1、（新高考）2021 届高三第一次模拟考试卷 数数 学（学（二二） 注意事项：注意事项： 1答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形 码粘贴在答题卡上的指定位置。 2选择题的作答：每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂 黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。 3非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试题卷、草 稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。 4考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。 第第卷卷 一一、单项单项选择题选择题：本题共本题共 8 8 小题小题，每小题每小题 5 5 分分，共共 4040
2、分分在在每小题给出每小题给出的的四个选项中四个选项中，只只 有一项是符合题目要求的有一项是符合题目要求的 1设集合2AxxR， 2 30BxxxR，则AB等于（） A0,B2,C0,2D2,3 2若0a ，0b ，则“4ab”是“abab”的（） A充分不必要条件B必要不充分条件 C充要条件D既不充分也不必要条件 3向量a，b满足1a，2b，a与b的夹角为60，则2 ab（） A2 3B2 2C4D2 4m，n为空间中两条不重合直线，为空间中一平面，则下列说法正确的是（） A若/mn，n，则mB若m，/mn，则n C若m，n，则/mnD若m，mn，则n 5某服装厂引进新技术，其生产服装的产量x
3、（百件）与单位成本y（元）满足回归直线方程 100.3614.2yx ，则以下说法正确的是（） A产量每增加100件，单位成本约下降14.2元 B产量每减少100件，单位成本约上升100.36元 C产量每增加100件，单位成本约上升14.2元 D产量每减少100件，单位成本约下降14.2元 6已知函数( )cos2cossin(2) sinf xxx在 3 x 处取得最小值，则函数 fx的一个 单调递减区间为（） A 4 , 33 B 2 , 33 C 5 , 36 D , 6 3 7流行病学基本参数：基本再生数 0 R指一个感染者传染的平均人数，世代间隔T指相邻两代间传 染所需的平均时间在新
4、冠肺炎疫情初始阶段，可用模型： 0 ( ) rt I tN e（其中 0 N是开始确诊病例 数） 描述累计感染病例( )I t随时间t（单位： 天） 的变化规律， 指数增长率r与 0 R，T满足 0 1RrT ， 有学者估计出 0 3.4R ，6T 据此，在新冠肺炎疫情初始阶段，当 0 ( )2I tN时，t的值为 （ln20.69） （） A12B17C20D25 8 给出定义： 若 11 22 mxm（其中m为整数） ， 则m叫做离实数x最近的整数， 记作 xm， 在此基础上给出下列关于函数 f xxx的四个命题：函数 yf x的定义域为R，值域 为 1 0, 2 ；函数 yf x在 1
5、1 , 2 2 上是增函数；函数 yf x是周期函数，最小正周期为 1；函数 yf x的图象关于直线 2 k xkZ对称其中正确命题的个数是（） A1B2C3D4 二二、多项多项选择题选择题：本题本题共共 4 4 小题小题，每每小题小题 5 5 分分，共共 2020 分分在在每小题每小题给出给出的选项中的选项中，有有多项多项 符合题目要求符合题目要求全部全部选对的得选对的得 5 5 分分，部分部分选对的得选对的得 3 3 分分，有有选错的得选错的得 0 0 分分 9某人退休前后各类支出情况如下，已知退休前工资收入为 8000 元/月，退休后每月储蓄的金额比 退休前每月储蓄的金额少 1500 元
6、，则下面结论中正确的是（） A该教师退休前每月储蓄支出 2400 元 B该教师退休后的旅行支出是退休前旅行支出的 3 倍 此卷只装订不密封 班级姓名准考证号考场号座位号 C该教师退休工资收入为 6000 元/月 D该教师退休后的其他支出比退休前的其他支出少 10已知a，b，c为实数，且0ab，则下列不等式正确的是（） A 11 ab B 22 acbc C ba ab D 22 aabb 11设函数( )sin 2 cos 2 44 f xxx ，则（） A fx的最大值为2B fx在区间0, 2 上单调递增 C fx是偶函数D fx的图象关于点 ,0 4 对称 12若实数,0m n ，满足2
7、1mn，以下选项中正确的有（） Amn的最大值为 1 8 B 11 mn 的最小值为4 2 C 29 12mn 的最小值为 5D 22 4mn 的最小值为 1 2 第第卷卷 三、填空题：本大题共三、填空题：本大题共 4 4 小题，每小题小题，每小题 5 5 分分 13已知三棱锥相邻的两条棱长分别为 3 和 4，其余棱长均为 5，则该三棱锥的外接球的表面积为 _ 14方程 22 22 1 1 xy m m 表示焦点在y轴上的椭圆，则实数m的取值范围是_ 15如图所示，为了测量A、B两岛屿的距离，小明在D处观测到A、B分别在D处的北偏西 15、 北偏东 45方向，再往正东方向行驶 10 海里至C处
8、，观测B在C处的正北方向，A在C处的北偏 西 60方向，则A、B两岛屿的距离为_海里 16在等差数列 n a中，若 12 16aa， 5 1a ，则 1 a _；使得数列 n a前n项的和 n S取 到最大值的n _ 四、解答题：本四、解答题：本大题共大题共 6 6 个个大题，共大题，共 7070 分分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 17 （10 分）在2 coscoscosaAcBbC， 2 2 sinsinsinsinsinBCABC， 2 cos2aBcb这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并进行解答 在ABC中，角A，B，C的对边分别
9、为a，b，c，若10b ，6c ，_，求ABC的 面积S 18 （12 分）如图，四棱锥PABCD中底面ABCD为矩形，PD 底面ABCD，1ADPD， 2ABBC，E、F分别为CD、PB的中点 （1）求证：EF平面PAB； （2）求三棱锥PAEF的体积 19 （12 分）已知各项均为正数的数列 n a的前n项和 n S满足 22 0 nn Snn S （1）求数列 n a的通项公式； （2）设 1 4 n nn b aa ，数列 n b的前n项和为 n T证明：1 n T 20 （12 分）高中生在被问及“家，朋友聚集的地方，个人空间”三个场所中“感到最幸福的场所在哪 里？”这个问题时，从中
10、国某城市的高中生中，随机抽取了 55 人，从美国某城市的高中生中随机抽 取了 45 人进行答题中国高中生答题情况是：选择家的占 2 5 、朋友聚集的地方占 3 10 、个人空间占 3 10 美国高中生答题情况是：朋友聚集的地方占 3 5 、家占 1 5 、个人空间占 1 5 如下表： 在家里最幸福在其它场所幸福合计 中国高中生 美国高中生 合计 （1）请将 22 列联表补充完整；试判断能否有 95%的把握认为“恋家”与否与国别有关； （2）从被调查的不“恋家”的美国学生中，用分层抽样的方法选出 4 人接受进一步调查，再从 4 人中 随机抽取 2 人到中国交流学习，求 2 人中含有在“个人空间”
11、感到幸福的学生的概率 附： 2 2 n adbc k abcdacbd ，其中nabcd 2 0 P kk0050002500100001 0 k38415024663510828 21 （12 分） 设 1 F， 2 F分别是椭圆 22 22 :1 xy C ab 0ab的左、 右焦点，M是C上一点且 2 MF 与x轴垂直，直线 1 MF与C的另一个交点为N （1）直线MN的斜率为 3 4 ，求C的离心率； （2）若直线MN在y轴上的截距为2，且 1 5MNFN，求a，b 22 （12 分）已知函数 2 ln21f xxaxax，其中a为常数，且0a （1）当2a 时，求 fx的单调区间；
12、（2）若 fx在1x 处取得极值，且在0,e的最大值为1，求a的值 （新高考）2021 届高三第一次模拟考试卷 数数 学（学（二二）答答 案案 第第卷卷 一一、单项单项选择题选择题：本题共本题共 8 8 小题小题，每小题每小题 5 5 分分，共共 4040 分分在在每小题给出每小题给出的的四个选项中四个选项中，只只 有一项是符合题目要求的有一项是符合题目要求的 1 【答案】D 【解析】 2 3003BxxxxxR，232,3ABxx，故选 D 2 【答案】A 【解析】由0a ，0b 知：2abab当且仅当ab时取等号， 当4ab时，有 2ab ，而由上知 11 2abab ，即1 22 aba
13、bab abab ， abab； 当abab时，若 1 2 a ，7b 显然4ab，故abab不一定有4ab， 4ab是abab的充分不必要条件，故选 A 3 【答案】D 【解析】由已知可知： 222222 (2)|2|444|4|cos,|4 ababaa bbaa ba bb， |2| 2ab，故选 D 4 【答案】B 【解析】A因为/mn，n，所以当m时，m不满足，故错误； B根据“垂直于同一平面的不同直线互相平行”可知 B 正确； C因为m，n，所以 ,m n可能是异面直线，故错误； D因为m，mn，所以n时也满足，故错误， 故选 B 5 【答案】A 【解析】 14.20b 表示产量每
14、增加100件，单位成本约下降14.2元，故选 A 6 【答案】D 【解析】因为 ( )cos2cossin 2sincos2cossin2sinf xxxxxcos 2x， 且 fx在 3 x 处有最小值，所以 2 cos1 33 f ， 所以 2 2 , 3 kkZ，所以 2 , 3 kk Z， 取的一个值为 3 ， 所以 cos 2 3 f xx ， 令 2 22 , 3 kxkkZ，所以 , 63 kxkkZ， 令0k ，所以此时单调递减区间为 3 , 6 ，故选 D 7 【答案】B 【解析】把 0 3.4R ，6T 代入 0 1RrT ，得3.41 6r ，解得0.4r ， 所以 0.
15、4 0 ( ) t I tN e， 由 0 ( )2I tN，得 0.4 00 2 t N eN，则 0.4 2 t e ， 两边取对数得0.4ln2t ，得 ln20.69 1.7 0.40.4 t ，故选 B 8 【答案】C 【解析】 11 22 mxm(其中 m 为整数)， 11 22 xm， 1 0 2 xm， 函数 f xxxxm的值域为 1 0, 2 ； 由定义知：当 1 2 x 时，1m ， 111 1 222 f ； 当 11 22 x时，0m ， 1 0 2 fxxx， 故 f x在 1 1 , 2 2 上不是增函数，所以不正确； 由 11 22 xm，得 11 11 22
16、xm， 111xxm ， 111f xxxxxf x， 所以函数 yf x是周期函数，最小正周期为1； 由可知：在 1 1 , 2 2 x 时， f xx关于y周对称； 又由可知：函数 yf x是周期函数，最小正周期为 1， 函数 f x的图象关于直线 2 k xkZ对称， 正确结论为，故选 C 二二、多项多项选择题选择题：本题本题共共 4 4 小题小题，每每小题小题 5 5 分分，共共 2020 分分在在每小题每小题给出给出的选项中的选项中，有有多项多项 符合题目要求符合题目要求全部全部选对的得选对的得 5 5 分分，部分部分选对的得选对的得 3 3 分分，有有选错的得选错的得 0 0 分分
17、 9 【答案】ACD 【解析】退休前工资收入为 8000 元/月，每月储蓄的金额占30%，则该教师退休前每月储蓄支出 8000 30%2400元，故 A 正确； 该教师退休后每月储蓄的金额比退休前每月储蓄的金额少 1500 元， 则该教师退休后每月储蓄的金额为 900 元，设该教师退休工资收入为x元/月，则15%900 x， 即6000 x 元/月，故 C 正确； 该教师退休前的旅行支出为8000 5%400元，退休后的旅行支出为6000 15%900元， 该教师退休后的旅行支出是退休前旅行支出的2.25倍，故 B 错误； 该教师退休前的其他支出为8000 20%1600元，退休后的其他支出为
18、6000 25%1500元， 该教师退休后的其他支出比退休前的其他支出少，故 D 正确， 故选 ACD 10 【答案】AD 【解析】A 1 y x 在0,上单调递减，所以当0ab时， 11 ab ，故 A 正确； B当0c =时， 22 acbc 不成立，故 B 不正确； C当0ab时， 22 ab ，两边同时除以ab，得 ab ba ，故 C 不正确； D 当0ab时， 两边同时乘以a， 得 2 aab ， 或两边同时乘以b， 得 2 abb ， 所以 22 aabb ， 故 D 正确， 故选 AD 11 【答案】CD 【解析】( )sin 2cos 2 2sin 22cos2 4444 f
19、 xxxxx 选项 A：( )2cos2f xx的最大值为 2，A 错误； 选项 B： 2 0,x ，所以20,x，因此( )f x是单调递减，B 错误； 选项 C：()2cos( 2 )2cos(2 )( )fxxxf x，它是偶函数，C 正确； 选项 D： 由 2, 2 xkkZ， 得 , 24 k xkZ， 所以函数的对称中心为 ,0 24 k ，kZ， 当0k ，图象关于点 ,0 4 对称，D 正确， 故选 CD 12 【答案】AD 【解析】对 A，因为,0m n ，所以1 22 2mnmn ，所以 1 8 mn ， 当且仅当 2nm mn ，即 1 4 m ， 1 2 n 时，等号成
20、立，所以mn的最大值为 1 8 ，故 A 正确； 对 B，因为,0m n ，所以 111122 ()(2)213 nmnm mn mnmnmnmn 2 3232 2 nm mn ， 当且仅当 2nm mn ，即 2 1 2 m ， 21n 时，等号成立，故 11 mn 的最小值为3 2 2 ， 故 B 错误； 对 C，因为21mn，所以2(1)(2)5mn， 所以 2912912(2)18(1) 2(1)(2)49 12512512 nm mn mnmnmn 12(2)18(1)12(2) 18(1) 491325 512512 nmnm mnmn ， 当且仅当 2(2)18(1) 12 nm
21、 mn ，即0m ，1n 时，等号成立，不符合题意，故 C 错误； 对 D，因为,0m n ，21mn，所以 2 22 421 224 mnmn ，即 22 1 4 2 mn， 当且仅当2mn，即 1 4 m ， 1 2 n 时，等号成立，故 22 4mn 的最小值为 1 2 ，故 D 正确， 故选 AD 第第卷卷 三、填空题：本大题共三、填空题：本大题共 4 4 小题，每小题小题，每小题 5 5 分分 13 【答案】 100 3 【解析】设在三棱锥ABCD中，3CD ，4BC ，5ABACBC，BCCD 取BD的中点，则AE平面BCD， 故ABD的外心O就是外接球的球心， 5 3 3 OB
22、， 故求得表面积为 2 100 4 3 SOB，故答案为 100 3 14 【答案】 1 ,00, 2 【解析】由题意可得 2 2 2 2 0 10 1 m m mm ，解得 1 2 m 且0m， 因此，实数m的取值范围是 1 ,00, 2 ， 故答案为 1 ,00, 2 15 【答案】5 6 【解析】连接 AB，依题意105ADC，30ACD，10DC ， ACD中，45CAD，故由正弦定理得 sinsin ADDC ACDDAC ， 即 10 sin30sin45 AD ，得 5 2AD BCDRt中，45BDCDBC ，故 210 2BDDC ABD中，60ADB， 故由余弦定理得 22
23、 2cos60ABADBDAD BD， 1 502002 5 2 10 25 6 2 AB ， 故答案为5 6 16 【答案】95 【解析】设等差数列 n a的公差为d， 12 16aa， 5 1a ， 1 216ad， 1 41ad， 解得 1 9a ，2d 92111 2 n ann 令11 20 n an，解得 111 5 22 n 使得数列 n a前n项的和 n S取到最大值的5n 故答案为9；5 四、解答题：本四、解答题：本大题共大题共 6 6 个个大题，共大题，共 7070 分分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 17 【答案】条件选择见
24、解析，面积为15 3 【解析】选择条件：因为2 coscoscosaAcBbC， 所以2sincossincossincosAACBBC，所以2sincossinsinAABCA， 因为0,A，所以sin0A，所以 1 cos 2 A， 3 A ， 所以 11 sin10 6sin15 3 223 SbcA 选择条件：因为 2 2 sinsinsinsinsinBCABC， 所以 222 sinsin2sinsinsinsinsinBCBCABC ， 即 222 sinsinsinsinsinBCABC ， 所以 222 bcabc ， 222 1 cos 22 bca A bc ， 因为0,
25、A，所以 2 3 A， 所以 112 sin10 6sin15 3 223 SbcA 选择条件：因为2 cos2aBcb， 由正弦定理可得2sincos2sinsinABCB， 所以2sincos2sinsinABABB， 即2sincos2sincos2cossinsinABABABB， 所以2cossinsin0ABB， 因为0,B，所以sin0B ， 所以2cos10A ，即 1 cos 2 A ， 因为0,A，所以 2 3 A， 所以 112 sin10 6sin15 3 223 SbcA 18 【答案】 （1）证明见解析； （2） 12 2 【解析】 （1）证明：取PA的中点G，连接
26、DG，FG F为PB的中点，FGCD且 1 2 FGCD， ABCD为矩形，ABCD，ABCD， E为CD的中点，四边形EFGD为平行四边形，DGEF ADPD，G为PA的中点，DGPA， PD 底面ABCD，PDAB， ABAD，PDADD，AB 平面PAD， DGPAD 平面，ABDG， PAABA，DG 平面PAB， DGEF，EF 平面PAB （2）由（1）知， 2 2 EFDG，且EF为以PAF为底面的三棱锥EPAF的高， 2PA ， 11 22 PAFABP SS ， 1122 32212 P AEFE PAF VV 19 【答案】 （1）2 n an，n N； （2）证明见解析
27、【解析】 （1）因为0 n a ，所以0 n S ，故 2 n Snn， 当1n 时， 11 2aS， 当2n时， 2 2 1 112 nnn aSSnnnnn ， 且 1 a也满足上式，所以数列 n a的通项公式为2 n an，n N （2） 1 4111 11 n nn b aan nnn ， 所以 12 11111111 1 1 22 312231 nn Tbbb n nnn 1 11 1n 20 【答案】 （1）列联表见解析，有 95%的把握认为； （2） 1 2 【解析】 （1）由已知得 在家里最幸福在其它场所幸福合计 中国高中生223355 美国高中生93645 合计3169100
28、 2 2 10022 369 33100 11 3 4.6283.841 31 69 55 4531 23 K ， 有 95%的把握认为“恋家”与否与国别有关 （2）用分层抽样的方法抽出 4 人，其中在“朋友聚焦的地方”感到幸福的有 3 人，在“个人空间”感到 幸福的有 1 人， 分别设为 1 a， 2 a， 3 a，b 121312323 ,a aa aa baaa ba b ，6n 设含有在“个人空间”感到幸福的学生为事件A， 123 ,Aa ba ba b， 3m，则 31 62 m P A n 21 【答案】 （1） 1 2 ； （2）7a ， 2 7b 【解析】由题意知 1 ,0Fc
29、， 2 ,0Fc，设 0 ,M c y，则 22 0 22 1 yc ab ， 又因为 22 cab ，解得 2 0 b y a ，所以 2 , b M c a （1）若直线MN的斜率为则 2 3 24 b a c ，即 2 23bac ， 将 222 bac 代入 2 23bac ，得 22 2320caca ， 所以 2 2320ee ，解得 1 2 e 或2e （舍去） ， 故C的离心率为 1 2 （2）由题意，原点O为 12 FF的中点， 2/ MFy轴， 所以直线 1 MF与y轴的交点0,2D是线段 1 MF的中点，故 2 02 2 b a ， 即 2 4ba ， 由 1 5MNFN
30、，得 11 2PFFN，即 11 2PFF N ， 设 11 N x y,，由题意知 1 0y ，则 1 1 2 22 cxc y ，即 1 1 3 2 1 xc y ， 所以 3 , 1 2 c N ，把点 3 , 1 2 c N 代入C的方程，得 2 22 91 1 4 c ab ， 将及 22 cab 代入得 2 2 94 1 1 44 aa aa ， 解得7a ， 2 428ba ，故 2 7b ， 所以7a ， 2 7b 22 【答案】 （1）在 1 0, 4 和1,上单调递增，在 1 ,1 4 上单调递减； （2） 1 2 a e 或2a 【解析】 （1） 2 ln25f xxxx
31、， 4111 45 xx fxx xx ， 令 0fx ，得 1 4 x 或1，则列表如下： x 1 0, 4 1 4 1 ,1 4 11, fx +0 0+ fx增极大值减极小值增 所以 fx在 1 0, 4 和1,上单调递增，在 1 ,1 4 上单调递减 （2） 211axx x fx ， 令 0fx ， 1 1x ， 2 1 2 x a ， 因为 fx在1x 处取得极值，所以 21 1 1 2 xx a 1 0 2a 时， fx在0,1上单调递增，在1,e上单调递减， 所以 fx在区间1,e上的最大值为 1f，令 11f，解得2a ； 当0a ， 2 1 0 2 x a ； (i)当 1
32、 1 2a 时， fx在 1 0, 2a 上单调递增， 1 ,1 2a 上单调递减，1,e上单调递增， 所以最大值 1 可能在 1 2 x a 或xe处取得， 而 2 111111 ln21ln10 222224 faa aaaaaa ， 2 ln211f eeaeae， 1 2 a e ， (ii)当 1 1 2 e a 时， fx在区间0,1上单调递增， 1 1, 2a 上单调递减， 1 , 2 e a 上单调递增， 所以最大值 1 可能在1x 或xe处取得而 1ln1210faa， 所以 2 ln211f eeaeae，解得 1 2 a e ，与 2 1 1 2 xe a 矛盾； (iii)当 2 1 2 xe a 时， fx在区间0,1上单调递增，在1,e单调递减， 所以最大值 1 可能在1x 处取得，而 1ln1210faa，矛盾， 综上所述， 1 2 a e 或2a
