1、书书书 蚌埠市 届高三年级第四次教学质量检查考试 数学（ 文史类） 本试卷满分 分， 考试时间 分钟 注意事项： 答卷前， 考生务必将自己的姓名、 准考证号填写在答题卡上 回答选择题时， 选出每小题答案后， 用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑 如需改 动， 用橡皮擦干净后， 再选涂其它答案标号 回答非选择题时， 将答案写在答题卡上 写在 本试卷上无效 一、 选择题： 本题共 小题， 每小题 分， 共 分 在每小题给出的四个选项中， 只有一项是符合 题目要求的 已知集合 ， ， 则 瓓 （ ， ） 设 （ ） ， 其中 ， ， 则 槡 槡 若 ， 则下列不等式一定成立的是 （ ） 记 为等差
2、数列 的前 项和 若 ， ， 则数列 的公差为 已知 ， 则 已知实数 ， 满足约束条件 ， ， ， 则 的最大值为 已知直线 ： ， 直线 ： ， 则“ ” 是“ ” 的 充分不必要条件 必要不充分条件 充要条件 既不充分也不必要条件 在 中， ， 则 ）页共（页第卷试）文（学数级年三高市埠蚌 已知函数 （ ） ， ， ， ， 则满足 （ ） 的 的取值范围是 ， () ， () （ ， ） （ ， ） 九章算术 中有述： 今有蒲生一日， 长三尺， 莞生一日， 长 尺， 蒲生日自半， 莞生日自倍 意思是： “ 今有蒲第一天长高 尺， 莞第一天长高 尺， 以后蒲每天长高前一天的一半， 莞 每天
3、长高前一天的倍 ” 请问当莞长高到长度是蒲的倍时， 需要经过的天数是（ 结果精 确到 参考数据： ， ） 天 天 天 天 设抛物线 的焦点为 ， 直线 ： ， 为抛物线上一点， ， 为垂足， 如果直 线 的斜率为槡 ， 那么 等于 已知函数 () （ ） 在区间 ， () 内有且仅有一个极大值点， 则 的最大 值为 二、 填空题： 本题共 小题， 每小题 分， 共 分 已知直线 槡 与圆 交于 ， 两点， 则 已知曲线 （ ） 在 ， () 处切线的斜率为 ， 则 已知双曲线 ： （ ， ） 的左焦点为 ， 右顶点为 ， 虚轴上顶点为 若双 曲线 的离心率是槡 ， 则 有四个半径为 的小球，
4、球 ， 球 ， 球 放置在水平桌面上， 第四个小球 放在这三 个小球的上方， 四个小球两两外切 在四个小球之间有一个小球 ， 与这四个小球均外 切 则球 的半径为 三、 解答题： 共 分 解答应写出文字说明、 证明过程或演算步骤 第 题为必考题， 每个试 题考生都必须作答 第 、 题为选考题， 考生根据要求作答 （ 一） 必考题： 共 分 （ 分） 在 中， 角 ， ， 所对的边分别为 ， ， ， 其外接圆半径为 ， 已知 （ ） （ ） 求角 ； （ ） 若边 的长是该边上高的槡 倍， 求 的值 ）页共（页第卷试）文（学数级年三高市埠蚌 （ 分） 如图， 四棱锥 的底面 是边长为 的菱形，
5、底面 （ ） 求证： 平面 平面 ； （ ） 若 ， 中点为 ， 求点到平面 的距离 （ 分） 年 月 日， 博鳌亚洲论坛 年年会开幕式在海南博鳌举行， 国家主席习近平以 视频方式发表题为 同舟共济克时艰， 命运与共创未来 的主旨演讲， 某校政治老师为了解 同学们对此事的关注情况， 在一个班级进行了调查， 发现在全班 人中， 对此事关注的同 学有 人， 该班在上学期期末考试中政治成绩（ 满分 分） 的茎叶图如下： （ ） 求对此事不关注者的政治期末考试成绩的中位数与平均数； （ ） 若成绩不低于 分记为“ 及格” ， 从对此事不关注者中随机抽取人， 求该同学及格的 概率； （ ） 若成绩不低于
6、 分记为“ 优秀” ， 请以是否优秀为分类变量， 请补充下列的 列联 表， 并判断能否在犯错概率不超过 的前提下， 认为“ 对此事是否关注” 与“ 政治期 末成绩是否优秀” 有关系？ 政治成绩优秀政治成绩不优秀合计 对此事关注者 对此事不关注者 合计 附： （ ） （ ） （ ） （ ） （ ） ， 其中 （ ） ）页共（页第卷试）文（学数级年三高市埠蚌 （ 分） 已知椭圆 ： （ ） 的离心率为槡 ， 过点 ， 槡 () （ ） 求椭圆 的标准方程； （ ） 设点 ， 分别是椭圆 的左顶点和上顶点， ， 为椭圆 上异于 ， 的两点， 满足 ， 记 ， 的斜率分别为 ， ， 求证： 为定值 （
7、 分） 已知函数 （ ） ， （ ） 讨论函数 （ ） 的单调性， （ ） 设 （ ） （ ） ， （ ） 在区间 ， 上的最大值为 （ ） ， 求 （ ） 的最小值 （ 二） 选考题： 共 分 请考生在第 、 题中任选一题作答 如果多做， 则按所做的第一题计分 选修 ： 坐标系与参数方程 （ 分） 在直角坐标系 中， 直线 的参数方程为 槡 ， 槡 （ 为参数） 以坐标原点 为极 点， 轴正半轴为极轴建立极坐标系， 曲线 的极坐标方程为 （ ） 求曲线 与直线 的直角坐标方程； （ ） 若直线 与直线 和曲线 分别交于点 ， （ 均异于原点 ） ， 且 槡 ， 求实 数 的值 选修 ： 不等
8、式选讲 （ 分） 已知 ， ， 为正数， 且满足 证明： （ ） ； （ ） ）页共（页第卷试）文（学数级年三高市埠蚌 蚌埠市 届高三年级第四次教学质量检查考试 数学（ 文史类） 参考答案及评分标准 一、 选择题： 题号 答案 二、 填空题： 槡 槡 三、 解答题： （ 分） （ ） 由已知条件 （ ） 及正弦定理得， （ ） ， 即 ， 分 由余弦定理可得 ，分 而 ， 于是 分 （ ） 记 边上的高为 ， 不妨设 ， 则 ， ， 槡 ， 由余弦定理得 槡 ，分 在 中， 记 ， 则 槡 槡 ， 槡 ， 分 所以 （ ） 槡 分 （ 分） （ ） 证明： 由 平面 ， 且 平面 ， 故 ，分
9、 因为四边形 为菱形， 故 ， 又 ， 所以 平面 ，分 因为 平面 ， 所以平面 平面 分 （ ） 设点 到平面 的距离为 ， 因为点 是线段 的中点， 所以点 到平面 的距离为 故 ， 又 菱形 槡 分 由 平面 可知， ， 且 和 均为直角三角形， 故 槡 ， ）页共（页第案答考参）文（学数级年三高市埠蚌 于是易得 槡 分 又 槡 所以 槡 槡 ， 即 槡 故所求点 到平面 的距离为 槡 分 （ 分） （ ） 对此事不关注的 名同学， 成绩从低到高依次为 ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 中位数为 ；分 平均数为 （ ） ；分 （ ） 因为对此事不关注的 个人中
10、共有 人及格， 所以所求概率 ，分 （ ） 政治成绩优秀政治成绩不优秀合计 对此事关注 对此事不关注 合计 分 （ ） 所以能在犯错概率不超过 的前提下， 认为“ 对此事是否关注” 与“ 政治期末成绩 是否优秀” 有关系 分 （ 分） （ ） 由 槡 可得， ， 分 点 ， 槡 () 代入椭圆方程 ， 解得 ， ， 分 即椭圆 的标准方程为 ； 分 （ ） 设 （ ， ） ， （ ， ） ， 由题意 ， 的斜率存在， 设直线 ： （ ） 设直线 ： 由（ ） 椭圆方程 ： 联立得（ ） ， ）页共（页第案答考参）文（学数级年三高市埠蚌 解得 （ ） ， 即 （ ） ， () 分 联立， 可得
11、， 即 ， （ ） () ， 分 故 （ ） （ ） ， 即 为定值 分 （ 分） （ ） 由题意 （ ） 的定义域为 ， （ ） 分 若 ， 则 （ ） ， 所以 （ ） 在 上为单调递增函数；分 若 ， 由 （ ） 解得 槡 ， 槡 ， （ ） 的解为 槡 或 槡 ， （ ） 的解为 槡 槡 ， 即 （ ） 的增区间为 ， 槡 () ， 槡 ， () ， 减区间为 槡 ， 槡 () 分 （ ） 若 ， 则 （ ） （ ） ， （ ） （ ） （ ） ， 又由（ ） 知 （ ） 在 ， 上为增函数， 故 （ ） （ ） ， （ ） ；分 若 ， 易知 （ ） ， 槡 () 槡 ， （ ） ，
12、 （ ） ， 槡 () 槡 ， （ ） ， ?若 ， 则 槡 ， 且 槡 () 槡 （ ， ） ， 故 槡 () （ ） ， 所以 （ ） （ ） ， 槡 () ， （ ） （ ） ， （ ） ， 则 （ ） ， ， ， 分 ? 若 ， 则 （ ） ， 且 槡 ， 故 （ ） 在 ， 上为减函数， 则 （ ） （ ） ， （ ） 综上， （ ） ， ， ， ， ， ， 所以 （ ） 分 ）页共（页第案答考参）文（学数级年三高市埠蚌 （ 分） 解： （ ） 由直线 的参数方程 槡 槡 （ 为参数） ， 消去 得直线 的直角坐标方程为 ；分 由曲线 的极坐标方程为 ， 两边同时乘以 得 ， ， ， 曲线 的直角坐标方程为（ ） 分 （ ） 直线 的极坐标方程为 （ ） ， 联立 ， （ ） ， 解得 （ 槡 ， ） （ ）分 联立 ， ， 解得 （ 槡 ， ） ，分 由 槡 槡 槡 ， 解得 分 （ 分） 解： （ ） （ ） （ ） （ ） ， （ ） 分 当且仅当 时， 等号成立， 因为 ， ， 为正数， 且满足 ， （ ） （ ） ， 即 分 （ ） （ ） （ ） （ ） （ ） （ ）分 槡 槡 槡 当且仅当 ， ， 时， 上式等号成立 分 （ 以上答案仅供参考， 其它解法请参考以上评分标准酌情赋分） ）页共（页第案答考参）文（学数级年三高市埠蚌
