1、 2021 南京师范大学数学之友 一一选择题选择题:本题共本题共 8 小题，每小题小题，每小题 是符合题目要求的。是符合题目要求的。 1. 已知集合 Ax|(x1)2 A. 1，0，1，2 B. 2若复数 1 z， 2 z在复平面内对应的点关于 A1 3.已知命题:px R，x+ x A. 0 xR， 00 x + x C.x R，0 x+ x 4.水晶是一种石英结晶体矿物，因其硬度、色泽、光学性质、稀缺性 等，常被人们制作成饰品 水晶一块，将其裁去八个相同的四面体，打磨成某饰品，则该饰品 的表面积为（单位： 2 cm A.12 4 3 B. 5某城市轨道交通 7 号线即将试运行，市轨道交通集
2、团面向广大市民开展“参观体验，征 求意见” 活动， 市民可以通过市地铁 小刘， 小李中随机选择两位与自己一起去参加体验活动， 则小王和小李至多一人被选中的 概率为（ ） 考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求 1 本试卷共 6 页，包含选择题（共 分，考试时间为 120 分钟 2 答题前，请您务必将自己的姓名、考试证号等用书写黑色字迹的 卡上，并用 2B 铅笔正确填涂考试号。 3 作答试题必须用书写黑色字迹的 一律无效。 4 如有作图需要，可用 2B 1 1 高考数学模拟试卷（2） 南京师范大学数学之友 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 40 分。分。在每小题给出的四个选项中
3、，只有一项在每小题给出的四个选项中，只有一项 4，xR，B2，1，0，1，2，则 AB B. 0，1，2 C. 0，1 D. 1， 在复平面内对应的点关于y轴对称，且 1 2zi，则复数 B1 C 34 55 i D 34 55 0 x+ x ，则p为( ) 0 B. 0 xR， 00 0 x + x 0 D.x R，0 x+ x 水晶是一种石英结晶体矿物，因其硬度、色泽、光学性质、稀缺性 等，常被人们制作成饰品. 如图所示，现有棱长为2cm的正方体 水晶一块，将其裁去八个相同的四面体，打磨成某饰品，则该饰品 2 cm）( ) B.16 4 3 C.12 3 3 D.16 3 3 号线即将试运
4、行，市轨道交通集团面向广大市民开展“参观体验，征 求意见” 活动， 市民可以通过市地铁 APP 抢票， 小陈抢到三张体验票， 准备从小王， 小张， 小刘， 小李中随机选择两位与自己一起去参加体验活动， 则小王和小李至多一人被选中的 注意事项注意事项 考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求 包含选择题（共 12 题） 、填空题（共 4 题） 、解答题（共 分钟。考试结束后，请将答题卡交回。 答题前，请您务必将自己的姓名、考试证号等用书写黑色字迹的 0.5 毫米签字笔填写在答题 铅笔正确填涂考试号。 必须用书写黑色字迹的 0.5 毫米签字笔写在答题卡上的指定位置，在其它位置作答 2B 铅笔
5、作答，并请加黑、加粗，描写清楚。 在每小题给出的四个选项中，只有一项在每小题给出的四个选项中，只有一项 B( ) ，2 ，则复数 1 2 z z （ ） 34 55 i 0 0 163 3 号线即将试运行，市轨道交通集团面向广大市民开展“参观体验，征 抢票， 小陈抢到三张体验票， 准备从小王， 小张， 小刘， 小李中随机选择两位与自己一起去参加体验活动， 则小王和小李至多一人被选中的 题） 、解答题（共 6 题） ，满分为 150 毫米签字笔填写在答题 上的指定位置，在其它位置作答 2 A 1 6 B 1 3 C 2 3 D 5 6 6. 直角三角形 ABC 中，ACB 2 ，ACBC2，点
6、P 是斜边 AB 上一点，且 BP2PA， 则CP CA CP CB ( ) A. 4 B. 2 C. 2 D. 4 7 已知双曲线 22 22 :10,0 xy Cab ab 的左焦点为F，A、B为双曲线的左、 右顶点， 渐近线上的一点P满足OP OF ，且 3 APB ，则双曲线的离心率为( ） A3 B 2 7 C 3 21 D 3 32 8 已知, 0, ， 若cos2cosee ， 则下列结论一定成立的是 （） Acos cos Bcoscos Csinsin Dsinsin 二二选择题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。在每小题给出的选项中，有多项符合选择题：本题共
7、4 小题，每小题 5 分，共 20 分。在每小题给出的选项中，有多项符合 题目要求。全部选对的得 5 分，部分选对的得 2 分，有选错的得 0 分。 题目要求。全部选对的得 5 分，部分选对的得 2 分，有选错的得 0 分。 9已知 a0，b0，且 a2b21，则( ) Aab 2 B1 22 ab2 Clog2alog2b1 2 Da2b21 10引入平面向量之间的一种新运算“”如下:对任意的向量 m(x1，y1)，n(x2，y2)， 规定 mnx1x2y1y2，则对于任意的向量 a，b，c，下列说法正确的有 Aabba B (a) b(ab) C|a|b|ab| Da(bc)(ab)c 1
8、1.某港口一天 24h 内潮水的高度S（单位：m）随时间（单位：:024ht ）的变化近似 满足关系式 5 3sin 126 S tt ，则下列说法正确的有（） A. S t在0,2上的平均变化率为 3 / 4 m h B. 相邻两次潮水高度最高的时间间距为 24h C. 当6t 时，潮水的高度会达到一天中最低 D. 18 时潮水起落的速度为/ 8 m h 3 12已知数列 n a满足： 1 1 nnn aaa ， 1 1a ，设ln nn ba(nN)，数列 n b的前 n 项和 为 n S，则下列选项正确的是（ln20.693，ln31.099） （） A数列 21n a 单调递增，数列
9、2n a单调递减 B 1 ln3 nn bb C 2020 693S D 212nn bb 三三填空题：本题共填空题：本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分。分。 13(x31)(2x 1 x) 6的展开式中 x3项的系数是_.（用数字作答） 14已知椭圆 C：x 2 a2 y2 b21(ab0)的左顶点为 A，右焦点为 F，点 P 在直线 xa 上，直 线 PA 交椭圆于点 Q，若AQ 2QP，AQQF0，则椭圆 C 的离心率为_. 15托勒密是古希腊天文学家、地理学家、数学家，托勒密定理就是由其名字命名，该定理 原文： 圆的内接四边形中， 两对角线所包矩形的面积等
10、于一组对边所包矩形的面积与另一组 对边所包矩形的面积之和 其意思为： 圆的内接凸四边形两对对边乘积的和等于两条对角线 的乘积从这个定理可以推出正弦、余弦的和差公式及一系列的三角恒等式，托勒密定理实 质上是关于共圆性的基本性质已知四边形 ABCD 的四个顶点在同一个圆的圆周上，AC、 BD 是其两条对角线， BD4， 且ACD 为正三角形， 则ABC 面积的最大值为_， 四边形 ABCD 的面积为_.(注：圆内接凸四边形对角互补) 16已知函数 2 2xxafx， 2 4lnabg xx，设两曲线 yf x， yg x有 公共点P，且在点P处的切线相同，当0,a时，实数b的最大值是. 四四解答题
11、解答题:本题共本题共 6 小题，共小题，共 70 分，解答应写出文字说明分，解答应写出文字说明证明过程或演算步骤证明过程或演算步骤 17(本小题满分 10 分) 已知ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，且满足 cos2Bcos2Csin2AsinAsinB (1) 求角 C； (2) 若 c7，_ (从下列问题中任选一个作答，若选择多个条件分别解 答，则按选择的第一个解答计分) ABC 的面积为 6 3，求ABC 的周长 ABC 的周长为 21，求ABC 的面积 4 18(本小题满分 12 分) 设非常数数列an满足 an+2an+1an ，nN*，其中常数 ， 均为非零实数
12、， 且 0. （1）证明：数列an为等差数列的充要条件是 20； （2）已知 1，1 4，a11，a2 5 2，求证：数列| an1an1| (nN*，n2)与 数列n1 2 (nN*)中没有相同数值的项. 19(本小题满分 12 分) 某市质监部门严把食品质量关，在 2020 年 3 月 15 日前夕，根据质量管理考核指标对本地 的500家食品生产企业进行考核， 通过随机抽样抽取其中的50家， 统计其考核成绩(单位： 分)，并制成如图频率分布直方图 (1)求这 50 家食品生产企业考核成绩的平均数 x(同一组中的数据用该组区间的中点值为代 表)及中位数 a(精确到 0.01) (2)该市质监
13、部门打算举办食品生产企业质量交流会，并从这 50 家食品生产企业中随机抽 取 4 家考核成绩不低于 88 分的企业发言，记抽到的企业中考核成绩在92，100的企业数 为 X，求 X 的分布列与数学期望 (3)若该市食品生产企业的考核成绩 X 服从正态分布 N(，2)其中 近似为 50 家食品生产 企业考核成绩的平均数 x， 2近似为样本方差为 s2， 经计算得 s227.68， 利用该正态分布， 估计该市 500 家食品生产企业质量管理考核成绩高于 90.06 分的有多少家？(结果保留整 数) 附参考数据与公式： 27.685.26， XN(， 2)则 P(X)0.6827， P(2X2 )0
14、.9545.P(3X)1 2 0.6827 2 0.1587，500.158779( 家食品生产企业质量管理考核成绩高于 90.06 分的有 79 交AB于点E，分别以 , ,x y z轴建系 11 (0, 1,0), (0,1,0), (2,1,0),(0,0, 3),(0,2, 3)ACBAC 11 (2,1,3),(0,3, 3)ABAC 0 3 30，所以 11 ABAC (0, , 3 )， (0,1, 33) 的一个法向量为( , , )nx y z (1)( 33)0yz 500.158779(家)， 79 家 因为 1 (2,1,3)AB 若直线 A1B 与平面 MA1B1所成
15、角的正弦值为3 15 20 . |cos n ，A 1B |3 15 20 ， 即 |211 1| 2 2 111 3( 1 1) 2 3 15 20 , 解得 1 3. 所以当 CM1 3CC 时，直线 A 1B 与平面 MA1B1所成角的正弦值为3 15 20 . 21.解：(1) f(x)2x22mxm2， 所以 g(x) 2 3x 3mx2m2x (2x22mxm2)2 3x 3(m2)x2(m22m)xm2， 所以 g(x)2x22(m2)xm22m.(3 分) 当 4(m2)28(m22m)0 时，即 m2 或 m2 时，g(x)0 恒成立， 所以函数 g(x)在 R 上单调递增，
16、故函数 g(x)无极值； 当4(m2)28(m22m)0 时，即2m2 时， 2x22(m2)xm22m0 有两个根 x1，x2(不妨设 x10)，所以 (x)ex1 x. 因为 (x)ex1 x20，所以 (x)e x1 x在(0，)上单调递增且连续不间断， 而 1 2 e20， 所以函数 (x)在(0，)上存在唯一零点 x0 1 2，1 ，列表如下： x (0，x0) x0 (x0，) (x) 0 (x) 极小值 所以 (x)min(x0)?ln x0，其中?1 x00，且 x0 1 2，1 ，(13 分) 所以 x0ln x0，所以 (x)min?ln x0 x01 x0 2，5 2 .
17、 又因为 k0，所以由 k2(exln x)2得 kexln x 对任意 x0 恒成立 由题意知 k(x)minx0 1 x0. 因为 x01 x0 2，5 2 ，且 kN*， 所以 k1，2， 即正整数 k 的取值集合为1，2 22.解： (1)设 P 点坐标为(s，t)， 由于抛物线 yx2的焦点 F(0，1 4)，且 M(1，1)和 N(2，4)是 P 点的“垂足点” ， 所以 MFMP，且 NFNP 因为FM (1，3 4)，MP (s1，t1)，FM(2，15 4 )，MP (s2，t4)， 所以 s1 3 4( t1)0， 2(s2)15 4 ( t4)0 解得 s 41 12 ，
18、 t62 9 所以 P 点坐标为(41 12 ， 62 9 ) (2)假设存在 P(s，t)满足条件，设其中的一个“垂足点”为 A(x0，x02) 由于 AFAP，且FA (x 0，x0 21 4)，PA (x 0s， x0 2t)， 所以 x0 (x0s)(x021 4)( x0 2t)0， 即 x04(3 4t) x0 2x 0s1 4t0 若 P 点有三个“垂足点” ， 即关于 x 的方程 x4(3 4t) x 2sx1 4t0 有三个不相等的实数根 所以方程 x4(3 4t) x 2sx1 4t0 可化为(xm) 2(x2axb)0， 且 a24b0， m2amb0 因为(xm)2(x2axb)x4(a2m)x3(m2b2ma)x2(am22mb)xm2b0， 所以 a2m0， m2b2ma3 4t， am22mbs， m2b1 4t， 即 ma 2， s3aa 3 4 ， t3 4a 2， b3 4 若 P 点在双曲线y 2 8 x2 21 上， 则1 8 9 16a 41 2( 3aa3 4 )21， 化简得 4a633a436a21280， 即(a24)(4a417a232)0， 解得 a2 或 a2，此时 m1 或 m1，且满足 a24b0， m2amb0 所以存在 P 点，其坐标为(1 2，3)或( 1 2，3)
