1、课后同步练习(二十二)双曲线的几何性质 (建议用时：40 分钟) 一、选择题 1若双曲线x 2 a2 y2 b21(a0，b0)的焦点到其渐近线的距离等于实轴长，则该 双曲线的离心率为() A 5B5C 2D2 A由题意得 b2a，又 a2b2c2， 5a2c2 e2c 2 a25，e 5 2某双曲线的一条渐近线方程为 y3 2x，且焦点为(0， 26)，则该双曲线的 方程是() Ax 2 6 y 2 4 1By 2 6 x 2 4 1 Cx 2 18 y2 8 1Dy 2 18 x2 8 1 D因为双曲线的一条渐近线方程为 y3 2x，且焦点为(0， 26)， 所以可设双曲线的方程为y 2
2、9 x 2 4 (0)，则 9426，2， 所以该双曲线方程为y 2 18 x2 8 1故选 D 3如图，双曲线 C：x 2 9 y 2 101 的左焦点为 F 1，双曲线上的点 P1与 P2关于 y 轴对称，则|P2F1|P1F1|的值是() A3B4 C6D8 C设 F2为右焦点，连接 P2F2(图略)，由双曲线的对称性，知|P1F1|P2F2|， |P2F1|P1F1|P2F1|P2F2|236 4若双曲线x 2 9 y 2 m1 的渐近线的方程为 y 5 3 x，则双曲线焦点 F 到渐近线 的距离为() A 5B 14C2D2 5 Aa3，b m， m 3 5 3 ，m5， c a2b
3、2 14， 一个焦点的坐标为( 14，0)，到渐近线的距离 d| 5 1430| 59 5 5(多选题)已知在等边三角形 ABC 中，D，E 分别是 CA，CB 的中点，以 A， B 为焦点且过 D，E 的椭圆和双曲线的离心率分别为 e1，e2，则下列关于 e1，e2的 关系式正确的是() Ae2e12Be2e12 Ce1e22De2 e12 3 BCD设ABC 的边长为 2由题意，可求得椭圆的离心率 e1 31，双 曲线的离心率 e2 31，所以 e1e22 3，e1e22，e2e12，e2 e12 3故 选 BCD 二、填空题 6已知点(2，3)在双曲线 C：x 2 a2 y2 b21(a
4、0，b0)上，C 的焦距为 4，则它 的离心率为_ 2根据点(2，3)在双曲线上，可以很容易建立一个关于 a，b 的等式，即 4 a2 9 b21，考虑到焦距为 4，可得到一个关于 c 的等式，2c4，即 c2再加上 a 2 b2c2，可以解出 a1，b 3，c2，所以离心率 e2 7与椭圆x 2 9 y 2 251 共焦点，离心率之和为 14 5 的双曲线标准方程为_ y2 4 x 2 121 椭圆的焦点是(0，4)，(0，4)， c4，e4 5， 双曲线的离心率等于14 5 4 52， 4 a2，a2 b2422212 双曲线的标准方程为y 2 4 x 2 121 8已知双曲线 C：x 2
5、 3 y21，O 为坐标原点，F 为 C 的右焦点，过 F 的直线 与 C 的两条渐近线的交点分别为 M，N若OMN 为直角三角形，则|MN| _ 3因为双曲线x 2 3 y21 的渐近线方程为 y 3 3 x， 所以渐近线夹角为 60 不 妨设过点 F 的直线与直线 y 3 3 x 交于点 M，由OMN 为直角三角形，不妨设 OMN90，则MFO60，又直线 MN 过点 F(2，0)，所以直线 MN 的方程为 y 3(x2)， 由 y 3x2， y 3 3 x， 得 x3 2， y 3 2 ， 所以 M 3 2， 3 2 ， 所以|OM| 3 2 2 3 2 2 3， 所以|MN| 3|OM
6、|3 三、解答题 9已知双曲线的一条渐近线为 x 3y0，且与椭圆 x24y264 有相同的焦 距，求双曲线的标准方程 解椭圆方程为x 2 64 y2 161， 椭圆的焦距为 8 3 当双曲线的焦点在 x 轴上时，设双曲线方程为x 2 a2 y2 b21(a0，b0)， a2b248， b a 3 3 ， 解得 a236， b212. 双曲线的标准方程为x 2 36 y2 121 当双曲线的焦点在 y 轴上时，设双曲线方程为y 2 a2 x2 b21(a0，b0)， a2b248， a b 3 3 ， 解得 a212， b236. 双曲线的标准方程为y 2 12 x2 361 由可知，双曲线的
7、标准方程为x 2 36 y2 121 或 y2 12 x2 361 10已知 P 是以 F1，F2为焦点的双曲线 C：x 2 a2 y2 b21(a0，b0)上的一点， 且PF1 PF2 0，|PF1 |2|PF2 | (1)求双曲线的离心率 e； (2)过点 P 作直线分别与双曲线的两渐近线相交于 P1，P2两点，若OP1 OP2 27 4 (O 为坐标原点)，2PP1 PP2 0，求双曲线的标准方程 解(1)不妨设点 P 在第一象限 |PF1 |2|PF2 |，|PF1 |PF2 |2a， |PF1 |4a，|PF2 |2a PF1 PF2 0，(4a)2(2a)2(2c)2， ec a
8、5 (2)由(1)知双曲线的方程为x 2 a2 y2 4a21，则渐近线的方程为 y2x 不妨设 P1(x1，2x1)，P2(x2，2x2)，P(x，y)， OP1 OP2 3x1x227 4 ，x1x29 4 2PP1 PP2 0， x2x1x2 3 ， y22x1x2 3 . 点 P 在双曲线上，2x1x2 2 9a2 2x1x2 2 9a2 1， 化简，得 x1x29a 2 8 ， 9a 2 8 9 4，a 22， 双曲线的标准方程为x 2 2 y 2 8 1 1(多选题)已知双曲线 C： x2 a2 y2 b21(a0，b0)，右顶点为 A，以 A 为圆心， b 为半径作圆 A，圆 A
9、 与双曲线 C 的一条渐近线交于 M，N 两点，若MAN60， 则有() A渐近线方程为 y 3 3 x B离心率 e3 2 2 C离心率 e2 3 3 D渐近线方程为 y 3x AC由已知，可令 M，N 所在的渐近线方程为 yb ax，由MAN60，知 MAN 为等边三角形， 则A(a， 0)到渐近线yb ax 的距离为 3 2 b， 所以 |ab0| a2b2 3 2 b， 即a c 3 2 ， 故双曲线的离心率 ec a 2 3 3 由c a 2 3 3 ， 可得b a c2a2 a2 e21 3 3 ，故渐近线方程为 y 3 3 x 2设 F1，F2分别是双曲线x 2 a2 y2 b2
10、1(a0，b0)的左、右焦点，若双曲线右 支上存在一点 P 满足|PF2|F1F2|，且 cosPF1F24 5，则双曲线的渐近线方程为 () A3x4y0B4x3y0 C3x5y0D5x4y0 B作 F2QPF1于 Q， 因为|F1F2|PF2|， 所以 Q 为 PF1的中点， 由双曲线的定义知 |PF1|PF2|2a， 所以|PF1|2a2c， 故|F1Q|ac， 因为 cosPF1F24 5， 所以F1Q F1F2cosPF 1F2， 即ac 2c 4 5，得 3c5a， 所以 3 a2b25a，得b a 4 3， 故双曲线的渐近线方程为 y4 3x， 即 4x3y0 3已知双曲线 C：
11、x 2 a2 y2 b21(a0，b0)的右焦点为 F，过 F 作垂直于 x 轴 的直线与双曲线 C 交于 M，N 两点，与双曲线的渐近线交于 P，Q 两点若|PQ| |MN| 2，记过第一、三象限的双曲线 C 的渐近线为 l1，则 l1的倾斜角的取值范围为 _，离心率的取值范围为_ 0， 4(1， 2)如图，在双曲线 C：x 2 a2 y2 b21 中，取 xc，可得 y b2 a ， |MN|2b 2 a 分别在双曲线的渐近线 yb ax 与 y b ax 上取 xc，求得|PQ| 2bc a 由|PQ| |MN| 2，得 2bc a 2b2 a 2，即 c22b2， a2b22b2，0b
12、 a1， l1的倾斜角的取值范围为 0， 4 ， e2b 2 a212，e 的取值范围为(1， 2) 4双曲线x 2 a2 y2 b21(a1，b1)的焦距为 2c，直线 l 过点(a，0)和(0，b)，且点 (1，0)到直线 l 的距离与点(1，0)到直线 l 的距离之和 s4 5c，则双曲线的离心率 e 的取值范围为_ 5 2 ， 5 直线 l 的方程为x a y b1，即 bxayab0 由点到直线的距离公式， 且a1， b1， 得到点(1， 0)到直线l的距离d1 ba1 a2b2， 点(1，0)到直线 l 的距离 d2ba1 a2b2，sd 1d2 2ab a2b2 2ab c 由
13、s4 5c，得 2ab c 4 5c，即 5a c 2a22c2于是得 5 e212e2，即 4e425e2250解不 等式，得5 4e 25，由于 e1，因此 e 的取值范围是 5 2 e 5 已知双曲线 C 的方程为y 2 a2 x2 b21(a0，b0)，离心率 e 5 2 ，顶点到渐近线 的距离为2 5 5 (1)求双曲线 C 的方程； (2)如图，P 是双曲线 C 上一点，A，B 两点在双曲线 C 的两条渐近线上，且分 别位于第一、二象限，若AP PB ， 1 3，2，求AOB 的面积的取值范围 解(1)由题意，知双曲线 C 的顶点(0，a)到渐近线 axby0 的距离为2 5 5
14、， 即 ab a2b2 2 5 5 ，所以ab c 2 5 5 由 ab c 2 5 5 ， c a 5 2 ， c2a2b2， 得 a2， b1， c 5. 所以双曲线 C 的方程为y 2 4 x21 (2)由(1)，知双曲线 C 的两条渐近线方程为 y2x 设 A(m，2m)，B(n，2n)，m0，n0 由AP PB ，得点 P 的坐标为 mn 1 ，2mn 1 将点 P 的坐标代入y 2 4 x21，化简得 mn1 2 4 1 4 1 1 2 令AOB2，则 tan 22，所以 tan 1 2，sin 2 4 5 又|OA| 5m，|OB| 5n， 所以 SAOB1 2|OA|OB|sin 2 2mn1 2 1 1 记 S()1 2 1 1， 1 3，2， 由对勾函数的单调性，可知 S()在 1 3，1上是减函数，在(1，2上是增函数， 且在1 处取得最小值 又 S 1 3 8 3，S(2) 9 4，S(1)2 当1 时，AOB 的面积取得最小值 2， 当1 3时，AOB 的面积取得最大值 8 3 AOB 面积的取值范围是 2，8 3
