1、2.3.3直线与圆的位置关系 学 习 任 务核 心 素 养 1理解直线与圆的三种位置关系(重 点) 2 会用代数法和几何法判断直线与圆的 位置关系(重点) 3能解决直线与圆位置关系的综合问 题(难点) 1通过直线与圆的位置关系的学习，培 养直观想象、逻辑推理的核心素养 2 通过解决直线与圆位置关系的综合问 题，培养数学运算的核心素养 早晨的日出非常美丽，如果我们把海平面看成一条直线，而把太阳抽象成一 个运动着的圆， 观察太阳缓缓升起的这样一个过程 你能想象到什么几何知识呢？ 没错，日出升起的过程可以体现直线与圆的三种特殊位置关系你发现了吗？ 知识点 1直线与圆的位置关系的判定 (直线 AxBy
2、C0，AB0，圆(xa)2(yb)2r2，r0) 位置关系相交相切相离 公共点个数2 个1 个0 个 判定 方法 几何法： 设圆心到直线的距离 d |AaBbC| A2B2 drdrdr 代数法：由 AxByC0 xa2yb2r2 消元得到一元二次方程的判别 式 000 图形 (1)利用代数法判断直线与圆的位置关系时，不必求出方程组的实数解， 只需将直线方程代入到圆的方程中，并消去一个未知数，得到一个关于 x(或 y)的 一元二次方程，由与 0 的大小关系判断方程解的个数，进一步判断两者的位置关 系 (2)利用几何法判断直线与圆的位置关系时，必须准确计算出圆心坐标、圆的 半径长及圆心到直线的距
3、离 (3)对于具体用哪种方法判断直线与圆的位置关系，应由条件而定，代数法是 从方程角度考虑，但较烦琐；几何法是从几何角度考虑，方法简单，也是判断直 线与圆的位置关系的常用方法 1(1)直线 3x4y50 与圆 x2y21 的位置关系是() A相交B相切C相离D无法判断 (2)直线 xy1 与圆 x2y22ay0(a0)没有公共点，则 a 的取值范围是 _ (1)B(2)(0， 21)(1)圆心(0，0)到直线 3x4y50 的距离 d |5| 3242 1，又圆 x2y21 的半径为 1，dr，故直线与圆相切 (2)由题意得圆心(0，a)到直线 xy10 的距离大于半径 a，即|a1| 2 a
4、，解 得 21a 21，又 a0，0a 21 知识点 2直线与圆相切的几个重要结论 1自一点引圆的切线的条数 (1)若点在圆外，则过此点可以作圆的两条切线； (2)若点在圆上，则过此点只能作圆的一条切线，且此点是切点； (3)若点在圆内，则过此点不能作圆的切线 2切线方程的几个重要结论 (1)经过圆 x2y2r2上一点 P(x0，y0)的切线方程为 x0 xy0yr2 (2)经过圆(xa)2(yb)2r2上一点 P(x0，y0)的切线方程为(x0a)(xa)(y0 b)(yb)r2 (3)经过圆 x2y2DxEyF0(D2E24F0)上一点 P(x0，y0)的切线方程 为 x0 xy0yDxx
5、0 2 Eyy0 2 F0 (4)已知圆 x2y2r2的切线的斜率为 k，则圆的切线方程为 ykxr k21 3切线长公式 (1)从圆外一点 P(x0，y0)引圆(xa)2(yb)2r2的切线，则点 P 到切点的切 线长 d x0a2y0b2r2 (2)从圆外一点 P(x0，y0)引圆 x2y2DxEyF0(D2E24F0)的切线， 则点 P 到切点的切线长 d x20y20Dx0Ey0F 2(1)已知圆的方程为 x2y21，则经过圆上一点 M(1，0)的切线方程 是() Ax1By1 Cxy1Dxy1 (2)从圆(x1)2(y1)21 外一点 P(2，3)向圆引切线，则切线长为_ (1)A(
6、2)2(1)法一：由圆的方程为 x2y21，可知圆心的坐标为(0，0)， 圆的半径 r1， 故经过圆上一点 M(1，0)的切线方程是 x1 法二：直接应用知识点 2 中切线方程的第(1)个结论得，所求切线方程为 1x 0y12，即 x1 (2)法一：点 P(2，3)到圆心(1，1)的距离为 212312 5，则切线长 为 52122 法二：利用切线长公式，易得切线长为 21231212 类型 1直线与圆位置关系的判定 【例 1】(对接教材人教 B 版 P107例 1)已知直线 yxb 与圆 x2y22，当 b 为何值时，圆与直线有两个公共点？只有一个公共点？没有公共点？ 解法一：由 x2y22
7、， yxb， 得 2x22bxb220， 方程的根的判别式(2b)242(b22)4(b2)(b2) (1)当2b2 时，0，直线与圆有两个公共点 (2)当 b2 或 b2 时，0，直线与圆只有一个公共点 (3)当 b2 或 b2 时，0，方程组没有实数解，直线与圆没有公共点 法二：圆的半径 r 2，圆心 O(0，0)到直线 yxb 的距离为 d|b| 2 当 dr，即2b2 时，圆与直线相交，有两个公共点 当 dr，|b|2，即 b2 或 b2 时，圆与直线相切，直线与圆只有一个公 共点 当 dr，|b|2，即 b2 或 b2 时，圆与直线相离，圆与直线无公共点 直线与圆的位置关系的判断方法
8、 跟进训练 1已知圆的方程 x2(y1)22，直线 yxb，当 b 为何值时，圆与直线有 两个公共点？只有一个公共点？无公共点？ 解法一：由 yxb， x2y122 得 2x22(1b)xb22b10， 其判别式4(1b)28(b22b1)4(b3)(b1)， 当3b1 时，0，方程有两个不等实根，直线与圆有两个公共点； 当 b3 或 1 时，0，方程有两个相等实根，直线与圆有一个公共点； 当 b3 或 b1 时，0，方程无实数根，直线与圆无公共点 法二：圆心(0，1)到直线 yxb 距离 d|1b| 2 ，圆半径 r 2 当 dr，即3b1 时，直线与圆相交，有两个公共点； 当 dr，即 b
9、3 或 1 时，直线与圆相切，有一个公共点； 当 dr，即 b3 或 b1 时，直线与圆相离，无公共点 类型 2求圆的切线方程 【例 2】过点 A(4，3)作圆 C：(x3)2(y1)21 的切线，求此切线的方 程 解因为(43)2(31)2171， 所以点 A 在圆外 (1)若所求切线的斜率存在，设切线斜率为 k， 则切线方程为 y3k(x4) 因为圆心 C(3，1)到切线的距离等于半径，半径为 1， 所以|3k134k| k21 1，即|k4| k21， 所以 k28k16k21，解得 k15 8 所以切线方程为 y315 8 (x4)，即 15x8y360 (2)若直线斜率不存在， 圆心
10、 C(3，1)到直线 x4 的距离也为 1， 这时直线与圆也相切，所以另一条切线方程是 x4 综上，所求切线方程为 15x8y360 或 x4 过一点求圆的切线方程的方法 (1)点在圆上时 求过圆上一点(x0，y0)的圆的切线方程：先求切点与圆心连线的斜率 k，再由垂 直关系得切线的斜率为1 k，由点斜式可得切线方程如果斜率为零或不存在，则 由图形可直接得切线方程 xx0或 yy0 (2)点在圆外时 几何法：设切线方程为 yy0k(xx0)由圆心到直线的距离等于半径，可 求得 k，也就得切线方程 代数法：设切线方程为 yy0k(xx0)，与圆的方程联立，消去 y 后得到关 于 x 的一元二次方
11、程，由0 求出 k，可得切线方程 提醒：注意切线的斜率不存在的情况，不要漏解 跟进训练 2过原点的直线与圆 x2y24x30 相切，若切点在第三象限，求该直线 的方程 解圆 x2y24x30 化为标准式(x2)2y21，圆心 C(2，0)，设过 原点的直线方程为 ykx，即 kxy0直线与圆相切， 圆心到直线的距离等于半径， 即 |2k| k211，3k 21， k21 3，解得 k 3 3 切点在第三象限，k0， 所求直线方程为 y 3 3 x 类型 3直线截圆所得弦长问题 【例 3】直线 l 经过点 P(5，5)并且与圆 C：x2y225 相交截得的弦长为 4 5，求 l 的方程 1已知直
12、线 l 与圆相交，如何利用通过求交点坐标的方法求弦长？ 提示将直线方程与圆的方程联立解出交点坐标，再利用|AB| x2x12y2y12求弦长 2若直线与圆相交、圆的半径为 r、圆心到直线的距离为 d，如何求弦长？ 提示通过半弦长、弦心距、半径构成的直角三角形，如图所示，求得弦长 |AB|2 r2d2 解据题意知直线 l 的斜率存在，设直线 l 的方程为 y5k(x5)，与圆 C 相交于 A(x1，y1)，B(x2，y2) 法一：联立方程得 y5kx5， x2y225. 消去 y，得(k21)x210k(1k)x25k(k2)0 由10k(1k)24(k21)25k(k2)0， 解得 k0又 x
13、1x210k1k k21 ， x1x225kk2 k21 ， 由斜率公式，得 y1y2k(x1x2) |AB| x1x22y1y22 1k2x1x22 1k2x1x224x1x2 1k2 100k21k2 k212 425kk2 k214 5 两边平方，整理得 2k25k20，解得 k1 2或 k2，符合题意 故直线 l 的方程为 x2y50 或 2xy50 法二： 如图所示， |OH|是圆心到直线 l 的距离， |OA|是圆的半径， |AH|是弦长|AB| 的一半 在 RtAHO 中，|OA|5， |AH|1 2|AB| 1 24 52 5， 则|OH| |OA|2|AH|2 5 |51k|
14、 k21 5， 解得 k1 2或 k2 直线 l 的方程为 x2y50 或 2xy50 (变条件)直线 l 经过点 P(2，1)且被圆 C：x2y26x2y150 所截得的 弦长最短，求此时直线 l 的方程 解圆的方程为(x3)2(y1)225，圆心 C(3，1)因为|CP| 322112 55，所以点 P 在圆内当 CPl 时，弦长最短 又 kCP11 322所以 k l1 2，所以直线 l 的方程为 y1 1 2(x2)，即 x 2y0 直线与圆相交时弦长的 2 种求法 (1)几何法：如图 1，直线 l 与圆 C 交于 A，B 两点，设弦心距为 d，圆的半径 为 r，弦长为|AB|，则有
15、|AB| 2 2 d2r2，则|AB|2 r2d2 图 1图 2 (2)代数法：如图 2 所示，将直线方程与圆的方程联立，设直线与圆的两交点 分别是 A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|AB|x1x22y1y221k2|x1x2| 1 1 k2|y 1y2|(直线 l 的斜率 k 存在且不为 0) 跟进训练 3直线3xy2 30，截圆 x2y24 所得的弦长是_ 2圆心到直线3xy2 30 的距离 d|2 3| 31 3所以弦长 l 2 r2d22 432 1直线 yx1 与圆 x2y21 的位置关系是() A相切B相交但直线不过圆心 C直线过圆心D相离 B圆心到直线的距离 d 1 121
16、2 2 2 1 又直线 yx1 不过圆心(0，0)， 直线与圆相交但不过圆心 2设直线 l 过点 P(2，0)，且与圆 x2y21 相切，则 l 的斜率是() A1B1 2 C 3 3 D 3 C设 l：yk(x2)，即 kxy2k0 又 l 与圆相切， |2k| 1k21k 3 3 3若圆 C：(x5)2(y1)2m(m0)上有且只有一点到直线 4x3y20 的距离为 1，则实数 m 的值为() A4B16C4 或 16D2 或 4 A由题意知直线与圆相离，则有|45312| 4232 m1，解得 m4， 故选 A 4直线 x2y5 50 被圆 x2y22x4y0 截得的弦长为_ 4圆的标准
17、方程为(x1)2(y2)25，圆心(1，2)到直线 x2y5 50 的距离 d|1225 5| 1222 1，所以弦长为 2 514 5若直线 xym0 与圆 x2y22 相离，则 m 的取值范围是_ (，2)(2，)因为直线 xym0 与圆 x2y22 相离，所以 |m| 1212 2，解得 m2 或 m2 回顾本节知识，自我完成以下问题： 1如何正确选择判断直线与圆的位置关系的方法？ 提示(1)若两方程已知或圆心到直线的距离易表达，则用几何法； (2)若方程中含有参数，或圆心到直线的距离的表达式较繁琐，则用代数法 (3)已知直线与圆相交求有关参数值时，根据弦心距、半弦长、半径的关系或 者这三条线段形成的三角形的性质求解，而弦心距可利用点到直线的距离公式列 式，进而求解即可 2利用代数法判断直线与圆的位置关系时需要注意什么问题？ 提示(1)代入消元过程中消 x 还是消 y 取决于直线方程的特点， 尽量减少分 类讨论，如若直线方程为 xay10，则应将其化为 xay1，然后代入消 x (2)利用判别式判断方程是否有根时，应注意二次项系数是否为零，若二次项 系数为零，则判别式无意义
