1、陕西省安康市 2020-2021 学年高二下学期期中考试（文） 本试卷共 4 页。全卷满分 150 分，考试时间 120 分钟。 注意事项： 1.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如 需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上， 写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。在每小题给出的四个选项中，只有一 项是符合题目要求的。 1.已知全集UR，集合 2 40Ax x，210Bxx
2、 ，则 UA B A. 1 ,2 2 B. 1 ,2 2 C. 1 ,2 2 D. 1 ,2 2 2.若复数 2 1 mi z i 为纯虚数，则实数m的值为 A.1B.2C.3D.4 3.设向量1,am ，1,bm ，若a 与b 的夹角为60，则a A.2B.3C.2D.5 4.已知双曲线 22 2 10 5 xy a a 的一个焦点为3,0，则其渐近线方程为 A. 4 5 yx B. 5 4 yx C. 5 2 yx D. 2 5 5 yx 5.已知x，y满足约束条件 220 20 1 xy xy x ，则2zxy的最小值为 A.1B.2C.3D.4 6.函数 2 cos xx eex f
3、x x 的部分图像大致是 A.B.C.D. 7.已知函数 cos0 6 fxx 的最小正周期为，则该函数图像 A.关于点,0 6 对称B.关于直线 6 x 对称 C.关于点,0 3 对称D.关于直线 3 x 对称 8.某学习小组有甲、乙、丙、丁四位同学，某次数学测验有一位同学没有及格，当其他同学 问及他们四人时，甲说：“没及格的在甲、丙、丁三人中”；乙说：“是丙没及格”；丙说：“是 甲或乙没及格”；丁说：“乙说的是正确的”.已知四人中有且只有两人的说法是正确的，则由 此可推断未及格的同学是 A.甲B.乙C.丙D.丁 9.2013 年华人数学家张益唐证明了孪生素数猜想的一个弱化形式.孪生素数猜想
4、是希尔伯特 在 1900 年提出的 23 个问题之一， 可以这样描述： 存在无穷多个素数p， 使得2p是素数， 素数对,2p p称为孪生素数.从 10 以内的素数中任取两个，其中能构成孪生素数的概率 为 A. 1 6 B. 1 5 C. 1 4 D. 1 3 10.已知等差数列 n a的前n项和为 n S，且 1 1 1 nn SS nn ， 4 16S ，则 1 a A.1B.2C.3D.4 11.已知 f x是定义在 ,00,上的偶函数，当0,x时， ln x f x x ， 设 2 af ， 2 e bf ， 4cf，则 A.abcB.bacC.cbaD.cab 12.在ABC中，2AB
5、AC，120A，以BC所在直线为轴旋转围成的封闭几何体 内装有一球，则球的最大体积为 A. 2 B. 2 2 C. 3 3 D. 3 2 二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。 13.在正方体 1111 ABCDABC D中，异面直线 1 AB与 1 BC所成的角是_. 14.已知等比数列 n a的前n项和为 n S， 4 2 4 S S ，则 9 7 a a _. 15.函数 2cos 0 sin x fxx x 的极小值为_. 16.已知 1 F， 2 F分别是椭圆 22 :1 3 xy C m 的上，下焦点，若椭圆C上存在四个不同点P， 使得 12 PFF的面积为2
6、，则C的离心率的取值范围是_. 三、解答题：共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第 1721 题为必考题， 每个试题考生都必须作答。第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答。 （一）必考题：共 60 分。 17.（10 分） 已知a，b，c分别为ABC内角A，B，C的对边，3a ，7b ，tan3B . （1）求sin A的值； （2）求ABC的面积. 18.（12 分） 眼保健操主要是通过按摩眼部穴位，调整眼及头部的血液循环，改善眼的疲劳，达到预 防近视的目的.某学校为了调查推广眼保健操对改善学生视力的效果， 在应届高三的全体 800 名学生中随机抽取了 100 名学生
7、进行视力检查，并得到如图所示频率分布直方图. （1）若直方图中后三组的频数成等差数列，试估计全年级视力在 5.0 以上的人数； （2）为了研究学生的视力与眼保健操是否有关系，对年级不做眼保健操和坚持做眼保 健操的学生进行了调查，得到下表数据，根据表中数据，能否在犯错的概率不超过 0.005 的 前提下认为视力与眼保健操有关系？ 是否做操 是否近视 不做操做操 近视4432 不近视618 附： 2 2 n adbc K abcdacbd 2 0 P kk0.100.050.0250.0100.005 0 k2.7063.8415.0246.6357.879 19.（12 分） 如图，三棱柱 11
8、1 ABCABC中， 1 A在底面ABC上的投影恰为AC的中点D， 90BCA，2ACBC， 11 BAAC. （1）证明： 1 AC 平面 1 ABC； （2）求点C到平面 1 A AB的距离. 20.（12 分） 已知函数 2 1 2 x f xaex. （1）当1a 时，求曲线 yf x在点 0,0f处的切线方程； （2）若函数 f x在0,上单调递增，求实数a的取值范围. 21.（12 分） 过抛物线 2 :20E ypx p的焦点F且斜率为 2 的直线交E于A、B两点， 5AB . （1）求抛物线E的方程； （2）设圆 22 2 :33Cxyr交抛物线E于M，N两点，若MN是圆C的直
9、 径，求圆C的面积. （二）选考题：共 10 分。请考生在第 22、23 题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第 一题计分。 22.选修 44：坐标系与参数方程（10 分） 在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为 2cos 2sin x y （为参数） ，以坐标原点 为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为sin2 2 4 . （1）求C的普通方程与l的直角坐标方程； （2）设M，N分别是l和C上的动点，求MN的最小值. 23.选修 45：不等式选讲（10 分） 设函数 1f xx. （1）求不等式 53f xf x的解集； （2）若关于x的不等式 24f xxax在1
10、,1上的解集非空，求实数a的取 值范围. 参考答案 一、选择题（本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分） 题号123456789101112 答案BBCCBAAADADD 1.B解析：, 22,A ，2,2 UA ， 1 , 2 B ， 1 ,2 2 UA B . 2.B解析： 21222 11122 miimimm zi iii 为纯虚数， 20 20 m m ，即 2m. 3.C解析： 2 2 11 cos60 12 m m ， 2 3m ，1 32a . 4.C解析： 2 59a ，2a ，渐近线方程为 5 2 yx . 5.B解析：作出可行域知2zxy过点0,2时取得最小值
11、 2. 6.A解析：由题知 f x是奇函数， 0f，故选 A. 7.A解析：由题意得 2 ，2， cos 2 6 f xx ，故选 A. 8.A解析：注意到乙、丁说的同真或同假，当同真时，甲说的也真，不成立，故同假，所 以甲、丙说的同真，故甲未及格. 9.D解析：10 以内的所有素数为 2，3，5，7，共 4 个，随机选取 2 个不同的素数有 6 种， 其中能构成孪生素数的有3,5，5,7，故所求概率为 21 63 . 10.A解析：由已知可得 111 1 22 nn aaaa ， 1 2 nn aad ， 41 4 3 4216 2 Sa ， 1 1a . 11.D解 析 ： 由 题 意 知
12、 ， 22 aff ， 22 ee bff ， ln4ln2 42 42 cff.当1,xe时， lnlnxx fx xx ， 2 1 ln x fx x ， 因为1,xe，所以ln1x ，即 0fx，所以 f x在1,e上单调递增，因为 12 22 e e ，cab. 12.D解析：如图，由题意可得几何体的轴截面为边长为 2，邻边的一夹角为60 （60ABA）的菱形，则菱形中的圆与该菱形内切时，球的体积最大，内切圆的半径 3 sin30cos30 2 rAB ，故球的最大体积为 3 433 322 V . 二、填空题（本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分） 13.6014.315
13、.116. 36 , 33 13.60解析：连接 1 AD，易知： 1 BC平行 1 AD，异面直线 1 AB与 1 BC所成的角即异面 直线 1 AB与 1 AD所成的角， 连接 11 B D， 易知 11 AB D为等边三角形， 异面直线 1 AB与 1 BC 所成的角是60. 14.3解析：由已知可得 42 11 11 4 11 aqaq qq ， 2 14q， 2 3q ， 2 9 7 3 a q a . 15.1解析： 2 12cos sin x y x ，当 3 0, 4 x 时，0y，当 3 , 4 x 时，0y ， 极小值为 3 2cos 4 1 3 sin 4 . 16. 3
14、6 , 33 解析：由已知可得22 3cm， 1 2 32 2 mm，即 2 320mm，解得1,2m， 离心率 336 , 333 m e . 三、解答题（本大题共 6 小题，共 70 分） 17.解析： （1）tantan3BB ， 2 3 B ， 由正弦定理得 37 2 sin sin 3 A ， 3 3 sin 14 A .（5 分） （2） 由余弦定理得 222 2 2cos 3 bacac ， 整理得 2 3400cc， 解得5c 或8（舍 去） ， ABC的面积 11315 3 sin3 5 2224 ABC SacB .（10 分） 18.解析： （1）由图可知，第一组有 3
15、人，第二组 7 人，第三组 27 人，第四组 24 人， 因为后三组的频数成等差数列，共有100372763（人） ，所以后三组频数依次为 24，21，18，所以视力在 5.0 以上的频率为 0.18， 故全年级视力在 5.0 以上的人数约为800 0.18144人.（7 分） （2） 2 2 10044 1832 6150 7.8957.879 50 50 76 2419 K ， 因此能在犯错误的概率不超过 0.005 的前提下认为视力与眼保健操有关系.（12 分） 19.解析： （1） 1 AD 底面ABC， 1 ADBC， 1 ADACD，ACBC，BC 平面 1 A AC， 1 BCA
16、C， 11 BAAC， 1 BABCB， 1 AC 平面 1 ABC.（4 分） （2）作DEAB于点E，连接 1 AE，作 1 DFAE， 1 AD 平面ABC， 1 ADAB， 1 DEADD，AB 平面 1 ADE， DF 面 1 ADE，ABDF， 1 AEABE，DF 平面 1 A AB， 由（1）可得 11 ACAC，四边形 11 ACC A为菱形， 1 ACA为等边三角形， 1 3AD ， 2 2 DE ， 1 14 2 AE ， 1 RtADE中， 1 1 21 7 AD DE DF AE ， D是AC中点，C到平面 1 A AB的距离为 2 21 7 .（12 分） 20.解
17、析： （1）1a ， 2 1 2 x fxex， x fxex， 01k f ， 01f， yf x在点 0,0f处的切线方程为1yx ，即1yx.（4 分） （2）由题意 0 x fxaex在0,上恒成立，即 x x a e 在0,上恒成立， 设 x x g x e ，则 1 x x gx e ，当1x 时， 0gx ，当1x 时， 0gx ， g x在,1单调递增，在1,上单调递减， max 1 1g xg e ， 1 a e ，即实数a的取值范围是 1 , e .（12 分） 21.解析： （1）,0 2 p F ，设 11 ,A x y， 22 ,B xy，AB方程为2 2 p yx
18、， 代入E方程整理得 22 460 xpxp， 12 3 2 xxp， 12 5 5 2 ABxxpp，2p ，抛物线E的方程为 2 4yx.（5 分） （2）设 33 ,M x y， 44 ,N xy，则 34 6yy. 2 33 4yx， 2 44 4yx， 22 3434 4yyxx， 34 3434 42 3 yy xxyy ， MN的 方 程 为 2 33 3 yx， 与 2 4yx联 立 解 得 3 3 3,33 3 N ， 39 2 rCN， 2 39 4 Sr.（12 分） 22.解析： （1）直线l的极坐标方程sin2 2 4 可化为cossin4， 将cosx，siny代入
19、，得l的直角坐标方程为40 xy. 由曲线C的参数方程消去参数，得C的普通方程为 22 1 42 xy . 所以C是以O为中心，长轴长为 4，短轴长为2 2，且焦点x在轴上的椭圆.（5 分） （2）设点N的坐标为 2cos ,2sin， 则点N到直线:40l xy的距离 2cos2sin46sin4 22 d （其中tan2） ， （8 分） 当sin1时，d取得最小值，且 min 64 2 23 2 d ， 所以MN的最小值为2 23.（10 分） 23.解析： （1）不等式 53f xf x，即125xx ， 等价于 1, 125, x xx 或 12, 125, x xx 或 2, 125, x xx 解得23x ， 原不等式的解集为23xx.（5 分） （2）当1,1x 时，不等式 24f xxax，即2xax， 由题意可得2xax在1,1上有解，即222ax 在1,1上有解， 24a .（10 分）
