1、2.1坐标法 学 习 任 务核 心 素 养 1理解平面直角坐标系中的基本公 式(重点) 2 理解坐标法的数学思想并能掌握坐 标法的应用(重点、难点) 1 通过学习实数与数轴上的点的对应关 系，培养直观想象的核心素养 2借助距离公式和坐标法的应用，培养 数学运算和数学建模的核心素养 笛卡尔坐标系就是直角坐标系和斜角坐标系的统称相交于原点的两条数轴， 构成了平面放射坐标系，如两条数轴上的度量单位相等，则称此放射坐标系为笛 卡尔坐标系两条数轴互相垂直的笛卡尔坐标系，称为笛卡尔直角坐标系 笛卡尔 1596.31650.2 二维的直角坐标系是由两条相互垂直、O 点重合的数轴构成的在平面内， 任何一点的坐
2、标是根据数轴上对应的点的坐标设定的在平面内，任何一点与坐 标的对应关系，类似于数轴上点与坐标的对应关系采用直角坐标，几何形状可 以用代数公式明确的表达出来几何形状的每一个点的直角坐标必须遵守着代数 公式 例如：已知平面上两点 A(x1，y1)，B(x2，y2) 问题 1：当 x1x2，y1y2时，|AB|？ 问题 2：当 x1x2，y1y2时，|AB|？ 问题 3：当 x1x2，y1y2时，|AB|？ 请简单说明理由 知识点 1平面直角坐标系中的基本公式 (1)数轴上两点间的距离公式 如果数轴上点 A 对应的数为 x1(即 A 的坐标为 x1，记作 A(x1)，且 B(x2)，则向 量AB 的
3、坐标为 x 2x1，数轴上两点之间的距离公式|AB|AB |x 2x1|如果 M(x) 是线段 AB 的中点，则AM MB 数轴上的中点坐标公式 xx1x2 2 1数轴的概念是什么？数轴上的点与实数有怎样的关系？ 提示给定了原点、单位长度和正方向的直线是数轴，数轴上的点与实数是 一一对应的 (2)平面直角坐标系内两点之间的距离公式 A(x1，y1)，B(x2，y2)，AB (x 2x1，y2y1)，|AB|AB | x 2x12y2y12， 若 M(x，y)是线段 AB 的中点，则AM MB ，则直角坐标系内的中点坐标公式 x x1x2 2 ，yy1y2 2 1思考辨析(正确的打“”，错误的打
4、“”) (1)平面直角坐标系内的点与实数一一对应() (2)数轴上起点相同的向量方向相同() (3)点 M(x)位于点 N(2x)的左侧() (4)数轴上等长的向量是相等的向量() 答案(1)(2)(3)(4) 提示(1)与有序实数对一一对应 (2)终点不一定相同 (3)x 与 2x 的大小无法确定 (4)方向不一定相同 2(1)已知 A(1，2)，B(2，6)，则 AB 的中点坐标为_ (2)已知 A(2，4)，B(1，3)，则 A，B 两点间的距离为_ (1) 3 2，4(2) 10(1)设 AB 的中点为 M(x， y)， 则 x12 2 3 2， y 26 2 4， 中点坐标为 3 2
5、，4 (2)|AB| 212432 10 知识点 2坐标法 通过建立平面直角坐标系，将几何问题转化为代数问题，然后通过代数运算 等解决问题的方法称为坐标法 2坐标法解决问题的一般步骤是什么？ 提示(1)建立适当的平面直角坐标系； (2)设出已知点的坐标，求出未知点的坐标； (3)利用已学的坐标公式列出方程(组)，通过计算得出代数结论； (4)反演回去，得到几何问题的结论 用图表示，如图 建立适当的平面直角坐标系对简化计算很重要，应遵循以下原则： 要使尽可能多的已知点落在坐标轴上，这样便于计算； 如果图形中有互相垂直的两条线，可以考虑将其作为坐标轴； 如果图形具有中心对称性，可以考虑将图形的对称
6、中心作为坐标原点； 如果图形具有轴对称性，可以考虑将对称轴作为坐标轴 3已知ABC 是直角三角形，斜边 BC 的中点为 M，建立适当的平面 直角坐标系，证明：AM1 2BC 证明如图，以 RtABC 的直角边 AB，AC 所在直线为坐标轴，建立平面 直角坐标系设 B，C 两点的坐标分别为(b，0)，(0，c) 因为点 M 是斜边 BC 的中点， 所以点 M 的坐标为 b0 2 ，0c 2， 即 M b 2， c 2 由 两点间的距离公式，得|BC| 0b2c02 b2c2， |AM| b 20 2 c 20 2 1 2 b2c2， 所以 AM1 2BC 类型 1数轴上的点与实数间的关系 【例
7、1】(1)若点 P(x)位于点 M(2)，N(3)之间，求 x 的取值范围； (2)试确定点 A(a)，B(b)的位置关系 解(1)由题意可知， 点 M(2)位于点 N(3)的左侧， 且点 P(x)位于点 M(2)， N(3)之间，所以2xb 时，点 A(a) 位于点 B(b)的右侧；当 a3.2，所以 A(3.2)位于 B(2.3)的左侧 (2)因为 m21m m1 2 2 3 4 3 40， 所以 m21m，所以 B(m21)位于 A(m)的右侧 (3)当 a0 时，|a|a，则 A(|a|)和 B(a)为同一个点 当 aa，则 A(|a|)位于 B(a)的右侧 类型 2数轴上两点间的距离
8、 【例 2】已知数轴上点 A，B，P 的坐标分别为1，3，x当点 P 与点 B 的 距离是点 P 与点 A 的距离的 3 倍时，求点 P 的坐标 x 数轴上向量的数量与长度有何区别与联系？ 提示|AB|d(A，B)|xBxA|，AB x BxA 解由题意知 |PB|3|PA|，即|x3|3|x1|， 则 3(x1)x3， 或 3(x1)(x3) 解得 x3；解得 x0 所以点 P 的坐标为3 或 0 1本例中若点 P 到点 A 和点 B 的距离都是 2，求点 P 的坐标 x，此时点 P 与 线段 AB 有着怎样的关系？ 解由题意知|PA|PB|2， 即 |x1|2， |x3|2， 解得 x1
9、此时点 P 的坐标为 1，显然此时点 P 为线段 AB 的中点 2本例中在线段 AB 上是否存在点 P(x)，使得点 P 到点 A 和点 B 的距离都是 3？若存在，求出点 P 的坐标 x；若不存在，请说明理由 解不存在这样的点 P(x) 因为 d(A，B)|31|4，要使点 P 在线段 AB 上，且 d(P，A)d(P，B)3， 则 d(A，B)d(P，A)d(P，B)，这是不可能的 数轴上的基本公式应用思路与方法 (1)已知向量AB ， BC ，AC 中的两个的坐标，求另外一个的坐标时，使用AC AB BC 求解 (2)已知向量的起点和终点的坐标，求向量坐标，使用AB x BxA求解 (3
10、)已知数轴上两点间的距离时，使用 d(A，B)|AB|xBxA|求解 跟进训练 2已知数轴上两点 A(2)，B(3)，则点 A 关于点 B 的对称点的坐标是() A1 2 B6C8D5 2 C设 A 关于 B 的对称点坐标为 x，则 32x 2 ，x8 类型 3两点间距离公式的应用 【例 3】(对接教材人教 B 版 P68例 1)已知ABC 的三个顶点坐标是 A(3， 1)，B(3，3)，C(1，7) (1)判断ABC 的形状； (2)求ABC 的面积 解(1)|AB| 3323122 13， |AC| 1327122 13， |BC| 1327322 26， |AB|2|AC|2|BC|2且
11、|AB|AC|， ABC 是等腰直角三角形 (2)ABC 的面积 SABC1 2|AC|AB| 1 22 132 1326 判断三角形形状的常用方法 (1)采用数形结合的方法，大致明确三角形的形状，以确定证明的方向 (2)利用两点间的距离公式，分别计算ABC 三边的长度，根据三角形边的长 度特征，主要考察边是否相等或是否满足勾股定理 跟进训练 3若等腰三角形 ABC 的顶点 A 是(3，0)，底边 BC 的长为 4，BC 边的中点为 D(5，4)，求等腰ABC 的腰长 解因为|AD| 5324022 5，在等腰ABD 中，由勾股定理得， |AB| |AD|2|BD|2 2042 6所以等腰AB
12、C 的腰长为 2 6 类型 4坐标法的应用 【例 4】如图所示，四边形 ABCD 为等腰梯形，利用坐标法证明梯形 ABCD 的对角线|AC|BD| 证明建立如图所示的平面直角坐标系，设 A(0，0)，B(a，0)，C(b，c)，则 点 D 的坐标是(ab，c) |AC| b02c02 b2c2， |BD| aba2c02 b2c2， 故|AC|BD| 坐标法可以将几何问题转化为代数问题，把复杂的逻辑思维转化为简单的运 算，使问题简单化.坐标法的核心是建立合适的平面直角坐标系，建系时要遵循前 面所讲的建系技巧. 跟进训练 4ABD 和BCE 是在直线 AC 同侧的两个等边三角形，如图所示试用坐
13、标法证明：|AE|CD| 证明如图所示，以 B 点为坐标原点，取 AC 所在直线为 x 轴，建立平面直角 坐标系 设ABD 和BCE 的边长分别为 a 和 c，则 A(a，0)，C(c，0)，E c 2， 3c 2， D a 2， 3a 2，于是由距离公式， 得|AE| c 2a 2 3 2 c0 2 a2acc2， 同理|CD| a2acc2， 所以|AE|CD| 1下列各组点中，点 C 位于点 D 的右侧的是() AC(3)和 D(4)BC(3)和 D(4) CC(4)和 D(3)DC(4)和 D(3) A由数轴上点的坐标可知 A 正确 2已知 A(8，3)，B(5，3)，则线段 AB 的
14、中点坐标为() A 3 2，2B 3 2，3 C 3 2，3D 3 2，3 B由中点坐标公式可以求得 3光从点 A(3，5)射到 x 轴上，经反射后经过点 B(2，10)，则光从点 A 到 点 B 的距离是() A5 2B2 5 C5 10D10 5 C根据光学原理，光从点 A 到点 B 的距离，等于点 A 关于 x 轴的对称点 A 到点 B 的距离 因为 A(3，5)，所以 A(3，5) 所以|AB| 23210525 10 4若动点 P 的坐标为(x，1x)，xR，则动点 P 到原点的距离的最小值为 _ 2 2 |OP| x21x2 2x22x1 2 x1 2 2 1 2， 当 x1 2时
15、，|OP| min 1 2 2 2 5若 x 轴正半轴上的点 M 到原点的距离与到点(5，3)的距离相等，则点 M 的坐标为_ 17 5 ，0 设 M(x，0)(x0)，则 x202(x5)2(03)2，解得 x17 5 ，所以 点 M 的坐标为 17 5 ，0 回顾本节内容，自我完成以下问题： 1应用两点间距离公式时要注意哪些问题？ 提示(1)注意公式特征，一是括号内是对应纵横坐标的差；二是作差的顺序 必须一致 (2)运算结果要进行开方化简 2如何利用中点坐标公式解题？ 提示(1)中点坐标公式体现了两点及其中点坐标之间的关系， 三个点的坐标 “知二求一”； (2)特别地，点 A(x，y)关于点 P(a，b)的对称点坐标为(2ax，2by) 3利用坐标法证明几何问题有何优势？ 提示避免了作复杂的辅助线，将推理证明转化为数学运算
