1、1.2.5空间中的距离 学 习 任 务核 心 素 养 1掌握向量长度计算公式(重点) 2会用向量方法求两点间的距离、点到 平面的距离、直线到平面的距离和面到 面的距离(重点、难点) 通过学习空间距离的求解，提升 逻辑推理、数学运算素养 立交桥是伴随高速公路应运而生的城市的立交桥不仅大大方便了交通，而 且成为城市建设的美丽风景为了车流畅通，并安全地通过交叉路口，1928 年， 美国首先在新泽西州的两条道路交叉处修建了第一座苜蓿叶形公路交叉桥1930 年，芝加哥建起了一座立体交叉桥1931 年至 1935 年，瑞典陆续在一些城市修建 起立体交叉桥从此，城市交通开始从平地走向立体 问题：在设计过程中
2、工程师需要计算出上、下纵横高速公路之间的距离、立 交桥上的高速公路与地面之间的距离，工程师如何计算出来？ 知识点 1空间中两点之间的距离 空间中两点之间的距离指的是这两个点连线的线段长 1在空间中怎样求两点之间的距离？ 提示利用向量法转化为求向量的模 1设 A(3，3，1)，B(1，0，5)，C(0，1，0)，则 AB 的中点 M 到点 C 的距离|CM|等于() A 53 4 B53 2 C 53 2 D 13 2 CM 点坐标为 2，3 2，3， |MC|202 3 21 2 302 53 2 知识点 2点到直线的距离 给定空间中一条直线 l 及 l 外一点 A，因为 l 与 A 能确定一
3、个平面，所以过 A 可以作直线 l 的一条垂线段，这条垂线段的长称为点 A 到直线 l 的距离 2如何用向量法求点到直线的距离？ 提示如图，设 l 是过点 P 平行于向量 s 的直线，A 是直线 l 外一定点 作 AAl，垂足为 A，则点 A 到直线 l 的距离 d 等于线段 AA的长度，而向量 PA 在 s 上的投影的大小|PAs 0|等于线段 PA的长度，所以根据勾股定理有点 A 到直 线 l 的距离 d|PA |2|PAs 0|2 s0是 s 同方向的单位向量点 A 到直线 l 的距离公式也可以写成 d |PA |2|PAs |s| 2 2已知直线 l 过定点 A(2，3，1)，且方向向
4、量为 s(0，1，1)，则点 P(4，3，2)到 l 的距离 d 为() A3 2 2 B 2 2 C 10 2 D 2 AAP (2，0，1)，由点到直线的距离公式得 d|AP |2|AP s |s| 2 5 1 2 2 3 2 2 知识点 3点到平面的距离 (1)给定空间中一个平面及外一点 A，过 A 可以作平面的一条垂线段，垂线 段的长称为点 A 到平面的距离 点到平面的距离是这个点与平面内点的最短连线的长度 (2)一般地，若 A 是平面外一点，B 是平面内一点，n 是平面的一个法向量， 则点 A 到平面的距离为 d|BA n| |n| 若点 A 是平面内一点，则约定 A 到平面的距离为
5、 0 3已知平面的一个法向量 n(1，0，1)，点 A(1，1，0)在内，则 平面外点 P(1，1，1)到平面的距离为_ 2 2 AP (0，0，1)，n(1，0，1)，d|AP n| |n| 1 2 2 2 知识点 4相互平行的直线与平面之间、相互平行的平面与平面之间的距离 (1)当直线与平面平行时，直线上任意一点到平面的距离称为这条直线与这个 平面之间的距离如果直线 l 与平面平行，n 是平面的一个法向量，A，B 分别 是 l 上和内的点，则直线 l 与平面之间的距离为 d|BA n| |n| (2)当平面与平面平行时，一个平面内任意一点到另一个平面的距离称为这两 个平行平面之间的距离 如
6、果平面与平面平行， n 是平面的一个法向量，A 和 B 分别是平面和平面 内的点，则平面和平面之间的距离为 d|BA n| |n| (3)与两个平行平面同时垂直的直线，称为这两个平面的公垂线公垂线夹在 平行平面间的部分，称为这两个平面的公垂线段 3线面距、面面距与点面距有什么关系？ 提示 4 如图， 在底面是直角梯形的四棱锥 PABCD 中， 侧棱 PA底面 ABCD， BCAD，ABC90，PAABBC2，AD1，则 AD 到平面 PBC 的距离为 _ 2由已知，得 AB，AD，AP 两两垂直，以 A 为坐标原点，AB，AD，AP 所在的直线分别为 x 轴、y 轴、z 轴，建立如图所示的空间
7、直角坐标系， 则 A(0，0，0)，B(2，0，0)，C(2，2，0)，P(0，0，2)，PB (2，0，2)，BC (0，2，0)设平面 PBC 的法向量为 n(a，b，c)，则 nPB 0， nBC 0， 即 2a2c0， 2b0， 可取 n(1，0，1)又AB (2，0，0)， AD平面 PBC， 所求距离为|AB n| |n| 2 类型 1空间两点间的距离 【例 1】如图所示，正方形 ABCD，ABEF 的边长都是 1，而且平面 ABCD， ABEF 互相垂直， 点 M 在 AC 上移动， 点 N 在 BF 上移动， 若 CMBNa(0a 2) (1)求 MN 的长； (2)a 为何值
8、时，MN 的长最小？ 解(1)建立如图所示的空间直角坐标系， 则 A(1，0，0)，F(1，1，0)，C(0，0，1) 因为 CMBNa(0a 2)，且四边形 ABCD，ABEF 为正方形， 所以 M 2 2 a，0，1 2 2 a ，N 2 2 a， 2 2 a，0 ， 所以MN 0， 2 2 a， 2 2 a1 ， 所以|MN | a2 2a1(0a 2) (2)由(1)知 MN a 2 2 2 1 2，所以， 当 a 2 2 时，MN 2 2 即当 a 2 2 时，MN 的长最小，最小值为 2 2 求空间两点间距离的常用方法 (1)利用|a|2aa，通过向量运算求|a|，如求 A，B 两
9、点间的距离，一般用|AB | |AB |2 AB AB求解 (2)用坐标法求向量的长度(或两点间距离)， 此法适用于求解的图形适宜建立空 间直角坐标系时 跟进训练 1 如图所示， 在 120的二面角AB中， AC， BD且 ACAB， BDAB， 垂足分别为 A，B，已知 ACABBD6，试求线段 CD 的长 解ACAB，BDAB， CA AB 0，BD AB 0， 又二面角AB的平面角为 120， CA ， BD 60， |CD|2|CD |2(CA AB BD )2 CA 2AB2BD 22(CA AB CA BD BD AB ) 362262cos 60144， CD12 类型 2点到直
10、线的距离 【例 2】已知直三棱柱 ABCA1B1C1中，AA11，AB4，BC3，ABC 90，求点 B 到直线 A1C1的距离 解以 B 为原点，建立如图所示的空间直角坐标系 则 A1(4，0，1)，C1(0，3，1)， 所以A1C1 (4，3，0) 设点 E 满足A1E A1C1 ，且 BEA1C1， 则BE BA 1 A1E (4，0，1)(4，3，0)(44，3，1)，又BE A 1C1 ， (44，3，1)(4，3，0)0， 16 25 BE 4416 25，3 16 25，1， |BE | 36 25 2 48 25 2 1213 5 ， 点 B 到直线 A1C1的距离为13 5
11、1(变问法)条件不变，试求 B 到 AC1的距离 解建系如本例解法，AC1 (4，3，1)，设 M 满足AM AC1 且BM AC1 0，则BM BA AM (4，0，0)(4，3，1)(44，3，) 又BM AC1 0，(44，3，)(4，3，1)0， 8 13， BM 484 13 ，83 13 ， 8 13 20 13， 24 13， 8 13 ， |BM | 20 13 2 24 13 2 8 13 2 4 65 13 ， B 到 AC1的距离为4 65 13 2(变条件)若将本例中的条件改为“正三棱柱 ABCA1B1C1且所有棱长均为 2”，求点 B 到 A1C1的距离 解以 B 为
12、原点，分别以 BA，过 B 垂直于 BA 的直线，BB1为 x，y，z 轴建 立如图所示的空间直角坐标系， 则 B(0，0，0)，A1(2，0，2)，C1(1，3，2)，BA1 (2，0，2)， 所以A1C1 (1，3，0)， 设 E 满足A1E A1C1 且 BEA1C1， BE BA 1 A1E (2，0，2)(1，3，0)(2， 3，2)， 又BE A 1C1 ， (2， 3，2)(1，3，0)0， 230，1 2， BE 3 2， 3 2 ，2 |BE | 3 2 2 3 2 2 22 7， 点 B 到 A1C1的距离为 7 求点 M 到直线 AB 的距离的方法与步骤 (1)建立空间直
13、角坐标系，写出相关点的坐标，在已知直线 AB 上取一点 E，点 E 满足两个条件：AE AB ，MEAB (2)利用(1)中的两个等量关系求出的值，进而求出点 E 的坐标，求出向量|ME | 的模即为 M 点到 AB 的距离 跟进训练 2在正方体 ABCDA1B1C1D1中，E，F 分别是 C1C，D1A1的中点，求点 A 到 直线 EF 的距离 解以 D 为坐标原点，分别以DA ， DC ，DD1 的方向为 x 轴、y 轴、z 轴正方 向建立空间直角坐标系，如图 设 DA2，则 A(2，0，0)，E(0，2，1)，F(1，0，2)， FE (1，2，1)，FA(1，0，2) |FE | 12
14、2212 6， |FA | 120222 5 FA FE1(1)02(2)(1)1， FA 在FE上的投影的数量为FA FE |FE | 1 6 点 A 到直线 EF 的距离 d|FA |2 1 6 2 29 6 174 6 类型 3点到平面的距离 【例 3】如图所示，已知正方体 ABCD A1B1C1D1的棱长为 a，求点 A 到平 面 A1BD 的距离 解法一：设点 A 到平面 A1BD 的距离为 h，则 V BAA1D 1 3a 1 2aa 1 6a 3， V AA1BD 1 3h 3 4 ( 2a)2 3 6 a2h， V AA1BD V BAA1D ， h 3 3 a，点 A 到平面
15、 A1BD 的距离为 3 3 a 法二：如图所示，建立空间直角坐标系 B1xyz，则 A1(a，0，0)，A(a，0，a)， D(a，a，a)，B(0，0，a)， 则BD (a，a，0)，A1D (0，a，a)，AB (a，0，0) 设平面 A1BD 的一个法向量 n(x，y，z)， 则 nBD 0， nA1D 0， 即 axay0， ayaz0， xy0， yz0. 令 y1，则 xz1， n(1，1，1) AB n(a，0，0)(1，1，1)a 点 A 到平面 A1BD 的距离 d|AB n| |n| |a| 3 3 3 a 用向量法求点面距的方法与步骤 提醒：用向量法求点到平面的距离的关
16、键是确定平面的法向量 跟进训练 3如图所示，已知ABC 是以B 为直角的直角三角形，SA平面 ABC，SA BC2，AB4，M，N，D 分别是 SC，AB，BC 的中点，求点 A 到平面 SND 的 距离 解建立如图所示的空间直角坐标系，则 N(0，2，0)， S(0，0，2)，D(1，4，0)， NS (0，2，2)，SD (1，4，2) 设平面 SND 的法向量为 n(x，y，1) 则 nNS 0，nSD0， 2y20， x4y20， x2， y1. n(2，1，1)，AS (0，0，2)， 点 A 到平面 SND 的距离为|nAS | |n| 2 6 6 3 类型 4线面、面面间的距离
17、【例 4】已知边长为 4 的正ABC，E，F 分别为 BC 和 AC 的中点PA2， 且 PA平面 ABC，Q 是 CE 的中点 (1)求证：AE平面 PFQ； (2)求 AE 与平面 PFQ 间的距离 解如图，以 A 为坐标原点，平面 ABC 内过点 A 且垂直于 AC 边的直线为 x 轴，AC 所在直线为 y 轴，AP 所在直线为 z 轴建立空间直角坐标系 AP2，ABBCAC4，又 E，F 分别是 BC，AC 的中点， A(0， 0， 0)， B(2 3， 2， 0)， C(0， 4， 0)， F(0， 2， 0)， E( 3， 3， 0)， Q 3 2 ，7 2，0， P(0，0，2)
18、 (1)FQ 3 2 ，3 2，0，AE ( 3，3，0)，AE 2FQ AE 与FQ 无交点， AEFQ又 FQ平面 PFQ，AE平面 PFQ， AE平面 PFQ (2)由(1)知，AE平面 PFQ， 点 A 到平面 PFQ 的距离就是 AE 与平面 PFQ 间的距离 设平面 PFQ 的法向量为 n(x，y，z)， 则 nPF ，nFQ ，即 nPF 0，nFQ 0 又PF (0，2，2)，nPF2y2z0，即 yz 又FQ 3 2 ，3 2，0，nFQ 3 2 x3 2y0， 即 x 3y 令 y1， 则 x 3， z1， 平面 PFQ 的一个法向量为 n( 3， 1， 1) 又 AF (
19、0，2，0)，所求距离 d|AF n| |n| 2 5 5 求直线与平面间的距离，往往转化为点到平面的距离求解，且这个点要适当 选取，以求解最为简单为准则，求直线到平面的距离的题目不多，因直线到平面 的距离可以用点到平面的距离求解，但在求点到平面的距离时有时用直线到平面 的距离进行过渡. 跟进训练 4 正方体 ABCDA1B1C1D1的棱长为 1，求平面 A1BD 与平面 B1CD1间的距离 解以 D 为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则 A1(1，0，1)，B(1， 1，0)，D1(0，0，1)， A1B (0，1，1)，A1D (1，0，1)，A1D1 (1，0，0) 设平面 A1BD
20、 的一个法向量为 n(x，y，z)， 则 nA1B 0， nA1D 0， yz0， xz0. 令 z1，得 y1，x1， n(1，1，1) 点 D1到平面 A1BD 的距离 d|A1D1 n| |n| 1 3 3 3 平面 A1BD 与平面 B1CD1间的距离等于点 D1到平面 A1BD 的距离， 平面 A1BD 与平面 B1CD1间的距离为 3 3 1已知平面的一个法向量 n(2，2，1)，点 A(1，3，0)在内，则 P( 2，1，4)到的距离为() A10B3C8 3 D10 3 DAP (1，2，4)，d|AP n| |n| 10 3 2已知平面的一个法向量为 n(2，2，1)，点 A
21、(1，3，0)在平面内，则 点 P(2，1，3)到平面的距离为() A5 3 B4 3 C1D2 3 A由题意PA (3，2，3)，则 d|nPA | |n| |643| 441 5 3，故选 A 3若正四棱柱 ABCDA1B1C1D1的底面边长为 1，AB1与底面 ABCD 成 60角， 则 A1C1到底面 ABCD 的距离为() A 3 3 B1 C 2D 3 D如图， A1C1平面 ABCD， 所以 A1C1到平面 ABCD 的距离等于点 A1到平面 ABCD 的 距离，由 AB1与平面 ABCD 所成的角是 60，AB1，BB1 3即点 A1到平面 ABCD 的距离为 3 4在四面体
22、PABC 中，PA，PB，PC 两两垂直，M 是平面 ABC 内一点，且 点 M 到其他三个平面的距离分别是 2，3， 6，则点 M 到顶点 P 的距离是_ 7以 P 为坐标原点， PA ， PB ，PC 的方向分别为 x 轴、y 轴、z 轴的正方向建立 空间直角坐标系(图略)，由题意，得|MP| 2232627 5在 RtABC 中，C30，B90D 是 BC 边的中点，AC2，DE 平面 ABC，DE1，则点 E 到斜边 AC 的距离是_ 19 4 作DHAC于点H， 连接EH(图略) 因为DE平面ABC， 所以DEAC， 因为 DEDHD， 所以 AC平面 DEH， 所以 EHAC， 所
23、以 EH 即为所求距离 由 B90，C30，AC2，得 BC 3因为 D 是 BC 边上的中点，所以 DH 1 2CD 1 4BC 3 4 又 DE1，所以 EH DE2DH2 19 4 回顾本节知识，自我完成以下问题： 1如何正确理解点 A 到平面的距离 d|BA n| |n| ？ 提示(1)点 B 是平面内的任意一点，可视题目的情况灵活选择 (2)|BA n| |n| 表示向量BA 在法向量 n 方向上的投影的大小，因此，点 A 到平面的 距离也可以表示成| BA n |n| |或|BA n |n| (3)由于 n |n|n 0是平面的单位法向量，所以点 A 到平面的距离的实质就是平面 的单位法向量与从该点出发的平面的任一条斜线段 AB 对应的向量的数量积的绝 对值，即 d|BA n 0| 2求点到平面的距离的常用方法有哪些？ 提示定义法、等积转化法、向量法
