1、课后同步练习(二十)椭圆的几何性质 (建议用时：40 分钟) 一、选择题 1已知椭圆的中心在坐标原点，焦点在 x 轴上，且长轴长为 12， 离心率为1 3 ， 则椭圆的方程是() A x2 144 y2 128 1Bx 2 36 y 2 20 1 Cx 2 32 y 2 36 1Dx 2 36 y 2 32 1 D由 2a12，c a 1 3 ，解得 a6，c2， b2622232， 焦点在 x 轴上，椭圆的方程为x 2 36 y 2 32 1 2椭圆x 2 16 y 2 15 1 与椭圆y 2 17 x 2 16 1 有相同的() A长轴长B焦点 C焦距D离心率 C椭圆x 2 16 y 2
2、15 1 的焦点在 x 轴上， a4， c 1615 1， 长轴长为 8， 焦点分别为(1，0)，(1，0)，焦距为 2，离心率为1 4 椭圆y 2 17 x 2 16 1 的焦点在 y 轴上，a 17 ，c 1716 1，长轴长为 2 17 ，焦点分别为(0，1)，(0， 1)，焦距为 2，离心率为 17 17 ，所以椭圆x 2 16 y 2 15 1 与椭圆 y2 17 x 2 16 1 有相同 的焦距，故选 C 3已知椭圆 C 的短轴长为 6，离心率为4 5 ，则椭圆 C 的焦点 F 到长轴的一个 端点的距离为() A9B1 C1 或 9D以上都不对 C由题意得 b3， c a 4 5，
3、 a2b2c2， 解得 a5，b3，c4 椭圆 C 的焦点 F 到长轴的一个端点的距离为 ac9 或 ac1 4若椭圆x 2 a2 y 2 b2 1(其中 ab0)的离心率为3 5 ，两焦点分别为 F1，F2， M 为椭圆上一点，且F1F2M 的周长为 16，则椭圆 C 的方程为() Ax 2 16 y 2 25 1Bx 2 25 y 2 9 1 Cx 2 9 y 2 25 1Dx 2 25 y 2 16 1 D由题意知 2a2c16又 ec a 3 5 ，所以 a5，c3，则 b4，所以 椭圆方程为x 2 25 y 2 16 1 5 把椭圆x 2 25 y 2 16 1 的长轴 AB 分成
4、8 等份， 过每个分点作 x 轴的垂线分别 交椭圆的上半部分于点 P1，P2，P7，F 是左焦点，则|P1F|P2F|P7F| () A21B28 C35D42 C设椭圆的右焦点为 F，则由椭圆的定义，得|P1F|P1F|10，由椭圆的 对称性，知|P1F|P7F|， |P1F|P7F|10同理，可知|P2F|P6F|10，|P3F|P5F|10又|P4F| 5，|P1F|P2F|P7F|35 二、填空题 6若椭圆x 2 4 y 2 m 1 上一点到两焦点的距离之和为 m3，则 m 的值为 _ 9若椭圆的焦点在 x 轴上，有 4m，则 a2，由题意知，2am34， m7，由 4m 知 m7(舍
5、去)； 若焦点在 y 轴，有 m4，则 a m ，由 2am32 m ，得 m9 7已知椭圆 W：x 2 b2 y 2 a2 1(ab0)的离心率为 6 3 ，两点 A(0，0)，B(2， 0)若椭圆 W 上存在点 C，使得ABC 为正三角形，则椭圆 W 方程为_ x2 2 y 2 6 1因为 A(0，0)、B(2，0)，且ABC 为正三角形，所以根据正三 角形的性质可得点 C(1， 3 )或(1， 3 )， 又点 C 在椭圆 W 上， 1 b2 3 a2 1， 1 b2 3 a21， c a 6 3 ， a2b2c2， 解得 a 6， b 2， c2， 椭圆 W 的方程为x 2 2 y 2
6、6 1 8已知以坐标原点为中心的椭圆，一个焦点为 F(2，0)，给出下列四个条件： 半短轴长为 2； 半长轴长为 2 2 ； 离心率为 2 2 ； 一个顶点坐标为(2， 0) 其 中可求得椭圆方程为x 2 8 y 2 4 1 的条件有_(填序号) 只需保证 a2 2 ，b2，c2 即可，而椭圆的顶点坐标为(0，2)， (2 2 ，0)，故可求得椭圆方程为x 2 8 y 2 4 1 三、解答题 9已知椭圆的标准方程为x 2 4 y 2 9 1 (1)求椭圆的长轴长和短轴长； (2)求椭圆的离心率； (3)求以此椭圆的长轴端点为短轴端点，并且经过点 P(4，1)的椭圆方程 解(1)椭圆的长轴长为
7、2a6，短轴长为 2b4 (2)c a2b2 5 ， 所以椭圆的离心率 ec a 5 3 (3)若以椭圆的长轴端点为短轴端点，则 b3，可设椭圆方程为 x2 a2 y 2 9 1， 又椭圆过点 P(4，1)， 将点 P(4，1)代入得16 a2 1 9 1， 解得 a218故所求椭圆方程为x 2 18 y 2 9 1 10如图，已知椭圆x 2 a2 y 2 b2 1(ab0)，F1，F2分别为椭圆的左、右焦点， A 为椭圆的上顶点，直线 AF2交椭圆于另一点 B (1)若F1AB90，求椭圆的离心率； (2)若AF2 2F2B ，AF1 AB 3 2 ，求椭圆的方程 解(1)若F1AB90，则
8、AOF2为等腰直角三角形，所以有|OA|OF2|， 即 bc 所以 a 2 c，ec a 2 2 (2)由题意知 A(0，b)，F1(c，0)，F2(c，0) 其中，c a2b2，设 B(x，y) 由AF2 2F2B (c，b)2(xc，y)， 解得 x3c 2 ，yb 2 ，即 B 3c 2 ，b 2 将 B 点坐标代入x 2 a2 y 2 b2 1，得 9 4c 2 a2 b2 4 b2 1， 即9c 2 4a2 1 4 1， 解得 a23c2 又由AF1 AB (c，b) 3c 2 ，3b 23 2 b2c21， 即有 a22c21 由解得 c21，a23， 从而有 b22 所以椭圆方程
9、为x 2 3 y 2 2 1 1(多选题)已知椭圆 C 的中心为坐标原点，焦点 F1，F2在 y 轴上，短轴长等 于 2，离心率为 6 3 ，过焦点 F1作 y 轴的垂线交椭圆 C 于 P，Q 两点，则下列说法 正确的是() A椭圆 C 的方程为y 2 3 x21 B椭圆 C 的方程为x 2 3 y21 C|PQ|2 3 3 DPF2Q 的周长为 4 3 ACD由已知得 2b2，b1，c a 6 3 ， 又 a2b2c2，解得 a23 椭圆方程为 x2y 2 3 1，又|PQ|2b 2 a 2 3 2 3 3 PF2Q 的周长为 4a4 3 2如图所示，底面直径为 12 cm 的圆柱被与底面成
10、 30角的平面所截，截口 是一个椭圆，则这个椭圆的离心率为() A1 2 B3 4 C1 3 D2 3 A由题意得 2a 12 cos 30 8 3 (cm)，短轴长即 2b 为底面圆直径 12 cm， c a2b22 3 cm，ec a 1 2 故选 A 3如图，已知 F1，F2分别是椭圆 C：x 2 a2 y 2 b2 1(ab0)的左、右焦点，点 P 在椭圆 C 上，线段 PF2与圆 x2y2b2相切于点 Q，且点 Q 为线段 PF2的中点， 则椭圆 C 的离心率为_若 a3，则圆面积为_ 5 3 4由题意知 OQ 垂直平分 PF2 所以|PO|OF2|c 又 O 为 F1F2的中点，Q
11、 为 PF2的中点，所以 PF1OQ，PF1PF2，且|PF1| 2|OQ|2b，|PF2| |F1F2|2|PF1|2 4c24b22 c2b2 由椭圆的定义可知 2a|PF1|PF2|2b2 c2b2，即 ab c2b2，两 边平方整理可得 3b22ab， 3b2a，9b24a2，9(a2c2)4a2， 即 5a29c2， 5 a3c，ec a 5 3 由 a3 结合上述解法知，3b2a， b2，圆的半径为 2，S224 4万众瞩目的北京冬奥会将于 2022 年 2 月 4 日正式开幕，继 2008 年北京奥 运会之后，国家体育场(又名鸟巢)将再次承办奥运会开幕式在手工课上，王老师 带领同
12、学们一起制作了一个近似鸟巢的金属模型，其俯视图可近似看成是两个大 小不同、扁平程度相同的椭圆已知大椭圆的长轴长为 40 cm，短轴长为 20 cm， 小椭圆的短轴长为 10 cm，则小椭圆的长轴长为_cm 20因为两个椭圆的扁平程度相同，所以椭圆的离心率相同，c 大 a 大 c 小 a 小 ，即 a2 大b2大 a2 大 a2 小b2小 a2 小 所以2a 大 2b 大 2a 小 2b 小 ，所以40 20 2a 小 10 ，所以小椭圆的长 轴长为 20 cm 已知椭圆C： x2 a2 y 2 b2 1(ab0)的离心率为 2 2 ， 点P(0， 1)和点A(m， n)(m0) 都在椭圆 C
13、上，直线 PA 交 x 轴于点 M (1)求椭圆 C 的方程，并求点 M 的坐标(用 m，n 表示)； (2)设 O 为原点，点 B 与点 A 关于 x 轴对称，直线 PB 交 x 轴于点 N问：y 轴上是否存在点 Q，使得OQMONQ？若存在，求点 Q 坐标；若不存在，说 明理由 解(1)由题意得 b1， c a 2 2 ， a2b2c2， 解得 a22 故椭圆 C 的方程为x 2 2 y21 设 M(xM，0)因为 m0，所以1n1 易知直线 PA 的方程为 y1n1 m x， 所以 xM m 1n ，即 M m 1n，0 (2)因为点 B 与点 A 关于 x 轴对称，所以 B(m，n) 设 N(xN，0)，则直线 PB 的方程为 y1n1 m x，故 xN m 1n “存在点 Q(0，yQ)，使得OQMONQ”等价于“存在点 Q(0，yQ)，使得 |OM| |OQ| |OQ| |ON| ”， 即 yQ满足 y2Q|xM|xN| 因为 xM m 1n ，xN m 1n ，m 2 2 n21， 所以 y2Q|xM|xN| m2 1n2 2 所以 yQ 2 或 yQ 2 故在 y 轴上存在点 Q，使得OQMONQ，且点 Q 的坐标为(0， 2 )或(0， 2 )
