1、1.2.4二面角 学 习 任 务核 心 素 养 1掌握二面角的概念、二面角的平面角 的定义，会找一些简单图形中的二面角 的平面角(重点) 2掌握求二面角的方法、步骤(重点、 难点) 1通过学习二面角的概念及二面角的 平面角，培养数学抽象素养 2借助求二面角的方法和步骤的学 习，提升逻辑推理、数学运算素养 地球绕太阳公转的轨道平面称为“黄道面”，黄道面与地球赤道面的交角(二 面角的平面角)为 2326黄道面与天球相交的大圆称为“黄道”黄道及其附近 的南北宽 9以内的区域称为黄道带，太阳及大多数行星在天球上的位置常在黄道 带内.黄道带内有十二个星座，称为“黄道十二宫”.从春分(节气)点起，每 30
2、便是一 宫，并冠以星座名，如白羊座、狮子座、双子座等等，这便是星座的由来.今天我 们研究的问题便是如何计算二面角的大小. 知识点 1二面角的概念 (1)半平面：平面内的一条直线把平面分成两部分，其中的每一部分都称为半 平面 (2)二面角：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形称为二面角，这条直 线称为二面角的棱，每个半平面称为二面角的面棱为 l，两个面分别为，的二 面角的面，记作l，若 A，B，则二面角也可以记作 AlB，二面角的范围 为0， (3)二面角的平面角：在二面角l的棱上任取一点 O，以 O 为垂足，分别在 半平面和内作垂直于棱的射线 OA 和 OB，则AOB 称为二面角l的平面角
3、二面角的大小等于它的平面角大小， 平面角是直角的二面角称为直二面 角 如何找二面角的平面角？ 提示(1)定义法 由二面角的平面角的定义可知平面角的顶点可根据具体题目选择棱上一个特 殊点，求解用到的是解三角形的有关知识 (2)垂面法 作(找)一个与棱垂直的平面，与两面的交线就构成了平面角 (3)三垂线定理(或逆定理)作平面角，这种方法最为重要，其作法与三垂线定理 (或逆定理)的应用步骤一致 (4)射影面积公式法 已知平面内一个多边形的面积为 S，它在平面内的射影图形的面积为 S，平 面和平面所成的二面角的大小为，则 cos S S 1思考辨析(正确的打“”，错误的打“”) (1)二面角的范围是
4、0， 2 () (2)若二面角l的两个半平面的法向量分别为 n1，n2，则二面角的平面角与 两法向量夹角n1，n2一定相等() (3)二面角的大小通过平面角的大小来度量() 答案(1)(2)(3) 提示(1)范围是0， (2)不一定可能相等，也可能互补 (3) 知识点 2用空间向量求二面角的大小 如果 n1，n2分别是平面1，2的一个法向量，设1与2所成角的大小为则 n1，n2或n1，n2 ，sin sinn1，n2 二面角的大小与其两个半平面的法向量的夹角大小相等或互补 2(1)已知二面角l，其中平面的一个法向量 m(1，0，1)，平 面的一个法向量 n(0，1，1)，则二面角l的大小可能为
5、_ (2)在正方体 ABCDA1B1C1D1中，二面角 A1BDC1的余弦值是_ (1)60或 120(2)1 3 (1)cosm，n mn |m|n| 1 2 2 1 2， m，n120， 二面角l的大小为 60或 120 (2)如图，建立空间直角坐标系，设正方体的棱长为 1， 则 D(0，0，0)，B(1，1，0)，A1(1，0，1)，DA1 (1，0，1)，DB (1，1，0) 设 n(x，y，z)是平面 A1BD 的一个法向量， 则 nDA1 0， nDB 0， 即 xz0， xy0， 令 x1，则 y1，z1，n(1，1，1) 同理，求得平面 BC1D 的一个法向量 m(1，1，1)
6、， 则 cosm，n mn |m|n| 1 3， 所以二面角 A1BDC1的余弦值为1 3 类型 1用定义法求二面角 【例 1】如图，设 AB 为圆锥 PO 的底面直径，PA 为母线，点 C 在底面圆周 上，若PAB 是边长为 2 的正三角形，且 COAB，求二面角 PACB 的正弦值 解如图，取 AC 的中点 D，连接 OD，PD， PO底面，POAC， OAOC，D 为 AC 的中点， ODAC， 又 POODO， AC平面 POD， 则 ACPD， PDO 为二面角 PACB 的平面角 PAB 是边长为 2 的正三角形，COAB， PO 3，OAOC1，OD 2 2 ， 则 PD 32
7、2 2 2 14 2 sinPDOPO PD 3 14 2 42 7 ， 二面角 PACB 的正弦值为 42 7 用定义求二面角的步骤是什么？ 提示(1)作(找)出二面角的平面角(作二面角时多用三垂线定理) (2)证明所作平面角即为所求二面角的平面角 (3)解三角形求角 跟进训练 1已知矩形 ABCD 的两边 AB3，AD4，PA平面 ABCD，且 PA4 5，则 二面角 ABDP 的正切值为_ 1 3 过 A 作 AOBD，交 BD 于 O，连接 PO， 矩形 ABCD 的两边 AB3，AD4， PA平面 ABCD，且 PA4 5， BD 32425，POBD， POA 是二面角 ABDP
8、的平面角， 1 2BDAO 1 2ABAD， AOABAD BD 12 5 ， tanPOAPA AO 4 5 12 5 1 3 二面角 ABDP 的正切值为1 3 类型 2用向量法求二面角 【例 2】如图所示，四棱柱 ABCDA1B1C1D1的所有棱长都相等，ACBD O，A1C1B1D1O1，四边形 ACC1A1和四边形 BDD1B1均为矩形 (1)证明：O1O底面 ABCD； (2)若CBA60，求二面角 C1OB1D 的余弦值 1所有棱长都相等的四棱柱是正方体吗？ 提示不一定是正方体，因为其侧棱不一定垂直于底面，底面是菱形，也不 一定是正方形 2以 AB，AD，AA1所在直线分别为 x
9、，y，z 轴建立空间直角坐标系可以吗？ 为什么？ 提示不可以因为 AB 与 AD 不垂直 解(1)证明： 因为四边形ACC1A1和四边形BDD1B1均为矩形， 所以CC1AC， DD1BD， 又 CC1DD1OO1， 所以 OO1AC， OO1BD， 因为 ACBDO， 所以 O1O 底面 ABCD (2)因为四棱柱的所有棱长都相等，所以四边形 ABCD 为菱形，ACBD，又 O1O底面 ABCD，所以 OB，OC，OO1两两垂直如图，以 O 为原点，OB，OC， OO1所在直线分别为 x，y，z 轴，建立空间直角坐标系 设棱长为 2，因为CBA60，所以 OB 3，OC1， 所以 O(0，0
10、，0)，B1( 3，0，2)，C1(0，1，2)， 平面 BDD1B1的一个法向量为 n(0，1，0)， 设平面 OC1B1的法向量为 m(x，y，z)， 则 mOB1 ，mOC1 ，所以3x2z0，y2z0， 取 z 3，则 x2，y2 3， 所以 m(2，2 3， 3)， 所以 cosm，n mn |m|n| 2 3 19 2 57 19 由图形可知二面角 C1OB1D 的大小为锐角， 所以二面角 C1OB1D 的余弦值为2 57 19 1(变问法)本例(2)条件不变，求二面角 BA1CD 的余弦值 解如图建立空间直角坐标系 设棱长为 2，则 A1(0，1，2)，B( 3，0，0)，C(0
11、，1，0)，D( 3，0，0) 所以BC ( 3，1，0)，A1C (0，2，2)，CD ( 3，1，0) 设平面 A1BC 的法向量为 n1(x1，y1，z1)， 则 n1A1C 0， n1BC 0， 即 2y12z10， 3x1y10， 取 x1 3，则 y1z13， 故 n1( 3，3，3) 设平面 A1CD 的法向量为 n2(x2，y2，z2)， 则 n2A1C 0， n2CD 0， 即 2y22z20， 3x2y20， 取 x2 3， 则 y2z23，故 n2( 3，3，3) 所以 cosn1，n2 n1n2 |n1|n2| 15 21 5 7 由图形可知二面角 BA1CD 的大小为
12、钝角，所以二面角 BA1CD 的余弦值为 5 7 2(变条件、变问法)本例四棱柱中，CBA60改为CBA90，设 E，F 分别是棱 BC，CD 的中点，求平面 AB1E 与平面 AD1F 所成锐二面角的余弦值 解以 A 为坐标原点，建立空间直角坐标系，如图所示，设此棱柱的棱长为 1，则 A(0，0，0)，B1(1，0，1)，E 1，1 2，0，D1(0，1，1)，F 1 2，1，0， AE 1，1 2，0，AB1 (1，0，1)，AF 1 2，1，0，AD1 (0，1，1) 设平面 AB1E 的法向量为 n1(x1，y1，z1)， 则 n1AB1 0， n1AE 0， 即 x1z10， x11
13、 2y 10， 令 y12，则 x11，z11， 所以 n1(1，2，1) 设平面 AD1F 的法向量为 n2(x2，y2，z2)， 则 n2AD1 0， n2AF 0， 即 y2z20， 1 2x 2y20. 令 x22， 则 y21，z21所以 n2(2，1，1) 所以平面 AB1E 与平面 AD1F 所成锐二面角的余弦值为|n1n2| |n1|n2| |1，2，12，1，1| 122212 221212 |122111| 6 6 1 2 利用坐标法求二面角的步骤 设 n1，n2分别是平面，的法向量，则向量 n1与 n2的夹角(或其补角)就是两 个平面夹角的大小，如图用坐标法的解题步骤如下
14、： (1)建系：依据几何条件建立适当的空间直角坐标系 (2)求法向量：在建立的坐标系下求两个面的法向量 n1，n2 (3)计算：求 n1与 n2所成锐角，cos |n1n2| |n1|n2| (4)定值：若二面角为锐角，则为；若二面角为钝角，则为 提醒：正确计算出平面的法向量是关键 跟进训练 2如图所示，PA平面 ABC，ACBC，BC 2，PAAC1，则二面角 APBC 的余弦值为_ 3 3 法一： 建立如图所示的空间直角坐标系 Cxyz， 取 PB 的中点 D， 连接 DC， 易得 PCBC 2，DCPB，作 AEPB 于 E 则向量DC 与EA 的夹角的大小为二面角 APBC 的大小 易
15、知 A(1，0，0)，B(0，2，0)，C(0，0，0)，P(1，0，1)，又 D 为 PB 的中点， D 1 2， 2 2 ，1 2 在 RtPAB 中，PE EB AP2 AB2 1 3，E 3 4， 2 4 ，3 4 EA 1 4， 2 4 ，3 4 ，DC 1 2， 2 2 ，1 2 EA DC 1 2 又|EA |3 2 ，|DC |1， cosEA ， DC EA DC |EA |DC | 1 2 3 2 1 3 3 即二面角 APBC 的余弦值为 3 3 法二：如图所示，以 A 为坐标原点，建立空间直角坐标系 Axyz，则 A(0，0， 0)，B( 2，1，0)，C(0，1，0)
16、，P(0，0，1)， 故AP (0，0，1)，AB( 2，1，0)，CB ( 2，0，0)，CP (0，1，1) 设平面 PAB 的法向量为 m(x，y，z)，则 mAP 0， mAB 0， 即 z0， 2xy0. 令 x1，则 m(1， 2，0)为平面 PAB 的一个法向量 设平面 PBC 的法向量为 n(x，y，z)，则 nCB 0， nCP 0， 即 2x0， yz0， 令 y1，则 n(0，1，1)为平面 PBC 的一个法向量， cosm，n mn |m|n| 3 3 由图可知二面角 APBC 是锐角， 二面角 APBC 的余弦值为 3 3 类型 3空间中的翻折与探索性问题 【例 3】
17、如图甲，在直角梯形 ABCD 中，ABCD，ABBC，CD2AB 2BC4， 过 A 点作 AECD， 垂足为 E，现将ADE 沿 AE 折叠，使得 DEEC取 AD 的中点 F，连接 BF，CF，EF，如图乙 甲乙 (1)求证：BC平面 DEC； (2)求二面角 CBFE 的余弦值 解(1)证明：DEEC，DEAE，AEECE， DE平面 ABCE， 又BC平面 ABCE，DEBC， 又BCEC，DEECE，BC平面 DEC (2)如图，以点 E 为坐标原点，分别以 EA，EC，ED 为 x，y，z 轴建立空间直 角坐标系 Exyz， 则 E(0，0，0)，C(0，2，0)，B(2，2，0)
18、， D(0，0，2)，A(2，0，0)，F(1，0，1)， 设平面 EFB 的法向量 n1(x1，y1，z1)， 由EF (1，0，1)，EB(2，2，0)， 所以 x1z10， 2x12y10， 取 x11，得平面 EFB 的一个法向量 n1(1，1，1)， 设平面 BCF 的一个法向量为 n2(x2，y2，z2)， 由CF (1，2，1)，CB (2，0，0)， x20， x22y2z20， 取 y21，得平面 BCF 的一个法向量 n2(0，1，2)， 设二面角 CBFE 的大小为， 则 cos |n1n2| |n1|n2| |12| 3 5 15 5 1与空间角有关的翻折问题的解法 要
19、找准翻折前后图形中的不变量及变化的量，再结合向量知识求解相关问题 2关于空间角的探索问题的处理思路 利用空间向量解决空间角中的探索问题，通常不需要复杂的几何作图、论证、 推理，只需先假设结论成立，设出空间的坐标，通过向量的坐标运算进行推断， 把是否存在问题转化为点的坐标是否有解的问题来处理 跟进训练 3如图，在棱长为 2 的正方体 ABCDA1B1C1D1中，E，F，M，N 分别是棱 AB，AD，A1B1，A1D1的中点，点 P，Q 分别在棱 DD1，BB1上移动，且 DPBQ (02) (1)当1 时，证明：直线 BC1平面 EFPQ； (2)是否存在实数，使平面 EFPQ 与平面 PQMN
20、 所成的二面角为直二面角？ 若存在，求出的值；若不存在，请说明理由 解以点 D 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系 Dxyz 由题意得 B(2，2，0)，C1(0，2，2)， E(2，1，0)，F(1，0，0)，P(0，0，) 故BC1 (2，0，2)，FP (1，0，)，FE(1，1，0) (1)当1 时，FP (1，0，1) BC1 (2，0，2)，BC1 2FP ，又 BFP，BC 1FP 又 FP平面 EFPQ，且 BC1平面 EFPQ， 故直线 BC1平面 EFPQ (2)设平面 EFPQ 的法向量为 n(x，y，z)， 由 FE n0， FP n0， 得 xy0， xz0.
21、取 z1，则平面 EFPQ 的一个法向量为 n(，1) 同理，平面 PQMN 的一个法向量为 m(2，2，1) 若存在实数，使平面 EFPQ 与平面 PQMN 所成的二面角为直二面角，则 mn (2，2，1)(，1)0，即(2)(2)10，解得1 2 2 故存在实数，使平面 EFPQ 与平面 PQMN 所成的二面角为直二面角，此时 的值为 1 2 2 1三棱锥 ABCD 中，平面 ABD 与平面 BCD 的法向量分别为 n1n2，若n1， n2 3，则二面角 ABDC 的大小为( ) A 3 B2 3 C 3或 2 3 D 6或 3 C当二面角 ABDC 为锐角时，等于n1，n2 3 当二面角
22、 ABDC 为钝角时，等于n1，n2 3 2 3 2已知ABC 和BCD 均为边长为 a 的等边三角形，且 AD 3 2 a，则二面 角 ABCD 的大小为() A30B45 C60D90 C如图，取 BC 的中点为 E，连接 AE，DE， 由题意得 AEBC，DEBC， 且 AEDE 3 2 a，又 AD 3 2 a， AED60，即二面角 ABCD 的大小为 60 3如图所示，在正四棱锥 PABCD 中，若PAC 的面积与正四棱锥的侧面面 积之和的比为 68，则侧面与底面所成的二面角为() A 12 B 4 C 6 D 3 D设正四棱锥的底面边长为 a，侧面与底面所成的二面角为，高为 h，
23、斜 高为 h，则 1 2 2ah 41 2ah 6 8 ，h h 3 2 ，sin 3 2 ，即 3 4 在正方体 ABCDA1B1C1D1中， E 为 BB1的中点， 则平面 A1ED 与平面 ABCD 所成的锐二面角的余弦值为_ 2 3 建立如图所示的空间直角坐标系，设正方体的棱长为 1，则 D(0，0，0)， A1(1，0，1)，E 1，1，1 2 ， DA1 (1，0，1)， DE 1，1，1 2 设平面 A1ED 的一个法向量为 n(x，y，z)，则 nDA1 0，且 nDE 0，即 xz0， xy1 2z0， 令 x1，得 y1 2，z1 n 1，1 2，1，又平面 ABCD 的一
24、个法向量为DD1 (0，0，1)，则 cos n， DD1 |nDD1 | |n|DD1 | 2 3 5若二面角内一点到两个面的距离分别为 5 和 8，两垂足间的距离为 7，则 这个二面角的大小是_ 120设二面角大小为，由题意可知 cos()8 25272 285 642549 80 1 2， 所以120 回顾本节知识，自我完成以下问题： 1构成二面角的平面角有几个要素？ 提示(1)角的顶点在二面角的棱上；(2)角的两边分别在表示二面角的两个 半平面内；(3)角的两边分别和二面角的棱垂直 2二面角的大小与其两个半平面的法向量的夹角有何关系？ 提示 条件平面，的法向量分别为 u，v，所构成的二面角的大小 为， u，v 图形 关系 计算cos cos cos cos
