1、 数学答案 第1页（共7页） 青岛市 2021 年高考统一模拟检测 数学参考答案 一、单项选择题：本题共一、单项选择题：本题共 8 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 40 分。分。 1-8：C B D C C B D A 二、多项选择题：本题共二、多项选择题：本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分。分。 9ABC 10BD 11BCD 12ABC 三、填空题：本题共三、填空题：本题共 4 个小题，每小题个小题，每小题 5 分，共分，共 20 分。分。 132a ； 1445； 154042； 16 （ （1）8； （； （2） 676 5 四、解答题：本题共
2、四、解答题：本题共 6 小题，共小题，共 70 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 17. （本小题满分（本小题满分 10 分）分） 解：解：(1)选择条件2sincos2sinsinABCB=+， 在ABC中由正弦定理得： 2 cos 2 cb B a + =， 在ABC中由余弦定理得： 222 2 22 acbcb aca + =， 整理得： 222= bcabc+， 所以 222 1 cos 22 bca A bc + = ， 因为A为ABC内角，所以 2 3 A =， 选择条件coscos0 2 A A +=， 则 2 2cosco
3、s10 22 AA + =，即(2cos1)(cos1)0 22 AA +=， 所以 1 cos 22 A =或cos1 2 A = ， 因为0A，所以 0 22 A ，所以cos0 2 A ，所以cos1 2 A = 不成立 所以 1 cos 22 A =，所以 23 A =，所以 2 3 A =， 因为ABC面积为32，即32sin 2 1 =Abc， 所以8bc =， 因为 ABCABDACD SSS =+， 数学答案 第2页（共7页） 所以 1211 sinsinsin 232323 bcAD cAD b=+， 即()bcbcAD=+， 所以 4 5 bc AD bc = + ， 所以
4、线段AD的长度为 4 5 18 （本小题满分 （本小题满分 12 分）分） 解：解： （1）因为4=AC，N为 1 AA的中点，所以24 1 =NCCN， 所以 2 1 2 1 2 CCNCCN=+，所以NCCN 1 ， 因为三棱柱 111 CBAABC为直三棱柱，所以ABCC 1 ， 又因为CACCCACAB= 1 ， 所以AB平面CCAA 11 ， 因为CN平面CCAA 11 ，所以ABCN 因为ABMN /，以MNCN ， 又因为NNMNC= 1 ，所以CN平面MNC1， （2）以A为坐标原点，AB为x轴，AC为y轴， 1 AA为z轴，建立如图所示坐标系 所以)0 , 0 , 0(A，)
5、0 , 0 , 3(B，)0 , 4 , 0(C，)4 , 0 , 0(N，)8 , 4 , 0( 1 C，)8 , 0 , 3( 1 B； 所以( 3,4,0)BC = ， 1 (0,0,8)BB =，设平面CCBB 11 的法向量为( , , )nx y z= 则 1 0 0 n BC n BB = = 即 340 0 xy z += = 所以)0 , 3 , 4(=n， 设 111 ( ,)P x y z， 1(01)APAC= 所以)8 , 4 , 0(),( 111 =zyx 所以(0,4 ,8 )P，(0,4 ,84)NP=， 当0=时 NP与平面CCBB 11 所成角正弦值为0，
6、 当01时 记直线NP与平面CCBB 11 所成角为， 则 22 2 123 sin| |41 5 (4 )(84) 5 5 NP n NP n = + + ， 令1 1 =t ，所以 5 3 545 3 sin 2 + = tt ，当且仅当2=t时成立， 1 C 1 B M B 1 A C A N P xy z 数学答案 第3页（共7页） 所以直线NP与平面CCBB 11 所成角正弦的最大值为 5 3 19 （本小题满分 （本小题满分 12 分）分） 解：解： （1）设数列 n a的公差为d， 由 31 2 213 8 (1)(1) aa aa a = =+ 可得： 2 111 28 (1)
7、(21) d ada ad = +=+ 解得： 1 3a =，4d =， 所以34(1)41 n ann=+=， 当2n 时，因为 1 23 nn Sb + =，所以 1 23 nn Sb = 相减得： 11 2() nnnn SSbb + =，所以 1 3 n n b b + =， 由 1 3b =， 112 223bSb=可得： 2 9b =，所以 2 1 3 b b =， 所以 n b是以 1 3b =为首项，以3为公比的等比数列， 所以3n n b =， （2） （法一）列举观察知： 123 3,27,243ccc=， 猜想： 21 3 k k c =， 下面证明： 因为 2 2 33
8、8 34(2 3 ) nnnn nn bb + + = =是数列 n a的公差d的正整数倍 由于 22 cb，所以 242 , k b bb不是 n a中的项 由于 111 3cba=，所以 1321 , k b bb 是 n a中的项， 从而 21 3,21 k kk cdk =， 所以 111 1 33 5(21)(21) k T kk =+ + 1 111111 ()()() 2 13352121kk =+ + 11 (1) 221k = + 11 242k = + （法二）由 nm ab=可得： 1 (31) 4 m n =+， 由于31 m +(4 1)1 m =+ 01122331
9、1 44444( 1)( 1)1 mmmmmmm mmmmm CCCCC =+ + 数学答案 第4页（共7页） 10213211 4444( 1)( 1)1 mmmmmm mmmm CCCC =+ +， 由于 * Nn，所以31 m +必被4整除，从而21mk=， 所以 21 21 3 k kmk cbb =， 从而21 k dk=， 所以 111 1 33 5(21)(21) k T kk =+ + 1 111111 ()()() 2 13352121kk =+ + 11 (1) 221k = + 11 242k = + 20 （本小题满分 （本小题满分 12 分）分） 解：解： （1）2
10、2列联表为： 月收入不低于65百元人数 月收入低于65百元人数 合计 赞成 3 29 32 不赞成 7 11 18 合计 10 40 50 根据列联表可得2 K 的观测值为 2 50 (3 11 29 7)7225 6.2725.024 10 40 18 321152 k = 而 2 (5.024)0.025P K = 所以能有97.5%的把握认为 “某市工薪阶层对于 楼市限购令 的态度与月收入以6500元 为分界点有关” （2）所有可能取值有0,1, 2, 3； 则 22 53 2222 10552 303 (0) 44044 C C P C CC C = 112211 553523 222
11、2 10552 13527 (1) 44088 C C CC C C P C CC C + = 22111122 53552352 2222 10552 19019 (2) 44044 C CC C C CC C P C CC C + = 211112 523552 2222 10552 8517 (3) 44088 C C CC C C P C CC C + = 所以的分布列是 数学答案 第5页（共7页） 所以 32719177 ( )0123 448844884 E=+ + + = 21 （本小题满分 （本小题满分 12 分）分） 解：解： （1）由题知： 12 ( ) 22 aax fx
12、 xxx = 若0a ，则( )0fx 所以( )f x在(0,)+上单调递减 若0a ，令( )0fx=，解得 2 4xa= 当 2 (0,4)xa时，则( )0fx，所以( )f x在 2 (0,4)a上单调递增 若 2 (4,)xa+，则( )0fx，所以( )f x在 2 (4,)a+上单调递减 （2） （法一）由（1）知： 若0a ，则( )f x在(0,)+上单调递减，且0) 1 (=f， 所以当01x时，( )0f x ，不合题意 若0a ，则 22 ( )(4)ln4212 ln221f xfaaaaaaa=+ =+ 令( )ln1(0)g ttttt= +，则( )lng t
13、t=， 当(0,1)t时，( )0g t，所以( )g t在0,1（）上单调递减； 当(1,)t+时，( )0g t，所以( )g t在1,+（）上单调递增； 所以( )(1)0g tg= 为满足题意，必有(2 )0ga =，所以21a =，解得 1 2 a = （法二）由题知：0) 1 (=f，所以( )(1)f xf 所以1为( )f x的一个极大值点 又因为 1 ( ) 2 a fx xx =，所以 1 (1)0 2 fa=，解得 1 2 a = 此时 111 ( ) 222 x fx xxx =， 当(0,1)x时，( )0fx，所以( )f x在0,1（）上单调递增； 当(1,)x+
14、时，( )0fx，所以( )f x在1,+（）上单调递减 所以当 2 1 =a时，( )(1)0f xf= 0 1 2 3 P 3 44 27 88 19 44 17 88 数学答案 第6页（共7页） 所以当( )0f x 时， 2 1 =a （3）由题意可知， 10 0.81p = 由（2）知： ln 10 2 x x+ ，即ln2(1)xx 所以 10 ln(0.81)10ln(0.81)20( 0.81 1)2= 所以 102 (0.81)pe= 22 （本小题满分 （本小题满分 12 分）分） 解：解： （1）因为 2 n n x k y = ， nn ykxm=+，且 22 241
15、nn nxny+= 由得：2 nn xky= ，将2 nn xky= 代入得： 2 12 n m y k = + 再将 2 12 n m y k = + 代入2 nn xky= 得： 2 2 1 2 n km x k = + 将代入得： 22 1240knm+= 将直线l的方程代入椭圆方程 22* 241(N )nxnyn+=得： 222 2 (12)8410nkxnkmxnm+ =，所以 22 8 (12)40nknm =+= 所以直线l与椭圆C相切 （2） （）设 1122 (,), (,)A xyB xy ，直线l的方程代入椭圆方程 22 22 1 xy ab +=得： 22222222
16、 ()2()0ba kxkma xamb+= 所以 2222 1212 222222 2() , kmaamb xxx x ba kba k += + 所以 2 1212 222 2 ()2 b m yyk xxm ba k +=+= + 因为W为AB的中点 所以 22 22222222 2 , 1212 kmakmb mm ba kkba kk = + 两式相除得： 2 2 2 a b =，即 2 2 =e （）设原点到直线AB的距离为d，则 2 | 1 m d k = + 因为 2 2 2 a b =，所以 22 1212 22 42() , 1212 kmmb xxx x kk += =
17、 + 又因为 2 12 |1|ABkxx =+ 数学答案 第7页（共7页） 22 1212 1()4kxxx x =+ 2222 2 2 2 1(1 2) 1 2 kbkm k + = + 所以 2224222 2 222 2(12)1 |2() 2121212 bkmmb mm SAB d kkk + = + 由（1）知： 22 1 240knm+= ，所以 2 2 1 412 m nk = + 又 2 41 34 b n =+，所以 2 2 212 = 243 b S nnn =，即 2 2 3 S n = 所以 2 2 sin() 4 3 2sin() 2 3 3 n nS n =， 令 sin2 ( )0 3 x f xx x =（），则 2 cossin ( ) xxx fx x =， 再令( )cossing xxxx=，则( )sin0g xxx= 所以( )g x在 2 0, 3 上为减函数，从而，当 2 (0, 3 x时，( )(0)0g xg= 所以( )0fx，所以( )f x在 2 (0, 3 上单调递减 所以 2 sinsin sin3 36 ( ) 22 4 33 x f x x =，从而 2 sin 3 3 2 4 3 n n ， 所以 2 43 2sin()1 34 nS=
