1、28.2.1 解直角三角形 锐角三角函数 人教版-数学-九年级-下册 A C B c b a (1) 三边之间的关系： a2+b2=_； (2) 锐角之间的关系：A+B=_； (3) 边角之间的关系：sinA=_，cosA=_，tanA=_. 如图，在RtABC 中，共有六个元素(三条边，三个角)， 其中C=90. c2 90 b c a c a b 学习目标 1.了解并掌握解直角三角形的概念. 2.理解直角三角形中的五个元素之间的联系. 3.学会解直角三角形. 如图是意大利的比萨斜塔，设塔顶中心 点为 B，塔身中心线与垂直中心线的夹 角为A，过点 B 向垂直中心线引垂线， 垂足为点 C .在
2、 RtABC 中，C =90， BC =5.2 m，AB =54.5 m. 你能求出你能求出A 的度数吗？的度数吗？ 知识点1：直角三角形中的边角关系 在图中的 RtABC 中， (1) 根据A75，斜边AB6，你能求出这个直角三角 形的其他元素吗？ sinsin6 sin75 BC ABCABA AB = coscos6cos75 AC AACABA AB = 9090907515.ABBA扌=-= A B C (2) 根据 AC2.4，斜边 AB6，你能求出这个直角三角 形的其他元素吗？ 2222222 62.45.5ABACBCBCABAC=+=-=- 2.4 coscos0.466 6
3、 AC AAA AB =扌 9090906624ABBA扌=-= A B C 解直角三角形：一般地，直角三角形中，除直角外，共 有五个元素，即三条边和两个锐角.由直角三角形中的已 知元素，求出其余未知元素的过程，叫做解直角三角形. 在没有特殊说明的情况下，“解直角三角形”不包 括求周长和面积. 1.在直角三角形中，除直角外的五个元素中，已知其中 的两个元素(至少有一个是边)，可求出其余的未知元素 (知二求三). 2.在解直角三角形时，一般是先画出一个直角三角形， 按题意标明哪些元素是已知的，哪些元素是未知的，然 后确定锐角，再确定它的对边和邻边. 直角三角形中的边角关系 如图，在 RtABC
4、中，C =90，A，B，C 所 对的边分别为 a，b，c，那么除直角C 外的五个元素 之间有如下关系： 1.三边之间的关系：a2 +b2 =c2 (勾股定理)； 2.两锐角之间的关系：A +B =90； A B C a c b A B C a c b 知识点2：解直角三角形的基本类型及解法 1.已知斜边和一直角边：通常先根据勾股定理求出另一条直角边， 然后利用已知直角边与斜边的比得到一个锐角的正弦(或余弦)值， 求出这个锐角，再利用直角三角形中的两锐角互余求出另一个锐 角. 2.已知两直角边：通常先根据勾股定理求出斜边，然后利用两条 直角边的比得到其中一个锐角的正切值，求出该锐角，再利用直 角
5、三角形中的两锐角互余求出另一个锐角. 已知两边解直角三角形的方法 2.根据下列条件，解直角三角形： (1)在 RtABC 中，C =90，A =30，b =12； 根据下列条件，解直角三角形： (2)在 RtABC 中，C =90，A =60，c=6. 1.已知一锐角和一直角边：通常先利用直角三角形中的两锐角互 余求出另一个锐角，再利用已知角的正切求出另一条直角边.当已 知直角边是已知锐角的对边时，利用这个角的正弦求斜边；当已 知直角边是已知锐角的邻边时，利用这个角的余弦求斜边(求出两 条边后，也可利用勾股定理求第三条边). 已知一锐角和一边解直角三角形的方法 已知两个角(除直角外)不能解直角
6、三角形，因为只有角 的条件时，符合条件的三角形有无数个，无法求边长. 2.已知一锐角和斜边：通常先利用直角三角形中的两 锐角互余求出另一个锐角，再利用已知角的正弦和余 弦求出两条直角边. 60A ， 90906030BA ， 22 2.ABAC A BC 2 6 解： 6 tan3 2 BC A AC ， 1.如图，在 RtABC 中，C = 90，AC = ， ， 解这个直角三角形. 6BC2 2.如图，在 RtABC 中，C90，B35，b=20， 解这个直角三角形 (结果保留小数点后一位). A BC b 20 c a 35 tan, b B a = 解：90=9035 =55.AB=-
7、 20 28.6. tantan35 b a B = sin, b B c = 20 34.9. sinsin35 b c B = 3.在 RtABC 中，C=90，cosA = ，BC = 5， 试求 AB 的长. 1 3 解： 1 90 cos 3 CA =， 1 . 3 AC AB = 设 1 , 3 ABx ACx=， 222 ABACBC=+， 2 22 1 5 . 3 xx 骣 = 琪+ 琪 桫 12 15 215 2 ,. 44 xx= -（舍去） AB的长为15 2. 4 D 2.如图，在 RtABC 中，C =90，BC =2，AB =4，解 这个直角三角形. E 先通过作垂
8、线(高)，将斜三角形分割成两个直角三角形， 然后利用解直角三角形求边或角.在作垂线时，要充分利用 已知条件，一般在等腰三角形中作底边上的高，或过特殊 角的一边上的点作这个角的另一边的垂线，从而构造含特 殊角的直角三角形，利用解直角三角形的相关知识求解. 构造直角三角形解斜三角形问题的方法 课堂小结 解直角三角形 依据 解法：只要知道五个元素中的两个元素（至少有 一个是边），就可以求出余下的三个未知元素 勾股定理 两锐角互余 锐角的三角函数 H A CB D A CB A B C D A B C D 课后作业 请完成课本后习题第1题. 28.2.1 解直角三角形 谢谢您的聆听 人教版-数学-九年级-下册
