概率论统计全册复习资料.docx

1、1 概率论统计概率论统计全册全册复习资料复习资料 11 sec csc CosSin xx xx 注： 例： 222 ()() (2 )222 xuuxx eexeee 2 凑微分法（适用于积分中有两个含有x的项目相乘的情况） 22 22 2 2 1 22 ,2 2 11 22 xx xx xe dxxe dxxxx e dxe 可以观察到 的倒数是可以凑一个出来 六大分布 三种离散型分布 1.0-1分布 2.若Xb(n,p),则X满足二项分布 10,1,2, kkn k n P XkC ppkn （ ） ， (1) EXn p DXn pp 3.若XP(),则X满足参数为的泊松分布 =,0,

2、1,2, ! k P Xkek k EX DX 3 三种连续分布 1.若XU（a,b）,则X满足a到b的均匀分布 其密度函数为 1 , a f( ) 0 , xb xba 其他 分布函数为 0 , x , 1 , a xa Faxb ba xb （x）= 2 2 () 12 ab EX ba DX (2.,)XXe则 服从参数为若指数分布 , 0 f( ) 0 , 0 x ex x x 其密度函数为 1 ,x0 0 ,x0 x e F 分布函数为（x）= 2 1 1 EX DX 22 2 3.( ,),XNX EX DX 若则 服从期望为 ，方差（不是标准差！）为的正态分布 4 一、全概率与贝

3、叶斯公式全概率与贝叶斯公式 例：某产品由三个厂家供货，甲、乙、丙三个厂家的产品分别占总数 的15%，80%，5%，其次品率分别为0.02，0.01，0.03. （1）取一件 产品，是次品的概率（2）现从这批产品中任取一件发现是次品，试 求该次品是由乙厂生产的概率. 学会读题：此类题目中涉及的情景有明显的分类与先后关系分类与先后关系，如本 题， 要确定某产品为次品， 我们第一步必须先确定它是哪一厂生产的， 第二步再看次品率，才能确定是不是次品。一般会作为大题第一或第 二题出现 路线图： 0.02 0.01 0.03 15% 80% 5% 次品率 次品率 次品率 甲厂生产（）次品 某产品 乙厂生产

4、（）次品 丙厂生产（）次品 这时我们就可以确定这是要用全概率和贝叶斯公式来解题。 第一问问 我们“取一件产品，是次品的概率” ，在路线图中是从左边推到右边， 要用全概率公式 第二问是先知道某产品是次品， 让我们倒推此产品是乙厂生产的概率， 在路线图中表现为从右至左，要用贝叶斯公式 解解 （1 1）记 123 ,AA A分别表示产品取自甲、乙、丙厂；B=“所取的产品是次品”. 则 123 ,AA A构成样本空间的一个划分，且依题意可知 123 ()=0.15, ()=0.8 , ()=0.05P AP AP A, 5 123 ()=0.02, ()=0.01 , ()=0.03P B AP B

5、AP B A. 由全概率公式可得， 3 1 ( )() ()0.15 0.020.8 0.01 0.05 0.030.0125 ii i P BP A P B A . （2）再由贝叶斯公式可得， 2 ()P A B 22 () ()0.8 0.01 0.64 ( )0.0125 P A P B A P B . 解析：全概率公式比较简单，只要把每条路线上的概率分别相乘，再 加起来就可以了 所求概率所属路线的概率 贝叶斯公式：所求概率 已知条件的概率 “已知条件的概率”一般都是第一问用全概率公式算出来的答案，比 如本题第二问已知某产品为次品， 概率正好是第一问算出来的总的次 品率 0.0125。他

6、要我们求乙厂的，所以属于路线图中的第二条路线， 概率为 0.8x0.01 做这种题目要准确地看出是怎么分类分类的，怎么分先后先后的 例二：设一箱子里装有 10 个球，其红球为 0，1，.10 个，是等可 能的。今向箱内放入一个红球，然后从箱内随机取出一个球，求它是 红球的概率。 （第一步确认箱子里原来有几个红球，共分类有 11 种情况，第二步放入 一个红球，题目只问我们正推的结果，所以用全概率公式就可以了） 1 1 1 11 01 1111 12 12 1111 111 1011 1111 放入 个红球 放入 个红球 放入 个红球 箱子里有 个红球（）箱子里有 个红球（） 箱子里有 个红球（）

7、箱子里有 个红球（） 取一球 箱子里有个红球（）箱子里有个红球（） 6 1112131116 =+= 11 11 11 11 11 1111 1111 P所求 二、随机变量的密度函数与分布函数的互求随机变量的密度函数与分布函数的互求 例一(已知分布函 数求密度函数)：设随机变量 X 的分布函数 为 x xx x xF 1, 1 10, 0, 0 )( 2 ，求 (1) 概率7 . 03 . 0 XP;(2) X 的密度函数. 解解 由连续型随机变量分布函数的性质, 有 (1)3 . 0()7 . 0(7 . 03 . 0FFXP; 4 . 03 . 07 . 0 22 (2)X的密度函数为 (

8、 )( )f xF x x xx x 1, 0 10,2 0, 0 2 ,01. 0, xx 其它 解析：先分清楚什么是密度函数，什么是分布函数 密 度 函 数 对 应 的 是 具 体 某 一 点 的 概 率 ， 比 如 本 题 密 度 函 数 是 2 ,01 ( ). 0, xx f x 其它 111 ()()21 222 P Xf X,要求哪一点的概率直接 代进去就可以得到。 分 布 函 数 对 应 的 是 某 一 区 域 的 概 率 ， 比 如 本 题 的 分 布 函 数 是 x xx x xF 1, 1 10, 0, 0 )( 2 ，如果我们代 1 2 进去，求出的概率是 1 2 X取

9、（，）上所 有点概率的加总( 11 33 如果代 ，就是（- , ）)，又因为0 x ,( )0F x ,所以实际 上是 1 0 2 （ ，）上所有点概率的加总 b a fF Fdx 密度函数是分布函数的导数： (x)=(X) 分布函数是密度函数的积分： （x）=f(x) 7 例题二： （已知密度函数求分布函数）设随机变量 X 的密度函数为 ,0 x1 ( )2,1xa 0 , x f xx 其他 ,求（1）常数 a 的值（2）X 的分布函数（3） 13 42 P （ X ） +1 2 0 1 1( )(2)211 2 2 f x dxx dxaa a 解：（ ） 解析：如果给的密度函数里带未

10、知数，一般用 + ( )1f x dx 这个公式求出， 这个公式的意思是：x 取（- ,+ ）上所有可能取值的概率的加总为 1 2 0 01 0 ,0 0 ,0 1 ,01 ,01 2 (2) ( )()= (2) ,12 1 ,2 x tx x x xx tdtx F xP Xx tdtt dtx x 2 1 21 ,12 2 1 ,2 xxx x 解析：分别对密度函数各个区段进行积分，就可以得到分布函数了，注意， 对于12x的积分， 很容易漏掉前面的 0 t tdt ， 为什么要多积一个 0 t tdt 呢？ 这是因为当 x 取12x上某一点时，F（x）代表的是x（， ）上所有点概 率的加

11、总，也包括01x的部分，所以要多积一个 0 t tdt 133127 (3) ()( )( ) 422432 PxFF 8 三、三、求随机变量的函数的分布函数和密度函数求随机变量的函数的分布函数和密度函数 例一： (1)()= X XeY e指数分布 ，求的分布函数设和密度函数 题目一般会说 X 服从指数分布或者均匀分布， 然后给 Y 与 X 的关系公式， 让我们求 Y 的分布函数和密度函数 第一步：根据题意写出 X 的分布函数 F(x),为了写出这一步，我们必须自 己记一下指数分布和均匀分布是什么样的。 1.指数分布：记作( )Xe， 为参数 1 ,x0 0 ,x0 x e F 分布函数为（

12、x）= , 0 f( ) 0 , 0 x ex x x 其密度函数为 。 ( ,2).XU a bXab， 服从均匀分布：记到作上的均匀分布 0 , x , 1 , a xa Faxb ba xb 分布函数为（x）= 1 , a f( ) 0 , xb xba 其密度函数 其他 为 1 , 0 (1)( ) 0 , 0 x ex XeF x x 在例题一中，所以 9 ( )( ) XY XF xYF x第 二 步 ， 从 的 分 布 函 数出 发 ， 推 导 出 的 分 布 函 数， 步 骤 如 下 ( )( ) YY FyP YyFyY的含义：是随机变量 取小于一个 给定值y的所有点的概率的

13、和 = ( )( ) X YX P YyP eyYXYX FxFx 利用 与 的关系式，将 换成 ， 这样就和关联起来了 =ln X P eyP XyX把左边化成只有一个 的型式， 这边用的是两边同时取对数的方法 ln=(ln )( )=(ln )( )( ) ( )( ) XYXYX XY P XyFyFyFyFxFx FxFx ，即我们就将与一一对应起来了， 从而可以由推导出 (注意大x、大y代表两个不同的随机变量，小x和小y代表的是普通的数 字，两个可以一样，比如同时取2，大写和小写的意思是不一样的) 1 1 , 0 1 , 0 ln( )( ) 0 , 0 0 , 0 x Y x ex

14、 yyF xFy x x 现在直接把带入，得 y 01,1 01,1 y00 11 x x xy xy yy 再把公式尾巴上的x化成 : 时，e所以 时，0e所以0 显然 是取不到 以下的，默认此区域概率为 所以0变成会比较全面概括一点 2 1 1 , y1 ( ) 0 , 1 ( ) ( ) 1 , y1 ( )( ) 0 , 1 Y YY YY yFy y Fyfy yfyFy y 第三步，对分布函数求导，求出密度函数 更多例题可以看书本P73页课后作业 10 四、四、离散型联合概率分布离散型联合概率分布 只要题目出现“求（x,y）的什么什么”就可以确定这是在考联 合概率分布 离散型联合概

15、率分布的考察离不开这个表 y x (2)(3)(4)(5) (1). (2).a. (3). 其中带括号的数字和.都是我们必须根据题目具体情境确定的 一般题目第一问会要求我们自己画这个表，或者直接给我们这个表，但是里 面有未知数， 要求未知数只要记住表内所有概率的和等于1就可以了：（.+a） =1 第二问会问我们x和y的边缘概率分布边缘概率分布，比如上表，要求x的边缘分布，就 是把每一行的概率分别加起来就可以了，求y的边缘分布，就是把每一竖的 概率加起来。 x(1)(2)(3) p。 。 。 。 。 。 。 y(2)(3)(4)(5) P。 。 。 。 。 。 。 。 。 11 第三问形式比较

16、多 1.求协方差cov(x,y) 记住公式cov(x,y)=E(X,Y)-E(X)E(Y) 简单来说就是（最上面那个大表每个概率乘以对应的数字，加起来）-（下面 两个小表的每个概率乘以对应数字，再把结果相乘） 2.求特定区域的概率和,这时只要找到符合条件的概率加起来就可以了 比如P(X+Yyx0 1 (),() 20 , S Df xy 本题所以， 其他 13 1 2= 22 1 （ ）P(X+2Y1) P(Y-X)-把左边化成只有一个Y的型式 画出所求区域，为下图黑色部分，对此区域的积分就是所求概率 1 11 11111 3 2222 32233 000 0 31 =21 3() 26 2

17、x x x x dydxdxxdxxxy P(X+2Y1) （如果看不懂上式，可以百度一下二重积分的教程.） + 3( )( , ),( ) ( , ) XY fxf x y dyfxf x y dx （ ）求，就要算求，就要算 1 +22 ,0 12 ,0 1 ( )=( , )= 0 , 0 , x X xxdyx fxf x y dy 本题中， 其他 其他 1 1 x x 中的 和 呢？我们需要作一条平行与y如何确定轴的直线 直线经过 y=x 和 y=1,所以我们知道要 从 x 积到 1 如果是 dx,就画一条平行于 x 轴的直线 千万别忘记还有一个概率为 0 的“其他” 14 + 0

18、2 ,0 12 ,0 1 ( )=( , )= 0 , 0 , y Y yydyy fxf x y dy 其他 其 理可得 他 同 (4)要验证是否独立， 只要把边缘分布函数相乘， 如果结果等于联合分 布函数，就独立，否则不独立 4(1) ,0 yx0 ( )( ),() 0 ,0 , XY x yy fx fxf xy XY 显然不等于， 其他其他 所以 ， 本题 不独立 六、六、中心极限定理中心极限定理 所谓中心极限定理，分为两种情况 2 22 :, , (,) ii i XEXDX nnX N nn EX 一 已知 为样本，如果样本足够多，可以近似估计 总的样本服从期望为方差为的正态分布

19、，即 （前面那个是单个样本的期望,不是总的） 知道总的样本服从正态分布，就可以将其标准化，就可以查表得出想要的数据 ( , ), ,(1) (,(1) XXB n pn Xnpnpp XN np npp 二、已知 服从二项分布，即当 足够多时， 可以近似的估计 服从期望为方差为的正态分布 即 就可以标准化，查标准正态分布表得有关数据 为什么要用中心极限定理呢？一句话，就是数学家为了偷懒，化成标 准正态分布可以直接查表，很方便 做此类题目要一眼看出是哪种情况 一般情况下，题目里包含百分数的，比如“1000 人中有 80%（或者 0.8）的人没定报纸” ，属于第二种情况 直接或间接告诉我们 X 的

20、期望和方差的，属于第一种情况，比如“X 服从（-1，1）上的均匀分布” ，我们就可以知道 EX=0,DX= 1 3 15 例一：有一批钢材，其中 80%的长度不小于 3 米，现从钢材中随机取 出 100 根，试用中心极限定理求小于 3 米的钢材超过 30 根的概率 解：可以看出这是第二种情况 第一步，先用定理化为正态分布 设 X 为小于 3 米的样本 (100,20%) i XB ，由中心极限定理得 总的样本服从(20,16)XN 第二步，写出题目要求的概率的条件 0 00 (30)=1(30) 20302030-20 1(30)=1()=1- 161616 =12.5 =1 0.9938=0

21、.0062-2.5 P XP X X P XP （）标准化 （）（）可以在试卷最前面找到 0.0062 即为所求概率 七、七、最大似然估计最大似然估计 先来看一个高中的问题： 已知 2+2 10yxx ,求函数最高点的横坐 标，解法是对 y 求导，得2222=0yxx ，再令，就得到最高点横坐 标 最大似然估计中的“最大”就是上面问题的“最高点” ，最大似然估 计的值就是最高点的横坐标 所以我们只要求出的函数，对其求导，再等于 0，就可以得到答案 16 12 1 ( ),0 2 n x f xe 例一：设（X ,X ,.,X ）是取自总体X的样本，而X的概率密度函数为 =其中是未知参数，求 的

22、最大似然估计量 12 11 12 ( ) ( )=( , )- = ( , )(, )(, ) 111 = 222 1 =() 2 n nn i ii n xxx n L Lf x f xf xf x eee e 解：有关的似然函数是样本函数的连乘积 本题中是连乘积的意思 11 1 (2 ) n i n i x xxx n e 1 2 1 2 11 1 1 ( )ln(2 ) 1 ( ) 11 =0= 1 n i i n i i nn ii ii n i i Lnx dn Lx d n xx n x n 为了等一下求导比较好算，用两边同时取对数的方法化掉指数 ln 对 求导 ln 令，得 所以

23、最大似然估计是 关于求导的相关公式请用概率论公式速查 17 得 分 集集 美美 大大 学学 试试 卷卷 纸纸 20122012 20132013学年学年 第第 二二 学期学期 课程名称概率论与数理统计（概率论与数理统计（5454 学时）学时） 试卷 卷别 B B 适用 学院、专业、 年级 经济、管理类经济、管理类 考试 方式 闭卷 开卷 备注 1、参考数据1.290.9,(1.77)0.96， 0.0250.025 (8)2.306(9)2.262tt， 0.025(25) 40.646t， 0.025(24) 39.364t，32=5.662、本试卷共 6 页 总分题号一二三四五六七八 得分

24、 阅卷人 一、填空题一、填空题( (共共 2121 分，每小题分，每小题 3 3 分分) )。 . 1.已知, 5 . 0)(AP, 2 . 0)(BAP4 . 0)(BP, 则)(BAP=0.3 2设随机变量X具有以下的概率分布,. 4 . 01 . 03 . 02 . 0 2101 i p X ，则 2 ) 1( XY的概率 分布律为 Y 014 i P2 . 07 . 01 . 0 3.设随机变量 X 的分布函数为 F（x）=A+Barctanx, x ，则常数 A=1/2，B= 1 . 4.设某项竞赛成绩X服从正态分布 N （65, 100） ， 规定按高分获奖原则， 且按参赛人数的

25、10% 发奖，则获奖分数线应定为 78 分. 5设 随 机 变 量 X 的 分 布 函 数 为)(xF， 试 以)(xF表 示 概 率 ：(X)Pa= F(a)-F(a-0). 6设 12 ,XX是独立、同分布的随机变量，且都服从 ,令 X =, 18 得 分 则当 =1 时,X服从分布，它的自由度为 2。 7设总体 X 服从参数为的泊松分布，是取自总体 X 的一个样本，则 2 的 无偏估计量是 22 1 1 = n i i XX n 8. 设厦门地区 16 岁青少年身高服从正态),( 2 N.今测得 25 个样本值,计算得：156x， 30 * n s. 则厦门地区 16 岁青少年的平均身高

26、的置信水平为 0.95 的置信区间为 (143.6166, 168.3834). 二、综合题（综合题（1212 分）分） 将 3 个球随机放入 4 个杯子中, 问杯子中球的个数最多为 1, 2, 3 的概率各是多少? 解解设CBA,分别表示杯子中的最多球数分别为 1,2,3 的事件. 我们认为球是可以区分 的, 于是, 放球过程的所有可能结果数为.43n (1)A所含的基本事件数: 即是从 4 个杯子中任选 3 个杯子, 每个杯子放入一个球, 杯 子的选法有 3 4 C种, 球的放法有 3! 种, 故 )(AP 3 3 4 4 ! 3 C . 8 3 4 分 (2)C所含的基本事件数: 由于杯

27、子中的最多球数 3, 即 3 个球放在同一个杯子中共有 4 种放法, 故 )(CP 3 4 4 . 16 1 4 分 (3)由于三个球放在 4 个杯子中的各种可能放法为事件,CBA显然,SCBA 且CBA,互不相容, 故 )(BP)()(1CPAP. 16 9 .4 分 、 19 得 分 得 分 三、三、综合题（综合题（1010 分，分，每小题每小题 5 5 分分） 设随机变量 X 的分布函数为 x xx x xF 1, 1 10, 0, 0 )( 2 求 (1) 概率7 . 03 . 0 XP;(2) X 的密度函数. 解解由连续型随机变量分布函数的性质, 有 (1)3 . 0()7 . 0

28、(7 . 03 . 0FFXP; 4 . 03 . 07 . 0 22 .5 分 (2)X的密度函数为 )()(xFxf x xx x 1, 0 10,2 0, 0 . , 0 10,2 其它 xx .5 分 四、四、证明题（证明题（1212 分，分，每小题每小题 6 6 分分） 设二维随机变量),(YX的联合概率分布律为 Y X123 21/900 32/91/90 42/92/91/9 求： （1）)20, 32(YXP； （2）U=max(X,Y) 的分布律； 解：（1） )20, 32(YXP=)2, 3() 1, 3(YXPYXP=1/3。6 分 （2） U 的可能取值为 2，3，4

29、，2 分 9/1)2, 2() 1, 2()2(YXPYXPUP 9/3)2, 3() 1, 3()3(YXPYXPUP 9/5)3, 4()2, 4() 1, 4()4(YXPYXPYXPUP. 2 分 所以 U 的分布律为U234 20 得 分 得 分 得 分 P1/91/3 5/9.2 分 五、五、综合题（综合题（1010 分）分） 某公司有 200 名员工参加一种资格证书考试.按往年经验考试通过率为 0.8,试计算这 200 名员工至少有 150 人考试通过的概率. 解解令 i X=,200, 2 , 1, , 0 , 1 i i i 人未通过考试第 人通过考试第 2 分 依题意,.3

30、2)1 (,1608 . 0200, 8 . 01pnpnpXP i 2 分 由中心极限定理得 32/16015032/160150 200 i ii XPXP 77. 132/160 200 1 i i XP4 分 ,96. 0)77. 1 ()77. 1(12 分 即至少有 150 名员工通过这种考试的概率为 0.96. 六六、综合题、综合题( (共共 1010 分分) )。 设随机变量YX,的联合点分布在以点(0,1), (1,0), (1,1)为顶点的三角形区域上服从均匀 分布, 试求随机变量YXZ的数学期望与方差. 解解三角形区域G如图所示,G的面积为 1/2, 所以),(YX的 联

31、合概率密度为 2,( , ) ( , ). 0, x yG f x y 其它 dxdyyxfyxYXE),()()( 1 1 1 0 )(2 x dyyxdx 1 0 2 )2(dxxx. 3 4 3 1 0 2 3 x x 5 分 dxdyyxfyxYXE),()()( 22 1 1 2 1 0 )(2 x dyyxdx 1 0 23 )33( 3 2 dxxxx 6 11 ， 所以 22 )()()(YXEYXEYXD. 18 1 5 分 21 得 分 七七、综合题、综合题( (共共 1212 分，每小题分，每小题 6 6 分分) )。 设总体 X 服从指数分布, 其概率密度函数 0, 0

32、 0, ),( x xe xf x 其中0, 是未知参数. n xxx, 21 是来自总体 X 的样本观察值, 求参数的 （1）矩估计量； （2）最大似然估计值。 解解(1)因为 EX= 1 ，所以参数的矩估计量为 1 = X 6 分 （2）似然函数 其它, 0 0,);,( 1 21i x n n xexxxL n i i 3 分 显然);,( 21 n xxxL的最大值点一定是 n i i x n n exxxL 1 );,( 211 的最大值点, 对其 取对数 n i in xnxxxL 1 211 ln);,(ln 由 n i i n x n d xxxLd 1 211 0 );,(l

33、n ,可 得 参 数的 最 大 似 然 估 计 值 . 1 1 x x n n i i 3 分 八八、综合题、综合题( (共共 1010 分分) ) 22 得 分 水泥厂用自动包装机包装水泥, 每袋额定重量是 50kg, 某日开工后随 机抽查了 9 袋, 称得重量如下: 49.649.350.150.049.249.949.851.050.2 设每袋重量服从正态分布,问包装机工作是否正常?)05. 0( 解解(1) 建立假设,50: 0 H.50: 1 H2 分 (2) 选择统计量).1( / 0 nt nS X T 2 分 (3) 对于给定的显著性水平,确定, k使 | kTP 查t分布表得

34、,306. 2)8( 025. 02/ ttk 从而拒绝域为.306. 2|t2 分 (4) 由于, 9 .49x,29. 0 2 s所以 ,036. 256. 0 / 50 | ns x t,036. 256. 0|t 故应接受, 0 H即认为包装机工作正常.。4 分 集集 美美 大大 学学 试试 卷卷 纸纸（参考解答及评分标准）（参考解答及评分标准） 20132013 20142014学年学年 第第 二二 学期学期 课程名称概率论与数理统计概率论与数理统计 A A 试卷 卷别 A A 适用 学院、专业、 年级 20122012 级物流、工程、会计、工商、商务、营销、级物流、工程、会计、工商

35、、商务、营销、 金融、国贸、经济、投资、财政等专业金融、国贸、经济、投资、财政等专业 考试 方式 闭卷 开卷 备注 1.1.本试卷共本试卷共 6 6 页页；2.2.本试卷可能用到的数据本试卷可能用到的数据： 0(2) 0.97725， 0(1.67) 0.9525， 2 0.025(15) 27.488， 2 0.975(15) 6.262， 0.05(15) 1.753t， 0.05(16) 1.746t. 总分题号一二三四五六七八 得分 阅卷人 一、填空题（共一、填空题（共 2727 分，每小题分，每小题 3 3 分）分） . 23 得 分 1. 设()0.2P AB . 则()P AB

36、0.8. 2设(1 5)Xe（指数分布） ，则10P X 2 1 e . 3 设(1 3)XP（泊松分布） ，0,1YU， 且X与Y独立， 则()D XY5 12. 4. 将一枚硬币重复掷n次，以X,Y分别表示硬币正面朝上和反面朝上的次数，则 , 1 X Y . 5设 i (0,1),1,2XNi ，且 1 X与 2 X独立，则 22 12 ZXX 2(2) . 6.设 12 (,) n XXX是取自总体 2 ( ,)XN 的样本，则 2 2 (1) nS Z 2( 1)n. 7. 设 ( )Tt n，则 2 ( ,1)ZTF n 8.设 12 (,) n XXX是 取 自 总 体X的 样 本

37、 ， 且 总 体 方 差 2 存 在 ， 则 22 1 1 () 1 n i i SXX n 是 2 的 无偏（或相合）估计量. 9. 设 1216 (,)XXX是取自总体 2 ( ,)XN 的样本， 2 未知， 则的置信水平为0.9 的置信区间 是 0.050.05 (15) 4,(15) 4)XS tXS t. 二、 （共（共 7 7 分）分）某人向同一目标重复独立射击，假设每次命中率为 (01)pp， 试求他在第3次射击时恰好是第2次命中目标的概率. 解解注意到：A “第3次射击时恰好是第2次命中目标”“第3次射击命中目标， 且前 24 得 分 2次射击恰好命中1次目标”.（3 3 分）

38、分） 由独立性可得，( )P AP第3次射击命中目标P前2次射击恰好命中1次目标 112 2 (1)2(1)p C pppp.（7 7 分）分） 三、 （共共 1010 分分）某产品由三个厂家供货，甲、乙、丙三个厂家的产品分 别占总数的 15%，80%，5%，其次品率分别为0.02，0.01，0.03. 现从这 批产品中任取 一件发现是次品，试求该次品是由乙厂生产的概率. 解解记 123 ,AA A分别表示产品取自甲、乙、丙厂；B=“所取的产品是次品”. 则 123 ,AA A构成 样本空间的一个划分，且依题意可知 123 ()=0.15, ()=0.8 , ()=0.05P AP AP A,

39、 123 ()=0.02, ()=0.01 , ()=0.03P B AP B AP B A. （4 4 分）分） 由全概率公式可得， 3 1 ( )() ()0.15 0.020.8 0.01 0.05 0.030.0125 ii i P BP A P B A . （7 7 分）分） 再 由 贝 叶 斯 公 式 可 得 ， 2 ()P A B 22 () ()0.8 0.01 0.64 ( )0.0125 P A P B A P B . 25 得 分 （1010 分）分） 四四、 （共（共 1212 分分） 设(,)X Y的联合概率分布（见右表）: 且事件0X 与1XY独立， 求（1）常数a

40、,b； （2）X和Y的边缘概率分布； （3）cov(, )X Y. 解解（1） 由0.40.11 ij ij pab 得，0.5ab- () 又 0,101(0.4)()0.5(0.4)P XXYP XP XYa aba， 且 0,10,1P XXYP XYa，所以0.5(0.4)aa - () 联立()、 ()解得，0.4,0.1ab.（5 5 分）分） （2）X和Y的边缘概率分布分别为： （ 8 8分分） （3）cov(, )()(1 0.2)(1 0.5) ij ij X YE XYEXEYij p 1 1 0.1 0.10 . （1212 分）分） Y X 01 00.4 a 1b0.

41、1 X01 P0.80.2 Y01 P0.50.5 26 得 分 得 分 五五、（共共 1010 分分）设X的概率密度为 2 , 01 ( ) 0, X xx fx 其它 ， 求 2 YX 的概率 密度( ) Y fy. 解解当0y 时， 2 ( )()0( )( )0 YYY FyP XyfyFy ； （2 2 分）分） 当0y 时， 2 ( )()()( ) y YX y FyP XyPyXyfx dx 0 0 01 01 02,01 0201,1 y y y y dxxdxyy dxxdxdxy ， （8 8 分）分） 从而 1, 01 ( )( ) 0,1 YY y fyFy y ，

42、所以 1, 01 ( ) 0, Y y fy 其它 . （1010 分）分） 六六、 （共（共 1414 分）分）设(,)X Y的联合概率密度为 , 01,1 ( , ) 0, cxyxxy f x y 其它 ， 求（1）常数c； （2）边缘概率密度( ) X fx,( ) Y fy； （3）()E XY. 解解（1）由 111 2 00 1 ( , )(1) 2 x f x y dxdydxcxydycxxdx 24 1 0 ()1 2248 cxxc 可得，8c . （4 4 分）分） 27 得 分 （2） 1 2 84 (1), 01 ( )( , ) 00, x X xydyxxx f

43、xf x y dy dy 其它 ；（7 7 分）分） 3 0 84, 01 ( )( , ) 00, y Y xydxyy fyf x y dx dx 其它 . （1010 分）分） （3） 111 2223 00 1 ()( , )88(1) 3 x E XYxy f x y dxdydxx y dyxxdx 36 1 0 84 () 3369 xx . （1414 分）分） 七七、 （共（共 8 8 分）分）设一个复杂的系统由100个部件组成，每个部件能正 常工作的概率为0.9.为使系统能正常工作， 需要85个以上的部件 正常工作，求整个系统能正常工作的概率. 解解设100个部件中能正常工

44、作的部件数为X，则依题意知(100,0.9)Xb. （2 2 分）分） 根据 D-L 中心极限定理可得，所求概率为 100 0.985 100 0.9 851851 100 0.9 0.1100 0.9 0.1 X P XP XP 0 5 1() 3 00 5 ()(1.67)0.9525 3 . 28 得 分 （8 8 分）分） 八八、 （共共 1212 分分）设 12 (,) n XXX是取自总体X的样本，而X的概 率密度为 ( )f x (1), 01 0, xx 其它 ，其中1 是未知参数，求（1） 的矩估计量； （2）的最大似然估计量. 解解（1）因为 1 21 0 0 11 ( )

45、(1) 22 EXx f x dxxx dxx ， 所以由 1 2 XEX 可得，的矩估计量 1 2 1 X X . （5 5 分）分） （ 2 ） 似 然 函 数 11 ( )( , )(1)(, 01) nn n iii ii Lf xxix ， （8 8 分）分） 两边取对数可得， 1 ln ( )ln(1)ln n i i Lnx ， 从而由 1 ln ( ) ln0 1 n i i dLn x d 解得的最大似然估计量为 1 1 ln n i i n X . （1212 分）分） 29 得 分 集集 美美 大大 学学 试试 卷卷 纸纸（参考解答及评分标准）（参考解答及评分标准） 20

46、132013 20142014学年学年 第第 二二 学期学期 课程名称概率论与数理统计概率论与数理统计 A A 试卷 卷别 B B 适用 学院、专业、 年级 20122012 级物流、工程、会计、工商、商务、营销、级物流、工程、会计、工商、商务、营销、 金融、国贸、经济、投资、财政等专业金融、国贸、经济、投资、财政等专业 考试 方式 闭卷 开卷 备注 1.1.本试卷共本试卷共 6 6 页页；2.2.本试卷可能用到的数据本试卷可能用到的数据： 0(2) 0.97725， 0(1.67) 0.9525， 2 0.025(15) 27.488， 2 0.975(15) 6.262， 0.05(15)

47、 1.753t， 0.05(16) 1.746t. 总分题号一二三四五六七八 得分 阅卷人 一、填空题（共一、填空题（共 2727 分，每小题分，每小题 3 3 分）分） . 1. 设()XP（泊松分布） ，且122P XP X，则1. 2. 设(1 5)Xe（指数分布） ，则15P X 3 e . 3. 设连续型X的分布函数为 2 0, 0 ( ), 01 1, 1 x F xAxx x ，则A 1. 4. 设 , 25,36,0.4 X Y DXDY，则()D XY85. 5设X (0,1)N， 2 (1)Y，且X与Y独立，则ZXY(1)t. 6. 设 12 (,) n XXX是取自总体

48、2 ( ,)XN 的样本， 则 X Z n (0,1)N. 30 得 分 得 分 7. 设 2 (2)X， 2 (4)Y，且X与Y独立，则2(2,4)ZX YF. 8. 设 12 (,) n XXX是取自总体X的样本，且总体均值、方差 2 都存在，则X是 的_无偏、 _有效、相合_ 估计量. 9. 设 1216 (,)XXX是取自总体 2 ( ,)XN 的样本，且 2 1 15s ，则 2 的置信水 平为0.95的 置信区间是 22 0.0250.975 (1(15), 1(15) ). 二、 （共（共 7 7 分）分）甲乙两人各自独立地对同一目标进行射击，甲击中的概 率为0.8，乙击中的概率

49、为0.7，两人各射击一次，试求目标被击中 的概率. 解解设A “甲击中目标” ，B “乙击中目标” ， 则 “目标被击中”AB.（2 2 分）分） 由概率的加法公式及事件独立性可得， ()( )( )()( )( )( ) ( )P ABP AP BP ABP AP BP A P B 0.80.70.8 0.70.94. （7 7 分）分） 三、 （共共 1010 分分）设甲袋中装有2个白球、2个黑球，乙袋中装有2个白 球、3个黑球 现从甲袋中任取两球放进乙袋， 再从乙袋中任取两球， 试求从乙袋中 所取两球都是白球的概率. 解解记 i A=“从甲袋放进乙袋的两球中有i个白球” ，0,1, 2i

50、 ；B=“从乙袋中所取 31 得 分 两球都是白球”. 则 012 ,AA A构成样本空间的一个划分，且 2112 2222 012 222 444 141 ()= , ()= , ()= 666 CC CC P AP AP A CCC ，（5 5 分）分） 222 324 012 222 777 136 ()=, ()= , ()= 212121 CCC P B AP B AP B A CCC ， （8 8 分）分） 由 全 概 率 公 式 可 得 ， 2 0 1 1+4 3+1 6 ( ) ()()=0.151 126 ii i P BP A P B A . （1010 分）分） 四四、