1、 2019 年广西贵港市中考数学试卷年广西贵港市中考数学试卷 一、选择题（本大题共 12 小题，共 36.0 分） 1. 计算（-1）3的结果是（ ） A. 1 B. 1 C. 3 D. 3 2. 某几何体的俯视图如图所示，图中数字表示该位置上的小正方体的个 数，则这个几何体的主视图是（ ） A. B. C. D. 3. 若一组数据为：10，11，9，8，10，9，11，9，则这组数据的众数和中位数分别是 （ ） A. 9，9 B. 10，9 C. 9，9.5 D. 11，10 4. 若分式 21 +1 的值等于 0，则 x 的值为（ ） A. 1 B. 0 C. 1 D. 1 5. 下列运算
2、正确的是（ ） A. 3+ ()3= 6 B. ( + )2= 2+ 2 C. 22 = 23 D. (2)3= 35 6. 若点 P（m-1，5）与点 Q（3，2-n）关于原点成中心对称，则 m+n 的值是（ ） A. 1 B. 3 C. 5 D. 7 7. 若 ， 是关于 x 的一元二次方程 x2-2x+m=0 的两实根， 且1 + 1 =- 2 3， 则 m等于 （ ） A. 2 B. 3 C. 2 D. 3 8. 下列命题中假命题是（ ） A. 对顶角相等 B. 直线 = 5不经过第二象限 C. 五边形的内角和为540 D. 因式分解3+ 2+ = (2+ ) 9. 如图，AD是O 的
3、直径， = ，若AOB=40 ，则圆周 角BPC的度数是（ ） A. 40 B. 50 C. 60 D. 70 10. 将一条宽度为 2cm的彩带按如图所示的 方法折叠， 折痕为 AB， 重叠部分为ABC （图中阴影部分），若ACB=45 ，则重 叠部分的面积为（ ） A. 222 B. 232 C. 42 D. 422 第 2 页，共 21 页 11. 如图， 在ABC中， 点D， E分别在AB， AC边上， DEBC， ACD=B， 若 AD=2BD，BC=6，则线段 CD的长为（ ） A. 23 B. 32 C. 26 D. 5 12. 如图，E是正方形 ABCD的边 AB 的中点，点
4、H与 B 关于 CE 对称，EH 的延长线与 AD 交于点 F，与 CD 的延长线 交于点 N，点 P 在 AD 的延长线上，作正方形 DPMN，连 接 CP，记正方形 ABCD，DPMN的面积分别为 S1，S2， 则下列结论错误的是（ ） A. 1+ 2= 2 B. 4 = 2 C. = 4 D. cos = 3 5 二、填空题（本大题共 6 小题，共 18.0 分） 13. 有理数 9的相反数是_ 14. 将实数 3.18 10-5用小数表示为_ 15. 如图， 直线 ab， 直线 m 与 a， b均相交， 若1=38 ， 则2=_ 16. 若随机掷一枚均匀的骰子，骰子的 6 个面上分别刻
5、有 1，2，3，4，5，6点，则点 数不小于 3 的概率是_ 17. 如图，在扇形 OAB 中，半径 OA与 OB 的夹角为 120 ，点 A与 点B的距离为 23， 若扇形OAB恰好是一个圆锥的侧面展开图， 则该圆锥的底面半径为_ 18. 我们定义一种新函数： 形如y=|ax2+bx+c| （a0，且 b2-4a0）的函数叫做“鹊 桥”函数小丽同学画出了“鹊桥”函 数 y=|x2-2x-3|的图象（如图所示），并 写出下列五个结论：图象与坐标轴的 交点为（-1，0）， （3，0）和（0，3）； 图象具有对称性， 对称轴是直线 x=1； 当-1x1或 x3时，函数值 y 随 x 值 的增大而增
6、大；当 x=-1 或 x=3时，函数的最小值是 0；当 x=1时，函数的最大 值是 4其中正确结论的个数是_ 三、解答题（本大题共 8 小题，共 66.0 分） 19. （1）计算：4-（ 3 -3）0+（ 1 2） -2-4sin30 ； （2）解不等式组：6 22( 4) 2 3 3 2 3 ，并在数轴上表示该不等式组的解集 20. 尺规作图（只保留作图痕迹，不要求写出作法）： 如图，已知ABC，请根据“SAS”基本事实作出DEF，使 DEFABC 21. 如图，菱形 ABCD 的边 AB在 x轴上，点 A的坐标为 （1，0），点 D（4，4）在反比例函数 y= （x0） 的图象上，直线
7、y=2 3x+b 经过点 C，与 y 轴交于点 E， 连接 AC，AE （1）求 k，b的值； （2）求ACE 的面积 22. 为了增强学生的安全意识，某校组织了一次全校 2500名学生都参加的“安全知识”考试阅卷后， 学校团委随机抽取了 100份考卷进行分析统计， 发 现考试成绩（x分）的最低分为 51分，最高分为满 分 100 分，并绘制了如下尚不完整的统计图表请 根据图表提供的信息，解答下列问题： 分数段（分） 频数（人） 频率 51x61 a 0.1 61x71 18 0.18 71x81 b n 81x91 35 0.35 第 4 页，共 21 页 91x101 12 0.12 合计
8、 100 1 （1）填空：a=_，b=_，n=_； （2）将频数分布直方图补充完整； （3） 该校对考试成绩为 91x100的学生进行奖励， 按成绩从高分到低分设一、 二、 三等奖，并且一、二、三等奖的人数比例为 1：3：6，请你估算全校获得二等奖的 学生人数 23. 为了满足师生的阅读需求，某校图书馆的藏书从 2016 年底到 2018 年底两年内由 5 万册增加到 7.2 万册 （1）求这两年藏书的年均增长率； （2）经统计知：中外古典名著的册数在 2016 年底仅占当时藏书总量的 5.6%，在 这两年新增加的图书中， 中外古典名著所占的百分率恰好等于这两年藏书的年均增 长率，那么到 20
9、18 年底中外古典名著的册数占藏书总量的百分之几？ 24. 如图，在矩形 ABCD 中，以 BC边为直径作半圆 O， OEOA交 CD边于点 E， 对角线 AC与半圆 O的另一个 交点为 P，连接 AE （1）求证：AE是半圆 O的切线； （2）若 PA=2，PC=4，求 AE 的长 25. 如图，已知抛物线 y=ax2+bx+c的顶点为 A（4，3），与 y轴 相交于点 B（0，-5），对称轴为直线 l，点 M 是线段 AB的 中点 （1）求抛物线的表达式； （2）写出点 M的坐标并求直线 AB的表达式； （3）设动点 P，Q分别在抛物线和对称轴 l上，当以 A，P，Q，M 为顶点的四边 形
10、是平行四边形时，求 P，Q 两点的坐标 26. 已知：ABC是等腰直角三角形，BAC=90 ，将ABC绕点 C顺时针方向旋转得 到ABC，记旋转角为 ，当 90 180 时，作 ADAC，垂足为 D，AD 与 BC 交于点 E （1）如图 1，当CAD=15 时，作AEC的平分线 EF交 BC于点 F 写出旋转角 的度数； 求证：EA+EC=EF； （2）如图 2，在（1）的条件下，设 P 是直线 AD上的一个动点，连接 PA，PF， 若 AB=2，求线段 PA+PF 的最小值（结果保留根号） 第 6 页，共 21 页 答案和解析答案和解析 1.【答案】A 【解析】 解：（-1）3表示 3 个
11、（-1）的乘积， 所以（-1）3=-1 故选：A 本题考查有理数的乘方运算 乘方是乘法的特例，乘方的运算可以利用乘法的运算来进行 负数的奇数次幂是负数，负数的偶数次幂是正数；-1的奇数次幂是-1，-1的偶 数次幂是 1 2.【答案】B 【解析】 解：从正面看去，一共两列，左边有 2竖列，右边是 1竖列 故选：B 先细心观察原立体图形中正方体的位置关系，从正面看去，一共两列，左边 有 2 竖列，右边是 1竖列，结合四个选项选出答案 本题考查了由三视图判断几何体，解题的关键是具有几何体的三视图及空间 想象能力 3.【答案】C 【解析】 解：将数据重新排列为 8，9，9，9，10，10，11，11，
12、 这组数据的众数为 9，中位数为=9.5， 故选：C 根据众数和中位数的概念求解可得 本题为统计题，考查众数与中位数的意义中位数是将一组数据从小到大（或 从大到小）重新排列后，最中间的那个数（最中间两个数的平均数），叫做这组 数据的中位数，如果中位数的概念掌握得不好，不把数据按要求重新排列， 就会出错 4.【答案】D 【解析】 解：=x-1=0， x=1； 故选：D 化简分式=x-1=0即可求解； 本题考查解分式方程；熟练掌握因式分解的方法，分式方程的解法是解题的 关键 5.【答案】C 【解析】 解：a3+（-a3）=0，A 错误； （a+b）2=a2+2ab+b2，B 错误； （ab2）3=
13、a3b5，D错误； 故选：C 利用完全平方公式，合并同类项法则，幂的乘方与积的乘方法则运算即可； 本题考查整式的运算；熟练掌握完全平方公式，合并同类项法则，幂的乘方与 积的乘方法则是解题的关键 6.【答案】C 【解析】 解：点 P（m-1，5）与点 Q（3，2-n）关于原点对称， m-1=-3，2-n=-5， 解得：m=-2，n=7， 则 m+n=-2+7=5 故选：C 根据关于原点对称的点的横坐标互为相反数，纵坐标互为相反数，可得答案 本题考查了关于原点对称的点的坐标，关于原点对称的点的横坐标互为相反 数，纵坐标互为相反数 7.【答案】B 【解析】 第 8 页，共 21 页 解：， 是关于
14、x 的一元二次方程 x2-2x+m=0 的两实根， +=2，=m， +=- ， m=-3； 故选：B 利用一元二次方程根与系数的关系得到+=2，=m，再化简+=， 代入即可求解； 本题考查一元二次方程；熟练掌握一元二次方程根与系数的关系是解题的关 键 8.【答案】D 【解析】 解：A对顶角相等；真命题； B直线 y=x-5不经过第二象限；真命题； C五边形的内角和为 540 ；真命题； D因式分解 x3+x2+x=x（x2+x）；假命题； 故选：D 由对顶角相等得出 A是真命题；由直线 y=x-5的图象得出 B是真命题；由五边 形的内角和为540 得出C是真命题；由因式分解的定义得出D是假命题
15、；即可 得出答案 本题考查了命题与定理、真命题和假命题的定义：正确的命题是真命题，错误 的命题是假命题；属于基础题 9.【答案】B 【解析】 解：=，AOB=40 ， COD=AOB=40 ， AOB+BOC+COD=180 ， BOC=100 ， BPC=BOC=50 ， 故选：B 根据圆周角定理即可求出答案 本题考查了圆周角定理，熟练掌握圆周角定理是解题的关键 10.【答案】A 【解析】 解：如图，过 B作 BDAC 于 D，则BDC=90 ， ACB=45 ， CBD=45 ， BD=CD=2cm， RtBCD中，BC=2（cm）， 重叠部分的面积为 2 2=2 （cm）， 故选：A 过
16、B作BDAC于D，则BDC=90 ，依据勾股定理即可得出BC的长，进而得 到重叠部分的面积 本题主要考查了折叠问题，折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后 图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等 11.【答案】C 【解析】 解：设 AD=2x，BD=x， AB=3x， DEBC， ADEABC， = ， = ， DE=4，=， ACD=B， ADE=B， ADE=ACD， A=A， ADEACD， = ， 设 AE=2y，AC=3y， 第 10 页，共 21 页 = ， AD=y， = ， CD=2， 故选：C 设 AD=2x，BD=x，所以 AB=3x，易证ADEABC，利用
17、相似三角形的性质 可求出 DE的长度，以及，再证明ADEACD，利用相似三角形的 性质即可求出得出=，从而可求出 CD的长度 本题考查相似三角形，解题的关键是熟练运用相似三角形的性质与判定，本 题属于中等题型 12.【答案】D 【解析】 解：正方形 ABCD，DPMN的面积分别为 S1，S2， S 1=CD 2，S 2=PD 2 ， 在 RtPCD 中，PC2=CD2+PD2， S 1+S2=CP 2，故 A 结论正确； 连接 CF， 点 H与 B关于 CE 对称， CH=CB，BCE=ECH， 在BCE和HCE 中， BCEHCE（SAS）， BE=EH，EHC=B=90 ，BEC=HEC，
18、 CH=CD， 在 RtFCH和 RtFCD 中 RtFCHRtFCD（HL）， FCH=FCD，FH=FD， ECH+ECH=BCD=45 ，即ECF=45 ， 作 FGEC 于 G， CFG是等腰直角三角形， FG=CG， BEC=HEC，B=FGE=90 ， FEGCEB， = ， FG=2EG， 设 EG=x，则 FG=2x， CG=2x，CF=2x， EC=3x， EB2+BC2=EC2， BC2=9x2 ， BC2=x2， BC=x， 在 RtFDC 中，FD=x， 3FD=AD， AF=2FD，故 B结论正确； ABCN， = ， PD=ND，AE=CD， CD=4PD，故 C
19、结论正确； EG=x，FG=2x， EF=x， FH=FD=x， BC=x， AE=x， 作 HQAD于 Q， HQAB， =，即= ， HQ=x， CD-HQ=x-x=x， 第 12 页，共 21 页 cosHCD= ，故结论 D错误， 故选：D 根据勾股定理可判断 A；连接 CF，作 FGEC，易证得FGC 是等腰直角三角 形，设 EG=x，则 FG=2x， 利用三角形相似的性质以及勾股定理得到 CG=2x，CF=2x，EC=3x，BC= x，FD=x，即可证得 3FD=AD，可判断 B；根据平行线分线段成比例 定理可判断 C；求得 cosHCD可判断 D 本题考查了正方形的性质，三角形全
20、等的判定和性质三角形相似的判定和性 质，勾股定理的应用以及平行线分线段成比例定理，作出辅助线构建等腰直 角三角形是解题的关键 13.【答案】-9 【解析】 解：9 的相反数是-9； 故答案为-9； 根据相反数的求法即可得解； 本题考查相反数；熟练掌握相反数的意义与求法是解题的关键 14.【答案】0.0000318 【解析】 解：3.18 10-5=0.0000318； 故答案为 0.0000318； 根据科学记数法的表示方法 a 10n（1a9）即可求解； 本题考查科学记数法；熟练掌握科学记数法的表示方法是解题的关键 15.【答案】142 【解析】 解：如图， ab， 2=3， 1+3=180
21、 ， 2=180 -38 =142 故答案为 142 如图，利用平行线的性质得到2=3，利用互补求出3，从而得到2的度数 本题考查了平行线的性质：两直线平行，同位角相等；两直线平行，同旁内角 互补；两直线平行，内错角相等 16.【答案】2 3 【解析】 解：随机掷一枚均匀的骰子有 6种等可能结果，其中点数不小于 3的有 4种结 果， 所以点数不小于 3 的概率为=， 故答案为： 骰子六个面出现的机会相同，求出骰子向上的一面点数不小于 3 的情况有几 种，直接应用求概率的公式求解即可 此题考查概率的求法：如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同， 其中事件 A出现 m 种结果，那么事件
22、A的概率 P（A）= 17.【答案】2 3 【解析】 解：连接 AB，过 O 作 OMAB于 M， AOB=120 ，OA=OB， BAO=30 ，AM=， OA=2， =2r， r= 故答案是： 利用弧长=圆锥的周长这一等量关系可求解 本题运用了弧长公式和圆的周长公式，建立准确的等量关系是解题的关键 第 14 页，共 21 页 18.【答案】4 【解析】 解：（-1，0），（3，0）和（0，3）坐标都满足函数 y=|x2-2x-3|，是正确的； 从图象可知图象具有对称性，对称轴可用对称轴公 式求得是直线 x=1，因此也是正确的； 根据函数的图象和性质，发现当-1x1 或 x3时，函数值 y随
23、 x 值的增大 而增大，因此也是正确的； 函数图象的最低点就是与x轴的两个交点，根据y=0，求出相应的x的值为 x=-1或 x=3，因此也是正确的； 从图象上看，当 x-1 或 x3，函数值要大于当 x=1 时的 y=|x2-2x-3|=4，因 此时不正确的； 故答案是：4 由（-1，0），（3，0）和（0，3）坐标都满足函数 y=|x2-2x-3|，是正确的；从图象 可以看出图象具有对称性，对称轴可用对称轴公式求得是直线 x=1，也是 正确的； 根据函数的图象和性质，发现当-1x1或x3时，函数值y随x值的增大而增 大，因此也是正确的；函数图象的最低点就是与 x 轴的两个交点，根据 y=0，
24、 求出相应的 x 的值为 x=-1或 x=3，因此也是正确的；从图象上看，当 x-1 或x3，函数值要大于当 x=1时的 y=|x2-2x-3|=4，因此时不正确的；逐个判 断之后，可得出答案 理解“鹊桥”函数 y=|ax2+bx+c|的意义，掌握“鹊桥”函数与 y=|ax2+bx+c|与二次 函数 y=ax2+bx+c之间的关系；两个函数性质之间的联系和区别是解决问题的 关键；二次函数y=ax2+bx+c与x轴的交点、对称性、对称轴及最值的求法以及 增减性应熟练掌握 19.【答案】解：（1）原式=2-1+4-4 1 2 =2-1+4-2 =3； （2）解不等式 6x-22（x-4），得：x-
25、3 2， 解不等式2 3- 3 2 - 3，得：x1， 则不等式组的解集为-3 2x1， 将不等式组的解集表示在数轴上如下： 【解析】 （1）先计算算术平方根、零指数幂、负整数指数幂、代入三角函数值，再计算 乘法，最后计算加减可得； （2）分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小 大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集 本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟 知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此 题的关键 20.【答案】解：如图， DEF 即为所求 【解析】 先作一个D=A，然后在D的两边分别截取ED=B
26、A，DF=AC，连接EF即可 得到DEF； 本题考查了作图-复杂作图：复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图， 一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法解决此类题目的关键是熟悉 基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图， 逐步操作也考查了全等三角形的判定 第 16 页，共 21 页 21.【答案】解：（1）由已知可得 AD=5， 菱形 ABCD， B（6，0），C（9，4）， 点 D（4，4）在反比例函数 y= （x0）的图象上， k=16， 将点 C（9，4）代入 y=2 3x+b， b=-2； （2）E（0，-2）， 直线 y=2 3x-2 与 x 轴交点为（3
27、，0）， SAEC =1 2 2 （2+4）=6； 【解析】 （1）由菱形的性质可知B（6，0），C（9，4），点D（4，4）代入反比例函数y=，求 出 k；将点 C（9，4）代入 y=x+b，求出 b； （2）求出直线 y=x-2与 x 轴和 y轴的交点，即可求AEC的面积； 本题考查反比例函数、一次函数的图象及性质，菱形的性质；能够将借助菱形 的边长和菱形边的平行求点的坐标是解题的关键 22.【答案】10 25 0.25 【解析】 解：（1）a=100 0.1=10，b=100-10-18-35-12=25，n= =0.25； 故答案为：10，25，0.25； （2）补全频数分布直方图如图
28、所示； （3）2500=90（人）， 答：全校获得二等奖的学生人数 90人 （1）利用 这组的频率即可得到结论； （2）根据（1）求出的数据补全频数分布直方图即可； （3）利用全校 2500 名学生数 考试成绩为 91x100 考卷占抽取了的考卷数 获得二等奖学生人数占获奖学生数即可得到结论 本题考查的是频数分布直方图，读懂统计图，从统计图中得到必要的信息是 解决问题的关键直方图能清楚地表示出每个项目的数据，也考查了利用样 本估计总体的思想 23.【答案】解：（1）设这两年藏书的年均增长率是 x， 5（1+x）2=7.2， 解得，x1=0.2，x2=-2.2（舍去）， 答：这两年藏书的年均增长
29、率是 20%； （2）在这两年新增加的图书中，中外古典名著有（7.2-5） 20%=0.44（万册）， 到 2018年底中外古典名著的册数占藏书总量的百分比是：55.6%+0.44 7.2 100%=10%， 答：到 2018年底中外古典名著的册数占藏书总量的 10% 【解析】 （1）根据题意可以列出相应的一元二次方程，从而可以得到这两年藏书的年 均增长率； （2）根据题意可以求出这两年新增加的中外古典名著，从而可以求得到 2018 年底中外古典名著的册数占藏书总量的百分之几 本题考查一元二次方程的应用，解答本题的关键是明确题意，列出相应的方 程，利用方程的知识解答，这是一道典型的增长率问题
30、24.【答案】（1）证明：在矩形 ABCD中，ABO=OCE=90 ， OEOA， AOE=90 ， BAO+AOB=AOB+COE=90 ， BAO=COE， ABOOCE， = ， OB=OC， = ， ABO=AOE=90 ， ABOAOE， BAO=OAE， 过 O 作 OFAE于 F， ABO=AFO=90 ， 在ABO与AFO 中， = = = ， ABOAFO（AAS）， 第 18 页，共 21 页 OF=OB， AE是半圆 O的切线； （2）解：AF 是O的切线，AC 是O的割线， AF2=APAC， AF=2(2 + 4)=23， AB=AF=2 3， AC=6， BC=2
31、2=26， AO=2+ 2=3， ABOAOE， = ， 3 = 23 3 ， AE=33 2 【解析】 （1）根据已知条件推出ABOOCE，根据相似三角形的性质得到 BAO=OAE，过 O作 OFAE于F，根据全等三角形的性质得到OF=OB，于 是得到 AE是半圆 O的切线； （2）根据切割线定理得到 AF=2，求得 AB=AF=2，根据勾股 定理得到 BC=2，AO=3，根据相似三角形的 性质即可得到结论 本题考查了切线的判定和性质，矩形的性质，相似三角形的判定和性质，全 等三角形的判定和性质，正确的作出辅助线是解题的关键 25.【答案】解：（1）函数表达式为：y=a（x=4）2+3， 将
32、点 B坐标代入上式并解得：a=-1 2， 故抛物线的表达式为：y=-1 2x 2+4x-5； （2）A（4，3）、B（0，-5），则点 M（2，-1）， 设直线 AB的表达式为：y=kx-5， 将点 A坐标代入上式得：3=4k-5，解得：k=2， 故直线 AB的表达式为：y=2x-5； （3）设点 Q（4，s）、点 P（m，-1 2m 2+4m-5）， 当 AM是平行四边形的一条边时， 点 A 向左平移 2个单位、向下平移 4 个单位得到 M， 同样点 P（m，-1 2m 2+4m-5）向左平移 2 个单位、向下平移 4 个单位得到 Q（4，s）， 即：m-2=4，-1 2m 2+4m-5-4
33、=s， 解得：m=6，s=-3， 故点 P、Q的坐标分别为（6，1）、（4，-3）； 当 AM是平行四边形的对角线时， 由中点定理得：4+2=m+4，3-1=-1 2m 2+4m-5+s， 解得：m=2，s=1， 故点 P、Q的坐标分别为（2，1）、（4，1）； 故点 P、Q的坐标分别为（6，1）或（2，1）、（4，-3）或（4，1） 【解析】 （1）函数表达式为：y=a（x=4）2+3，将点 B坐标代入上式，即可求解； （2）A（4，3）、B（0，-5），则点 M（2，-1），设直线 AB的表达式为：y=kx-5，将点 A坐标代入上式，即可求解； （3）分当 AM 是平行四边形的一条边、AM
34、 是平行四边形的对角线两种情况， 分别求解即可 本题考查的是二次函数综合运用，涉及到一次函数、平行四边形性质、图象 的面积计算等，其中（3），要主要分类求解，避免遗漏 26.【答案】（1）解：旋转角为 105 理由：如图 1中， ADAC， ADC=90 ， CAD=15 ， ACD=75 ， ACA=105 ， 旋转角为 105 证明：连接 AF，设 EF交 CA于点 O在 EF时截取 EM=EC，连接 CM CED=ACE+CAE=45 +15 =60 ， 第 20 页，共 21 页 CEA=120 ， FE平分CEA， CEF=FEA=60 ， FCO=180 -45 -75 =60 ，
35、 FCO=AEO，FOC=AOE， FOCAOE， = ， = ， COE=FOA， COEFOA， FAO=OEC=60 ， AOF是等边三角形， CF=CA=AF， EM=EC，CEM=60 ， CEM是等边三角形， ECM=60 ，CM=CE， FCA=MCE=60 ， FCM=ACE， FCMACE（SAS）， FM=AE， CE+AE=EM+FM=EF （2）解：如图 2中，连接 AF，PB，AB，作 BMAC交 AC 的延长线于 M 由可知，EAF=EAB=75 ，AE=AE，AF=AB， AEFAEB， EF=EB， B，F关于 AE对称， PF=PB， PA+PF=PA+PBA
36、B， 在 RtCBM 中，CB=BC=2AB=2，MCB=30 ， BM=1 2CB=1，CM= 3， AB=2+ 2 = (2+ 3)2+ 12 = 6 + 26 PA+PF的最小值为6 + 26 【解析】 （1）解直角三角形求出ACD即可解决问题 连接 AF，设 EF交 CA于点 O在 EF时截取 EM=EC，连接 CM首先证明 CFA是等边三角形，再证明FCMACE（SAS），即可解决问题 （2）如图 2中，连接 AF，PB，AB，作 BMAC 交 AC 的延长线于 M证明 AEFAEB，推出 EF=EB，推出 B，F关于 AE对称，推出 PF=PB，推出 PA+PF=PA+PBAB，求出 AB即可解决问题 本题属于四边形综合题，考查了旋转变换，全等三角形的判定和性质，相似 三角形的判定和性质，三角形的三边关系等知识，解题的关键是学会添加常 用辅助线，构造全等三角形解决问题，学会用转化的思想思考问题，属于中 考压轴题
