1、章末综合测评(二)平面解析几何 (时间：120 分钟满分：150 分) 一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分，在每小题给出的四个选 项中，只有一项是符合题目要求的 1若直线 l1：ax2y60 与直线 l2：x(a1)y50 垂直，则实数 a 的 值是() A2 3 B1 C1 2 D2 A直线 l1：ax2y60 与直线 l2：x(a1)y50 垂直， 则 a12(a1)0， 解得 a2 3 2若直线 l 与直线 y1，x7 分别交于 P，Q，且线段 PQ 的中点坐标为(1， 1)，则直线 l 的斜率为() A1 3 B1 3 C3D3 B设 P(a，1)，Q(7，b)
2、，则有 a72， b12. a5， b3， 故直线 l 的斜率为31 75 1 3 3若双曲线x 2 a2 y2 b21 的一条渐近线经过点(3，4)，则此双曲线的离心率为 () A 7 3 B5 4 C4 3 D5 3 D由已知可得双曲线的渐近线方程为 yb ax， 点(3， 4)在双曲线的一条 渐近线上，b a 4 3，又 a 2b2c2，c2a216 9 a225 9 a2，ec a 5 3 4若圆 C1：(x1)2(y1)21 与圆 C2：(x2)2(y3)2r2外切，则正数 r 的值是() A2B3C4D6 C圆 C1：(x1)2(y1)21，圆 C2：(x2)2(y3)2r2， C
3、1坐标为(1，1)，半径为 1，C2坐标为(2，3)，半径为 r， |C1C2|r1r2 122132r1r4 5已知圆 C 与直线 xy30 相切，直线 mxy10 始终平分圆 C 的面 积，则圆 C 的方程为() Ax2y22y2Bx2y22y2 Cx2y22y1Dx2y22y1 D直线 mxy10 始终平分圆 C 的面积， 直线 mxy10 始终过圆 C 的圆心(0，1) 又圆 C 与直线 xy30 相切， 圆 C 的半径 r|13| 2 2 圆 C 的方程为 x2(y1)22，即 x2y22y1故选 D 6已知点 P 为双曲线x 2 16 y2 9 1 右支上一点，点 F1，F2分别为
4、双曲线的左、 右焦点，M 为PF1F2的内心若 S PMF1 S PMF2 8，则MF1F2的面积为() A2 7B10C8D6 B由题意知，a4，b3，c5又由双曲线的定义可知|PF1|PF2|2a 8设PF1F2的内切圆的半径为 RS PMF1 S PMF2 8，1 2(|PF 1|PF2|)R 8，即 4R8，R2，S MF1F2 1 22cR10故选 B 7唐代诗人李颀的诗古从军行开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮 马傍交河”诗中隐含着一个有趣的数学问题“将军饮马”，即将军在观望 烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回到军营，怎样走才能使总路程 最短？在平面直角坐标系中，设军营
5、所在区域为 x2y21，若将军从点 A(2，0) 处出发，河岸线所在直线方程为 xy3，并假定将军只要到达军营所在区域即回 到军营，则“将军饮马”的最短总路程为() A 101B2 21C2 2D 10 A设点 A 关于直线 xy3 的对称点 A(a，b)， AA的中点为 a2 2 ，b 2 ， kAA b a2， 故 b a211， a2 2 b 23， 解得 a3， b1， 要使从点 A 到军营总路程最短，即为点 A到军营最短的距离， “将军饮马”的最短总路程为 32121 101，故选 A 8已知椭圆x 2 a2 y2 b21(ab0)的左、右焦点分别为 F 1，F2，过 F2的直线与
6、椭圆交于 A，B 两点，若F1AB 是以 A 为直角顶点的等腰直角三角形，则椭圆的 离心率为() A 2 2 B2 3C 52D 6 3 D设|F1F2|2c， |AF1|m， 若ABF1是以 A 为直角顶点的等腰直角三角形， 则|AB|AF1|m，|BF1| 2m 由椭圆的定义可得ABF1的周长为4a， 即有4a2m 2m， 即m(42 2)a， 则|AF2|2am(2 22)a 在 RtAF1F2中，|F1F2|2|AF1|2|AF2|2，即 4c24(2 2)2a24( 21)2a2， 即 c2(96 2)a2，即 c( 6 3)a，即 ec a 6 3 二、选择题：本题共 4 小题，每
7、小题 5 分，共 20 分，在每小题给出的选项中， 有多项符合题目要求全部选对的得 5 分，部分选对的得 3 分，有选错的得 0 分 9 已知平面上一点 M(5， 0)， 若直线上存在点 P 使|PM|4， 则称该直线为“切 割型直线”下列直线中是“切割型直线”的是() Ayx1By2 Cy4 3x Dy2x1 BC对于 A，d1|501| 2 3 24；对于 B，d224，所以符合条件的有 BC 10已知圆 O：x2y24 和圆 C：(x2)2(y3)21现给出如下结论，其 中正确的是() A圆 O 与圆 C 有四条公切线 B过 C 且在两坐标轴上截距相等的直线方程为 xy5 或 xy10
8、C过 C 且与圆 O 相切的直线方程为 9x16y300 DP，Q 分别为圆 O 和圆 C 上的动点，则|PQ|的最大值为 133，最小值为 133 AD由题意可得，圆 O：x2y24 的圆心为 O(0，0)，半径 r12， 圆 C：(x2)2(y3)21 的圆心 C(2，3)，半径 r21，因为两圆圆心距|OC| 13r1r221，所以两圆相离，有四条公切线，A 正确； 截距相等可以过原点或斜率只能为1，B 不正确；过圆外一点与圆相切的直 线有两条，C 不正确；|PQ|的最大值等于|OC|r1r2，最小值为|OC|r1r2，D 正确 故选 AD 11已知双曲线 C 过点(3， 2)，且渐近线
9、方程为 y 3 3 x，则下列结论正确 的是() A双曲线 C 的方程为x 2 3 y21 B双曲线 C 的离心率为 3 C曲线 yex 21 经过双曲线 C 的一个焦点 D直线 x 2y10 与双曲线 C 有两个公共点 AC对于选项 A，由双曲线 C 的渐近线方程 y 3 3 x，可得 y21 3x 2，从而 设所求双曲线方程为 1 3x 2y2，又由双曲线 C 过点(3， 2)，所以1 33 2( 2)2 ，解得1，故正确； 对于选项 B，由双曲线方程可知 a 3，b1，c2，所以离心率 ec a 2 3 2 3 3 ，故错误； 对于选项 C，双曲线的右焦点坐标为(2，0)，满足 yex
10、21，故正确； 对于选项 D， 联立 x 2y10， x2 3 y21， 整理得 y22 2y20， 由(2 2)2 4120，且直线斜率大于渐近线斜率，知直线与双曲线 C 只有一个公共点， 故错误 12把方程x|x| 16 y|y| 9 1 的曲线作为函数 yf(x)的图像，则下列结论正确的 是() A函数 yf(x)的图像不经过第一象限 B函数 f(x)在 R 上单调递增 C函数 yf(x)的图像上的点到坐标原点的距离的最小值为 3 D函数 g(x)4f(x)3x 不存在零点 ACD由方程x|x| 16 y|y| 9 1 可知，当 x0 时，y0，这时有y 2 9 x 2 161；当 4x
11、0 时，y0，这时有x 2 16 y2 9 1；当 x4 时，y0，这时有x 2 16 y2 9 1根 据以上讨论，作出函数 yf(x)的图像如图所示 从图中可以看出，函数 yf(x)的图像不经过第一象限，且 f(x)在 R 上单调递 减，故 A 正确，B 错误；由图可知函数 yf(x)的图像上的点到坐标原点的距离的 最小值为 3，故 C 正确；因为双曲线y 2 9 x 2 161 和 x2 16 y2 9 1 的渐近线方程均为 y 3 4x，所以函数 yf(x)的图像与直线 y 3 4x 没有交点，所以方程 f(x) 3 4x 没有 实数解，即函数 g(x)4f(x)3x 不存在零点，故 D
12、 正确故选 ACD 三、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分把答案填在题中横线上 13圆 x2y2ax2y10 关于直线 xy1 对称的圆的方程为 x2y21， 则实数 a 的值为_ 2圆的方程可化为 xa 2 2 (y1)2a 2 4 ，表示以 A a 2，1为圆心，以| a 2| 为半径的圆， 关于直线 xy1 对称的圆 x2y21 的圆心为(0， 0)， 故有10 a 20 1 1，得 a2 14 已知椭圆 C： x2 a2 y2 b21(ab0)的左、 右焦点分别为 F 1， F2， 离心率为 3 3 ， 过 F2的直线 l 交椭圆 C 于 A，B 两点，若AF1B
13、的周长为 4 3，则椭圆 C 的方程 为_ x2 3 y 2 2 1由椭圆的定义，可知AF1B 的周长为|AF1|BF1|AB|AF1| |BF1|AF2|BF2|4a4 3，解得 a 3又离心率c a 3 3 ，所以 c1由 a2 b2c2，得 b 2，所以椭圆 C 的方程为x 2 3 y 2 2 1 15数学家欧拉于 1765 年在他的著作三角形的几何学中首次提出定理： 三角形的外心(三边中垂线的交点)、重心(三边中线的交点)、垂心(三边高的交点) 依次位于同一直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半，这条直线 被后人称之为三角形的欧拉线已知ABC 的顶点为 A(0，0)，B(5，
14、0)，C(2，4)， 则该三角形的欧拉线方程为_ x2y50因为ABC 的顶点为 A(0，0)，B(5，0)，C(2，4)，所以重心 G 7 3， 4 3 ， 设 ABC 的 外 心 为 W 5 2，a， 则 |OW| |WC| ， 即 5 2 2 a2 5 22 2 a42，解得 a5 4，所以 W 5 2， 5 4 所以该三角形的欧拉线方程为 y 4 3 4 3 5 4 7 3 5 2 x7 3 ，即 x2y50 16双曲线x 2 a2 y2 b21(a0，b0)的渐近线为正方形 OABC 的边 OA，OC 所 在的直线，点 B 为该双曲线的焦点，若正方形 OABC 的边长为 2，则双曲线
15、方程 为_，离心率为_(本题第一空 2 分，第二空 3 分) x2 4 y 2 4 12双曲线x 2 a2 y2 b21 的渐近线方程为 y b ax，由题意知两条渐 近线互相垂直，由双曲线的对称性可知b a1，又正方形 OABC 的边长为 2，所以 c 2 2，由 a2b2c2可得 2a2(2 2)2，解得 a2b2， 双曲线方程为x 2 4 y 2 4 1，离心率为 ec a 2 四、解答题：本题共 6 小题，共 70 分解答时应写出文字说明、证明过程或 演算步骤 17(本小题满分 10 分)已知直线 l1：axby40 和 l2：(a1)xyb0， 求满足下列条件的 a，b 的值 (1)
16、l1l2，且直线 l1过点(3，1)； (2)l1l2且坐标原点到这两条直线的距离相等 解(1)l1l2，a(a1)b0 又直线 l1过点(3，1)，3ab40 由得 a2， b2. (2)直线 l2的斜率存在，l1l2， 直线 l1的斜率存在，且a b1a 又坐标原点到这两条直线的距离相等， l1，l2在 y 轴上的截距互为相反数，即4 bb 由得 a2， b2 或 a2 3， b2. 18(本小题满分 12 分)在经过直线 l1：x2y0 与直线 l2：2xy10 的 交点圆心在直线 2xy0 上被 y 轴截得弦长|AB|2 2；这三个条件中任 选一个，补充在下面问题中，若问题中的圆存在，
17、求圆的方程；若问题中圆不存 在，请说明理由问题：是否存在圆 Q，点 A(2，1)，B(1，1)均在圆上，且 圆 Q_？ 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分 解因为点 A(2，1)，B(1，1)均在圆上，所以圆心在直线 AB 的垂直 平分线上，又直线 AB 的方程为 y1，直线 AB 的垂直平分线所在直线方程为： x21 2 1 2，则可设圆心坐标为 1 2，b，设圆的半径为 r 若选，由 x2y0， 2xy10， 解得 x2 5， y1 5， 即直线 l1和 l2的交点为 2 5， 1 5 ， 则圆过点 2 5， 1 5 ，所以 r2 1 2 2 5 2 b1 5 2 1 21 2
18、 (b1)2，解得 b1， 则 r29 4，即存在圆 Q，且圆 Q 的方程为 x1 2 2 (y1)29 4 若选，由圆心在直线 2xy0 上可得 2 1 2 b0，则 b1， 所以 r2 1 21 2 (11)29 4， 即存在圆 Q，且圆 Q 的方程为 x1 2 2 (y1)29 4 若选， 圆被 y 轴截得弦长|AB|2 2， 根据圆的性质可得， r2 1 2 2 |AB| 2 2 9 4， 由 r2 1 21 2 (b1)29 4，解得 b1， 即存在圆 Q，且圆 Q 的方程为 x1 2 2 (y1)29 4 所以，存在圆 Q，且圆 Q 的方程为 x1 2 2 (y1)29 4 19(
19、本小题满分 12 分)已知抛物线的顶点在坐标原点，焦点在 x 轴的正半轴 上，直线 xy10 与抛物线交于 A，B 两点，且|AB|8 6 11 (1)求抛物线的方程； (2)在 x 轴上是否存在一点 C，使ABC 为正三角形？若存在，求出点 C 的坐 标；若不存在，请说明理由 解(1)由题意，设所求抛物线的方程为 y22px(p0) 由 y22px， xy10， 消去 y，得 x22(1p)x10 设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，则 x1x22(1p)，x1x21 |AB|8 6 11 ， 即 112x1x224x1x28 6 11 ， 121p2242p480， 解得 p 2 11
20、或 p 24 11(舍去)， 抛物线的方程为 y2 4 11x (2)设 AB 的中点为点 D，则 D 13 11， 2 11 假设在 x 轴上存在满足条件的点 C(x0，0)，连接 CD ABC 为正三角形， CDAB，即 0 2 11 x013 11 (1)1， 解得 x015 11，C 15 11，0， |CD| 15 11 13 11 2 0 2 11 2 2 2 11 又|CD| 3 2 |AB|12 2 11 2 2 11 ， 矛盾，不符合题目条件， 在 x 轴上不存在一点 C，使ABC 为正三角形 20 (本小题满分 12 分)在直角坐标系 xOy 中， 直线 l： yt(t0)
21、交 y 轴于点 M， 交抛物线 C：y22px(p0)于点 P，M 关于点 P 的对称点为 N，连接 ON 并延长交 C 于点 H (1)求|OH| |ON|； (2)除 H 以外，直线 MH 与 C 是否有其他公共点？说明理由 解(1)由已知得 M(0，t)，P t2 2p，t 又点 N 为点 M 关于点 P 的对称点，故 N t2 p，t，直线 ON 的方程为 yp t x，代 入 y22px，整理得 px22t2x0，解得 x0 或 x2t 2 p 因此 H 2t2 p ，2t 所以 N 为 OH 的中点，即|OH| |ON|2 (2)直线 MH 与 C 除 H 以外没有其他公共点理由如
22、下： 直线 MH 的方程为 yt p 2tx， 即 x 2t p (yt) 代入 y22px 得 y24ty4t20， 解得 y2t，即直线 MH 与 C 只有一个公共点，所以除 H 以外直线 MH 与 C 没有 其他公共点 21(本小题满分 12 分)已知半径为 5 的圆的圆心在 x 轴上，圆心的横坐标是 整数，且与直线 4x3y290 相切 (1)求圆的方程； (2)若直线 axy50(a0)与圆相交于 A，B 两点，是否存在实数 a，使得 过点 P(2，4)的直线 l 垂直平分弦 AB？若存在，求出实数 a 的值；若不存在，请 说明理由 解(1)设圆心坐标为 M(m，0)(mZ)， 由于
23、圆与直线 4x3y290 相切，且圆的半径为 5， 所以|4m29| 5 5，即|4m29|25， 即 4m2925 或 4m2925， 解得 m27 2 或 m1 因为 m 为整数，故 m1， 故所求圆的方程为(x1)2y225 (2)设符合条件的实数 a 存在， 因为 a0，则直线 l 的斜率为1 a，所以直线 l 的方程为 y 1 a(x2)4， 即 xay24a0 由于直线 l 垂直平分弦 AB，故圆心 M(1，0)必在直线 l 上， 所以 1024a0，解得 a3 4 经检验，当 a3 4时，直线 axy50 与圆有两个交点， 故存在实数 a3 4，使得过点 P(2，4)的直线 l
24、垂直平分弦 AB 22 (本小题满分 12 分)设斜率不为 0 的直线 l 与抛物线 x24y 交于 A， B 两点， 与椭圆x 2 6 y 2 4 1 交于 C，D 两点，记直线 OA，OB，OC，OD 的斜率分别为 k1， k2，k3，k4 (1)若直线 l 过(0，4)，证明：OAOB； (2)求证：k 1k2 k3k4的值与直线 l 的斜率的大小无关 证明(1)设直线方程为 ykx4，A(x1，y1)，B(x2，y2)， 由 x214y1，x224y2，两式相乘可得(x1x2)216y1y2， 由 ykx4， x24y， 可得 x24kx160， 则 x1x216，y1y216，x1x
25、2y1y20， 即OA OB 0，OAOB (2)设直线 ykxm，A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)，D(x4，y4)， 由 ykxm， x24y， 可得 x24kx4m0，x1x24k，x1x24m， k1k2y1 x1 y2 x2 x1 4 x2 4 k 联立 ykxm 和椭圆 2x23y212，可得(23k2)x26kmx3m2120， 36k2m24(23k2)(3m212)0，即 46k2m2， x3x4 6km 23k2，x 3x43m 212 23k2 ， k3k4y3 x3 y4 x4 kx3m x3 kx4m x4 2km 1 x3 1 x42k mx3x4 x3x4 2k 6km2 3m212 8k m24， 则k1k2 k3k4 m24 8 与直线 l 的斜率的大小无关
