1、专题七专题七 函数导数与零点（极值点）的综合函数导数与零点（极值点）的综合 总分：70 分建议用时：60 分钟 三、解答题 17、已知函数 2ln1f xx （1）若 ( )2f xxc ，求c的取值范围； （2）设0a 时，讨论函数 ( )( )f xf a g x xa 的单调性 18、已知函数 （1）讨论( )f x的单调性； （2）当03a时，记 f x在区间0，1的最大值为M，最小值为m，求Mm的取值范围 19、已知函数( )(2) x f xea x （1）当1a 时，讨论 ( )f x的单调性； （2）若 ( )f x有两个零点，求a的取值范围 20、已知函数 2 ( )ln (
2、0)f xxax a. （1）若2a ，求曲线( )yf x的斜率等于 3 的切线方程； （2）若( )yf x在区间 1 ,e e 上恰有两个零点，求 a 的取值范围. 21、已知函数 2 ( )exf xaxx. （1）当 a=1 时，讨论 f（x）的单调性； （2）当 x0 时，f（x） 1 2 x3+1，求 a 的取值范围. 22、已知函数( )sinln(1)f xxx，( )fx 为( )f x的导数证明： （1）( )fx 在区间( 1,) 2 存在唯一极大值点；（2）( )f x有且仅有 2 个零点 答案解析 17、 【解析】 （1）函数 ( )f x的定义域为(0,)， (
3、)2( )202ln120( )f xxcf xxcxxc ， 设 ( )2ln12(0)h xxxc x ，则有 22(1) ( )2 x h x xx ， 当1x 时，( )0, ( )h xh x 单调递减，当01x时，( )0, ( )h xh x 单调递增， 所以当1x 时，函数 ( )h x有最大值，即 max ( )(1)2ln1 12 11h xhcc ， 要想不等式( ) 在(0,)上恒成立，只需 max ( )0101h xcc ； （2）方法 1： 2ln1(2ln1)2(lnln ) ( )(0 xaxa g xx xaxa 且 )xa 因此 2 2(1ln) ( )
4、() aa xx g x xa ， 在 （1） 中， 令1c 得ln1xx， 当且仅当1x 时等号成立， 即ln1 aa xx ， 故 ( )0g x ，所以函数 ( )g x在区间(0, )a和( ,)a 上单调递减 方法 2： 2ln1(2ln1)2(lnln ) ( )(0 xaxa g xx xaxa 且 )xa ， 因此 2 2(1lnln ) ( ) () a xa x g x xa ，令( )1lnln a h xxa x ，则 2 ( ) ax h x x ， h x在(0, )a单调递增，在 ( ,)a 单调递减，于是 0h xh a ， 由此可知 ( )0g x ，所以函数
5、 ( )g x在区间(0, )a和( ,)a 上单调递减 18、 【解析】 （1） 2 ( )622 (3)fxxaxxxa 令( )0fx，得 x=0 或 3 a x 若 a0，则当(,0), 3 a x 时，( )0fx；当0, 3 a x 时，( )0fx 故( )f x在(,0), 3 a 单调递增，在0, 3 a 单调递减； 若 a=0，( )f x在(,) 单调递增； 若 a， g x单调递增； 当2,x时， ( ) 0gx ， g x单调递减； 因此， 2 max 7 2 4 e g xg , 综上可得，实数 a 的取值范围是 2 7 , 4 e 22、 【解析】 （1）设( )
6、( )g xf x，则 1 ( )cos 1 g xx x ， 2 1 sin( ) ) (1 x x g x 当1, 2 x 时，( )g x单调递减， 而(0)0,( )0 2 gg ， 可得( )g x在1, 2 有唯一零点， 设为 则当( 1,)x 时，( )0g x ；当, 2 x 时，( )0g x 所以( )g x在( 1,)单调递增，在, 2 单调递减， 故( )g x在1, 2 存在唯一极大值点，即( )f x在1, 2 存在唯一极大值点 （2）( )f x的定义域为( 1,) （i）当( 1,0 x 时，由（1）知，( )f x在(1,0)单调递增，而(0)0f ，所以当(
7、 1,0)x 时， ( )0f x ，故( )f x在(1,0)单调递减，又(0)=0f，从而0 x 是( )f x在( 1,0的唯一零点 （ii） 当0, 2 x 时， 由 （1） 知，( )f x在(0,)单调递增， 在, 2 单调递减， 而(0)=0f ， 0 2 f ， 所以存在, 2 ，使得( )0f ，且当(0,)x时，( )0f x ；当, 2 x 时，( )0f x 故( )f x在(0,)单调递增，在, 2 单调递减 又(0)=0f，1 ln 10 22 f ，所以当0, 2 x 时，( )0f x 从而，( )f x在0, 2 没有零点 （iii）当, 2 x 时，( )0f x ，所以( )f x在, 2 单调递减 而0 2 f ，( )0f ，所以( )f x在, 2 有唯一零点 （iv）当( ,)x 时，ln(1)1x ，所以( )0f x ，从而( )f x在( ,) 没有零点 综上，( )f x有且仅有2个零点
