1、课后同步练习(一)空间向量及其运算 (建议用时：40 分钟) 一、选择题 1已知 abc0，|a|2，|b|3，|c|4则 a 与 b 的夹角a，b() A30B45 C60D以上都不对 Dabc0，abc，(ab)2|a|2|b|22ab|c|2， ab3 2，cosab ab |a|b| 1 4 2已知正方体 ABCDA1B1C1D1中，AC1的中点为 O，则下列结论中正确的是 () AOA OD 与OB1 OC1 是一对相等向量 BOB OC 与OA1 OD1 是一对相反向量 COA1 OA 与OC OC1 是一对相等向量 DOA OB OC OD 与OA1 OB1 OC1 OD1 是一
2、对相反向量 DA 中是一对相反向量；B 中是一对相等向量；C 中是一对相反向量；D 中 是一对相反向量，故 D 正确 3设三棱锥 OABC 中，OA a，OB b，OC c，G 是ABC 的重心，则OG 等于() AabcBabc C1 2(abc) D1 3(abc) D如图所示， OG OA AG OA 1 3(AB AC ) OA 1 3(OB OA OC OA )1 3(abc) 4如图，空间四边形 ABCD 的每条边和对角线的长都等于 1，F，G 分别是 AD，DC 的中点，则FG AB () A 3 4 B1 4 C1 2 D 3 2 B由题意可得FG 1 2AC ，FG AB 1
3、 211cos 60 1 4 5在空间四边形 OABC 中，OBOC，AOBAOC 3，则 cosOA ， BC 的值为() A1 2 B 2 2 C1 2 D0 D 如 图 所 示 ， OA BC OA ( OC OB ) OA OC OA OB |OA|OC |cosAOC|OA |OB|cosAOB0， OA BC ，OA ， BC 2，cosOA ， BC 0 二、填空题 6化简：1 2(a2b3c)5 2 3a 1 2b 2 3c_ 23 6 a3 2b 11 6 c原式1 2ab 3 2c 10 3 a5 2b 10 3 c23 6 a3 2b 11 6 c 7已知|a|3 2，|
4、b|4，mab，nab， a，b135，若 mn， 则_ 3 2 由 mn(ab)(ab)|a|2(1)ab|b|20，得 18( 1)3 24cos 135160，解得3 2 8已知向量 a，b，c 两两夹角都是 60，且|a|b|c|1，则|a2bc| _ 3|a2bc|2a24b2c24ab4bc2ac 1414cos 604cos 602cos 603， |a2bc| 3 三、解答题 9如图所示，在平行六面体 ABCDA1B1C1D1中，AB a，AD b，AA1 c， M 是 C1D1的中点，点 N 是 CA1上的点，且 CNNA141用 a，b，c 表示以下 向量： (1)AM ；
5、(2)AN 解(1)AM 1 2(AC 1 AD1 ) 1 2(AB AD AA1 )(AD AA1 ) 1 2(AB 2AD 2AA1 ) 1 2abc (2)AN AC CN AC 4 5(AA 1 AC ) 1 5AB 1 5AD 4 5AA 1 1 5a 1 5b 4 5c 10四棱柱 ABCDA1B1C1D1各棱长均为 1，A1ABA1ADBAD60， 求点 B 与点 D1两点间的距离 解四棱柱 ABCDA1B1C1D1各棱长均为 1， A1ABA1ADBAD60， BD1 BA AD DD1 ， BD1 2(BA AD DD1 )2 BA 2AD 2DD1 22BA AD 2BA
6、DD1 2AD DD1 111211cos 120211cos 120211cos 602， |BD1 | 2， 点 B 与点 D1两点间的距离为 2 1(多选题)已知 ABCDA1B1C1D1为正方体，则下列结论中正确的是() A(AA1 A1D1 A1B1 )23A1B1 2 BA1C (A1B1 A1A )0 C向量AD1 与向量A1B 的夹角为 60 D正方体 ABCDA1B1C1D1的体积为|AB AA1 AD | ABA 中，由AA1 A1D1 ，AA1 A1B1 ，A1D1 A1B1 ，得(AA1 A1D1 A1B1 )2 AA1 2A1D1 2A1B1 23A1B1 2，故 A
7、 正确B 中，连接 AB1(图略)，则A1B1 A1A AB1 ，由于AB1 A1C ，故 B 正确C 中，异面直线 A1B 与 AD1所成的角为 60，但 向量夹角为 120，故 C 不正确D 中，|AB AA1 AD |0，该正方体的体积应为 |AB |AA1 |AD |，故 D 不正确 2已知 e1，e2是夹角为 60的两个单位向量，则 ae1e2与 be12e2的夹 角是() A60B120C30D90 Bab(e1e2)(e12e2)e21e1e22e22 1111 22 3 2， |a| a2 e1e22 e212e1e2e22 111 3 |b| b2 e12e22 e214e1
8、e24e22 124 3 cosa，b ab |a|b| 3 2 3 1 2， a，b120 3已知空间向量 a，b，c 满足 abc0，|a|3，|b|1，|c|4，则 abbc ca 的值为_ 13abc0，(abc)20， a2b2c22(abbcca)0， abbcca3 21242 2 13 4如图，四面体 ABCD 的每条棱长都等于 2， 点 E，F 分别为棱 AB，AD 的 中点，则|AB BC |_，|BC EF |_ 23|AB BC |AC |2，EF 1 2BD ，BD BC 22cos 602， 故|BC EF |2|BC， 1 2BD | 2 BC 2BC BD 1
9、4BD 2421 443， 故|BC EF | 3 如图，正四面体 VABC 的高 VD 的中点为 O，VC 的中点为 M (1)求证：AO BO ； (2)求DM ， AO 解(1)证明：设VA a，VB b，VC c，正四面体的棱长为 1， 则 abacbc1 2，VD 1 3(abc)，AO VO VA 1 2VD VA 1 6(bc 5a)，BO VO VB 1 2VD VB 1 6(ac5b) 所以AO BO 1 36(bc5a)(ac5b) 1 36(18ab9|a| 2)1 36 181 290， 所以AO BO (2)DM DV VM 1 3(abc) 1 2c 1 6(2a2bc)， 所以|DM | 1 62a2bc 2 1 2 又|AO | 1 6bc5a 2 2 2 ， DM AO 1 6(2a2bc) 1 6(bc5a) 1 4， 所以 cosDM ， AO 1 4 1 2 2 2 2 2 又DM ， AO 0，所以DM ， AO 4
