以1AD ，2BD ， 在ACD中，由余弦定理可得 222 128 2cos192 1 3

33、93 CDADACAD ACA ， 所以 2 21 3 CD 18 （12 分）某地区为了实现产业的转型发展，利用当地旅游资源丰富多样的特点，决定大 力发展旅游产业， 一方面对现有旅游资源进行升级改造， 另一方面不断提高旅游服务水平 为 此该地区旅游部门， 对所推出的报团游和自助游项目进行了深入调查， 如表是该部门从去年 某月到该地区旅游的游客中，随机抽取的 100 位游客的满意度调查表 满意度老年人中年人青年人 报团游自助游报团游自助游报团游自助游 满意121184156 一般2164412 不满意116232 （）已知甲是此次调查时满意度为“满意”的报团游游客，由表中的数据分析，老年人、

34、中年人和青年人这三种人群中，哪一类人群更倾向于选择报团游？ （）为了提高服务水平，该旅游部门要从上述样本里满意度为“不满意”的游客中，随机 抽取 3 人征集整改建议，记X表示这 3 人中老年人的人数，求X的分布列和期望， （）若你朋友要到该地区旅游，根据表中的数据，你会建议他选择哪种旅游项目？ 【解答】解： （）由表中数据可得老年人、中年人和青年人选择报团游的频率分别为 123 1553032211 , 1864044221 PPP， 因为 123 PPP，所以老年人更倾向于选择报团游； （）由题意可得，X的可能取值为 0，1，2， 所以 3 13 3 15 22 (0) 35 C P X C

35、 ， 21 132 3 15 12 (1) 35 C C P X C ， 第 17页（共 22页） 12 132 3 15 1 (2) 35 C C P X C ， 所以X的分布列为： X012 P 22 35 12 35 1 35 所以 221212 ()012 3535355 E X ； （）由上表可知，报团游的满意率为 4 12181545 15302267 P ， 自助游的满意率为 5 1461 310203 P ， 因为 45 PP，故建议他选择报团游 19 （12 分）如图，在三棱锥PABC中，PAB是正三角形，G是PAB的重心，D，E， H分别是PA，BC，PC的中点，点F在BC

36、上，且3BFFC （）求证：平面/ /DFH平面PGE； （）若PBAC，2ABAC，2 2BC ，求二面角APCB的余弦值 【解答】 （）证明：连结BG，因为PAB是正三角形，G是PAB的重心，D为PA的中 点， 所以BG与GD共线，且2BGGD， 因为E为BC的中点，3BFFC，所以F是CE的中点， 所以2 BGBE CDEF ，所以/ /GEDF， 又GE 平面PGE，DF 平面PGE，所以/ /DF平面PGE， 因为H是PC的中点，所以/ /FHPE， 因为FH 平面PGE，PE 平面PGE，所以/ /FH平面PGE， 因为FHDFF ，FH，DF 平面DFH， 第 18页（共 22页

37、） 所以平面/ /DFH平面PGE； （）解：因为2ABAC，2 2BC ，所以 222 8ABACBC， 所以ABAC， 因为PBAC，ABPBB ，AB，PB 平面PAB， 所以AC 平面PAB， 以A为坐标原点，AB，AC所在直线为x轴，y轴建立空间直角坐标系如图所示， 则(0A，0，0)，(2B，0，0)，(0C，2，0)，(1,0, 3)P， 设平面PAC的法向量为( , , )nx y z ， 则有 0 0 m AC m AP ，即 20 30 y xz ， 令1z ，则0,3yx，所以( 3,0, 1)n ， 设平面PBC的法向量为( , , )ma b c ， 则有 0 0 m

38、 PC m BC ，即 230 220 abc ab ， 令1c ，则3ab，所以( 3, 3,1)m ， 所以 |7 |cos,| |7 n m n m n m ， 故二面角APCB的余弦值 7 7 第 19页（共 22页） 20 （12 分）已知椭圆 22 22 :1(0) xy Cab ab 的左、 右焦点分别是 1 F、 2 F， 其离心率 1 2 e ， 点P是椭圆C上一动点， 12 PF F内切圆面积的最大值为 3 （）求椭圆C的标准方程； （）直线 1 PF， 2 PF与椭圆C分别相交于点A，B，求证： 12 12 | | PFPF F AF B 为定值 【解答】解： （）设 1

39、2 PF F内切圆的半径为r， 则 1 2 1212 1 (|) 2 PF F PFPFFFrS， 1 21 2 2 22 PF FPF F SS r acac ， 当 12 PF F的面积最大时， 12 PF F内切圆的半径r最大， 显然当点P为椭圆的上顶点或下顶点时， 12 PF F的面积最大，最大值为 1 2 2 cbbc， r的最大值为 bc ac ，即 3 3 bc ac ， 由 222 3 3 1 2 bc ac c a abc ，解得： 2 3 1 a b c ， 椭圆C的标准方程为： 22 1 43 xy （）设 0 (P x， 0) y， 1 (A x， 1) y， 2 (B

40、 x， 2) y， 当 0 0y 时，设直线 1 PF， 2 PF的直线方程分别为 1 1xm y， 2 1xm y， 由 1 22 1 1 43 xm y xy 得： 22 11 (34)690mym y， 01 2 1 9 34 y y m ， 010 1xm y， 0 1 0 1x m y ， 00 1 52 3 yx y ， 同理，由 2 22 1 1 43 xm y xy 可得 00 2 52 3 yx y ， 0012 1212 |10 |3 yyPFPF F AF Byy ， 第 20页（共 22页） 当 0 0y 时，直线 1 PF， 2 PF与x轴重合，易得： 12 12 |

41、110 3 |33 PFPF F AF B ， 综上所述， 12 12 | | PFPF F AF B 为定值 10 3 21 （12 分）已知函数( )cos2() x f xexaxaR （）设( )( )g xf xax，求( )g x在0，)上的最小值； （）若不等式( ) 0 xf x 在 2 ，)上恒成立，求实数a的取值范围 【解答】解：( ) ( )( )cos2 x I g xf xaxex， 0 x时，1 x e ，1 sin1x， 则( )sin x g xex，( )sin0 x gxex ， 故( )g x在0，)上单调递增， 所以当0 x 时，( )g x在0，)上的

42、最小值(0)1g； ()( )sin x II fxexa， 因为( ) 0 xf x 在 2 ，)上恒成立， 当1a 时，由( ) I知( )sin x fxexa在0，)上单调递增，且(0)10fa ， 1 (1)10 a faea ， 故存在唯一的 2 (0,)x 使得 2 ()0fx， 当 2 (0,)xx时，( )0fx，( )f x单调递减，( )(0)0f xf，此时( )0 xf x 与已知矛盾， 当1a时， ( ) i若0 x，由（1）知，( )(0)10fxfa ， 所以( )f x在0，)上单调递增，( )(0)0f xf恒成立，此时原不等式恒成立，符合题意； ( )ii

43、若0 2 x ，则( )cos x fxex，( )sin x fxex ， 因为( )fx 在 2 ，0)上为增函数且(0)1f ， 2 ()10 2 fe ， 故存在唯一的 0 ,0) 2 x 使得( )0fx ， 当 0 ,) 2 xx 时，( )0fx ，( )fx 单调递减，当 0 (xx，0)时，( )0fx ，( )fx 单调 递增， 第 21页（共 22页） 又 2 ()0 2 fe ，(0)0f ， 故存在唯一的 1 2 x ，0)，使得 1 ( )0fx ， 故当 1 (xx，0)时，( )0fx ，( )fx单调递减， 当( 2 x ， 1) x时，( )0fx ，( )

44、fx单调递增， 又 2 ()10 2 fea ，(0)10fa ， 故当 2 x ，0)时，( ) 0fx，( )f x单调递增，( )(0)0f xf， 即( ) 0 xf x 在 2 ，)上恒成立， 综上a的范围(，1 （二）选考题：共（二）选考题：共 10 分请考生在第分请考生在第 22、23 题中任选一题作答如果多做，则按所做的题中任选一题作答如果多做，则按所做的 第一题计分第一题计分作答时请用作答时请用 2B 铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑选修选修 4-4：坐标系坐标系 与参数方程与参数方程 22 （10 分）在平面直角坐标系xOy中，曲线

45、1 C的参数方程为 11 () 2 ( 1 xt t t yt t 为参数） ，以坐 标原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系， 曲线 2 C的极坐标方程为cos()0 3 （）求曲线 1 C的普通方程和 2 C的直角坐标方程； （）已知点(3, 3)P，曲线 1 C与 2 C相交于A，B两个不同点，求|PAPB的值 【解答】解： （）曲线 1 C的参数方程为 11 () 2 ( 1 xt t t yt t 为参数） ，整理得 22 22 1 4() 1 () xt t yt t ，转 换为普通方程为 2 2 1 4 y x ； 曲线 2 C的极坐标方程为cos()0 3 ，根据 222

46、cos sin x y xy ，转换为直角坐标方程为 30 xy； 第 22页（共 22页） （）把直线30 xy转换为 3 3 2 ( 1 3 2 xt t yt 为参数） ，代入 2 2 1 4 y x ， 得到： 2 1144 34290tt， 所以 12 4 3tt ， 1 2 429 11 t t ， 所以 2 121 2 8 11 | |()4 11 PAPBABttt t 选修选修 4-5：不等式选讲：不等式选讲 23已知函数 2 ( ) |(0)f xxxmm m （）当1m 时，求函数( )f x的最小值； （）若存在(0,1)x，使得不等式( ) 3f x 成立，求实数m的取值范围 【解答】解： （）当1m 时，( ) |2|1|f xxx， |2|1|(2)(1)| 3xxxx， 故当且仅当(2)(1) 0 xx，即当21x 时，( )f x取最小值 3； （）由题意得存在(0,1)x使得 2 |3xxm m ， （1）当1m时， 2 |3xxm m 等价于 2 3m m ，解得：12m； （2）当01m时，令 2 ( )|g xxxm m ， 0 xm时， 2 ( )g xm m ，1m x 时， 2 ( )2g xxm m ， 故 2 ( )ming xm m ，故 2 3m m ，故12m，与01m矛盾，此时m无解， 综上：实数m的取值范围是1，2