1、课后同步练习(十三)点到直线的距离 (建议用时：40 分钟) 一、选择题 1 点 P 在 x 轴上， 且到直线 3x4y60 的距离为 6， 则点 P 的坐标为() A(8，0)B(12，0) C(8，0)或(12，0)D(8，0)或(12，0) C设点 P 的坐标为(x，0)，则根据点到直线的距离公式可得|3x406| 3242 6， 解得 x8 或 x12 所以点 P 的坐标为(8，0)或(12，0) 2已知直线 l1：2xyn0，l2：4xmy40 互相平行，且 l1，l2之间的 距离为3 5 5 ，则 mn() A3 或 3B2 或 4 C1 或 5D2 或 2 A由 2m40，解得
2、m2满足 l1l2 l2的方程为 2xy20，有|n2| 5 3 5 5 ， 则|n2|3， 解得 n1 或5， 故 mn3 3若点 P(x，y)在直线 xy40 上，O 为原点，则|OP|的最小值为() A 10B2 2C 6D2 B|OP|的最小值即为点 O 到直线 xy40 的距离，由点到直线的距离公 式得 d |4| 12122 2 4直线 2x3y60 关于点(1，1)对称的直线方程是() A3x2y60B2x3y70 C3x2y120D2x3y80 D设所求直线的方程为 2x3yC0，由题意知|236| 2232 |23C| 2232 ， c8 或 c6(舍去)，故所求直线的方程为
3、 2x3y80 5已知点 A(0，2)，B(2，0)，若点 C 在函数 yx2的图像上，则使得ABC 的面积为 2 的点 C 的个数为() A4B3C2D1 A由题意可得|AB|2 2，直线 AB 的方程为 xy20 因为ABC 的面积为 2， 所以 AB 边上的高 h 满足方程1 22 2h2， 得 h 2 设点 C(t，t2)，则由点到直线的距离公式得 2|tt 22| 2 ，即|t2t2|2，则 t2t40 或 t2t0，这两个方程共有 4 个不相等的实数根，故满足题意的点 C 有 4 个 二、填空题 6P，Q 分别为 3x4y120 与 6x8y50 上一点，则|PQ|的最小值为 _
4、29 10 |PQ|的最小值即为两平行直线的距离 d| 125 2| 3242 29 10 7过点 A(3，1)的直线中，与原点距离最远的直线方程为_ 3xy100设原点为 O， 则所求直线过点 A(3， 1)且与 OA 垂直， 又 kOA 1 3，所求直线的斜率为 3，故其方程为 y13(x3)，即 3xy100 8已知 xy30，则 x22y12的最小值为_ 2设 P(x，y)，A(2，1)， 则点 P 在直线 xy30 上， 且 x22y12|PA| |PA|的最小值为点 A(2，1)到直线 xy30 的距离 d|213| 1212 2 三、解答题 9已知直线 l1和 l2的方程分别为
5、7x8y90，7x8y30，直线 l 平行 于 l1，直线 l 与 l1的距离为 d1，与 l2的距离为 d2，且d1 d2 1 2，求直线 l 的方程 解由题意知 l1l2，故 l1l2l 设 l 的方程为 7x8yC0， 则 2 |C9| 7282 |C3| 7282 ， 解得 c21 或 c5 直线 l 的方程为 7x8y210 或 7x8y50 10已知直线 l1：ax3y10，l2：x(a2)ya0 (1)若 l1l2，求实数 a 的值； (2)当 l1l2时，求直线 l1与 l2之间的距离 解(1)由 l1l2知，a3(a2)0，解得 a3 2 (2)当 l1l2时，有 aa230
6、， 3aa20， 解得 a3 l1：3x3y10，l2：xy30，即 3x3y90，则直线 l1与 l2之间的 距离 d |91| 3232 4 2 3 1(多选题)两平行线分别经过点 A(5，0)，B(0，12)，它们之间的距离可能是 () A2B10C13D15 ABC当两平行线与 AB 垂直时，两平行线间的距离最大，为|AB|13，所以 0d13 2已知点 A 在直线 x2y10 上，点 B 在直线 x2y30 上，线段 AB 的中点为 P(x0，y0)，且满足 y0 x02，则y0 x0的取值范围为( ) A 1 2， 1 5B ，1 5 C 1 5，0D 1 2，0 A设 A(x1，
7、y1)，y0 x0k，则 y 0kx0，AB 的中点为 P(x0，y0)， B(2x0 x1， 2y0y1)，A，B 分别在直线 x2y10 和 x2y30 上， x12y110，2x0 x12(2y0y1)30， 2x04y020，即 x02y010 y0kx0，x02kx010，即 x0 1 12k， 又 y0 x02，kx0 x02，即(k1)x02， 所以(k1) 1 12k 2，即 5k1 2k10，解得 1 2k 1 5，故选 A 3点(5，2)到直线(m1)x(2m1)ym5 的距离的最大值为_ 2 13化直线(m1)x(2m1)ym5 为 m(x2y1)xy50 联立 x2y1
8、0， xy50， 解得 x9， y4， 直线(m1)x(2m1)ym5 过定点(9，4)， 点 (5 ， 2) 到 直 线 (m 1)x (2m 1)y m 5 的 距 离 的 最 大 值 为 5922422 13 4已知点 P(a，b)在线段 AB 上运动，其中 A(1，0)，B(0，1)则(a2)2(b 2)2的取值范围是_ 25 2 ，13 由(a2)2(b2)2联想两点间的距离公式，设 Q(2，2)，又 P(a，b)， 则|PQ| a22b22， 于是问题转化为求|PQ|2的最大值、最小值 如图所示，当 P 与 A 或 B 重合时，|PQ|取得最大值，即 212202 13， 当 PQ
9、AB 时，|PQ|取得最小值，此时|PQ|为 Q 点到直线 AB 的距离，由 A， B 两点坐标可得直线 AB 的方程为 xy10 则 Q 点到直线 AB 的距离 d|221| 1212 5 2 5 2 2 ， 25 2 (a2)2(b2)213 已知三条直线 l1：2xya0(a0)，l2：4x2y10，l3：xy10， 且 l1与 l2之间的距离为7 5 10 (1)求 a 的值； (2)是否存在一点 P，使得点 P 同时满足下列三个条件： P 是第一象限的点；点 P 到 l1的距离是点 P 到 l2的距离的1 2；点 P 到 l 1 的距离与点 P 到 l3的距离之比是 2 5若存在，求
10、出点 P 的坐标；若不存在， 请说明理由 解(1)直线 l2可化为 2xy1 20，则 l 1l2，所以 l1与 l2之间的距离 d |a 1 2| 2212 7 5 10 ，则|a 1 2|7 2，又 a0，故 a3 (2)假设存在这样的点 P(x0，y0)同时满足条件 若点 P 满足条件，则点 P 在与 l1，l2平行的直线 l：2xyC0(C3 且 C1 2)上，且 |C3| 5 1 2| C1 2| 5 ，解得 C13 2 或 C11 6 所以 l：2xy13 2 0 或 2xy11 6 0 若点 P 满足条件，由点到直线的距离公式有|2x 0y03| 5 2 5 |x0y01| 2 ， 即|2x0y03|x0y01|， 所以 x02y040 或 3x020 由条件，点 P 在第一象限，所以 3x020 不合题意，舍去 联立方程得 2x0y013 2 0， x02y040， 解得 x03， y01 2， 不合题意，舍去 联立方程得 2x0y011 6 0， x02y040， 解得 x01 9， y037 18， 满足题意 故存在点 P 1 9， 37 18 同时满足题中三个条件
