1、第 1页（共 18页） 2021 年新疆乌鲁木齐地区高考数学第二次质量监测试卷年新疆乌鲁木齐地区高考数学第二次质量监测试卷（文科文科） （二模（二模） （问卷）（问卷） 一一、选择题选择题：本大题共本大题共 12 小题小题，每小题每小题 5 分分，在每小题给出的四个选项中只有一项是符合在每小题给出的四个选项中只有一项是符合 题目要求的题目要求的. 1 （5 分）设集合 | 12Axx ， | 21Bxx ，则集合(AB ) A | 22xx B | 21xx C |12xxD | 11xx 2 （5 分）已知复数1zi ，则 2 ( 1 z z ) A2B2C2iD2i 3 （5 分）已知命题
2、:pxR ，cos1x，则() A 0 :pxR， 0 cos1x B:pxR ，cos1x C:pxR ，cos1x D 0 :pxR， 0 cos1x 4 （5 分）已知 sincos 3 2sincos ，则tan2() A 40 9 B 4 5 C 4 5 D 40 9 5 （5 分）如图，在长方体 1111 ABCDABC D中，2ABAD， 1 1AA ，点P在平面 11 A BC 上，则三棱锥 1 PACD的体积为() A 1 2 B 2 3 C1D 4 3 6 （5 分）已知21 a a， 2 log1bb，则() A1ab B1ba C1abD1ba 7 （5 分） 已知 1
3、 F， 2 F是椭圆的两个焦点， 1 B， 2 B是椭圆短轴的两个端点， 若四边形 1122 F B F B 的面积是 8，则椭圆长轴长的最小值为() A2 2B4C4 2D8 8 （5 分）热爱劳动是我们中华民族的传统美德，劳动教育也是我们中小学重要的教育内容 第 2页（共 18页） 之一，平时我们打扫卫生常常要用到簸箕簸箕的三视图如图所示（单位)cm，已知制造簸 箕每 2 cm的成本是 0.01 元，试估计 500 元最多可以制造()个簸箕 A43B44C45D46 9 （5 分）已知正方形的一条对角线所在直线的斜率为 3，则其一条边所在直线的斜率是( ) A3B2C 1 3 D2 10
4、（5 分）我们来看一个简谐运动的实验：将塑料瓶底部扎一个小孔做成一个漏斗，再挂 在架子上，就做成了一个简易单摆在漏斗下方放一块纸板，板的中间画一条直线作为坐标 系的横轴，把漏斗灌上细沙并拉离平衡位置，放手使它摆动，同时匀速拉动纸板，这样就可 在纸板上得到一条曲线，它就是简谐运动的图象它表示了漏斗对平衡位置的位移s（纵坐 标）随时间t（横坐标）变化的情况如图所示已知一根长为lcm的线一端固定，另一端 悬挂一个漏斗，漏斗摆动时离开平衡位置的位移s（单位：)cm与时间t（单位：) s的函数 关系是2cos g st l ， 其中 2 980/gcm s，3.14， 则估计线的长度应当是 （精确到0.
5、1)(cm ) A3.6B3.9C4.0D4.5 11 （5 分）已知双曲线 22 1 45 xy 的右焦点为F，点M在双曲线上且在第一象限，若线段 MF的中点在以原点O为圆心，|OF为半径的圆上，则直线MF的斜率是() A35B 5 11 7 C 5 11 7 D35 第 3页（共 18页） 12（5 分） 设函数 2 1 ( )4 2 f xxlnxaxa， 其中0a ， 若仅存在一个整数 0 x， 使得 0 () 0f x ， 则实数a的取值范围是() A 11 21, 26 ln B 11 (21, 26 ln C 9 1 3,21 2 2 lnlnD 9 1 ( 3,21 2 2 l
6、nln 二、填空题：本大题共二、填空题：本大题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分分 13 （5 分）不等式 2 31 1 2 2 xx 的解集是 14 （5 分）已知向量(2,1)a ，( , 1)bm ，(1, 2)c ，若()/ /abc ，则m 15 （5 分）一种骰子，可以投得 1，2，3，4，5，6，已知这个骰子投得每个偶数点的可能 性是每个奇数点的可能性的 2 倍，则投掷一次得到质数的概率为 16 （5 分）在ABC中，tan2tanBC，则 sin sin B C 的取值范围为 三、解答题：第三、解答题：第 1721 题每题题每题 12 分，解答应在答卷的相应各题中写出文字
7、说明，证明过分，解答应在答卷的相应各题中写出文字说明，证明过 程或演算步骤程或演算步骤. 17 （12 分）已知等差数列 n a满足 3 6a ， 46 20aa， n a的前n项和为 n S （）求 n a及 n S； （）令 1 n n b S ，求数列 n b的前n项和 n T 18 （12 分）如图， 1111 ABCDABC D是棱长为 1 的正方体 （）求证：平面 1 ABD 平面 11 A ACC； （）点P是棱 1 AA上一动点，过点P作平面平行底面ABCD，AP为多长时，正方体 1111 ABCDABC D在平面下方的部分被平面 1 ABD截得的两部分的体积比是1:3 19
8、（12 分）已知点( 1,0)M ，(1,0)N，动点P满足|3|PMPN （）求动点P的轨迹E的方程； 第 4页（共 18页） （）过抛物线 2 2yx上一点(2,2)A作曲线E的两条切线分别交抛物线于B，C两点，求 直线BC的斜率 20 （12 分）为实现绿色发展，避免浪费能源，某市政府计划对居民用电采用阶梯收费的办 法，为此相关部门在该市随机调查了 200 位居民的户月均用电量（单位：千瓦时）得到了频 率分布直方图，如图： （） 试估计该地区居民户月均用电量的平均值 （同一组中的数据用该组区间的中点值作代 表，精确到个位） ； （）如果该市计划实施 3 阶的阶梯电价，使75%用户在第一档
9、（最低一档） ，20%用户在 第二档，5%用户在第三档（最高一档） （）试估计第一档与第二档的临界值，第二档与第三档的临界值； （）市政府给出的阶梯电价标准是：第一档 0.4 元/千瓦时，第二档 0.55 元/千瓦时，第 三档 0.8 元/千瓦时，试估计该地区居民户月均电费的平均值 设用户的用电量是x千瓦时，电费是( )f x，则 0.4 , ( )0.40.55(), 0.40.55()0.8(), x x f xxx xx 21 （12 分）已知函数 2 ( )sincosf xxxx （）求曲线( )yf x在0 x 处的切线方程； （）若( ) 1f xax，求a 选考题：共选考题：共
10、 10 分，请考生在分，请考生在 22、23 两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题 计分。作答时用计分。作答时用 2B 铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑.选修选修 4-4：坐标系与参数方程：坐标系与参数方程 22 （10 分）已知点M是曲线 22 1: 20Cxyy上的动点，以坐标原点为极点，x轴的正 第 5页（共 18页） 半轴为极轴建立极坐标系， 将点M绕O点顺时针旋转90到点N， 设点N的轨迹为曲线 2 C （）求曲线 1 C和 2 C的极坐标方程； （）设直线:2 2l y ，射线:m，(0,)
11、 2 ，若m与曲线 2 C、直线l分别交于A、 B两点，求 | | OA OB 的最大值 选修选修 4-5：不等式选讲：不等式选讲 23已知a，bR， 23 ()()abab，2abab （）求证：2abab ； （）求a与b的值 第 6页（共 18页） 2021 年新疆乌鲁木齐地区高考数学第二次质量监测试卷年新疆乌鲁木齐地区高考数学第二次质量监测试卷（文科文科） （二模（二模） （问卷）（问卷） 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一一、选择题选择题：本大题共本大题共 12 小题小题，每小题每小题 5 分分，在每小题给出的四个选项中只有一项是符合在每小题给出的四个选项中只有一项是符合 题目
12、要求的题目要求的. 1 （5 分）设集合 | 12Axx ， | 21Bxx ，则集合(AB ) A | 22xx B | 21xx C |12xxD | 11xx 【解答】解：集合 | 12Axx ， | 21Bxx ，则集合 | 11ABxx 故选：D 2 （5 分）已知复数1zi ，则 2 ( 1 z z ) A2B2C2iD2i 【解答】解：将1zi 代入得 22 (1)2 2 111 zii zii ， 故选：A 3 （5 分）已知命题:pxR ，cos1x，则() A 0 :pxR， 0 cos1x B:pxR ，cos1x C:pxR ，cos1x D 0 :pxR， 0 cos
13、1x 【解答】解：因为全称命题的否定是特称命题，所以命题:pxR ，cos1x， 0 :pxR， 0 cos1x 故选：D 4 （5 分）已知 sincos 3 2sincos ，则tan2() A 40 9 B 4 5 C 4 5 D 40 9 【解答】解： sincostan1 3 2sincos2tan1 ， 4 tan 5 ，则 2 2tan40 tan2 1tan9 ， 故选：D 5 （5 分）如图，在长方体 1111 ABCDABC D中，2ABAD， 1 1AA ，点P在平面 11 A BC 上，则三棱锥 1 PACD的体积为() 第 7页（共 18页） A 1 2 B 2 3
14、C1D 4 3 【解答】解：在长方体 1111 ABCDABC D中，2ABAD， 1 1AA ，点P在平面 11 A BC上， 可知平面 11/ / A BC平面 1 ACD，所以P到平面 1 ACD的距离与 1 A到平面 1 ACD的距离相等， 故 11111 P ACDAACDC AA D VVV ， 所以三棱锥 1 PACD的体积： 1 11112 22 1 32323 ADAACD 故选：B 6 （5 分）已知21 a a， 2 log1bb，则() A1ab B1ba C1abD1ba 【解答】解：21 a a，1a 时，21 a a；1a 时，22 a a，1a； 2 log1b
15、b，1b 时， 2 log0bb；1b 时 2 log0bb，1b ， 1ab 故选：A 7 （5 分） 已知 1 F， 2 F是椭圆的两个焦点， 1 B， 2 B是椭圆短轴的两个端点， 若四边形 1122 F B F B 的面积是 8，则椭圆长轴长的最小值为() A2 2B4C4 2D8 【解答】解：不妨设椭圆方程 22 22 1 xy ab ， 1 F， 2 F是椭圆的两个焦点(,0)c， 1 B， 2 B是椭圆短轴的两个端点，若四边形 1122 F B F B的面 积是 8， 因为 222 2abcbc， 所以 2 1 8222 2 cbbc a， 所以2 2a， 当且仅当bc时取等号，
16、 所以椭圆长轴长的最小值为4 2 故选：C 8 （5 分）热爱劳动是我们中华民族的传统美德，劳动教育也是我们中小学重要的教育内容 第 8页（共 18页） 之一，平时我们打扫卫生常常要用到簸箕簸箕的三视图如图所示（单位)cm，已知制造簸 箕每 2 cm的成本是 0.01 元，试估计 500 元最多可以制造()个簸箕 A43B44C45D46 【解答】解：根据几何体的三视图转换为直观图为：该几何体为三棱柱和三棱锥组成的组合 体； 如图所示： 利用分割法， 所以 2 11 2662626772425621098 22 Scm 表 ， 10980.0110.98元， 所以 500 45.5 10.98
17、 n ， 故最多制造 45 个 故选：C 9 （5 分）已知正方形的一条对角线所在直线的斜率为 3，则其一条边所在直线的斜率是( ) A3B2C 1 3 D2 【解答】解：根据题意，设正方形的边所在的直线的斜率为k， 正方形的对角线与四边的夹角都为45，则有 |3| tan451 13 k k ， 解可得： 1 2 k 或2， 第 9页（共 18页） 故选：B 10 （5 分）我们来看一个简谐运动的实验：将塑料瓶底部扎一个小孔做成一个漏斗，再挂 在架子上，就做成了一个简易单摆在漏斗下方放一块纸板，板的中间画一条直线作为坐标 系的横轴，把漏斗灌上细沙并拉离平衡位置，放手使它摆动，同时匀速拉动纸板
18、，这样就可 在纸板上得到一条曲线，它就是简谐运动的图象它表示了漏斗对平衡位置的位移s（纵坐 标）随时间t（横坐标）变化的情况如图所示已知一根长为lcm的线一端固定，另一端 悬挂一个漏斗，漏斗摆动时离开平衡位置的位移s（单位：)cm与时间t（单位：) s的函数 关系是2cos g st l ， 其中 2 980/gcm s，3.14， 则估计线的长度应当是 （精确到0.1)(cm ) A3.6B3.9C4.0D4.5 【解答】解：由题意可知，2cos g st l ， 由函数的图象可知函数的周期为 0.4， 故 2 0.4 g l ，所以 2 5 0.4 g l ， 所以 222 980 4.0
19、 (5 )2525(3.14) gg lcm 故选：C 11 （5 分）已知双曲线 22 1 45 xy 的右焦点为F，点M在双曲线上且在第一象限，若线段 MF的中点在以原点O为圆心，|OF为半径的圆上，则直线MF的斜率是() A35B 5 11 7 C 5 11 7 D35 【解答】解：如图所示，设线段MF的中点为H，连接OH， 设双曲线的右焦点为F，连接MF双曲线的左焦点为F，连接MF，则/ /OHMF 第 10页（共 18页） 又| |3OHOFc， 11 |(22 )1 22 FHMFacac 设HFO， 在OHF中， 22 1 3( ) 2 tan35 1 2 ， 直线MF的斜率是3
20、5 故选：A 12（5 分） 设函数 2 1 ( )4 2 f xxlnxaxa， 其中0a ， 若仅存在一个整数 0 x， 使得 0 () 0f x ， 则实数a的取值范围是() A 11 21, 26 ln B 11 (21, 26 ln C 9 1 3,21 2 2 lnlnD 9 1 ( 3,21 2 2 lnln 【解答】解：令 2 1 ( ) 2 g xxlnx，( )4(4)h xaxaa x， 因为仅存在一个整数 0 x，使得 0 () 0f x ， 所以仅有一个整数，使得( )( )g xh x， 2 11 ( ) x g xx xx ， 令( )0g x，可得1x ，令(
21、)0g x，可得01x， 所以( )g x在(0,1)上单调递减，在(1,)上单调递增， 所以( )ming xg（1） 1 2 ， 所以满足条件的整数为 1， 由0a ，可得( )h x为减函数， 第 11页（共 18页） 所以 (1)(1) (2)(2) gh gh ，即 1 3 2 222 a lna ，解得 11 21 26 lna ， 即实数a的取值范围是 1 (21 2 ln ， 1 6 故选：B 二、填空题：本大题共二、填空题：本大题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分分 13 （5 分）不等式 2 31 1 2 2 xx 的解集是(1,2) 【解答】解：因为2xy 为单调递
22、增函数， 故不等式 2 3122 1 231132012 2 xx xxxxx ， 故答案为：(1,2) 14 （5 分）已知向量(2,1)a ，( , 1)bm ，(1, 2)c ，若()/ /abc ，则m 3 【解答】解：(2,2)abm ，(1, 2)c ，且()/ /abc ， 2(2)20m，解得3m 故答案为：3 15 （5 分）一种骰子，可以投得 1，2，3，4，5，6，已知这个骰子投得每个偶数点的可能 性是每个奇数点的可能性的 2 倍，则投掷一次得到质数的概率为 4 9 【解答】解：一种骰子，可以投得 1，2，3，4，5，6， 这个骰子投得每个偶数点的可能性是每个奇数点的可能
23、性的 2 倍， 投掷一次得到 1，3，5 的概率都是 1 9 ，得到 2，4，6 的概率都是 2 9 ， 投掷一次得到质数的概率为： 2114 9999 P 故答案为： 4 9 16 （5 分）在ABC中，tan2tanBC，则 sin sin B C 的取值范围为(1,2) 【解答】解：如图，在ABC中，设 1 tan 2 C x ，则 1 tan B x ，(0,)x， 可得 2 2 2 sin143 4 sin1 1 Bx Cx x ， 第 12页（共 18页） 令 2 3 ( )4 1 f x x ，(0,)x， 因为 22 6 ( )0 (1) x fx x ， 所以( )f x在(
24、0,)上单调递增， 所以( )(1f x ，4)， 则 sin (1,2) sin B C 故答案为：(1,2) 三、解答题：第三、解答题：第 1721 题每题题每题 12 分，解答应在答卷的相应各题中写出文字说明，证明过分，解答应在答卷的相应各题中写出文字说明，证明过 程或演算步骤程或演算步骤. 17 （12 分）已知等差数列 n a满足 3 6a ， 46 20aa， n a的前n项和为 n S （）求 n a及 n S； （）令 1 n n b S ，求数列 n b的前n项和 n T 【解答】解： （）由题意，设等差数列 n a的公差为d， 则 1 1 26 2820 ad ad ， 解
25、得 1 2 2 a d ， 22(1)2 n ann，*nN， (1) 22(1) 2 n n n Snn n （）由（） ，可得 1111 (1)1 n n b Sn nnn ， 故 12nn Tbbb 11111 1 2231nn 1 1 1n 1 n n 第 13页（共 18页） 18 （12 分）如图， 1111 ABCDABC D是棱长为 1 的正方体 （）求证：平面 1 ABD 平面 11 A ACC； （）点P是棱 1 AA上一动点，过点P作平面平行底面ABCD，AP为多长时，正方体 1111 ABCDABC D在平面下方的部分被平面 1 ABD截得的两部分的体积比是1:3 【解
26、答】 （）证明： 1 AA 平面ABCD，则 1 AABD， 又底面ABCD是正方形，对角线ACBD， 又 1 AAACA ，BD平面 11 A ACC， 而BD 平面 1 ABD，平面 1 ABD 平面 11 A ACC； （）设平面与 1 A B， 1 A D， 1 B B， 1 D D， 1 C C分别交于E，F，M，N，Q， 设 1 A Px，则1APx ，PEPFx， 由题意，正方体 1111 ABCDABC D在平面下方的部分被平面 1 ABD截得的两部分的体积比 是1:3， :1:4 PEFABDPMQNABCD VV ，得 3 11 1 66 14 x x ， 解得： 1 13
27、 2 x 或 2 13 2 x （舍) 1333 11 22 APx 19 （12 分）已知点( 1,0)M ，(1,0)N，动点P满足|3|PMPN 第 14页（共 18页） （）求动点P的轨迹E的方程； （）过抛物线 2 2yx上一点(2,2)A作曲线E的两条切线分别交抛物线于B，C两点，求 直线BC的斜率 【解答】解： （）设( , )P x y， 由已知点( 1,0)M ，(1,0)N，|3|PMPN， 得 2222 (1)3 (1)xyxy， 所以动点P的轨迹E的方程为 22 (2)3xy （）由题意知切线斜率存在且不为 0， 设切线的斜率为k，则切线的方程为2(2)yk x， 联立
28、 22 2(2) (2)3 yk x xy ，得 2 2 2 (2) 3 y y k ， 化简得 222 (1)4340kyyk， 所以 22 164(1)(43)0kk，解得 3 3 k ， 所以切线的方程为 3 2(2) 3 yx和 3 2(2) 3 yx ， 联立 2 3 2() 3 2 yx yx ，得2 32 B y ， 联立 2 3 2(2) 3 2 yx yx ，得2 32 C y ， 所以 22 221 22 322 32 22 CBCB BC CCBCBB yyyy k yxxyyy 20 （12 分）为实现绿色发展，避免浪费能源，某市政府计划对居民用电采用阶梯收费的办 法，
29、为此相关部门在该市随机调查了 200 位居民的户月均用电量（单位：千瓦时）得到了频 率分布直方图，如图： （） 试估计该地区居民户月均用电量的平均值 （同一组中的数据用该组区间的中点值作代 表，精确到个位） ； （）如果该市计划实施 3 阶的阶梯电价，使75%用户在第一档（最低一档） ，20%用户在 第 15页（共 18页） 第二档，5%用户在第三档（最高一档） （）试估计第一档与第二档的临界值，第二档与第三档的临界值； （）市政府给出的阶梯电价标准是：第一档 0.4 元/千瓦时，第二档 0.55 元/千瓦时，第 三档 0.8 元/千瓦时，试估计该地区居民户月均电费的平均值 设用户的用电量是x
30、千瓦时，电费是( )f x，则 0.4 , ( )0.40.55(), 0.40.55()0.8(), x x f xxx xx 【解答】解： （）估计该地区居民户月均用电量的平均值为： 450.1550.2650.3750.25850.1950.0567千瓦时； （ ） （ ） 因 为 前 三 组 的 频 率 为(0.010.020.03) 100.6， 第 四 组 的 频 率 为 0.025 100.25， 所以在70，80)，则有0.025(70)0.750.6，解得76， 区间40，80)的频率为0.60.250.85，区间80，90)的频率为 0.1， 所以90； （）该地区居民户月
31、均电费的平均值为： 0.4(450.1550.2650.3750.25)0.4760.10.5590.10.4760.050.55 140.050.850.0527.14 元 21 （12 分）已知函数 2 ( )sincosf xxxx （）求曲线( )yf x在0 x 处的切线方程； （）若( ) 1f xax，求a 【解答】解： （）由题意可知( )f x的定义域为R， ( )2cossinfxxxx， 第 16页（共 18页） 所以(0)1f，(0)1f ， 所以( )yf x在0 x 处的切线方程为1yx （）令 2 ( )sincos1g xxxxax ， 则(0)0g， ( )2
32、cossing xxxxa， ( )2sincos0gxxx， 所以( )g x在(,) 上为增函数，又因为(0)1ga ， 当1a 时，(0)0g，40a ， (4 )7cos4sin40gaaaa， 所以 0 (0,4 )xa，使得 0 ()0g x， 所以( )g x在 0 (0,)x上单调递减，则 0 ()(0)0g xg，与题不符 当1a 时，(0)0g，0a， ()2cossin0g aaaa ， 所以 1 (,0)xa，使得 1 ()0g x， 所以( )g x在 1 (x，0)上单调递增，则 1 ()(0)0g xg，与题不符， 当1a 时，(0)0g， 所以( )g x在(,
33、0)上单调递减，( )g x在(0,)上单调递增， 所以( )(0)0g xg， 综上所述，当1a 时，( ) 1f xax 选考题：共选考题：共 10 分，请考生在分，请考生在 22、23 两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题 计分。作答时用计分。作答时用 2B 铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑.选修选修 4-4：坐标系与参数方程：坐标系与参数方程 22 （10 分）已知点M是曲线 22 1: 20Cxyy上的动点，以坐标原点为极点，x轴的正 半轴为极轴建立极坐标系， 将点M绕O点顺时针旋转90到点N
34、， 设点N的轨迹为曲线 2 C （）求曲线 1 C和 2 C的极坐标方程； （）设直线:2 2l y ，射线:m，(0,) 2 ，若m与曲线 2 C、直线l分别交于A、 B两点，求 | | OA OB 的最大值 【解答】解： （）曲线 22 1: 20Cxyy，根据 222 cos sin x y xy ，转换为极坐标方程为 第 17页（共 18页） 2sin 将点M绕O点顺时针旋转90到点N，设点N的轨迹为曲线 2 C， 设曲线 2 C上的点的极坐标为( , )N ，所以( ,) 2 M ，满足2sin， 故2sin()2cos 2 ，即曲线 2 C的极坐标方程 （）直线:2 2l y ，根
35、据 222 cos sin x y xy ，转换为极坐标方程为sin2 2， 射线:m，(0,) 2 ，若m与曲线 2 C交于点B， 建立方程组 sin2 2 ，整理得 2 2 sin B ， 直线l与曲线 2 C交于A点， 故 2cos ，整理得2cos A ， 所以 |2cossinsin2 |2 22 2 OA OB ， 由于(0,) 2 ， 所以2(0, ) 故 |2cossinsin212 |42 22 22 2 OA OB 故最大值为 2 4 选修选修 4-5：不等式选讲：不等式选讲 23已知a，bR， 23 ()()abab，2abab （）求证：2abab ； （）求a与b的值 【解答】解： （）证明：a，bR， 23 ()()abab， 223322 ()()4()42 ()44abababababababa b， 则2abab ； （）由（）知，2abab ，又2abab ， 第 18页（共 18页） 2abab，又取等号时， 3 ()4abab，即2ab ， 联立 4 2 ab ab ，解得 22 22 a b 或 22 22 a b
