2021年江苏省苏州市三校高考数学联考试卷（4月份）.docx

1、第 1页（共 22页） 2021 年江苏省苏州市三校高考数学联考试卷（年江苏省苏州市三校高考数学联考试卷（4 月份）月份） 一一、选择题选择题本题共本题共 8 小题小题，每小题每小题 5 分分，共共 40 分分在每小题给出的四个选项中在每小题给出的四个选项中，只有一只有一 项是符合题目要求的。项是符合题目要求的。 1 （5 分）已知() RA B ，则下面选项中一定成立的是() AABA BABB CABB DABR 2 （5 分）已知i是虚数单位，在复平面内，复数2i 和13i对应的点间的距离是() A5B10C5D25 3 （5 分）在我国古代著名的数学专著九章算术里有一段叙述：今有良马与

2、驽马发长安 至齐，良马初日行一百零三里，日增十三里；驽马初日行九十七里，日减半里；良马先至齐， 复还迎驽马，九日二马相逢，则长安至齐() A1120 里B2250 里C3375 里D1125 里 4 （5 分）甲、乙、丙、丁四位同学决定去巴城老街、千灯古镇、周庄游玩，每人只能去一 个地方，周庄一定要有人去，则不同游览方案的种数为() A60B65C70D75 5 （5 分）已知A，B是圆 22 :1O xy上的两个动点，|3AB ，32OCOAOB ，M 为线段AB的中点，则OC OM 的值为() A 1 4 B 1 2 C 3 4 D 3 2 6 （5 分）雷达是利用电磁波探测目标的电子设备

3、电磁波在大气中大致沿直线传播受地 球 表 面 曲 率 的 影 响 ， 雷 达 所 能 发 现 目 标 的 最 大 直 视 距 离 222222 121122 ()()22LRhRRhRRhhRhh（如图） ，其中 1 h为雷达天线 架设高度， 2 h为探测目标高度，R为地球半径考虑到电磁波的弯曲、折射等因素，R等 效取8490km，故R远大于 1 h， 2. h假设某探测目标高度为25m，为保护航母的安全，须在 直视距离390km外探测到目标， 并发出预警， 则舰载预警机的巡航高度至少约为()（参 考数据：2 8.494.12) 第 2页（共 22页） A6400mB7200mC8100mD1

4、0000m 7 （5 分）下列图象中可以作为函数 2 ( )(1)cos 1 x f xx e 部分图象的是() AAB CD 8 （5 分）已知函数( )21 kx lnx f xe kx ，(0)k ，函数( )g xxlnx，若( ) 2 ( )kf xg x，对 (0,)x 恒成立，则实数k的取值范围为() A1，)Be，)C 1 ,) e D 2 ,) e 二二、选择题选择题：本题共本题共 4 小题小题，每小题每小题 5 分分，共共 20 分分在每小题给出的选项中在每小题给出的选项中，有多项符合有多项符合 题目要求全部选对的得题目要求全部选对的得 5 分，部分选对的得分，部分选对的得

5、 2 分，有选错的得分，有选错的得 0 分分 9 （5 分）新高考方案规定，普通高中学业水平考试分为合格性考试（合格考）和选择性考 试（选择考） ，其中“选择考”成绩将计入高考总成绩，即将学生考试时的原始卷面分数由 高到低进行排序，评定为A，B，C，D，E五个等级，再转换为分数计入高考总成绩某 试点高中 2020 年参加“选择考”总人数是 2018 年参加“选择考”总人数的 2 倍，为了更好 地分析该校学生“选择考”的水平情况，统计了该校 2018 年和 2020 年“选择考”成绩等级 结果，得到如图所示的统计图 第 3页（共 22页） 针对该校“选择考”情况，2020 年与 2018 年比较

6、，下列说法正确的是() A获得A等级的人数增加了 B获得B等级的人数增加了 1.5 倍 C获得D等级的人数减少了一半 D获得E等级的人数相同 10 （5 分）ABC中，D为边AC上的一点，且满足 1 2 ADDC ，若P为边BD上的一点， 且满足(0,0)APmABnAC mn ，则下列结论正确的是() A21mnBmn的最大值为 1 12 C 41 mn 的最小值为64 2D 22 9mn的最小值为 1 2 11 （5 分）已知函数( ) |cos|sin |f xxx，下列说法正确的是() A( )f x是偶函数 B( )f x是周期为的函数 C( )f x在区间 3 ( ,) 2 上单调

7、递减 D( )f x的最大值为2 12 （5 分）已知正方体 1111 ABCDA B C D的棱长为 4，M为 1 DD的中点，N为ABCD所在 平面上一动点， 1 N为 1111 A BC D所在平面上一动点，且 1 NN 平面ABCD，则下列命题正确 的是() 第 4页（共 22页） A若MN与平面ABCD所成的角为 4 ，则点N的轨迹为圆 B若三棱柱 111 NADN A D的表面积为定值，则点N的轨迹为椭圆 C若点N到直线 1 BB与直线DC的距离相等，则点N的轨迹为抛物线 D若 1 D N与AB所成的角为 3 ，则点N的轨迹为双曲线 三、填空题：本题共三、填空题：本题共 4 小题，

8、每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分 13（5 分） 在产品质量检测中， 已知某产品的一项质量指标(100XN， 2 10 )， 且110120X 的产品数量为 5436 件请估计该批次检测的产品数量是件 参考 数据：()0.6826PX，(22 )0.9545PX， (33 )0.997PX 14 （5 分）已知函数( )f x满足( )(2)(2)f xfxfx ，则符合题意的一个( )f x的解析 式可以为 15 （5 分）在四面体ABCD中，2AB ，1DADBCACB，则四面体ABCD的外 接球的体积为 16 （5 分）已知双曲线 22 2 :1(0) 4 xy Cb b

9、 ，若在直线:20l xy上存在点P满足：过 点P能向双曲线C引两条互相垂直的切线，则双曲线C的离心率取值范围是 四、解答题：本题共四、解答题：本题共 6 小题，共小题，共 70 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 17 （10 分）在()()()ab abac c，22 cosacbC，3(cos)sinabCcB三 个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并解决该问题 在ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，且满足_，2 3b （1）若4ac，求ABC的面积； （2）求ac的取值范围 18（12分） 设 n a是等比数列， 公比大于0，

10、 n b是等差数列， * ()nN 已知 1 1a ，3 2 2aa， 第 5页（共 22页） 435 abb， 546 2abb （1）求 n a和 n b的通项公式： （2）设数列 n c满足 12 1cc， 1 1,33 ,3 kk n k k n c a n ，其中 * kN，求数列 33 (1) nn bc的 前n项和 19 （12 分） 如图， 三棱锥SABC的底面ABC和侧面SBC都是等边三角形， 且平面SBC 平面ABC （）若P点是线段SA的中点，求证：SA 平面PBC； （）点Q在线段出上且满足 1 3 AQAS，求BQ与平面SAC所成角的正弦值 21 （12 分） 如图，

11、 在平面直角坐标系xOy中， 已知椭圆 22 22 1(0) xy ab ab 的右焦点为F， P为右准线上一点点Q在椭圆上，且FQFP （1）若椭圆的离心率为 1 2 ，短轴长为2 3 求椭圆的方程； 若直线OQ，PQ的斜率分别为 1 k， 2 k，求 12 k k 的值 （2）若在x轴上方存在P，Q两点，使O，F，P，Q四点共圆，求椭圆离心率的取值范 围 22 （12 分）已知函数( )2(1)2 x f xealn x 第 6页（共 22页） （1）当2a 时，讨论( )f x的单调性； （2）当0 x，时，( ) sinf xx恒成立，求a的取值范围 第 7页（共 22页） 2021

12、年江苏省苏州市三校高考数学联考试卷（年江苏省苏州市三校高考数学联考试卷（4 月份）月份） 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一一、选择题选择题本题共本题共 8 小题小题，每小题每小题 5 分分，共共 40 分分在每小题给出的四个选项中在每小题给出的四个选项中，只有一只有一 项是符合题目要求的。项是符合题目要求的。 1 （5 分）已知() RA B ，则下面选项中一定成立的是() AABA BABB CABB DABR 【解答】解：ABA ，AB，AB时，() RA B ，A错误； ABB ，BA，() RA B ，B正确； ABB ，AB，同选项A，C错误； ABR ，AR时，() RA

13、B ，D错误 故选：B 2 （5 分）已知i是虚数单位，在复平面内，复数2i 和13i对应的点间的距离是() A5B10C5D25 【解答】解：复数2i 对应复平面内的点( 2,1)A ，复数13i对应复平面内的点(1, 3)B 22 |( 2 1)(13)5AB 即复数2i 和13i对应的点间的距离等于 5 故选：C 3 （5 分）在我国古代著名的数学专著九章算术里有一段叙述：今有良马与驽马发长安 至齐，良马初日行一百零三里，日增十三里；驽马初日行九十七里，日减半里；良马先至齐， 复还迎驽马，九日二马相逢，则长安至齐() A1120 里B2250 里C3375 里D1125 里 【解答】解：

14、由题意知，良马每日行的距离成等差数列， 记为 n a，其中 1 103a ，13d ； 驽马每日行的距离成等差数列， 记为 n b，其中 1 97b ，0.5d ； 设长安至齐为x里，则 1212mm aaabbb 第 8页（共 22页） 98 1398( 0.5) 103 99792 22 x ，解得1125x 故选：D 4 （5 分）甲、乙、丙、丁四位同学决定去巴城老街、千灯古镇、周庄游玩，每人只能去一 个地方，周庄一定要有人去，则不同游览方案的种数为() A60B65C70D75 【解答】解：根据题意，甲、乙、丙、丁四位同学决定去巴城老街、千灯古镇、周庄游玩， 且每人只能去一个地方， 则

15、每人有 3 种选择，则 4 人一共有333381 种情况， 若周庄没人去，即四位同学选择了巴城老街、千灯古镇， 每人有 2 种选择方法，则 4 人一共有222216种情况， 故周庄一定要有人去有811665种情况， 故选：B 5 （5 分）已知A，B是圆 22 :1O xy上的两个动点，|3AB ，32OCOAOB ，M 为线段AB的中点，则OC OM 的值为() A 1 4 B 1 2 C 3 4 D 3 2 【解答】解：由题意得| 1OA ，| 1OB ， 1 () 2 OMOAOB ， 由余弦定理得 222 11( 3)1 cos, 2 1 12 OA OB ， 1 1 1 cos, 2

16、 OA OBOA OB ， 22111 (32)()(32) 224 OC OMOAOBOAOBOAOBOA OB 故选：A 6 （5 分）雷达是利用电磁波探测目标的电子设备电磁波在大气中大致沿直线传播受地 球 表 面 曲 率 的 影 响 ， 雷 达 所 能 发 现 目 标 的 最 大 直 视 距 离 222222 121122 ()()22LRhRRhRRhhRhh（如图） ，其中 1 h为雷达天线 第 9页（共 22页） 架设高度， 2 h为探测目标高度，R为地球半径考虑到电磁波的弯曲、折射等因素，R等 效取8490km，故R远大于 1 h， 2. h假设某探测目标高度为25m，为保护航母

17、的安全，须在 直视距离390km外探测到目标， 并发出预警， 则舰载预警机的巡航高度至少约为()（参 考数据：2 8.494.12) A6400mB7200mC8100mD10000m 【解答】解：根据题意可知，390Lkm，8490Rkm， 2 0.025hkm， 因为 222222 121122 ()()22LRhRRhRRhhRhh， 所以 2222 1 390(8490)8490(84900.025)8490h， 解得 1 8.18100hkmm 故选：C 7 （5 分）下列图象中可以作为函数 2 ( )(1)cos 1 x f xx e 部分图象的是() AAB CD 【解答】解：根

18、据题意， 2 ( )(1)cos 1 x f xx e ， 22 ()(1)cos()(1)cos( ) 11 xx fxxxf x ee ，函数( )f x为奇函数，排除AC； 在区间(0,) 2 上，11 x e， 2 10 1 x e ，cos0 x ，则有( )0f x ，排除D， 故选：B 第 10页（共 22页） 8 （5 分）已知函数( )21 kx lnx f xe kx ，(0)k ，函数( )g xxlnx，若( ) 2 ( )kf xg x，对 (0,)x 恒成立，则实数k的取值范围为() A1，)Be，)C 1 ,) e D 2 ,) e 【解答】解：( ) 2 ( )

19、kf xg x，对(0,)x 恒成立， 即 2 2 kx lnx kekxlnx x ，化为： 222kx kxekx x lnxlnx， 令( )h ttlntlnt，(0,)t， 1 ( )1( )h tlntu t t ， 22 111 ( ) t u t ttt ，可得1t 时，函数( )u t取得极小值即最小值，u（1）20， ( )0h t 恒成立， 函数( )h t在(0,)t上单调递增， 而 2 ()() kx h eh x， 2kx ex， 2kxlnx，即 2lnx k x ， 令 2 ( ) lnx v x x ，(0,)x， 2 2(1) ( ) lnx v x x ，

20、可得xe时，函数( )v x取得极大值即最大值 2 k e 故选：D 二二、选择题选择题：本题共本题共 4 小题小题，每小题每小题 5 分分，共共 20 分分在每小题给出的选项中在每小题给出的选项中，有多项符合有多项符合 题目要求全部选对的得题目要求全部选对的得 5 分，部分选对的得分，部分选对的得 2 分，有选错的得分，有选错的得 0 分分 9 （5 分）新高考方案规定，普通高中学业水平考试分为合格性考试（合格考）和选择性考 试（选择考） ，其中“选择考”成绩将计入高考总成绩，即将学生考试时的原始卷面分数由 高到低进行排序，评定为A，B，C，D，E五个等级，再转换为分数计入高考总成绩某 试点

21、高中 2020 年参加“选择考”总人数是 2018 年参加“选择考”总人数的 2 倍，为了更好 地分析该校学生“选择考”的水平情况，统计了该校 2018 年和 2020 年“选择考”成绩等级 结果，得到如图所示的统计图 第 11页（共 22页） 针对该校“选择考”情况，2020 年与 2018 年比较，下列说法正确的是() A获得A等级的人数增加了 B获得B等级的人数增加了 1.5 倍 C获得D等级的人数减少了一半 D获得E等级的人数相同 【解答】解：设 2018 参加“选择考”总人数为a，则 2020 年参加“选择考”总人数为2a， 由统计图可得，2018 年获得A等级的人数为0.28a，2

22、020 年获得A等级的人数为0.48a，故 A正确； 2018 年获得B等级的人数为0.32a，2020 年获得B等级的人数为0.80a， 获得B等级的人数增加了 0.80.32 1.5 0.32 aa a 倍，故B正确； 2018 年获得D等级的人数为0.08a，2020 年获得D等级的人数为0.12a， 获得D等级的人数增加了一半，故C错误； 2018 年获得E等级的人数为0.02a，2020 年获得E等级的人数为0.04a， 获得E等级的人数为原来的 2 倍，故D错误 故选：AB 10 （5 分）ABC中，D为边AC上的一点，且满足 1 2 ADDC ，若P为边BD上的一点， 且满足(0

23、,0)APmABnAC mn ，则下列结论正确的是() A21mnBmn的最大值为 1 12 C 41 mn 的最小值为64 2D 22 9mn的最小值为 1 2 【解答】解：因为 1 2 ADDC ，所以 1 3 ADAC ， 所以3APmABnACmABn AD ， 第 12页（共 22页） 因为B、P、D三点共线，所以31mn，故A错误； 则 2 31 3() 24 mn mn ，则 1 12 mn， 即mn最大值为 1 12 ，当且仅当3mn，即 1 2 m ， 1 6 n 时取等号，故B正确； 414112 ()(3 )7 4 37 nm mn mnmnmn ，当且仅当 12nm m

24、n 时取等号， 所以 41 mn 的最小值为4 37，故C错误； 222 11 9(3 )61616 122 mnmnmnmn ，当且仅当 1 2 m ， 1 6 n 时取等号， 所以 22 9mn的最小值为 1 2 ，故D正确 故选：BD 11 （5 分）已知函数( ) |cos|sin |f xxx，下列说法正确的是() A( )f x是偶函数 B( )f x是周期为的函数 C( )f x在区间 3 ( ,) 2 上单调递减 D( )f x的最大值为2 【 解 答 】 解 ： 当0 x时 ，( ) |cos|sin | |cos|sin|f xxxxx， 当0 x 时 ， ( ) |cos

25、|sin | |cos|sin()| |cos|sin|f xxxxxxx， 所以，( ) |cos|sin|f xxx， 对于A，因为() |cos()|sin()| |cos|sin|( )fxxxxxf x，所以( )f x是偶函数，所以 A对； 对于B，因为() |cos()|sin()| |cos|sin|( )f xxxxxf x，所以( )f x是周期为 的函数，所以B对； 对 于C， 由B知 ， 只 须 考 虑( )f x在(0,) 2 上 的 单 调 性 ， 在(0,) 2 上 ， ( ) |cos|sin| cossinf xxxxx， cos x与sin x，在(0,)

26、2 上单调递减，所以( )f x在(0,) 2 上的单调递减， 于是( )f x在区间 3 ( ,) 2 上单调递减，所以C对； 对 于D， 只 须 在 2 ， 2 上 考 虑( )f x最 大 值 问 题 ， 在 2 ，0上 ， 第 13页（共 22页） ( ) |cos|sin| cossinf xxxxx，单调递增， 在0， 2 上，( ) |cos|sin| cossinf xxxxx，单调递减，所以在 2 ， 2 上，( )f x的 最大值为(0)12f ，所以D错 故选：ABC 12 （5 分）已知正方体 1111 ABCDA B C D的棱长为 4，M为 1 DD的中点，N为AB

27、CD所在 平面上一动点， 1 N为 1111 A BC D所在平面上一动点，且 1 NN 平面ABCD，则下列命题正确 的是() A若MN与平面ABCD所成的角为 4 ，则点N的轨迹为圆 B若三棱柱 111 NADN A D的表面积为定值，则点N的轨迹为椭圆 C若点N到直线 1 BB与直线DC的距离相等，则点N的轨迹为抛物线 D若 1 D N与AB所成的角为 3 ，则点N的轨迹为双曲线 【解答】解：对于A，因为MN与平面ABCD所成的角为 4 ，所以2DNMD，所以点N 的轨迹为圆，所以A对； 对于B，因为当三棱柱 111 NADN A D的侧面积为定值时，点N的轨迹为椭圆，表面积比侧 面积增

28、加了上下底面， 而底面积是变化的，所以B错； 对于C，因为点N到直线 1 BB与NB相等，所以点N的轨迹为点N到点B与直线DC的距离 相等的轨迹，即抛物线，所以C对； 对于D，因为/ /ABCD、 11 / /CDC D，所以 11 / /ABC D，于是满足条件的 1 D N运动成圆锥面， 其与平面ABCD的交线为双曲线，所以D对 故选：ACD 第 14页（共 22页） 三、填空题：本题共三、填空题：本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分 13（5 分） 在产品质量检测中， 已知某产品的一项质量指标(100XN， 2 10 )， 且110120X 的产品数量为 5

29、436 件请估计该批次检测的产品数量是40000件 参考 数据：()0.6826PX，(22 )0.9545PX， (33 )0.997PX 【解答】解：设该批次检测的产品数量是n， 由(100XN， 2 10 )，得100，10， 所以(110120)(2 )PXPX 1 (22 )() 2 PXPX 1 (0.95450.6826) 2 5436 0.1359 n ， 解得：40000n （件) 故答案为：40000 14 （5 分）已知函数( )f x满足( )(2)(2)f xfxfx ，则符合题意的一个( )f x的解析 式可以为( )0f x 【解答】解：函数( )f x满足( )

30、(2)(2)f xfxfx ， 故( )f x关于直线1x 对称，又关于点(2,0)对称， 则符合题意的一个( )f x的解析式可以是( )0f x ， 故答案为：( )0f x 15 （5 分）在四面体ABCD中，2AB ，1DADBCACB，则四面体ABCD的外 接球的体积为 2 3 第 15页（共 22页） 【解答】解：设AB的中点为O，连接OD，OC，如图， 在四面体ABCD中，2AB ，1DADBCACB， 222 ADBDAB， 222 ACBCAB， 即ABC与ABD均为直角三角形， 故OAOBOCOD， 即O为外接球球心， 2 2 OAR； 四面体ABCD的外接球的体积为 3

31、42 33 R 故答案为： 2 3 16 （5 分）已知双曲线 22 2 :1(0) 4 xy Cb b ，若在直线:20l xy上存在点P满足：过 点P能向双曲线C引两条互相垂直的切线，则双曲线C的离心率取值范围是(1， 6 2 【解答】解：设过P点( , )m n且与双曲线相切的直线方程为()yk xmn，2nm ， 由 2222 () 44 yk xmn b xyb ， 可得 2222222 4(2)2()4b xkxmxmnkn xmb， 即为 22222222 (4)(88)44840bkxk mkn xk mnkmnb， 22222222 64()4(4)(4484)0k mknb

32、kk mnkmnb， 化简可得 22222224 (4)20b mb kb mnkb nb， 即 2222 (4)20mkmnknb，两根设为 1 k， 2 k， 22 12 2 1 4 nb k k m ， 即为 222 (2)4mbm， 第 16页（共 22页） 即为 222 444mmbm， 22 240mmb看做关于m的方程， 2 1680b， 可得 2 02b， 所以双曲线的离心率 2 1(1 4 b e ， 6 2 故答案为：(1， 6 2 四、解答题：本题共四、解答题：本题共 6 小题，共小题，共 70 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤分解答应写出文字说明、证明过程或演算

33、步骤 17 （10 分）在()()()ab abac c，22 cosacbC，3(cos)sinabCcB三 个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并解决该问题 在ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，且满足_，2 3b （1）若4ac，求ABC的面积； （2）求ac的取值范围 【解答】解：当选条件时： 由 222 ()()()ab abac cacbac， 222 1 cos 22 acb B ac ，(0, )B， 3 B ， 当选条件时： 由22 cos2sinsin2sincosacbCACBC，即2sin()2sincossinBCBCC， 整理得：2cossinsinB

34、CC，sin0C ， 1 cos 2 B，又(0, )B， 3 B ， 当选条件时： 由3(cos)sinabCcB3(sinsincos)sinsinABCCB，即 3sin()sincossinsinBCBCCB， 整理得：3cossinsinsinBCCB，sin0C ，3cossinBB，tan3B，(0, )B， 3 B ， （1）由所选条件可知： 3 B ， 又2 3b ，4ac， 由余弦定理可得： 2222 122cos()3163bacacBacacac， 解得： 4 3 ac ， 第 17页（共 22页） 11433 sin 22323 ABC SacB ； （2）由2 3b

35、 ， 3 B ，可得： 2222 12()3bacacacac， 即 22 ()1233() 2 ac acac ，当且仅当ac时取“，整理可得： 2 ()48ac，当 且仅当ac时取“， 4 3ac ，又2 3acb， ac 的取值范围为(2 3，4 3 18（12分） 设 n a是等比数列， 公比大于0， n b是等差数列， * ()nN 已知 1 1a ，3 2 2aa， 435 abb， 546 2abb （1）求 n a和 n b的通项公式： （2）设数列 n c满足 12 1cc， 1 1,33 ,3 kk n k k n c a n ，其中 * kN，求数列 33 (1) nn

36、bc的 前n项和 【解答】解： （1）由题意，设等比数列 n a的公比为(0)q q ， 则 2 aq， 2 3 aq， 由 32 2aa，即为 2 20qq， 解得1q （舍去） ，或2q ， 所以 1 2n n a ，*nN， 设等差数列 n b的公差为d， 由 43s abb，可得 1 34bd， 由 546 2abb，可得 1 31316bd， 解得 1 1bd， 所以 n bn，*nN； （2）由（1）可知 12 1cc， 11 1 1,331,33 ,32,3 kkkk n kkk k nn c a nn ， 所以 11 333 (1)(1)3 (21)363 nnn nnnn n

37、 bcba ， 第 18页（共 22页） 则数列 33 (1) nn bc的前n项和为 1 3(16366)(393 ) nn 1 163(13 )3 639 3 16135210 nnnn 19 （12 分） 如图， 三棱锥SABC的底面ABC和侧面SBC都是等边三角形， 且平面SBC 平面ABC （）若P点是线段SA的中点，求证：SA 平面PBC； （）点Q在线段出上且满足 1 3 AQAS，求BQ与平面SAC所成角的正弦值 【解答】解： （1）证明：ABC和SBC都是等边三角形，且有公共边BC， ABSBACSC， P是SA的中点，SABP，SACP， BPCPP ，SA平面PBC （2

38、）取BC的中点O，连结OA，OS，由条件得OA，BC，OS两两垂直， 以O为坐标原点，OA为x轴，OB为y轴，OS为z轴，建立空间直角坐标系，如图， 设2AB ，则3AOOS， 则( 3A，0，0)，(0B，1，0)，(0C，1，0)，(0S，0，3)， 2 3 ( 3 Q，0， 3) 3 ， ( 3CA ，1，0)，( 3,0,3)SA ， 2 3 ( 3 BQ ，1， 3) 3 ， 设平面SAC的一个法向量为(nx ，y，) z， 则 30 330 n CAxy n SAxz ，令1x ，得(1n ，3，1)， 设BQ与平面SAC所成角为， 则BQ与平面SAC所成角的正弦值为： 2 33

39、3 |3 10 33 sin 10| |8 5 3 BQ n BQn 第 19页（共 22页） 21 （12 分） 如图， 在平面直角坐标系xOy中， 已知椭圆 22 22 1(0) xy ab ab 的右焦点为F， P为右准线上一点点Q在椭圆上，且FQFP （1）若椭圆的离心率为 1 2 ，短轴长为2 3 求椭圆的方程； 若直线OQ，PQ的斜率分别为 1 k， 2 k，求 12 k k 的值 （2）若在x轴上方存在P，Q两点，使O，F，P，Q四点共圆，求椭圆离心率的取值范 围 【解答】解： （1）设椭圆的焦距为2c，由题意，可得 222 1 2 22 3 c a b abc ，解得2a ，3

40、b ， 椭圆的方程为 22 1 43 xy ， 由可得，焦点(1,0)F，准线为4x ， 设(4, )Pt， 0 (Q x， 0) y，则 22 00 1 43 xy ， 22 00 3 3 4 yx， 0 (1FQx ， 0) y，(3, )FPt ， FPFQ， 第 20页（共 22页） 00 3(1)0FQ FPxty ， 00 3(1)tyx， 2 00 00 12 2 0000 3 33(1) 3 4 444 xx yyt k k xxxx ， （2）方法一：设 2 (aP c ，) t， 0 (Q x， 0) y， FPFQ， 则FPQ的外接圆即为以PQ为直径的圆 2 00 ()(

41、)()()0 a xxxytyy c ， 由题意，焦点F，原点O均在该圆上， 2 00 2 00 ()()0 0 a ccxty c a xty c ， 消去 0 ty可得 22 00 ()()0 aa ccxx cc ， 2 0 a xc c ， 点P，Q均在x轴上方， 2 a acc c ， 即 22 0caca， 2 10ee ， 01e， 51 1 2 e ， 方法二：O，F，P，Q四点共圆且FPFQ， PQ为圆的直径， 圆心必为PQ中点M， 又圆心在弦OF的中垂线 2 c x 上， 圆心M的横坐标为 2 M c x， 点Q的横坐标为 22 2 QM aa xxc cc ， 点P，Q均

42、在x轴上方， 第 21页（共 22页） 2 a acc c ， 即 22 0caca， 2 10ee ， 01e， 51 1 2 e ， 故e的范围为 51 ( 2 ，1) 22 （12 分）已知函数( )2(1)2 x f xealn x （1）当2a 时，讨论( )f x的单调性； （2）当0 x，时，( ) sinf xx恒成立，求a的取值范围 【解答】解： （1）当2a 时，( )22 (1)2 x f xeln x, 所以 21 ( )22() 11 xx fxee xx , 令( )0fx,得0 x , 所以当( 1,0)x 时，( )0fx,( )f x单调递减， 当(0,)x时

43、，( )0fx,( )f x单调递增， 故( )f x的单调递减区间为( 1,0),单调递增区间为(0,) (2)令( )( )sin2(1)2sin x h xf xxealn xx且有(0)0h, 所以( )2cos 1 x a h xex x , 当0a时，2cos0 x ex,0 1 a x , 所以( ) 0h x, 所以( )h x在(0, )上单调递增，即( )(0)0h xh, 当0a 时，( )2cos 1 x a h xex x , 2 ( )2sin0 (1) x a hxex x 恒成立， 所以( )h x在(0, )上为增函数，即( )(0)1h xha, 当10a

44、时，( ) 0h x,( )h x在(0, )上单调递增，( )(0)0h xh, 当1a 时，存在 0 (0, )x使得 0 00 0 ()2cos0 1 x a h xex x , 第 22页（共 22页） 当 0 (0,)xx时，( )0h x, 0 (xx,)时，( )0h x, 所以 0 000 ( )()22 (1)2sin x min h xh xeln xx, 所以 0 00 0 ()2cos0 1 x a h xex x , 因为 0 0 1 a x , 0 2(1)0ln x, 00 cossin20 xx, 所以 0 ()0h x,不成立， 综上，a的取值范围为 1,)