1、19.1 多边形内角和多边形内角和 第十九章第十九章 四边形四边形 一、新课导入 生活中的平面图形生活中的平面图形 三角形三角形 长方形长方形 四边形四边形 六边形六边形 八边形八边形 情景导入情景导入 二、新知讲解 在在平面平面内，由内，由三条三条不在同一条直线上的线段首尾顺次相连组成的封闭图形叫做不在同一条直线上的线段首尾顺次相连组成的封闭图形叫做三角形三角形. 在在平面平面内，由内，由若干条若干条不在同一条直线上的线段首尾顺次相连组成的封闭图形叫做不在同一条直线上的线段首尾顺次相连组成的封闭图形叫做多边形多边形. 在在平面平面内，由内，由五条五条不在同一条直线上的线段首尾顺次相连组成的封
2、闭图形叫做不在同一条直线上的线段首尾顺次相连组成的封闭图形叫做五边形五边形. 在在平面平面内，由内，由四条四条不在同一条直线上的线段首尾顺次相连组成的封闭图形叫做不在同一条直线上的线段首尾顺次相连组成的封闭图形叫做四边形四边形. 自主学习自主学习 二、新知讲解 顶点顶点 内角内角 边边 对角线对角线 (连接不相邻两个顶点的线段连接不相邻两个顶点的线段) 多边形的相关元素多边形的相关元素 外角外角 表示：五边形表示：五边形ABCDE A C B D E 二、新知讲解 如图如图1是凸多边形；是凸多边形； 图图2不是不是凸多边形，今后凸多边形，今后如果不作如果不作说明，我说明，我 们们讲的多边形都是
3、凸多边形讲的多边形都是凸多边形. 图图 2 如果如果把它任何一边双向把它任何一边双向延长，其他延长，其他各边都在延长所得直线的同各边都在延长所得直线的同 一旁，这样一旁，这样的多边形叫做凸多边形的多边形叫做凸多边形. 图图 1 A C B D A C B D 二、新知讲解 相关概念相关概念 在在多边形的顶点处多边形的顶点处一边与另一边的延长线一边与另一边的延长线所组成的角叫做这个所组成的角叫做这个 多边形的外角多边形的外角. 在在每个顶点处取每个顶点处取这个多边形的一个这个多边形的一个外角外角，它们，它们的和叫做这个多的和叫做这个多 边形的外角和边形的外角和. 二、新知讲解 如何如何求出任意五
4、边形的内角和？你能想出几种办法？求出任意五边形的内角和？你能想出几种办法？ 合作探究合作探究 活动活动1：探究：探究多边形的内角和多边形的内角和 二、新知讲解 多边形的边数多边形的边数456n 分成三角形的个数分成三角形的个数 多边形的内角和多边形的内角和 234n- -2 360540720(n- -2)180 从从多边形的一个顶点多边形的一个顶点出发，引出出发，引出所有的所有的对角线，从而对角线，从而把多边形把多边形 分割为多个三角形分割为多个三角形. 二、新知讲解 定理：定理： n边形的内角和等于边形的内角和等于(n2)180 （n为不小于为不小于3的整数）的整数） 说明：多边形的内角和
5、仅与边数说明：多边形的内角和仅与边数有关，与有关，与多边形的大小、形状多边形的大小、形状 无关无关. 二、新知讲解 已知已知一个一个多边形，它多边形，它的内角和等于的内角和等于900，求，求这个多边形的边数这个多边形的边数. 解：解： 设多边形的边数为设多边形的边数为n，因为，因为它的内角和等于它的内角和等于(n- -2)180， 所以，所以，(n- -2) 180= 900 解得解得: n=7 这个多边形的边数为这个多边形的边数为7. 二、新知讲解 有有一张长方形的一张长方形的桌面，现在桌面，现在锯掉它的一个锯掉它的一个角，有角，有几种情况？剩几种情况？剩 下的残余桌面的内角和为多少？下的残
6、余桌面的内角和为多少？ 思考题：思考题： 二、新知讲解 三角形的外角和是多少度？你是怎样探究出来的？三角形的外角和是多少度？你是怎样探究出来的？ A B C D E F 1. 先先把三角形的三个外角和三个内角这六个把三角形的三个外角和三个内角这六个角的角的和和求求 出来，刚好出来，刚好是三个平角是三个平角. 2. 再再用这六个角的和减去三个内角的用这六个角的和减去三个内角的和，剩下的就是和，剩下的就是 三角形三角形的外角和了！的外角和了！ 3180o- -(3- -2) 180o=360o 活动活动2：探究：探究多边形的外角和多边形的外角和 二、新知讲解 那么你能研究出四边形的外角和吗？那么你
7、能研究出四边形的外角和吗？ 整体思路整体思路： 1. 先先求求4个外角个外角+4个内角的个内角的 和；和； 2. 再再减去减去4个内角的和个内角的和 容易容易看出，看出，4个外角个外角+4个内角个内角=4个平角而个平角而4个个 内角的和是（内角的和是（4- -2） 180 ，那么，那么四边形的四边形的 外角和外角和就是就是4 180- -（4- -2） 180= 360 二、新知讲解 五边形的外角和是多少度？五边形的外角和是多少度？ 六边形的外角和是多少度？六边形的外角和是多少度？ n边形的外角和是多少度？边形的外角和是多少度？ 5180o- -(5- -2) 180o=360o 6180o-
8、 -(6- -2) 180o=360o n180o- -(n- -2) 180o= 360o 二、新知讲解 n边形的外角和等于边形的外角和等于360o 理论证明：理论证明： 所以所以n个外角与个外角与n个内角的和是个内角的和是: n180o， 所以所以n边形外角和是边形外角和是: n180o- -(n- -2) 180o=360o. 而而n边形的内角和是边形的内角和是: (n- -2)180o 因为因为n边形的每个外角与它相邻的内角互补边形的每个外角与它相邻的内角互补 (n3) 知识要点知识要点 二、新知讲解 变式：你能反过来由多边形外角和公式来推导多边形的内角和变式：你能反过来由多边形外角和
9、公式来推导多边形的内角和 公式吗？公式吗？ n 180o- - 360 =n 180o- -2180o =(n- -2) 180o 分析：分析：n180o- -(n- -2) 180o 二、新知讲解 例例 一一个多边形的内角和等于它的外角和的个多边形的内角和等于它的外角和的3倍，它倍，它是几边形？是几边形？ 解：解： 设这个多边形的边数为设这个多边形的边数为n，则，则它的内角和等于它的内角和等于 (n- -2) 180 因为外角和等于因为外角和等于360，所以，所以 (n- -2) 180= 3360 n = 8 这个多边形的边数为这个多边形的边数为8. 二、新知讲解 三角形三角形如果三条边都
10、如果三条边都相等，三相等，三个角也都个角也都相等，那么相等，那么这样的三角这样的三角 形就叫做正三角形形就叫做正三角形. 如果如果多边形各边都多边形各边都相等，各个相等，各个角也都角也都相等，那么相等，那么这样的多边形就这样的多边形就 叫做正多边形叫做正多边形.如正三角形、正四边形（正方形）、正五边形等等如正三角形、正四边形（正方形）、正五边形等等 . 正三角形正三角形正方形正方形正五边形正五边形正六边形正六边形 (或正三边形或正三边形)(或正四边形或正四边形) 活动活动3：探究正多边形：探究正多边形 二、新知讲解 下列图形是不是正多边形？下列图形是不是正多边形？ （1）各条边都相等的多边形是
11、正多边形；）各条边都相等的多边形是正多边形； （2）各个角都相等的多边形是正多边形）各个角都相等的多边形是正多边形. 由上面的结论判定下列说法正确吗？由上面的结论判定下列说法正确吗？ 强调：强调： 2. 各个各个角都相等；角都相等； 1. 各个各个边都相等；边都相等；缺一不可：缺一不可： 菱形菱形 长方形长方形 三、总结归纳 在在平面平面内，由内，由若干条若干条不在同一条直线上的线段首尾顺次相连组不在同一条直线上的线段首尾顺次相连组 成的封闭图形叫做成的封闭图形叫做多边形多边形. n边形的内角和等于边形的内角和等于(n2)180 （n为不小于为不小于3的整数）的整数） n边形的外角和等于边形的外角和等于360o 说明：多边形的内角和仅与边数说明：多边形的内角和仅与边数有关，与有关，与多边形的大小、形状多边形的大小、形状 无关无关. （n3） 谢谢观看
