1、1.1.2空间向量基本定理 学 习 任 务核 心 素 养 1 理解共面向量定理以及空间向量基本 定理， 并能应用其证明空间向量的共线、 共面问题(重点、易混点) 2理解空间向量的基底、基向量及向量 的线性组合的概念，并能应用其解决有 关问题(难点) 1通过基底、基向量及向量的线性组 合空间向量基本定理的学习，培养数 学抽象素养 2借助任一空间向量可用一组基向量 线性表示，提升数学运算素养 学生小李参加某大学自主招生考试，在一楼咨询处小李得知：面试地点由此 向东 100 米，再向南 150 米，然后乘 1 号电梯到位于 6 楼的 2 号学术报告厅参加 面试设 e1是向东的单位向量，e2是向南的单
2、位向量，e3是向上的单位向量假 定每层楼高为 3 米，你能用 e1，e2，e3表示出由咨询处到面试地点的向量 p 吗？ 知识点 1共线向量基本定理 如果 a0 且 ba， 则存在唯一的实数， 使得 ba 两个空间向量 a， b(b0)， ab 的充要条件是存在唯一的实数，使得 ab 在此充要条件中，要特别注意 b0，若不加 b0，则该充要性不一定 成立例如，若 a0，b0，则 ab，但不存在，该充要性也就不成立了 1若非零向量 e1，e2不共线，则使 ke1e2与 e1ke2共线的 k 的值为 _ 1 或1若 ke1e2与 e1ke2共线， 则有 ke1e2(e1ke2) 又 e1，e2不共线
3、，所以 k， 1k， 所以 k1， 1 或 k1， 1， 所以 k 的值为 1 或1 知识点 2共面向量定理 如果两个向量 a，b 不共线，则向量 a，b，c 共面的充要条件是存在唯一的实 数对(x，y)，使 cxayb 1平面向量基本定理中对于向量 a 与 b 有什么条件，在空间中能成立 吗？ 提示平面向量基本定理中要求向量 a 与 b 不共线，在空间中仍然成立 2对于空间的任意三个向量 a，b b，2a3b，它们一定是() A共面向量B共线向量 C不共面向量D既不共线也不共面的向量 A根据共面向量定理知 a，b，2a3b 一定共面 知识点 3空间向量基本定理 (1)定理：如果空间中的三个向
4、量 a，b，c 不共面，那么对空间中的任意一个 向量 p，存在唯一的有序实数组(x，y，z)，使得 pxaybzc 特别地，当 a，b，c 不共面时，可知 xaybzc0 时，xyz0 (2)相关概念 线性组合：表达式 xaybzc 一般称为向量 a，b，c 的线性组合或线性表 达式 基底：空间中不共面的三个向量 a，b，c 组成的集合a，b，c，常称为空 间向量的一组基底 基向量：基底a，b，c中 a，b，c 都称为基向量 分解式：如果 pxaybzc，则称 xaybzc 为 p 在基底a，b，c下的 分解式 2平面向量的基底要求两个基向量不共线，那么构成空间向量基底的 三个向量有什么条件？
5、 提示空间任意三个不共面的向量都可以作为空间向量的一个基底， 基底选 定后，空间任意向量均可由基底唯一表示 3基向量和基底一样吗？0 能否作为基向量？ 提示基底是指一个向量组，基向量是基底中的某一个向量，因为 0 与其他 任意两个非零向量共面，所以 0 不能作为基向量 拓展：设 O，A，B，C 是不共面的四点，则对空间任一点 P，都存在唯一的 有序实数组x，y，z，使OP xOA yOB zOC ，当且仅当 xyz1 时，P，A， B，C 四点共面 3思考辨析(正确的打“”，错误的打“”) (1)若a，b，c为空间一个基底，则a，b，2c也可构成空间一个基底 () (2)若三个非零向量 a，b
6、，c 不能构成空间的一个基底，则 a，b，c 共面 () (3)若 a，b 是两个不共线的向量，且 cab(，R 且0)，则a，b， c构成空间的一个基底() 答案(1)(2)(3) 提示(1)a，b，c为空间一个基底，则 a，b，c 不共面，a，b，2c 也不共面，故a，b，2c也构成空间一个基底 (2)由共面定理知(2)正确 (3)由 cab 知 a，b，c 共面，不能构成基底 4如图，点 M 为 OA 的中点，OA ， OC ，OD 为空间的一组基底，DM xOA yOC zOD ，则有序实数组(x，y，z)_ 1 2，0，1DM OM OD 1 2OA OD ，x1 2，y0，z1，即
7、(x，y， z) 1 2，0，1 类型 1向量共线问题 【例 1】 如图所示， 在正方体 ABCDA1B1C1D1中， E 在 A1D1上， 且A1E 2ED1 ， F 在对角线 A1C 上，且A1F 2 3FC 求证：E，F，B 三点共线 证明设AB a，AD b，AA1 c A1E 2ED1 ，A1F 2 3FC ， A1E 2 3A 1D1 ，A1F 2 5A 1C ， A1E 2 3AD 2 3b， A1F 2 5(AC AA1 ) 2 5(AB AD AA1 )2 5a 2 5b 2 5c EF A 1F A1E 2 5a 4 15b 2 5c 2 5 a2 3bc 又EB EA 1
8、 A1A AB 2 3bcaa 2 3bc， EF 2 5EB E，F，B 三点共线 用向量法证明三点共线所选取的向量是唯一的吗？ 提示不是的如本例中，可选取EB 与EF，FB与EF或EB与BF等 跟进训练 1如图所示，四边形 ABCD 和 ABEF 都是平行四边形，且不共面，M，N 分 别是 AC，BF 的中点，判断CE 与MN 是否共线 解CE 与MN 共线 证明：M，N 分别是 AC，BF 的中点，而四边形 ABCD，ABEF 都是平行四 边形 MN MA AF FN 1 2CA AF 1 2FB ， 又MN MC CE EB BN 1 2CA CE AF 1 2FB ， 1 2CA A
9、F 1 2FB 1 2CA CE AF 1 2FB ， CE CA 2AF FB2(MA AF FN )2MN ， CE MN ，即CE 与MN 共线 类型 2共面向量定理及应用 【例 2】 已知 A，B，C 三点不共线， 平面 ABC 外的一点 M 满足OM 1 3OA 1 3OB 1 3OC (1)判断MA ， MB ，MC 三个向量是否共面； (2)判断点 M 是否在平面 ABC 内 解(1)易知OA OB OC 3OM ， OA OM (OM OB )(OM OC )， MA BM CM MB MC ， 向量MA ， MB ，MC 共面 (2)由(1)知向量MA ， MB ，MC 共面
10、，三个向量的基线又有公共点 M，M，A， B，C 共面，即点 M 在平面 ABC 内 判断三个(或三个以上)向量共面的方法 (1)应用共面向量定理，即其中一个向量能用另两个向量线性表示，通常应结 合图形，选择其中某两个向量作为基向量，其他向量都用这两个基向量线性表示 (2)选择目标向量以外的一组基底，通过待定系数法，建立这三个向量的一个 线性关系式 跟进训练 2如图所示，P 是平行四边形 ABCD 所在平面外一点，连接 PA，PB，PC， PD，点 E，F，G，H 分别是PAB，PBC，PCD，PDA 的重心，分别延长 PE，PF，PG，PH，交对边于 M，N，Q，R，并顺次连接 MN，NQ，
11、QR，RM应 用共面向量定理证明：E，F，G，H 四点共面 证明E，F，G，H 分别是所在三角形的重心， M，N，Q，R 为所在边的中点， 顺次连接 M， N， Q， R， 所得四边形为平行四边形， 且有PE 2 3PM ， PF 2 3PN ， PG 2 3PQ ，PH 2 3PR 四边形 MNQR 为平行四边形， EG PG PE 2 3PQ 2 3PM 2 3MQ 2 3(MN MR ) 2 3(PN PM )2 3(PR PM ) 2 3 3 2PF 3 2PE 2 3 3 2PH 3 2PE EF EH ， 由共面向量定理得EG ， EF ，EH 共面， 所以 E，F，G，H 四点共
12、面 类型 3空间向量基本定理及其应用 【例 3】(1)若a，b，c是空间的一个基底，试判断ab，bc，ca能 否作为该空间的一个基底 (2)如图，在三棱柱 ABCABC中，已知AA a，AB b，AC c，点 M，N 分 别是 BC，BC的中点，试用基底a，b，c表示向量AM ， AN 1构成空间向量的基底唯一吗？是否共面？ 提示不唯一，不共面 2空间向量的基底选定后，空间任一向量怎样用基底表示？ 提示基底选定后，可以结合图形，利用三角形法则和平行四边形法则，寻 求向量和基向量的关系，利用向量的线性运算将向量用基底表示出来 解(1)假设 ab，bc，ca 共面 则存在实数，使得 ab(bc)(
13、ca)， abba()c a，b，c为基底，a，b，c 不共面 1， 1， 0. 此方程组无解，ab，bc，ca 不共面 ab，bc，ca可以作为空间的一个基底 (2)AM AB BM AB 1 2BC AB 1 2(BB BC )AB 1 2BB 1 2(AC AB ) b1 2a 1 2(cb) b1 2a 1 2c 1 2b 1 2a 1 2b 1 2c AN AA AB BN AA AB 1 2BC ab1 2(AC AB ) ab1 2(cb) a1 2b 1 2c 1(变条件)若把本例 3(2)中的AA a 改为AC a，其他条件不变，则结果又 是什么？ 解AM AB BM AB
14、1 2BC AB 1 2(AC AB ) b1 2(ab) 1 2a 1 2b AN AC CN AC 1 2CB AC 1 2BC AC 1 2(AC AB ) a1 2(cb) a1 2b 1 2c 2(变换条件、改变问法)如图所示，本例 3(2)中增加条件“P 在线段 AA上， 且 AP2PA”，试用基底a，b，c表示向量MP 解MP MC CA AP 1 2BC AC 1 3AA 1 2(BB BC )AC 1 3AA 1 2AA (AC AB )AC 1 3AA 1 2(acb)c 1 3a 1 6a 1 2b 1 2c 1基底的判断方法 判断给出的某一向量组能否作为基底，关键是要判
15、断它们是否共面，如果从 正面难以入手，可用反证法或利用一些常见的几何图形进行判断 2用基向量表示指定向量的方法 (1)结合已知向量和所求向量观察图形 (2)将已知向量和所求向量转化到三角形或平行四边形中 (3)利用三角形法则或平行四边形法则，借助向量的线性运算把所求向量用已 知基向量表示出来 提醒：基底中不能有零向量，因为零向量与任意一个非零向量都为共线向量 跟进训练 3如图所示，已知平行六面体 ABCDA1B1C1D1，设AB a，AD b，AA1 c， P 是 CA1的中点， M 是 CD1的中点 用基底a， b， c表示以下向量： (1)AP ； (2)AM 解在平行六面体 ABCDA1
16、B1C1D1中， 连接 AC，AD1 (1)AP 1 2(AC AA1 ) 1 2(AB AD AA1 ) 1 2(abc) (2)AM 1 2(AC AD1 ) 1 2ab 1 2c 类型 4空间向量基本定理的综合应用 【例 4】(对接教材人教 B 版 P15例 3)三棱柱 ABCA1B1C1中，底面边长和侧 棱长都相等，BAA1CAA160，则 cosAB1 ， BC1 _ 6 6 如图所示， 设该三棱柱的棱长为 1， 依题意有AB1 AB AA 1 ， BC1 BA AA1 A1C1 AC AA1 AB ， 则|AB1 |2(AB AA 1 )2AB 22AB AA1 AA1 222co
17、s 603， |BC 1|2(AC AA1 AB )2AC 2AA1 2AB 22AC AA1 2AC AB 2AA1 AB 2， 又AB1 BC1 (AB AA1 )(AC AA1 AB )AB AC AB AA1 AB AB AA1 AC AA1 AA1 AA1 AB 1 2 1 21 1 21 1 21， 所以 cosAB1 ， BC1 AB1 BC1 |AB1 |BC1 | 1 3 2 6 6 空间向量中，有三个不共面向量的长度和相互间的角度都已知，则以这三个 向量为一组基底，可研究其他向量之间的数量积、长度、夹角等问题. 跟进训练 4如图所示，四棱柱 ABCDA1B1C1D1中，侧棱
18、 A1A底面 ABCD，ABDC， ABAD，ADCD1，AA1AB2，E 为棱 AA1的中点证明：B1C1CE 证明因为B1C1 CE (B1A1 A1D1 D1C1 )(CD DA AE )(B1A1 A1D1 D1C1 )CD (B1A1 A1D1 D1C1 )DA (B1A1 A1D1 D1C1 )AE ， 又(B1A1 A1D1 D1C1 )CD 20(1)1， (B1A1 A1D1 D1C1 )DA 0(1)01， (B1A1 A1D1 D1C1 )AE 0， 所以B1C1 CE 1(1)00，因此 B1C1CE 1O，A，B，C 为空间四点，且向量OA ， OB ，OC 不能构成
19、空间的一个基底， 则() A OA ， OB ，OC 共线B OA ，OB 共线 C OB ，OC 共线DO，A，B，C 四点共面 D由OA ， OB ，OC 不能构成基底知OA ， OB ，OC 三向量共面，所以 O，A，B， C 四点共面 2给出下列命题： 若 p 与 a，b 共面，则 pxayb(x，yR)；若 pxayb(x，yR)，则 p 与 a，b 共面；若 a，b 共线，则 a 与 b 所在直线平行；若 a 与 b 共线，b 与 c 共线，则 a 与 c 共线；若向量 a，b，c 共面，则它们所在的直线共面 真命题的个数为() A0B1C2D3 B由共面向量定理可知，a，b 共线
20、时，错误，正确；若 a，b 共线，则 a 与 b 可能在同一条直线上，所以错误；当 b0 时，a 与 c 不一定共线，所以 错误；向量 a，b，c 共面是指三个向量能平移到同一个平面上，但三个向量所 在的直线可以共面也可以异面，所以错误故真命题的个数为 1 3(多选题)已知下列命题，正确的有() A若 A，B，C，D 是空间任意四点，则有AB BC CD DA 0 B|ab|a|b|是 a，b 共线的充要条件 C若 a，b，c 是空间三向量，则|ab|ac|cb| D对空间任意一点 O 与不共线的三点 A，B，C，若OP xOA yOB zOC (其 中 x，y，zR)，则 P，A，B，C 四
21、点共面 ACB当 a 与 b 反向时，|ab|a|b|，所以 B 不成立D当 xyz 1 时，P，A，B，C 四点共面，否则不共面，故 D 错误 4从空间一点 P 引出三条射线 PA，PB，PC，在 PA，PB，PC 上分别取PQ a， PR b， PSc， 点G在PQ上， 且PG2GQ， H为RS的中点， 则GH _ (用 a，b，c 表示) 2 3a 1 2b 1 2c GH PH PG 1 2(bc) 2 3a 5 设 OABC 是四面体， G1是ABC 的重心， G 是 OG1上的一点， 且 OG3GG1， 若OG xOA yOB zOC ，则 2x4y2z_ 2如图，由已知OG 3
22、4OG 1 3 4(OA AG1 ) 3 4 OA 1 3 AB AC 3 4OA 1 4 (OB OA )(OC OA )1 4OA 1 4OB 1 4OC ， xyz1 4，2x4y2z2 回顾本节知识，自我完成以下问题： 1用基底表示向量应注意哪些问题？ 提示(1)明确目标，向量表示过程中可能出现新的向量，要逐步拆分，都用 基向量表示； (2)结合图形的几何性质，利用向量的线性运算； (3)只要基底选定，空间任一向量用基底表达的形式是唯一的 2用基底表示向量有哪些关键步骤？ 提示(1)定基底：根据已知条件， 确定三个不共面的向量构成空间的一个基 底 (2)找目标：用确定的基底(或已知基底)表示目标向量，需要根据三角形法则及 平行四边形法则，结合相等向量的代换、向量的运算进行变形、化简，最后求出 结果 (3)下结论：利用空间向量的一个基底a，b，c可以表示出空间所有向量表 示要彻底，结果中只能含有 a，b，c，不能含有其他形式的向量
