1、2021 年高考理科数学考前押题最后一卷全国卷版年高考理科数学考前押题最后一卷全国卷版 答案以及解析答案以及解析 一一、选择题选择题 1.答案：C 解析：因为 |40 1 2 3AxxN， | (4)0Bx x x |04xx ，所以 |04ABxxU .故选 C. 2.答案：A 解析：由题意，得 2 3i3i(3i)(34i)13 i (2i)34i(34i)(34i)55 z ，其虚部为 3 5 ，故选 A. 3.答案：C 解析：根据图表逐项判断，变化幅度看折线图，越接近零轴者变化幅度越小，位于零轴下方 表明价格下跌；平均价格看条形图，条形图越高者平均价格越高，所以结论都正确. 平均价格的
2、涨幅从高到低位于前三位的城市为天津、西安、南京，故结论错误.故选 C. 4.答案：D 解析： 作出不等式组所表示的平面区域如图中阴影部分 （包含边界） 所示， 目标函数 2zxy 可化为 11 22 yxz，作出直线 1 2 yx，平移直线，当直线经过点 A 时，z 取得最小值，联 立 20 4 xy xy ，解得 4 3 8 3 x y ，故 z 的最小值为-4，故选 D. 5.答案：A 解析：由题意知， ( )f x的定义域为(0)(0) U， ， eesin() () xx x fx x eesin xx x x ， 所以 ()( )fxf x ， 所以 ( )f x是奇函数， 因此排除
3、选项 C 和 D.将x 代 入 ( )f x得 eesin ()0 f ，排除选项 B.故选 A. 6.答案：C 解析：该几何体的直观图如图所示，通过正方体各棱的中点，将正方体的八个角截去，剩余 的正十四面体，有 8 个正三角形面，6 个正方形面.正十四面体的棱长为 2，所以 6 个正方 形的面积之和为 2 6 ( 2)12，8个正三角形的面积之和为 2 3 8( 2)4 3 4 ，故该几何 体的表面积为12 4 3 .故选 C. 7.答案：D 解析：设函数的最小正周期为 T，依题意， 43124 T ，解得T ，由 2 T 得2， 此时 ( )sin(2)f xx .因为直线 3 x 是函数
4、( )f x图象的对称轴，所以 2 sin1 3 ， 所以 2 32 k，k Z，所以 6 k ，k Z.因为 | 2 ，所以 6 . 8.答案：B 解析： 设喷气式飞机起飞时的声音强度和人们正常情况下说话时的声音强度分别为 2 1W/ m x， 2 2W / m x，由题意可得 1 1 12 10lg140 1 10 x f x ，解得 2 1 10 x ， 2 2 12 10lg60 1 10 x f x ，解得 6 2 10 x ，所以 81 2 10 x x ，因此喷气式飞机起飞时的声音 强度约为正常情况下人们说话时声音强度的 8 10倍，故选 B. 9.答案：D 解析： 如图， 取A
5、B的中点D， 连接DC DP ， .由3ACBC， 得CDAB .因为PA 平面ABC， CD 平面ABC，所以PACD.因为PAABAI，所以CD 平面PAB，故CPD为 PC 与平面PAB所成角.设ABC的外接圆圆心为 O ，半径为 r，连接 OO ，OA，O A，O B， 则 2 22 2 PA Rr ，即 2 2 2 3 133 42 r ，解得 9 . 4 r 所以 2 sin 23 AC ABC r ，所以 sin2CDBCABC.由题可知PAAC， 则 3 2PC ， 所以 22 sin 33 2 CD CPD PC ， 故选 D. 10.答案：C 解析：由题意知， 444222
6、22 20abccaba b，则 4442222222 22abccaba ba b，所以 22222222 abcabca b，由于最大 边是c，所以 222 abcab ， 222 1 cos 22 abc C ab ，则 2 3 C ， 3 BA，所以 sinsin sinsin2 33 sin sin333 2 AA abAB A cC ，因为 0 3 A，所以 2 333 A， 2 32 3 1sin 333 A ，由于abc，所以1 ab c ，则 2 3 1 3 ab c ， . 11.答案：B 解析：令 34 ( )( )g xx f xx，则 3232 ( )( )3( )4
7、( )3 ( )4 g xx fxx f xxx xfxf xx 0 ， 所以 ( )g x在 R 上单调递增，又(0)g0，所以当0 x 时， ( )0g x ，即 3 ( ) 0 xf xx，所 以 ( )0f xx ，所以 ( )f xx ；当0 x 时，由 ( )3 ( )4xfxf xx 得，(0) 0f ；当0 x 时， ( )0g x ，即 3 ( ) 0 xf xx，所以 ( )0f xx ，所以 ( ).f xx 综上， ( )f xx . 12.答案：A 解析： 由双曲线的方程可知3a ，4b ， 22 5cab ， 因此右顶点 A 的坐标为(3 )0， 右焦点 F 的坐标
8、为(5 0) ，双曲线的渐近线方程为 4 . 3 yx 根据双曲线和渐近线的对称性， 不妨设过点F且平行于C的一条渐近线 4 3 yx的直线与C交于点B，直线FB的斜率为 4 3 ， 因此直线 FB 的方程为 4 (5) 3 yx，联立 22 4 (5) 3 1 916 yx xy ，解得 17 5 32 15 x y ，即 1732 515 B ， ， AFB的面积为 13232 (53). 21515 故选 A. 二二、填空、填空题题 13.答案：189 解析： 7 1 3 x x 的展开式的通项 7 3 77 2 177 1 C (3)C 3( 1) r r rrrrr r Txx x
9、， 令 73 4 2 r ，解得5r ，所以 4 1 x 的系数是 57 55 7 C 3( 1)189 . 14.答案： 62 4 解析：由 coscoscoscossinsin 6363636 31 cossin 2323 .因为 0 6 ， ，所以 332 ， .又由 2 sin 32 ， 得 2 cos 32 ，所以 31 coscossin 62323 321262 22224 . 15.答案： 22 1 189 xy 解析： 由题知 2 2 c a ， 得 22 2 1 2 ab a ， 即 22 2ab， 得椭圆 C 的方程为 22 22 1. 2 xy bb 设 ()P x y
10、， 是椭圆上任意一点，依题意，PN的最大值为 26，则 222 |(2)PNxy 22222 22(2)(2)28()byyybbyb ，若2b，则当2y 时， 2 max |28PNb26，解得3b ，此时椭圆 C 的方程为 22 1 189 xy ；若02b，则当 yb 时， max |226PNb，解得 2622b ，不成立.综上可得，椭圆 C 的方程 为 22 1 189 xy . 16.答案： 140 13 解析： 由已知可得 2 2 4 4 4 am bm cm ， 显然c a ，cb， 因为在RtPEF中 EF 为斜边， 所以EFc. 若12aPF，则 2 412m ，解得 4m
11、 ，此时41612PEbm，与PFPE矛盾， 不符合题意；若12bPF，则412m ，解得3m ，此时 2 34512PEa，符合 PFPE.故5PE ，12PF ，13EF ，3EM ，10MF ，所以 5 cos 13 PE E EF .所以 ()PM MFPEEMMFPE MFEM MF uuur uuu ruu u ruuuruuu ruu u r uuu ruuur uuu r 5140 |cos() |cos05 103 10 1 1313 PEMFEEMMF uu u ruuu ruuuruuu r . 三三、解答、解答题题 17.解析：（1）由 1 21 nn aS 可得 1
12、21(2) nn aSn ， 两式相减得 1 2 nnn aaa ， 1 3(2) nn aa n .2 分 又 21 213aS ，所以 21 3aa， 故 n a 是首项为 1，公比为 3 的等比数列， 所以 1 3n n a .4 分 由点 1nn P bb ， 在直线 20 xy ，得 1 2 nn bb ， 故数列 n b 是首项为 1，公差为 2 的等差数列， 所以1(1) 221. n bnn 6 分 （2）因为 1 21 3 n n n n bn c a ， 所以 0121 13521 3333 n n n T L，8 分 则 1231 11352321 333333 n nn
13、 nn T L，10 分 两式相减得 21 222221 1 33333 n nn n T L， 所以 1 1 3 3 n n n T .12 分 18.解析：（1）因为1AB ， 3AD ，4CD ，/AB CD，ADAB， 所以由勾股定理得 22 1( 3)2BD ， 22 ()BCADCDAB 22 ( 3)(41)2 3. 所以 222222 2(2 3)4BDBCCD， 由勾股定理的逆定理得BDBC.3 分 因为/AE BC，所以BDAE. 因为SD 底面 ABCD， 所以SDAE. 又BDSDDI，所以AE 平面 SBD. 5 分 （2）以 D 为原点，分别以DA DC DS ，
14、所在的直线为x y z， ，轴建立如图所示的空间直角坐 标系. 由（1）得2SDBD，3DE ，则 (0 0 0)D，(0 0 2)S， ( 3 1 0)B， (0 3 0E， ( 3 0 0)A， 则( 3 12)SB uu r ，(0 32)SE uu r ，(3 3 0)AE uuu r ，.7 分 设平面 SBE 的法向量为 ()x y zm， ， 则 320 320 SBxyz SEyz m m uu r uu r，得 2 3 4 3 9 yz xz ， 令9z ，得(4 3 6 9)m，.9 分 易知平面 SBD 的一个法向量为(3 3 0)AE uuu r ，. 所以 (4 3
15、6 9) (3 3 0)655 cos 551652 35523 | AE AE AE m m m uuu r uuu r uuu r ， ，. 由图易知二面角DSBE是锐二面角， 故二面角DSBE的余弦值为 55 55 .12 分 19.解析：(1)抛物线上的点 A 到 x 轴的距离为| 1 A yAF， 根据抛物线的定义可得| 2 A p AFy，2 分 所以1 2 AA p yy，即1 2 p ， 解得 2p .4 分 (2)由(1)知 (0 1)F，由题意知直线 AF 的斜率存在， 故可设直线 AF 的方程为 1ykx， 2 1 1 4 x A x ， ， 2 2 2 4 x B x
16、， . 联立 2 1 4 ykx xy ，消去 y 可得 2 440 xkx，0 ， 则 12 4xxk， 12 4x x .7 分 又 2 1 1 2 4 x AMx uuur ， ， 2 2 2 2 4 x BMx uuur ， ，AMBM， 所以 22 12 12 220 16 x x AM BMxx uuur uuur ， 即 22 12 1212 420 16 x x xxx x，10 分 代入 12 4xxk， 12 4x x ，可得424410k， 解得 1 8 k . 所以直线 AF 的方程为 1 1 8 yx，即880 xy.12 分 20.解析：(1)从采购的产品中有放回地
17、随机抽取 3 件产品，记抽到四等品的数量为， 则 1 3 5 B ， ，所以 2 1 3 4148 (1)C 55125 P .3 分 (2)由题可得，抽取的 10 件产品中，一等品有 4 件，非一等品有 6 件，所以 X 的可能取值为 0，1，2，3. 4 分 03 46 3 10 C C1 (0) C6 P X ， 12 46 3 10 C C1 (1) C2 P X ， 21 46 3 10 C C3 (2) C10 P X ， 30 46 3 10 C C1 (3) C30 P X .7 分 则 X 的分布列为 X0123 P 1 6 1 2 3 10 1 30 11316 ()012
18、3. 6210305 E X 9 分 (3)由题，方案二的产品的平均售价为 403010 242218 100100100 20 1621.2 100 (元/件). 因为21.222， 所以从采购商的角度考虑，应选择方案二. 12 分 21.解析：（1）当1a 时，( )e(2) x f xx， ( )f x的定义域为() ， ， ( )e1 x fx.1 分 令 ( )0fx 得0 x ， 当(0)x ，时，( )0fx ， 函数 ( )f x在(0)，上单调递减； 当 (0)x ， 时， ( )0fx ， 函数 ( )f x在(0) ， 上单调递增. 4 分 （2）( )e(2) x f
19、xaxQ，( )e1 x fxa. 当 0a 时， ( )0fx 恒成立， 函数( )f x在() ，上单调递减，不符合题意；5 分 当0a 时，令 ( )0fx ，即e10 x a ， 解得 1 lnx a ， 当 1 lnx a ， 时， ( )0fx ， 函数 ( )f x在 1 ln a ， 上单调递减； 当 1 lnx a ， 时， ( )0fx ， 函数 ( )f x在 1 ln a ， 上单调递增，8 分 函数( )f x的极小值为 1 lnf a . 又当x 时， ( )f x ； 当x 时， ( )f x ， 要使( )f x有 2 个零点，只需 1 ln0f a 即可，10
20、 分 即 1 ln 1 eln20 a a a ， 解得 3 1 0 e a， a 的取值范围为 3 1 0 e ， .12 分 22.解析：（1）将 cos sin x y 代入曲线 C 的极坐标方程得 2 2 cos80中， 可得 22 280 xyx，即曲线 C 的直角坐标方程为 22 (1)9xy，圆心 (1 0)C ，. 2 分 将直线 l 的参数方程化为普通方程可得3()yxm . | 6AB Q ，圆 C 的半径为 3， 直线 l 过圆心 C，将 (1 0)C ，代入直线 l 的普通方程可得1m .4 分 （2）由直线 l 过点 ( 1 0)M ，可知1m ， 则直线 l 的参数
21、方程为 2 1cos 3 2 sin 3 xt yt ，（t 为参数），6 分 代入曲线 22 :(1)9Cxy中可得 2 250tt，0 . 设 A，B 两点对应的参数分别为 12 tt， 由韦达定理可知 12 1 2 2 5 tt t t ，8 分 根据参数的几何意义， 可得 12 1 2 11| | | tt MAMB MAMBMAMBt t 2 2 121 2 1 2 4 ( 2)4 ( 5)2 6 55 ttt t t t . 10 分 23.答案：(1)当1a 时， ( ) |1|22|.f xxx 当 1x 时， ( )12231f xxxx . 由 ( )4f x ，得 5 3 x.2 分 当11x 时， ( )1223f xxxx ， 由 ( )4f x ，得 1x，无解. 4 分 当 1x时，( )12231f xxxx . 由 ( )4f x ，得 1x， 综上所述，不等式的解集为 5 |1 3 x xx 或 .6 分 (2)2 ( ) 2(|1|)2(|1|)f xxxaxaxxaxa 2(|1|)2|1| |2|2|axaaaaaa ， 当且仅当 (1)()0 (2)0 xxa xa a a 时取等号. 10 分
