1、第 1页（共 20页） 2021 年云南省昆明市年云南省昆明市“三诊一模三诊一模”高考数学第二次教学质量检高考数学第二次教学质量检 测试卷（文科测试卷（文科） （3 月份）月份） 一、选择题：本题共一、选择题：本题共 12 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 60 分。在每小题给出的四个选项中，只有分。在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的。一项是符合题目要求的。 1 （5 分）已知复数z满足2 1 z i i ，则(z ) A3i B3i C3iD3i 2 （5 分）集合 |(1)Ax yln x， |0Bx x，则(AB ) A(0,1)B(0,)C0，)D(1,)
2、3 （5 分）已知 5 sincos 4 ，则sin2() A 9 16 B 7 16 C 7 16 D 9 16 4 （5 分）设直线1y 与y轴交于点A，与曲线 3 yx交于点B，O为原点，记线段OA， AB及曲线 3 yx围成的区域为在内随机取一个点P，已知点P取在OAB内的概率 等于 2 3 ，则图中阴影部分的面积为() A 1 3 B 1 4 C 1 5 D 1 6 5 （5 分）已知P，Q分别是正方体 1111 ABCDABC D的棱 1 BB， 1 CC上的动点（不与顶点 重合） ，则下列结论错误的是() AABPQB平面/ /BPQ平面 11 ADD A C四面体ABPQ的体积
3、为定值D/ /AP平面 11 CDDC 6 （5 分）在数学发展史上，已知各除数及其对应的余数，求适合条件的被除数，这类问题 统称为剩余问题.1852年孙子算经中“物不知其数”问题的解法传至欧洲，在西方的数 学史上将“物不知其数”问题的解法称之为“中国剩余定理” “物不知其数”问题后经秦九 韶推广，得到了一个普遍的解法，提升了“中国剩余定理”的高度现有一个剩余问题：在 第 2页（共 20页） (1，2021的整数中，把被 4 除余数为 1，被 5 除余数也为 1 的数，按照由小到大的顺序排 列，得到数列 n a，则数列 n a的项数为() A98B99C100D101 7 （5 分）已知曲线1
4、 x ye在 0 xx处的切线方程为0exyt ，则() A 0 1x ，1t B 0 1x ，te C 0 1x ，1t D 0 1x ，te 8 （5 分）若等腰直角三角形一条直角边所在直线的斜率为 3 5 ，则斜边所在直线的斜率为( ) A 1 2 或 2B 1 3 或 3C 1 4 或 4D 1 5 或 5 9 （5 分）已知点P是ABC所在平面内一点，且0PAPBPC ，则() A 12 33 PABABC B 21 33 PABABC C 12 33 PABABC D 21 33 PABABC 10 （5 分）已知 1 F， 2 F分别是椭圆 22 22 :1(0) xy Eab
5、ab 的左，右焦点，M是椭圆短轴 的端点，点N在椭圆上，若 12 3MFNF ，则椭圆E的离心率为() A 1 3 B 1 2 C 2 2 D 6 3 11 （5 分）饮酒驾车、醉酒驾车是严重危害道路交通安全法的违法行为，将受到法律 处罚检测标准： “饮酒驾车：车辆驾驶人员血液中的酒精含量大于或者等于20/100mgmL， 小于80/100mgmL的驾驶行为；醉酒驾车：车辆驾驶人员血液中的酒精含量大于或者等于 80/100mgmL的驾驶行为 ”据统计，停止饮酒后，血液中的酒精含量平均每小时比上小时 降低20%某人饮酒后测得血液中的酒精含量为100/100mgmL，若经过(*)n nN小时，该
6、人血液中的酒精含量小于20/100mgmL，则n的最小值为()（参考数据：20.3010)lg A7B8C9D10 12 （5 分）已知函数( )sin()(0f xx ，0) 2 ，( )f x的一个零点是 6 ，( )f x图 象的一条对称轴是直线 2 x ，下列四个结论： 4 ； 9 3 () 2 k kN； 第 3页（共 20页） ()0 2 f ； 直线 3 x 是( )f x图象的一条对称轴 其中所有正确结论的编号是() ABCD 二、填空题：本题共二、填空题：本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分。分。 13 （5 分）已知平面向量( 3a ，3)，则与
7、a 夹角为45的一个非零向量b 的坐标可以 为 （写出满足条件的一个向量即可） 14 （5 分）已知双曲线 22 22 :1(0,0) xy Cab ab 的右焦点为F，右顶点为A，O为原点若 A为线段OF的中点，则C的渐近线方程为 15 （5 分）已知ABC中， 2 3 A ，满足14BC ，2ACAB，则ABC的面积为 16（5 分） 由正三棱锥PABC截得的三棱台 111 ABCA BC的高为3，6AB ， 11 3A B 若 三棱台 111 ABCA BC的各顶点都在球O的球面上，则球O的表面积为 三、解答题：共三、解答题：共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第分。解
8、答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第 1721 题为必考题为必考 题题，每个试题考生都必须作答每个试题考生都必须作答。第第 22、23 题为选考题题为选考题，考生根据要求作答考生根据要求作答。 （一一）必考题必考题： 共共 60 分。分。 17 （12 分）如图，四棱柱 1111 ABCDABC D的侧棱 1 AA 底面ABCD，四边形ABCD为菱 形，E，F分别为 1 AA， 1 CC的中点 （1）证明：B，F， 1 D，E四点共面； （2）若2AB ， 3 BAD ，求点F到平面 1 BDD的距离 18 （12 分）已知等差数列 n a的前n项和为 n S， 31 32aa，且 532
9、 4SSa （1）求数列 n a的通项公式； 第 4页（共 20页） （2）求数列 1 n S 的前n项和 n T 19 （12 分）3 月 12 日为我国的植树节，某校为增强学生的环保意识，普及环保知识，于该 日在全校范围内组织了一次有关环保知识的竞赛，现从参赛的所有学生中，随机抽取 200 人的成绩（满分为 100 分）作为样本，得到成绩的频率分布直方图，如图所示，其中样本数 据分组区间为40，50)，50，60)，60，70)，70，80)，80，90)，90，100 （1）求频率分布直方图中a的值，并估计该校此次环保知识竞赛成绩的平均分（同一组中 的数据用该组区间中点值为代表） ； （
10、2）在该样本中，若采用分层抽样的方法，从成绩低于 70 分的学生中随机抽取 6 人，查看 他们的答题情况， 再从这 6 人中随机抽取 3 人进行调查分析， 求这 3 人中至少有 1 人成绩在 50，60)内的概率 20 （12 分）在平面直角坐标系xOy中，已知点(1,2)A，B是一动点，直线OA，OB，AB 的斜率分别为 1 k， 2 k， 3 k，且 123 111 kkk ，记B点的轨迹为E （1）求E的方程； （2）过(1,0)C的直线与E交于M，N两点，过线段MN的中点D且垂直于MN的直线与x 轴交于H点，若| 4|MNDH，求直线MN的方程 21 （12 分）已知函数( )sinf
11、 xaxx，(0 x，)()aR （1）若( )0f x ，求a的取值范围； （2）当1a 时，证明：2 ( )cos x f xxe 第 5页（共 20页） （二）选考题：共（二）选考题：共 10 分。请考生在第分。请考生在第 22、23 题中任选一题作答。并用铅笔在答题卡选考题中任选一题作答。并用铅笔在答题卡选考 题区域内把所选的题号涂黑。如果多做，则按所做的第一题计分。题区域内把所选的题号涂黑。如果多做，则按所做的第一题计分。选修选修 4-4：坐标系与参：坐标系与参 数方程数方程 22 （10 分）在平面直角坐标系xOy中，曲线 1 C的参数方程为 2,( 1, xt t yt 为参数）
12、 以坐标 原点O为极点，x轴非负正半轴为极轴， 建立极坐标系， 曲线 2 C的极坐标方程为4cos （1）求 1 C的极坐标方程和 2 C的直角坐标方程； （2）若 1 C， 2 C交于A，B两点，求| |OAOB 选修选修 4-5：不等式选讲：不等式选讲（10 分）分） 23已知函数( ) |3|23|f xxx （1）求不等式( ) 6f x 的解集； （2）若 3 2x ，3， 3 ( )160 xaf x，求实数a的取值范围 第 6页（共 20页） 2021 年云南省昆明市年云南省昆明市“三诊一模三诊一模”高考数学第二次教学质量检高考数学第二次教学质量检 测试卷（文科测试卷（文科） （
13、3 月份）月份） 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、选择题：本题共一、选择题：本题共 12 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 60 分。在每小题给出的四个选项中，只有分。在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的。一项是符合题目要求的。 1 （5 分）已知复数z满足2 1 z i i ，则(z ) A3i B3i C3iD3i 【解答】解：2 1 z i i ， 2 (2)(1)223ziiiiii ， 故选：D 2 （5 分）集合 |(1)Ax yln x， |0Bx x，则(AB ) A(0,1)B(0,)C0，)D(1,) 【解答】解： |1Ax x， |0B
14、x x， (0,)AB 故选：B 3 （5 分）已知 5 sincos 4 ，则sin2() A 9 16 B 7 16 C 7 16 D 9 16 【解答】解： 5 sincos 4 ，平方可得 25 12sincos 16 ， 则 9 sin22sincos 16 ， 故选：A 4 （5 分）设直线1y 与y轴交于点A，与曲线 3 yx交于点B，O为原点，记线段OA， AB及曲线 3 yx围成的区域为在内随机取一个点P，已知点P取在OAB内的概率 等于 2 3 ，则图中阴影部分的面积为() 第 7页（共 20页） A 1 3 B 1 4 C 1 5 D 1 6 【解答】解：联立 3 1y
15、yx ，解得 1 1 x y 则曲边梯形OAB的面积为 1 341 0 0 113 (1)()|1 444 x dxxx ， 在内随机取一个点P，点P取在OAB内的概率等于 2 3 ， 点P取在阴影部分的概率等于 21 1 33 ， 图中阴影部分的面积为 311 434 故选：B 5 （5 分）已知P，Q分别是正方体 1111 ABCDABC D的棱 1 BB， 1 CC上的动点（不与顶点 重合） ，则下列结论错误的是() AABPQB平面/ /BPQ平面 11 ADD A C四面体ABPQ的体积为定值D/ /AP平面 11 CDDC 【解答】解：P，Q分别是正方体 1111 ABCDABC
16、D的棱 1 BB， 1 CC上的动点（不与顶点重 合） ， 对于A，ABBC， 1 ABBB， 1 BCBBB ，BC、 1 BB 平面 11 BCC B， AB平面 11 BCC B， PQ 平面 11 BCC B，ABPQ，故A正确； 对于B，平面 11/ / ADD A平面 11 BCC B，平面BPQ与平面 11 BCC B重合， 平面/ /BPQ平面 11 ADD A，故B正确； 对于C，A到平面BPQ的距离AB为定值，Q到BP的距离为定值， BP的长不是定值，四面体ABPQ的体积不为定值，故C错误； 对于D，平面 11/ / ABB A平面 11 CDDC，AB 平面 11 ABB
17、 A， / /AP平面 11 CDDC，故D正确 故选：C 第 8页（共 20页） 6 （5 分）在数学发展史上，已知各除数及其对应的余数，求适合条件的被除数，这类问题 统称为剩余问题.1852年孙子算经中“物不知其数”问题的解法传至欧洲，在西方的数 学史上将“物不知其数”问题的解法称之为“中国剩余定理” “物不知其数”问题后经秦九 韶推广，得到了一个普遍的解法，提升了“中国剩余定理”的高度现有一个剩余问题：在 (1，2021的整数中，把被 4 除余数为 1，被 5 除余数也为 1 的数，按照由小到大的顺序排 列，得到数列 n a，则数列 n a的项数为() A98B99C100D101 【解
18、答】解：将题目转化为1 n a 既是 4 的倍数，也是 5 的倍数，也即是 20 的倍数， 即120(1) n an ，2019 n an， 令12019 2021n，1102n ，又nN ， 故2n ，3，102，数列共有 101 项， 故选：D 7 （5 分）已知曲线1 x ye在 0 xx处的切线方程为0exyt ，则() A 0 1x ，1t B 0 1x ，te C 0 1x ，1t D 0 1x ，te 【解答】解：1 x ye的导数为 x ye ， 可得曲线1 x ye在 0 xx处的切线的斜率为 _0 x e， 由切线方程0exyt ，可得 _0 x ee， 解得 0 1x ，
19、 切点为(1,1)e ，则11tee 故选：A 8 （5 分）若等腰直角三角形一条直角边所在直线的斜率为 3 5 ，则斜边所在直线的斜率为( 第 9页（共 20页） ) A 1 2 或 2B 1 3 或 3C 1 4 或 4D 1 5 或 5 【解答】解：因为等腰直角三角形一条直角边所在直线的斜率为 3 5 ，即 1 3 5 k ， 设其倾斜角为，则 3 tan 5 ， 因为斜边与直角边的倾斜角相差45， 则斜边的倾斜角为45或45， 所以 3 1 tan1 5 tan(45 )4 3 1tan 1 5 ， 3 1 tan11 5 tan(45 ) 3 1tan4 1 5 ， 所以斜边所在直线
20、的斜率为 1 4 或 4 故选：C 9 （5 分）已知点P是ABC所在平面内一点，且0PAPBPC ，则() A 12 33 PABABC B 21 33 PABABC C 12 33 PABABC D 21 33 PABABC 【解答】解：因为0PAPBPC ，所以点P为ABC的重心， 延长PA交BC于点M， 所以 22 111111 () 33 223333 PAAMABACABACBAAC ， 又ACBCBA ， 所以 1121 () 3333 PABABCBABABC 故选：D 第 10页（共 20页） 10 （5 分）已知 1 F， 2 F分别是椭圆 22 22 :1(0) xy E
21、ab ab 的左，右焦点，M是椭圆短轴 的端点，点N在椭圆上，若 12 3MFNF ，则椭圆E的离心率为() A 1 3 B 1 2 C 2 2 D 6 3 【解答】解：不妨设点M为椭圆短轴的上端点(0, )b， 且 1( ,0)Fc， 2( ,0) F c，设点N的坐标为( , )m n， 则 12 (,),(,)MFcb NFcmn ， 由 12 3MFNF 可得： 1 3 1 3 cmc nb ，即 41 , 33 mc nb， 所以点N的坐标为 41 (,) 33 cb， 代入椭圆方程可得： 22 22 16 1 99 cb ab ，解得 2 2 1 2 c a ， 所以椭圆的离心率为
22、 2 2 c e a ， 故选：C 11 （5 分）饮酒驾车、醉酒驾车是严重危害道路交通安全法的违法行为，将受到法律 处罚检测标准： “饮酒驾车：车辆驾驶人员血液中的酒精含量大于或者等于20/100mgmL， 小于80/100mgmL的驾驶行为；醉酒驾车：车辆驾驶人员血液中的酒精含量大于或者等于 80/100mgmL的驾驶行为 ”据统计，停止饮酒后，血液中的酒精含量平均每小时比上小时 降低20%某人饮酒后测得血液中的酒精含量为100/100mgmL，若经过(*)n nN小时，该 人血液中的酒精含量小于20/100mgmL，则n的最小值为()（参考数据：20.3010)lg A7B8C9D10
23、【解答】解：经过(*)n nN小时，该人血液中的酒精含量为1000.8/100 nmg ml， 由题意可得，1000.820 n ，即0.80.2 n ， 第 11页（共 20页） 所以 0.8 0.221210.30101 0.27.2 0.8813213 0.30101 lglglg nlog lglglg ， 所以n的最小值为 8 故选：B 12 （5 分）已知函数( )sin()(0f xx ，0) 2 ，( )f x的一个零点是 6 ，( )f x图 象的一条对称轴是直线 2 x ，下列四个结论： 4 ； 9 3 () 2 k kN； ()0 2 f ； 直线 3 x 是( )f x
24、图象的一条对称轴 其中所有正确结论的编号是() ABCD 【解答】 解： 函数( )sin()(0f xx ，0) 2 ，( )f x图象的一条对称轴是直线 2 x ， 所以()() 22 fxfx ， 由( )f x的一个零点是 6 ， 所以()() 66 fxfx ， 整理得 42263 TT k ， 所以 4 3(12 ) T k ， 故 23 3 () 2 k kZ T 故错误； 当1k 时， 9 ( )sin() 2 f xx，把(,0) 6 代入关系式，得到 3 sin()0 4 ，由于0 2 ， 所以 4 ，故正确； 对于 9 ()sin()1 32 34 f ，故错误， 9 (
25、)sin()sin( 2 )0 2224 f ，故正确； 故选：B 二、填空题：本题共二、填空题：本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分。分。 第 12页（共 20页） 13 （5 分）已知平面向量( 3a ，3)，则与a 夹角为45的一个非零向量b 的坐标可以 为(1,0) （写出满足条件的一个向量即可） 【解答】解：设( , )bx y ， 22 2 336 2 a bxyxy ， 22 xyxy， 0 xy，且b 为非零向量， 1x，0y 满足题意， (1,0)b 故答案为：(1,0) 14 （5 分）已知双曲线 22 22 :1(0,0) xy Cab ab
26、的右焦点为F，右顶点为A，O为原点若 A为线段OF的中点，则C的渐近线方程为3yx 【解答】解：由题意知，( ,0)F c，( ,0)A a， A为线段OF的中点，2ca ， 而 2222 43bcaaaa， 3 b a ， C的渐近线方程为3 b yx a 故答案为：3yx 15（5 分） 已知ABC中， 2 3 A ， 满足14BC ，2ACAB， 则ABC的面积为3 【解答】解：设ABm，则2ACm， 由余弦定理可知： 22 2 14422cos 3 mmmm ， 解得2m ， 所以ABC的面积为： 1213 sin22 23 2322 AC AB 故答案为：3 16（5 分） 由正三棱
27、锥PABC截得的三棱台 111 ABCA BC的高为3，6AB ， 11 3A B 若 第 13页（共 20页） 三棱台 111 ABCA BC的各顶点都在球O的球面上，则球O的表面积为60 【解答】解：设三棱台 111 ABCA BC的上底面 111 A B C的外接圆的圆心为 1 G，下底面ABC的 外接圆的圆心为G， 则 1 G，G为所在正三角形的中心，故三棱台 111 ABCA BC的外接球的球心O在 1 GG上， 因为ABC是边长为 6 的等边三角形，故 2 244 3 sin60 AB AG ，所以2 3AG ， 同理可得 1 3AG ， 设三棱台 111 ABCA BC的外接球的
28、半径为R， 在Rt 11 AG O中， 222 1 ( 3)3OGRR， 在Rt AGO中， 222 (2 3)12OGRR， 又三棱台 111 ABCA BC的高为3， 因为 2 12R ，所以 2 1 31233OGR， 故球心O在 1 G G的延长线上， 则 22 1 3123OGOGRR， 解得 2 15R ， 所以球O的表面积为 2 460SR 故答案为：60 三、解答题：共三、解答题：共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第 1721 题为必考题为必考 题题，每个试题考生都必须作答每个试题考生都必须作答。第第 22、23
29、 题为选考题题为选考题，考生根据要求作答考生根据要求作答。 （一一）必考题必考题： 共共 60 分。分。 第 14页（共 20页） 17 （12 分）如图，四棱柱 1111 ABCDABC D的侧棱 1 AA 底面ABCD，四边形ABCD为菱 形，E，F分别为 1 AA， 1 CC的中点 （1）证明：B，F， 1 D，E四点共面； （2）若2AB ， 3 BAD ，求点F到平面 1 BDD的距离 【解答】 （1）证明：连结AC交BD于点O，因为ABCD为菱形，故ACBD， 以O为原点建立空间直角坐标系如图所示， 设OBa，OAb， 1 DDc， 则(0B，a，0)， 1(0 D，a，) c，(
30、E b，0，) 2 c ，(Fb，0，) 2 c ， 所以 1 ( , ),( , ) 22 cc BEbaFDba ， 所以 1 BEFD ， 故 1 / /BEFD， 所以B，F， 1 D，E四点共面； （2）解：以O为原点建立空间直角坐标系如图所示， 因为2AB ， 3 BAD ， 所以(0B，1，0)，(0D，1，0)， 1(0 D，1，) c，(3,0, ) 2 c F ， 设平面 1 BDD的法向量为( , , )mx y z ， 又(0, 2,0)BD ， 1 (0,0, )DDc ， 则有 1 0 0 m BD m DD ，即 20 0 y cz ， 令1x ，故(1,0,0)
31、m ， 又( 3,1,) 2 c FB ， 第 15页（共 20页） 所以点F到平面 1 BDD的距离为 |3 3 |1 FB m m 18 （12 分）已知等差数列 n a的前n项和为 n S， 31 32aa，且 532 4SSa （1）求数列 n a的通项公式； （2）求数列 1 n S 的前n项和 n T 【解答】解： （1）设等差数列 n a的公差为d， 因为 31 32aa，且 532 4SSa 所以 11 11 232 2744 ada adad ，解得 1 3 2 a d ， 所以数列 n a的通项公式32(1)21 n ann （2） (1) 32(2) 2 n n n Sn
32、n n ， 所以 111 11 () (2)22 n Sn nnn ， 所以 1111111111 (1) 232435112 n T nnnn 1111 (1) 2212nn 323 42(1)(2) n nn 19 （12 分）3 月 12 日为我国的植树节，某校为增强学生的环保意识，普及环保知识，于该 日在全校范围内组织了一次有关环保知识的竞赛，现从参赛的所有学生中，随机抽取 200 人的成绩（满分为 100 分）作为样本，得到成绩的频率分布直方图，如图所示，其中样本数 据分组区间为40，50)，50，60)，60，70)，70，80)，80，90)，90，100 第 16页（共 20页
33、） （1）求频率分布直方图中a的值，并估计该校此次环保知识竞赛成绩的平均分（同一组中 的数据用该组区间中点值为代表） ； （2）在该样本中，若采用分层抽样的方法，从成绩低于 70 分的学生中随机抽取 6 人，查看 他们的答题情况， 再从这 6 人中随机抽取 3 人进行调查分析， 求这 3 人中至少有 1 人成绩在 50，60)内的概率 【解答】解： （1）由频率分布直方图可得，(0.0060.0120.01820.021) 101a，解 得0.025a ， 这组样本数据的平均数为 450.06550.12650.18750.25850.21950.1874.7， 所以估计该校此次环保知识竞赛成
34、绩的平均分为 74.7 分； （2） 由频率分布直方图可知， 成绩在40，50)，50，60)，60，70)内的频率分别为 0.06， 0.12，0.18， 所以采用分层抽样的方法从样本中抽取的 6 人， 成绩在40，50)内的有 1 人，成绩在50，60)内的有 2 人，成绩在60，70)内的有 3 人， 故从成绩在40，70)内的 6 人随机抽取 3 人，共有 3 6 20C 种， 这 3 人成绩均不在50，60)内，共有 3 4 4C 种， 所以这 3 人中至少有 1 人成绩在50，60)内的概率为 44 1 205 20 （12 分）在平面直角坐标系xOy中，已知点(1,2)A，B是一
35、动点，直线OA，OB，AB 第 17页（共 20页） 的斜率分别为 1 k， 2 k， 3 k，且 123 111 kkk ，记B点的轨迹为E （1）求E的方程； （2）过(1,0)C的直线与E交于M，N两点，过线段MN的中点D且垂直于MN的直线与x 轴交于H点，若| 4|MNDH，求直线MN的方程 【解答】解： （1）设( , )B x y， 所以 1 2 1 k ， 2 y k x ， 3 2 1 y k x ， 因为 123 111 kkk ， 所以 11 22 xx yy ， 化简得 2 4yx 所以曲线E的方程为 2 4 (0,1)yx xx （2）设直线MN的方程为1xty， 联立
36、 2 1 4 xty yx ，得 2 440yty， 所以 22 164 1 ( 4)16(1)0tt ， 设 1 (M x， 1) y， 2 (N x， 2) y， 所以 12 4yyt， 12 4y y ， 所以 222 1212 |1()44(1)MNtyyy yt， 由D为MN的中点， 所以 2 (21Dt ，2 ) t， 所以直线DH的方程为 2 2(21)ytt xt ， 所以H点的坐标为 2 (23t ，0)， 所以 2 | 21DHt， 因为| 2|MNDH， 所以 22 4(1)81tt， 解得3t ， 第 18页（共 20页） 所以直线MN的方程为310 xy 或310 x
37、y 21 （12 分）已知函数( )sinf xaxx，(0 x，)()aR （1）若( )0f x ，求a的取值范围； （2）当1a 时，证明：2 ( )cos x f xxe 【解答】解： （1）( )cosfxax， 当1a时，( ) 0fx，故函数( )f x在(0,)单调递增， 故( )(0)0f xf，满足题意； 1a时，( ) 0fx，故函数( )f x在(0,)单调递减， 故( )(0)0f xf，不满足题意； 11a 时，令( )0fx，在(0, )上存在 0 x，使得 0 cos xa成立， 故 0 0 xx时，( )0fx，( )f x在 0 (0,)x单调递减， 则(
38、)(0)0f xf，不满足题意； 综上：a的取值范围是1，)； （2）证明：1a 时，( )sinf xxx， 要证2 ( )cos x f xxe，即证22sincos x xxxe， 即证(22sincos )1 x xxx e， 设( )(22sincos ) x g xxxx e， 则( )2(sin )22sin() 4 x g xxxxe ， 由（1）得sinxx，而22sin()220 4 x ， 故( )0g x，( )g x在(0,)单调递增， 故( )(0)1g xg， 故(0,)x ，1a 时，2 ( )cos x f xxe （二）选考题：共（二）选考题：共 10 分。
39、请考生在第分。请考生在第 22、23 题中任选一题作答。并用铅笔在答题卡选考题中任选一题作答。并用铅笔在答题卡选考 题区域内把所选的题号涂黑。如果多做，则按所做的第一题计分。题区域内把所选的题号涂黑。如果多做，则按所做的第一题计分。选修选修 4-4：坐标系与参：坐标系与参 数方程数方程 22 （10 分）在平面直角坐标系xOy中，曲线 1 C的参数方程为 2,( 1, xt t yt 为参数） 以坐标 第 19页（共 20页） 原点O为极点，x轴非负正半轴为极轴， 建立极坐标系， 曲线 2 C的极坐标方程为4cos （1）求 1 C的极坐标方程和 2 C的直角坐标方程； （2）若 1 C， 2
40、 C交于A，B两点，求| |OAOB 【解答】解： （1）曲线 1 C的参数方程为 2,( 1, xt t yt 为参数） ，转换为直角坐标方程为 10 xy ，根据 222 cos sin x y xy ，转换为极坐标方程为cossin10 曲线 2 C的极坐标方程为4cos，根据 222 cos sin x y xy ，转换为直角坐标方程为 22 4xyx，整理得 22 (2)4xy （2）由于 1 C， 2 C交于A，B两点， 所以 22 10 4 xy xyx ， 解得 37 2 27 2 x y 或 37 2 27 2 x y 即 37 27 (,) 22 A ， 37 27 (,)
41、 22 B ， 所以 2222 3727372729 |()()()() 22224 OA OB 选修选修 4-5：不等式选讲：不等式选讲（10 分）分） 23已知函数( ) |3|23|f xxx （1）求不等式( ) 6f x 的解集； （2）若 3 2x ，3， 3 ( )160 xaf x，求实数a的取值范围 【解答】解： （1）函数 36,3 3 ( ) |3|23|,3 2 3 63 , 2 xx f xxxxx x x ， 第 20页（共 20页） 所以不等式( ) 6f x 可化为 3 36 6 x x ，或 3 3 2 6 x x ，或 3 2 636 x x ， 解得34x
42、 ，或 3 3 2 x，或 3 0 2 x ； 所以不等式( ) 6f x 的解集是 |04xx ； （2）当 3 2x，3时，函数( )f xx， 所以不等式 3 ( )160 xaf x，可化为 3 160 xax， 即 2 16 ax x 设 2 16 ( )g xx x ， 3 2x，3， 则 32 222 162(8)2(2)(24) ( )2 xxxx g xx xxx ， 当 3 2x，2)时，( )0g x，函数( )g x单调递减， (2x，3时，( )0g x，函数( )g x单调递增， 所以2x 时，函数( )g x取得最小值为( )ming xg（2）4812， 所以若 3 2x ，3， 3 ( )160 xaf x，实数a的取值范围是12a
