1、1 / 7 矩形、菱形、正方形矩形、菱形、正方形 【教学【教学内容内容】 正方形 【教学目标】【教学目标】 1了解正方形的有关概念，理解并掌握正方形的性质和判定定理。 2会利用正方形的性质和判定进行相关的计算和证明。 【教学重难点】【教学重难点】 1了解正方形的有关概念，理解并掌握正方形的性质和判定定理。 2会利用正方形的性质和判定进行相关的计算和证明。 【教学过程】【教学过程】 （一）情境导入 如图所示，把可以活动的矩形框架 ABCD 的 BC 边平行移动，使矩形的邻边 AD，DC 相等，观察这时矩形 ABCD 的形状。 如图所示，把可以活动的菱形框架 ABCD 的A 变为直角，观察这时菱形
2、 ABCD 的形 状。 图中图形的变化可判断矩形 ABCD特殊的四边形是什么四边形？图中图形变化可 判断菱形 ABCD特殊的四边形是什么四边形？经过观察， 你发现既是矩形又是菱形的图形是 什么四边形？ 引入正方形的定义：有一个角是直角，且有一组邻边相等的平行四边形叫做正方形。 注意：正方形既是特殊的矩形，又是特殊的菱形，即：有一组邻边相等的矩形是正方形或 2 / 7 有一个角是直角的菱形是正方形。 正方形的性质： 性质 1：正方形的四条边都相等，四个角都是直角。 性质 2：正方形的对角线相等且互相垂直平分。 （二）合作探究 探究点一：正方形的性质的运用 类型一：利用正方形的性质求角度。 例 1
3、：四边形 ABCD 是正方形，ADE 是等边三角形，求BEC 的大小。 解析：等边ADE 可以在正方形的内部，也可以在正方形的外部，因此本题分两种情况。 解： 当等边ADE 在正方形 ABCD 外部时， 如图， ABAE， BAE9060150， AEB15 同理可得DEC15 BEC60151530 当等边ADE 在正方形 ABCD 内部时，如图，ABAE，BAE906030， AEB75 同理可得DEC75 BEC360757560150 综上所述，BEC 的大小为 30或 150 易错提醒：因为等边ADE 与正方形 ABCD 有一条公共边，所以边相等。本题分两种情 况：等边ADE 在正方
4、形的外部或在正方形的内部。 类型二：利用正方形的性质求线段长。 例 2：如图，正方形 ABCD 的边长为 1cm，AC 为对角线，AE 平分BAC，EFAC，求 BE 的长。 解析：线段 BE 是 RtABE 的一边，但由于 AE 未知，不能直接用勾股定理求 BE，由条 件可证ABEAFE，问题转化为求 EF 的长，结合已知条件易求解。 3 / 7 解：四边形 ABCD 为正方形 B90，ACB45，ABBC1cm EFAC EFAEFC90 又ECF45 EFC 是等腰直角三角形 EFFC BAEFAE，BEFA90，AEAE ABEAFE ABAF1cm，BEEF FCBE 在 RtABC
5、 中，AC 2(cm) FCACAF( 21)cm BE( 21)cm 方法总结：正方形被对角线分成 4 个等腰直角三角形，因此在正方形中解决问题时常用到 等腰三角形的性质与直角三角形的性质。 类型三：利用正方形的性质证明线段相等。 例 3：如图，已知过正方形 ABCD 的对角线 BD 上一点 P，作 PEBC 于点 E，PFCD 于点 F。求证：APEF。 解析：由 PEBC，PFCD 知四边形 PECF 为矩形，故有 EFPC，这时只需说明 AP CP，由正方形对角线互相垂直平分可知 APCP。 证明：连接 AC，PC 四边形 ABCD 为正方形 BD 垂直平分 AC APCP PEBC，
6、PFCD，BCD90 四边形 PECF 为矩形 PCEF 4 / 7 APEF 方法总结：（1）在正方形中，常利用对角线互相垂直平分证明线段相等；（2）无论是正 方形还是矩形，经常连接对角线，这样可以使分散的条件集中。 探究点二：正方形的判定 类型一：先证明是矩形再证明是正方形。 例 4：已知：如图所示，在 RtABC 中，C90，BAC，ABC 的平分线交于点 D，DEBC 于点 E，DFAC 于点 F。求证：四边形 CEDF 是正方形。 解析：欲证明四边形 CEDF 是正方形，先根据C90，DEBC，DFAC，证明四边 形 CEDF 是矩形，再证明一组邻边相等即可。 证明：过点 D 作 D
7、GAB 于点 G DFAC，DEBC DFCDEC90 又C90 四边形 CEDF 是矩形（有三个角是直角的四边形是矩形） AD 平分BAC，DFAC，DGAB DFDG 同理可得 DEDG DEDF 四边形 CEDF 是正方形（有一组邻边相等的矩形是正方形） 方法总结：正方形的判定方法有很多，可以先证明它是矩形，再证明它有一组邻边相等或 对角线互相垂直；或先证明它是菱形，再证明它有一个角是直角或对角线相等。 类型二：先证明是菱形再证明是正方形。 例 5： 如图， EG， FH 过正方形 ABCD 的对角线的交点 O， 且 EGFH。 求证： 四边形 EFGH 是正方形。 解析：已知 EGFH
8、，要证四边形 EFGH 为正方形，则只需要证四边形的对角线 EG，HF 5 / 7 互相平分且相等即可，根据题意可通过三角形全等来证 OEOHOGOF。 证明：四边形 ABCD 为正方形 OBOC，ABOBCO45，BOC90COHBOH EGFH BOEBOH90 COHBOE CHOBEO OEOH 同理可证：OEOFOG OEOFOGOH 又EGFH 四边形 EFGH 为菱形 EOGOFOHO，即 EGHF 四边形 EFGH 为正方形 方法总结：对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形。 探究点三：正方形的性质和判定的综合运用。 例 6：已知：如图，点 E，F，P，Q 分别是正方形 AB
9、CD 的四条边上的点，并且 AFBP CQDE。 求证：（1）EFFPPQQE； （2）四边形 EFPQ 是正方形。 解析：（1）证明APFDFECEQBQP，即可证得 EFFPPQQE；（2） 由 EFFPPQQE， 可判定四边形 EFPQ 是菱形。又由APFBQP，易得FPQ90， 即可证得四边形 EFPQ 是正方形。 证明：（1）四边形 ABCD 是正方形 ABCD90，ABBCCDAD AFBPCQDE DFCEBQAP 6 / 7 在APF 和DFE 和CEQ 和BQP 中， AFDECQBP， ADCB， APDFCEBQ， APFDFECEQBQP(SAS) EFFPPQQE （
10、2）EFFPPQQE 四边形 EFPQ 是菱形 APFBQP AFPBPQ AFPAPF90 APFBPQ90 FPQ90 四边形 EFPQ 是正方形 方法总结：此题考查了正方形的判定与性质以及全等三角形的判定与性质。注意解题的关 键是证得APFDFECEQBQP。 探究点四：正方形、菱形、矩形与平行四边形的综合运用。 例 7：如图，ABC 中，点 P 是 AC 边上一个动点，过 P 作直线 EFBC，交ACB 的平 分线于点 E，交ACB 的外角ACD 平分线于点 F。 （1）请说明：PEPF； （2）当点 P 在 AC 边上运动到何处时，四边形 AECF 是矩形？为什么？ （3）在（2）的
11、条件下，ABC 满足什么条件时，四边形 AECF 是正方形？为什么？ （4）当点 P 在边 AC 上运动时，四边形 BEFC 可能是菱形吗？请说明理由。 解：（1）CE 平分BCA 12 EFBC E1 E2 EPPC 7 / 7 同理 PFPC EPPF （2）当点 P 在 AC 中点时，四边形 AECF 是矩形 PAPC，PEPF 四边形 AECF 是平行四边形 又ECF1 2BCD90 平行四边形 AECF 是矩形 （3）当ACB90时，四边形 AECF 是正方形 ACB90 ACBC EFBC ACEF 平行四边形 AECF 是正方形 （4）四边形 BECF 不可能是菱形 ECF90 EFCF 四边形 BECF 不可能是菱形。
