1、2.4曲线与方程 学 习 任 务核 心 素 养 1了解曲线上的点与方程的解之间的一一对应关系 2理解曲线的方程和方程的曲线的概念(重点、易混 点) 3学会根据已有的情境资料找规律，学会分析、判断 曲线与方程的关系，强化“形”与“数”的统一以及 掌握相互转化的思想方法 4掌握求轨迹方程建立坐标系的一般方法，熟悉求曲 线方程的步骤 5掌握求轨迹方程的几种常用方法(重点、难点) 6初步学会通过曲线的方程研究曲线的几何性质 1 通过曲线与方程概念的 学习， 培养数学抽象素养 2 借助数形结合理解曲线 的方程和方程的曲线，提 升直观想象和逻辑推理素 养 3 通过由方程研究曲线的 性质， 培养直观想象素养
2、 4 借助由曲线求方程， 提 升逻辑推理、数学运算素 养 笛卡尔被誉为“近代科学的始祖”“近代哲学之父”，他在哲学、数学、物 理学、天文学、心理学等方面都有研究且成就颇高有一个很有名的故事，笛卡 尔给他的恋人写的一封信，内容只有短短的一个公式：ra(1sin )你知道这 是何意？其实这就是笛卡尔的爱心函数，图形是心形线，是一个圆上的固定一点 在它绕着与其相切且半径相同的另外一个圆周滚动时所形成的轨迹，因其形状像 心形而得名同学们，你能说出一条曲线和它对应的方程有怎样的关系吗？ 知识点 1曲线与方程的概念 一般地，一条曲线可以看成动点依某种条件运动的轨迹，所以曲线的方程又 常称为满足某种条件的点
3、的轨迹方程 一个二元方程总可以通过移项写成 F(x，y)0 的形式，其中 F(x，y)是关于 x， y 的解析式 在平面直角坐标系中，如果曲线 C 与方程 F(x，y)0 之间具有如下关系： 曲线 C 上的点的坐标都是方程 F(x，y)0 的解； 以方程 F(x，y)0 的解为坐标的点都在曲线 C 上 那么，方程 F(x，y)0 称为曲线 C 的方程；曲线 C 称为方程 F(x，y)0 的曲 线 1如果曲线与方程仅满足“以方程 F(x，y)0 的解为坐标的点都在曲 线 C 上”，会出现什么情况？举例说明 提示如果曲线与方程仅满足“以方程 F(x， y)0 的解为坐标的点都在曲线 C 上”， 有
4、可能扩大曲线的边界 如方程 y 1x2表示的曲线是半圆， 而非整圆 2如果曲线 C 的方程是 F(x，y)0，那么点 P(x0，y0)在曲线 C 上的充 要条件是什么？ 提示若点 P 在曲线 C 上，则 F(x0，y0)0；若 F(x0，y0)0，则点 P 在曲 线 C 上，所以点 P(x0，y0)在曲线 C 上的充要条件是 F(x0，y0)0 1思考辨析(正确的打“”，错误的打“”) (1)若以方程 F(x，y)0 的解为坐标的点都在曲线上，则方程 F(x，y)0，即 为曲线 C 的方程() (2)方程 xy20 是以 A(2，0)，B(0，2)为端点的线段的方程() (3)在求曲线方程时，
5、对于同一条曲线，坐标系的建立不同，所得的曲线方程 也不一样() (4)求轨迹方程就是求轨迹() 答案(1)(2)(3)(4) 提示(1)曲线的方程必须满足两个条件 (2)以方程的解为坐标的点不一定在线段 AB 上，如 M(4，6)就不在线段 AB 上 (3)对于曲线上同一点，由于坐标系不同，该点的坐标就不一样，因此方 程也不一样 (4)求轨迹方程得出方程即可，求轨迹还要指出方程的曲线是什么图形 知识点 2求曲线的方程的步骤 3解析几何研究的主要问题是什么？ 提示(1)由曲线求它的方程 (2)利用方程研究曲线的性质 2平面上有三点 A(2，y)，B 0，y 2 ，C(x，y)若AB BC ，则动
6、点 C 的轨迹方程为_ y28x(x0)AB 2，y 2 ，BC x，y 2 ，由AB BC 得 2xy 2 4 0，即 y2 8x(x0) 知识点 3利用曲线的方程研究曲线的对称性及画法 (1)由已知曲线的方程讨论曲线的对称性 设曲线 C 的方程为：F(x，y)0，一般有如下规律： 如果以y 代替 y，方程保持不变，那么曲线关于 x 轴对称； 如果以x 代替 x，方程保持不变，那么曲线关于 y 轴对称； 如果同时以x 代替 x，以y 代替 y，方程保持不变，那么曲线关于原点对 称 另外，易证如果曲线具有上述三种对称性中的任意两种，那么它一定还具有 另一种对称性 例如， 如果曲线关于 x 轴和
7、原点对称， 那么它一定关于 y 轴对称 事 实上，设点 P(x，y)在曲线上，因为曲线关于 x 轴对称，所以点 P1(x，y)必在曲 线上； 因为曲线关于原点对称， 所以 P1关于原点的对称点 P2(x， y)必在曲线上 因 为 P(x，y)，P2(x，y)都在曲线上，所以曲线关于 y 轴对称 (2)根据曲线的方程画曲线 对于这类问题，往往要把方程进行同解变形注意方程的附加条件和 x，y 的取值范围，有时要把它看作 yf(x)的函数关系，利用作函数图像的方法画出图 形 对于变形过程一定要注意其等价性，否则作出的曲线与方程不符 注意方程隐含的对称性特征，并充分予以运用，从而减少描点量 3方程 x
8、y2x2y2x 所表示的曲线() A关于 x 轴对称B关于 y 轴对称 C关于原点对称D关于直线 xy0 对称 C将(x，y)代入 xy2x2y2x，方程不变，故选 C 类型 1曲线与方程关系的应用 【例 1】已知方程 x2(y1)210 (1)判断点 P(1，2)，Q( 2，3)是否在此方程表示的曲线上； (2)若点 M m 2 ，m 在此方程表示的曲线上，求 m 的值 解(1)12(21)210， ( 2)2(31)2610， 点 P(1，2)在方程 x2(y1)210 表示的曲线上， 点 Q( 2，3)不在方程 x2(y1)210 表示的曲线上 (2)点 M m 2 ，m 在方程 x2(
9、y1)210 表示的曲线上，xm 2 ，ym 适合上述方程， 即 m 2 2 (m1)210，解得 m2 或 m18 5 ， m 的值为 2 或18 5 1判断点是否在某个方程表示的曲线上，就是检验该点的坐标是否是方程的 解，是否适合方程若适合方程，就说明点在曲线上；若不适合，就说明点不在 曲线上 2已知点在某曲线上，可将点的坐标代入曲线的方程，从而可研究有关参数 的值或范围问题 跟进训练 1 若曲线 y2xy2xk 通过点(a， a)(aR)， 则 k 的取值范围是_ 1 2，由曲线 y2xy2xk 通过点(a，a)， 所以(a)2a(a)2ak， 即 k2a22a2 a1 2 2 1 2，
10、所以 k 1 2 类型 2利用方程研究曲线的性质 【例 2】已知曲线 C 的方程是 x4y21关于曲线 C 的几何性质，给出下 列三个结论： 曲线 C 关于原点对称； 曲线 C 关于直线 yx 对称； 曲线 C 所围成的区域的面积大于 其中，所有正确结论的序号是_ 将方程中的 x 换成x，y 换成y 方程不变，所以曲线 C 关于原点对 称，故正确； 将方程中的 x 换成 y，y 换成 x，方程变为 y4x21 与原方程不同， 故错误； 在曲线 C 上任取一点 M(x0，y0)，x40y201，|x0|1， x40 x20， x20y20 x40y201，即点 M 在圆 x2y21 外， 故正确
11、 故正确结论的序号是 讨论曲线的几何性质一般包括以下几个方面： (1)研究曲线的组成和范围，即看一下所求的曲线是由哪一些基本的曲线组成 的，在某些情况下可以根据方程求得方程所表示曲线的大致范围； (2)研究曲线与坐标轴是否相交，如果相交，求出交点的坐标，因为曲线与坐 标轴的交点是确定曲线位置的关键点； (3)研究曲线的对称性(关于 x 轴、y 轴、原点)； (4)研究曲线的变化趋势，即 y 随 x 的增大或减小的变化情况； (5)根据方程画出曲线的大致形状，在画曲线时，可充分利用曲线的对称性， 通过列表、描点的方法先画出曲线在一个象限的图像，然后根据对称性画出整条 曲线 跟进训练 2画出方程
12、y x22|x|1的曲线 解y x22|x|1 |x|12|x|1|，易知 xR，y0 用x 代替 x，得|x|1|x|1|y，所以曲线关于 y 轴对称 当 x0 时，y|x1| x1x1， 1x0 x1， 分段画出该方程的图像，即为 y 轴右侧的图像，再根据对称性，便可以得到 方程 y x22|x|1的图像，如图所示 类型 3直接法求曲线方程 【例 3】(对接教材人教 B 教 P120例 4)已知平面上两定点 A，B，|AB|2a， 平面上一动点 M 到 A，B 的距离之比为 21，求动点 M 的轨迹方程 解以 AB 所在直线为 x 轴，线段 AB 的垂直平分线为 y 轴，建立平面直角 坐标
13、系(图略)设 A(a，0)，则 B(a，0)，设 M(x，y)为所求轨迹上任意一点，那 么点 M 属于集合 PM|MA|MB|21 由距离公式，得点 M 适合的条件可表示为 xa2y2 xa2y221， 两边平方化简，得 3x23y210ax3a20，即为动点 M 的轨迹方程 直接法求轨迹方程的 2 种常见类型及解题策略 直接法求轨迹方程，就是设出动点的坐标(x，y)，然后根据题目中的等量关系 列出 x，y 之间的关系并化简主要有以下两类常见题型： (1)题目给出等量关系，求轨迹方程可直接代入即可得出方程 (2)题中未明确给出等量关系，求轨迹方程可利用已知条件寻找等量关系， 得出方程 提醒：求
14、出曲线的方程后要注意验证方程所表示的曲线上的点一个也不能多， 一个也不能少 跟进训练 3如图，线段 AB 与 CD 互相垂直平分于点 O，|AB|2a(a0)，|CD|2b(b 0)，动点 P 满足|PA|PB|PC|PD|，求动点 P 的轨迹方程 解以 O 为坐标原点，直线 AB，CD 分别为 x 轴、y 轴建立平面直角坐标系 (图略)，则 A(a，0)，B(a，0)，C(0，b)，D(0，b)，设 P(x，y)是曲线上的任意 一点， 由题意知，|PA|PB|PC|PD|， 即 xa2y2 xa2y2 x2yb2 x2yb2， 化简得 x2y2a 2b2 2 故动点 P 的轨迹方程为 x2y
15、2a 2b2 2 类型 4代入法求曲线方程 【例 4】已知动点 M 在曲线 x2y21 上移动，M 和定点 B(3，0)连线的中 点为 P，求 P 点的轨迹方程 当所求动点 P 的运动很明显地依赖于一已知曲线上的动点 Q 的运动时，怎样 求 P 点的轨迹？ 提示设所求动点 P 的坐标为(x，y)，再设与 P 相关的已知点坐标为 Q(x0， y0)，找出 P，Q 之间的坐标关系，并表示为 x0f(x)，y0f(y)，根据点 Q 的运动规 律得出关于 x0，y0的关系式，把 x0f(x)，y0f(y)代入关系式中，即得所求轨迹方 程 解设 P(x，y)，M(x0，y0)，P 为 MB 的中点 xx
16、03 2 ， yy0 2 ， 即 x02x3， y02y， 又M 在曲线 x2y21 上，(2x3)24y21， P 点的轨迹方程为(2x3)24y21 1 (变换条件)本例中把条件“M 和定点 B(3， 0)连线的中点为 P”改为“MP 2PB ”，求 P 点的轨迹方程 解设 P(x，y)，M(x0，y0)， 则MP (xx0，yy0)，PB (3x，y)， 由MP 2 PB 得xx03x2， yy02y， 即 x03x6， y03y， 又M 在曲线 x2y21 上， (3x6)29y21， 点 P 的轨迹方程为(3x6)29y21 2(变换条件)本例中把条件“M 和定点 B(3，0)连线的
17、中点为 P”改为“一动 点 P 和定点 B(3，0)连线的中点为 M”，试求动点 P 的轨迹方程 解设 P(x，y)，M(x0，y0)，M 为 PB 的中点 x0 x3 2 ， y0y 2， 又M 在曲线 x2y21 上， x3 2 2 y 2 2 1，即(x3)2y24， P 点轨迹方程为(x3)2y24 代入法求解曲线方程的步骤 (1)设动点 P(x，y)，相关动点 M(x0，y0)； (2)利用条件求出两动点坐标之间的关系 x0fx，y， y0gx，y； (3)代入相关动点的轨迹方程； (4)化简、整理，得所求轨迹方程 其步骤可总结为“一设、二找、三代、四整理” 跟进训练 4设动点 P
18、是曲线 y2x21 上任意一点，定点 A(0，1)，点 M 分 PA 所成 的比为 21，则点 M 的轨迹方程是() Ay6x21 3 By3x21 3 Cy3x21Dx6y21 3 A设点 M 的坐标为(x0， y0)， 因为点 A(0， 1)， 点 M 分 PA 所成的比为 21， 所以点 P 的坐标为(3x0，3y02)，代入曲线 y2x21，得 y06x201 3，即点 M 的 轨迹方程是 y6x21 3 1下列四个图形中，图形下面的方程是图形中曲线的方程的是() ABCD D对于 A，点(0，1)满足方程，但不在曲线上，排除 A；对于 B，点(1， 1)满足方程，但不在曲线上，排除
19、B；对于 C，曲线上第三象限的点，由于 x0， y0，不满足方程，排除 C 2若 M(1，2)在曲线 x2ay22 上，则 a 的值为() A1 4 B4C1 3 D3 A因为 M(1，2)在曲线 x2ay22 上，代入曲线方程可得 a1 4 3(多选题)下列结论正确的是() A过点 A(3，0)且垂直于 x 轴的直线的方程为 x3 B到 x 轴距离为 3 的直线方程为 y3 C到两坐标轴的距离的乘积等于 1 的点的轨迹方程为 xy1 DABC 的顶点 A(0，3)，B(1，0)，C(1，0)，D 为 BC 的中点，则中线 AD 所在直线的方程为 x0 ACD易知A正确 到x轴距离为3的直线方
20、程还有一个为y3， B错误 到两坐标轴的距离的乘积等于 1 的点的轨迹方程应为|x|y|1，即 xy1，C 正 确易知中线 AD 所在直线的方程为 x0，D 正确 4方程(x24)2(y24)20 表示的图形是_ 4 个点由方程得 x240， y240， 表示 4 个点 5曲线 y 1x2和 yx 2公共点的个数为_ 1由 y 1x2， yx 2， 得x 2 1x2，两边平方并整理得( 2x1)2 0，所以 x 2 2 ，y 2 2 ，故公共点只有一个 2 2 ， 2 2 回顾本节知识，自我完成以下问题： 1曲线的方程和方程的曲线必须满足哪两个条件？ 提示曲线上点的坐标都是方程的解，以方程的解为坐标的点都在曲线上 2求得曲线方程后，如何避免出现“增解”或“漏解”？ 提示在化简的过程中，注意运算的合理性与准确性，尽量避免“漏解”或 “增解” 3曲线方程一般化简到什么程度？ 提示方程化简到什么程度，课本上没有给出明确的规定，一般指将方程 F(x，y)0 化成 x，y 的整式如果化简过程破坏了同解性，就需要剔除不属于轨 迹上的点，找回属于轨迹而遗漏的点 4“轨迹”与“轨迹方程”有何异同？ 提示“轨迹”与“轨迹方程”是两个不同的概念： 求轨迹方程只要求出方 程即可；而求轨迹则应先求出轨迹方程，再说明轨迹的形状
