1、2.7.2抛物线的几何性质 学 习 任 务核 心 素 养 1了解抛物线的范围、对称性、顶点、焦点、准线 等几何性质(重点) 2会利用抛物线的性质解决一些简单的抛物线问 题(重点、难点) 3掌握直线与抛物线相交时与弦长相关的知识 通过对抛物线几何性 质的学习，培养直观想 象、数学运算素养 如果让抛物线绕其对称轴旋转，就得到一个旋转形成的抛物面曲面，旋转抛 物面的轴上，有一个焦点，任何一条平行于抛物面轴的光(射)线由抛物面上反射出 来之后，其反射光(射)线都通过该点，应用抛物面的这个几何性质，人们设计了很 多非常有用的东西，如太阳灶、卫星电视天线、雷达等当然这条性质本身也是 抛物线的一条性质，今天
2、我们就来具体研究一下构成抛物面的线抛物线的几 何性质 知识点 1抛物线的几何性质 标准方程 y22px (p0) y22px (p0) x22py (p0) x22py (p0) 图形 性 质 范围 x0， yR x0， yR xR， y0 xR， y0 对称轴x 轴y 轴 顶点(0，0) 离心率e1 1抛物线 x22py(p0)有几条对称轴？ 提示有一条对称轴 2抛物线的范围是 xR，这种说法正确吗？ 提示抛物线的方程不同， 其范围就不一样， 如 y22px(p0)的范围是 x0， yR，故此说法错误 3参数 p 对抛物线开口大小有何影响？ 提示参数 p(p0)对抛物线开口大小有影响，因为过
3、抛物线的焦点 F 且垂 直于对称轴的弦的长度是 2p，所以 p 越大，开口越大 1思考辨析(正确的打“”，错误的打“”) (1)抛物线是中心对称图形() (2)抛物线的范围为 xR() (3)抛物线关于顶点对称() (4)抛物线的标准方程虽然各不相同，但离心率都相同() 答案(1)(2)(3)(4) 提示(1)在抛物线中，以x 代 x，y 代 y，方程发生了变化 (2)抛物线的方程不同，其范围不同，y22px(p0)中 x0，yR (3) (4)离心率都为 1，正确 知识点 2焦点弦 设过抛物线焦点的弦的端点为 A(x1，y1)，B(x2，y2)，则 y22px(p0)|AB|x1x2p y2
4、2px(p0)|AB|p(x1x2) x22py(p0)|AB|y1y2p x22py(p0)|AB|p(y1y2) 拓展：焦点弦的几何性质 如图，已知 AB 是抛物线 y22px(p0)的焦点弦，点 F 是抛物线的焦点，设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，直线 AB 的倾斜角为，过 A，B 分别作准线 l 的垂线 AC， BD，垂足分别为 C，D，M(x0，y0)为 AB 的中点，MMCD 于点 M，N 为准线 l 与 x 轴的交点，可以证明以下结论： (1)A，O，D 三点共线，且 B，O，C 三点共线； (2)AMBM，CFDF，MFAB； (3)以 AB 为直径的圆与准线相切(切点
5、为 M)； 以 CD 为直径的圆与 AB 相切(切点为 F)， 以 AF 或 BF 为直径的圆与 y 轴相切； (4)ANFBNF； (5)|AF| p 1cos ，|BF| p 1cos ； (6)|AB|x1x2p2(x0p 2) 2p sin2； (7)y1y2p2，x1x2p 2 4 ，|y1y2| 2p sin ； (8)kOAkOB4，OA OB 3 4p 2； (9) 1 |AF| 1 |BF| 2 p； (10)SAOB p2 2sin ； (11)焦点弦长|AB|2p 1 1 k2AB 2过抛物线 y24x 的焦点作直线交抛物线于 A(x1，y1)，B(x2，y2)，若 x1
6、x26，则|AB|_ 8y24x，2p4，p2 由抛物线定义知：|AF|x11，|BF|x21， |AB|x1x2p628 类型 1由抛物线的几何性质求标准方程 【例 1】(1)(对接教材人教 B 版 P156例 1)顶点在原点，对称轴为 x 轴，且经 过点 P(4，2 3)的抛物线的标准方程是_ (2)抛物线的顶点在原点，对称轴重合于椭圆 9x24y236 短轴所在的直线， 抛物线焦点到顶点的距离为 3，求抛物线的方程及抛物线的准线方程 (1)y23x根据题意，设抛物线的标准方程为 y22px(p0)因为点 P(4， 2 3)在抛物线上，所以(2 3)22p4，解得 2p3故所求抛物线的标准
7、方程为 y23x (2)解椭圆的方程可化为x 2 4 y 2 9 1，其短轴在 x 轴上，抛物线的对称轴为 x 轴， 设抛物线的方程为 y22px 或 y22px(p0) 抛物线的焦点到顶点的距离为 3， 即p 23，p6， 抛物线的标准方程为 y212x 或 y212x， 其准线方程分别为 x3 和 x3 用待定系数法求抛物线方程的步骤是什么？ 提示 跟进训练 1已知抛物线关于 x 轴对称，它的顶点在坐标原点，其上一点 P 到准线及对 称轴距离分别为 10 和 6，求抛物线方程 解设抛物线方程为 y22ax(a0)，点 P(x0，y0) 因为点 P 到对称轴距离为 6，所以 y06， 因为点
8、 P 到准线距离为 10，所以|x 0a 2|10 因为点 P 在抛物线上，所以 362ax0 由，得 a2， x09 或 a18， x01 或 a18， x01 或 a2， x09. 所以所求抛物线方程为 y24x 或 y236x 类型 2抛物线性质的应用 【例 2】(1)抛物线 y24x 的焦点为 F，准线为 l，点 A 是抛物线上一点，且 AFO120(O 为坐标原点)，AKl，垂足为 K，则AKF 的面积是_ (2)已知正三角形 AOB 的一个顶点 O 位于坐标原点，另外两个顶点 A，B 在抛 物线 y22px(p0)上，求这个三角形的边长 (1)4 3如图，设 A(x0，y0)， 过
9、 A 作 AHx 轴于 H， 在 RtAFH 中，|FH|x01， 由AFO120，得AFH60， 故 y0|AH| 3(x01)， 所以 A 点的坐标为(x0， 3x01)， 将点 A 坐标代入抛物线方程可得 3x2010 x030， 解得 x03 或 x01 3(舍)，故 S AKF1 2(31)2 34 3 (2)解如图所示，设正三角形 OAB 的顶点 A，B 在抛物线上，且坐标分别 为 A(x1，y1)，B(x2，y2)，则 y212px1，y222px2 又|OA|OB|，所以 x21y21x22y22，即 x21x222px12px20， 整理得(x1x2)(x1x22p)0 x1
10、0，x20，2p0，x1x2，由此可得|y1|y2|， 即线段 AB 关于 x 轴对称 由此得AOx30，所以 y1 3 3 x1，与 y212px1联立， 解得 y12 3p|AB|2y14 3p 这个正三角形的边长为 4 3p 利用抛物线的性质可以解决哪些问题？ 提示(1)对称性：解决抛物线的内接三角形问题 (2)焦点、准线：解决与抛物线的定义有关的问题 (3)范围：解决与抛物线有关的最值问题 (4)焦点：解决焦点弦问题 跟进训练 2已知双曲线x 2 a2 y2 b21(a0，b0)的两条渐近线与抛物线 y 22px(p0)的 准线分别交于 A，B 两点，O 为坐标原点，若双曲线的离心率为
11、 2，AOB 的面积 为 3，求抛物线的标准方程 解由已知得c a2，所以 a2b2 a2 4，解得b a 3 即渐近线方程为 y 3x， 而抛物线准线方程为 xp 2， 于是 A p 2， 3 2 p ， B p 2， 3 2 p ，从而AOB 的面积为1 2 3p p 2 3 可得 p2，所以抛物线的标准方程为 y24x 类型 3焦点弦问题 【例 3】已知抛物线方程为 y22px(p0)，过此抛物线的焦点的直线与抛物 线交于 A，B 两点，且|AB|5 2p，求 AB 所在直线的方程 解决焦点弦问题需注意什么？ 提示要注意抛物线定义在其中的应用， 通过定义将焦点弦长度转化为端点 的坐标问题
12、，从而可借助根与系数的关系进行求解 解过焦点的弦长|AB|5 2p， 弦所在的直线的斜率存在且不为零， 设直线 AB 的斜率为 k，且 A(x1，y1)，B(x2，y2) y22px 的焦点为 F p 2，0 直线 AB 方程为 yk xp 2 由 yk xp 2 ， y22px， 整理得 k2x2(k2p2p)x1 4k 2p20(k0)， x1x2k 2p2p k2 ， |AB|x1x2pk 2p2p k2 p，又|AB|5 2p， k 2p2p k2 p5 2p，k2 所求直线方程为 y2 xp 2 或 y2 xp 2 1(改变问法)本例条件不变，求弦 AB 的中点 M 到 y 轴的距离
13、 解设 AB 中点为 M(x0，y0)， 由例题解答可知 2x0 x1x23 2p， 所以 AB 的中点 M 到 y 轴的距离为 3 4p 2(变换条件)本例中，若 A，B 在其准线上的射影分别为 A1，B1，求A1FB1 解由例题解析可知 AB 的方程为 yk xp 2 ， 即 x1 ky p 2， 代入 y22px 消 x 可得 y22p k yp2，即 y22p k yp20，y1y2p2， 由 A1点的坐标为 p 2，y 1 ，B1点的坐标为 p 2，y 2 ，得 kA1Fy1 p ，kB1Fy2 p kA1FkB1Fy1y2 p2 1，A1FB190 解决过焦点的直线与抛物线相交有关
14、的问题时，一是注意直线方程和抛物线 方程联立得方程组，再结合根与系数的关系解题，二是注意焦点弦长、焦半径公 式的应用.解题时注意整体代入思想的运用，简化运算. 跟进训练 3 过抛物线 y24x 的焦点 F 的直线交该抛物线于 A， B 两点， O 为坐标原点 若 |AF|3，则AOB 的面积为() A 2 2 B 2C3 2 2 D2 2 C法一：抛物线 y24x 的焦点为 F(1，0)，准线为 l：x1，由|AF|3 及 焦半径公式可得 A 点的横坐标为 2，代入抛物线方程，得 y2 2，不妨设 A(2， 2 2)，则直线 AB 的方程为 y2 2(x1)，与 y24x 联立，消去 y 得
15、2x25x2 0，解得 x12，x21 2，则可得 B 1 2， 2， 所以 SAOBSAOFSBOF1 21|2 2( 2)| 3 2 2 法二：设AFx(0)，|BF|m，则点 A 到准线 l：x1 的距离为 3， 即 323cos ，则 cos 1 3 又 m2mcos ，则 m 2 1cos 3 2， 所以AOB 的面积为 S1 2|OF|AB|sin 1 21 33 2 2 2 3 3 2 2 1若抛物线 y22x 上有两点 A，B 且 AB 垂直于 x 轴，若|AB|2 2，则抛物 线的焦点到直线 AB 的距离为() A1 2 B1 4 C1 6 D1 8 AAB 所在的直线方程为
16、 x1，抛物线的焦点坐标为 1 2，0，则焦点到直线 AB 的距离为 11 2 1 2 2在抛物线 y216x 上到顶点与到焦点距离相等的点的坐标为() A(4 2，2)B(4 2，2) C(2，4 2)D(2，4 2) D抛物线 y216x 的顶点 O(0，0)，焦点 F(4，0)，设 P(x，y)符合题意，则 有 y216x， x2y2x42y2 y216x， x2 x2， y4 2. 所以符合题意的点为(2，4 2) 3 设 O 为坐标原点， F 为抛物线 y24x 的焦点， A 是抛物线上一点， 若OA AF 4，则点 A 的坐标是() A(2，2 2)B(1，2) C(1，2)D(2
17、，2 2) B由题意知 F(1，0)，设 A y20 4 ，y0 ，则OA y20 4 ，y0 ，AF 1y 2 0 4 ，y0 ， 由OA AF 4 得 y02，点 A 的坐标为(1，2)，故选 B 4已知 AB 是过抛物线 2x2y 的焦点的弦，若|AB|4，则 AB 的中点的纵坐 标是_ 15 8 设 A(x1，y1)，B(x2，y2)， 由抛物线 2x2y，可得 p1 4|AB|y 1y2p4， y1y241 4 15 4 ，故 AB 的中点的纵坐标是y1y2 2 15 8 5以抛物线 C 的顶点为圆心的圆交 C 于 A，B 两点，交 C 的准线于 D，E 两 点已知|AB|4 2，|
18、DE|2 5，则 C 的焦点到准线的距离为_ 4由题意，不妨设抛物线方程为 y22px(p0)，由|AB|4 2，|DE|2 5， 可取 A 4 p，2 2，D p 2， 5，设 O 为坐标原点，由|OA|OD|，得16 p28 p2 4 5， 解得 p4 回顾本节知识，自我完成以下问题： 1如何理解抛物线的几何性质？ 提示(1)抛物线只位于半个坐标平面内，虽然它也可以无限延伸，但没有渐 近线； (2)抛物线只有一条对称轴，没有对称中心； (3)抛物线只有一个顶点，一个焦点，一条准线； (4)抛物线的离心率 e 是确定的，为 1； (5)抛物线的通径为 2p，2p 越大，抛物线的张口越大 2怎样根据抛物线的标准方程判断抛物线的对称轴和开口方向？ 提示一次项的变量若为 x(或 y)，则 x 轴(或 y 轴)是抛物线的对称轴 一次项系数的符号决定开口方向 如果 y 是一次项，负时向下，正时向上 如果 x 是一次项，负时向左，正时向右
