1、3-3-3.列不定方程解应用题.题库教师版page 1 of 12 教学目标教学目标 1、 熟练掌握不定方程的解题技巧 2、 能够根据题意找到等量关系设未知数解方程 3、 学会解不定方程的经典例题 知识精讲知识精讲 一、知识点说明 历史概述 不定方程是数论中最古老的分支之一古希腊的丢番图早在公元3世纪就开始研究不定方程，因此常称 不定方程为丢番图方程中国是研究不定方程最早的国家，公元初的五家共井问题就是一个不定方程组问题， 公元5世纪的张丘建算经中的百鸡问题标志着中国对不定方程理论有了系统研究宋代数学家秦九韶的 大衍求一术将不定方程与同余理论联系起来 考点说明 在各类竞赛考试中，不定方程经常以
2、应用题的形式出现，除此以外，不定方程还经常作为解题的重要方 法贯穿在行程问题、数论问题等压轴大题之中在以后初高中数学的进一步学习中，不定方程也同样有着重 要的地位，所以本讲的着重目的是让学生学会利用不定方程这个工具，并能够在以后的学习中使用这个工具 解题。 二、运用不定方程解应用题步骤 1、根据题目叙述找到等量关系列出方程 2、根据解不定方程方法解方程 3、找到符合条件的解 模块一、不定方程与数论 【例【例 1】 把把2001拆成两个正整数的和拆成两个正整数的和，一个是一个是11的倍数的倍数（要尽量小要尽量小） ，一个是一个是13的倍数的倍数（要尽量大要尽量大） ，求这求这 两个数两个数 【考
3、点】列不定方程解应用题【难度】3 星【题型】解答 【解析】这是一道整数分拆的常规题可设拆成的两个数分别为11x和13y，则有：11132001xy，要让x 取最小值，y取最大值 可把式子变形为： 2001 1113 15312132122 153 131313 xxxx yx ，可见 122 13 x 是整数， 满足这一条件的x最小为 7，且当7x 时，148y 则拆成的两个数分别是7 1177和148 131924 【答案】则拆成的两个数分别是77和1924 列不定方程解应用题列不定方程解应用题 3-3-3.列不定方程解应用题.题库教师版page 2 of 12 【巩固】【巩固】 甲、乙二人
4、搬砖，甲搬的砖数是甲、乙二人搬砖，甲搬的砖数是18的倍数，乙搬的砖数是的倍数，乙搬的砖数是23的倍数，两人共搬了的倍数，两人共搬了300块砖问：块砖问： 甲、乙二人谁搬的砖多？多几块？甲、乙二人谁搬的砖多？多几块？ 【考点】列不定方程解应用题【难度】3 星【题型】解答 【解析】设甲搬的是18x块，乙搬的是23y块那么1823300 xy观察发现18x和300都是6的倍数，所 以y也是6的倍数由于3002313y ，所以y只能为 6 或 12 6y 时18162x ，得到9x ； 12y 时1824x ，此时x不是整数，矛盾 所以甲搬了162块，乙搬了138块，甲比乙搬得多，多24块 【答案】甲
5、比乙搬得多，多24块 【巩固】【巩固】 现有足够多的现有足够多的5角和角和8角的邮票，用来付角的邮票，用来付4.7元的邮资，问元的邮资，问8角的邮票需要多少张？角的邮票需要多少张？ 【考点】列不定方程解应用题【难度】3 星【题型】解答 【解析】设5角和8角的邮票分别有x张和y张，那么就有等量关系：5847xy 尝试y的取值， 当y取4时，x能取得整数3， 当y再增大， 取大于等于6的数时，x没有自然数解 所 以8角的邮票需要4张 【答案】8角的邮票需要4张 【例【例 2】 用十进制表示的某些自然数，恰等于它的各位数字之和的用十进制表示的某些自然数，恰等于它的各位数字之和的16倍，则满足条件的所
6、有自然数之和为倍，则满足条件的所有自然数之和为 _. 【考点】列不定方程解应用题【难度】3 星【题型】解答 【关键词】北大附中，资优博雅杯 【解析】若是四位数abcd，则1616361000abcd，矛盾，四位以上的自然数也不可能。 若是两位数ab，则1610ababab，也不可能，故只有三位数abc. 1610010abcabc，化简得2825abc.由于257963bc， 所以1a 或2b .1a 时，9b ，2c ，或4b ，4c ；2a 时，8b ，8c . 所以所有自然数之和为192144288624. 【答案】所有满足条件的自然数之和为624 模块二、不定方程与应用题 【例【例 3
7、】 有两种不同规格的油桶若干个有两种不同规格的油桶若干个，大的能装大的能装8千克油千克油，小的能装小的能装5千克油千克油，44千克油恰好装满这些油千克油恰好装满这些油 桶问：大、小油桶各几个？桶问：大、小油桶各几个？ 【考点】列不定方程解应用题【难度】3 星【题型】解答 【解析】设有大油桶x个，小油桶y个由题意得： 8544xy 可知844x ，所以0 1 2 3 4 5x 、 、 、由于x、y必须为整数，所以相应的将x的所有可能值代入方程， 可得3x 时，4y 这一组整数解 所以大油桶有3个，小油桶有4个 小结：这道题在解答时，也可联系数论的知识，注意到能被 5 整除的数的特点，便可轻松求解
8、. 【答案】大油桶有3个，小油桶有4个 【例【例 4】 在一次活动中在一次活动中，丁丁和冬冬到射击室打靶丁丁和冬冬到射击室打靶，回来后见到同学回来后见到同学“小博士小博士”，他们让他们让“小博士小博士”猜他们各命猜他们各命 中多少次中多少次“小博士小博士”让丁丁把自己命中的次数乘以让丁丁把自己命中的次数乘以5，让冬冬把自己命中的次数乘以让冬冬把自己命中的次数乘以4，再把两个再把两个 得数加起来告诉他，丁丁和冬冬算了一下是得数加起来告诉他，丁丁和冬冬算了一下是31，“小博士小博士”正确地说出了他们各自命中的次数你正确地说出了他们各自命中的次数你 知道丁丁和冬冬各命中几次吗？知道丁丁和冬冬各命中几
9、次吗？ 【考点】列不定方程解应用题【难度】3 星【题型】解答 【解析】设丁丁和冬冬分别命中了x次和y次，则：5431xy可见x除以 4 的余数为 3，而且x不能超过 6，所以3x ，4y 即丁丁命中了3次，冬冬命中了4次 【答案】丁丁命中了3次，冬冬命中了4次 3-3-3.列不定方程解应用题.题库教师版page 3 of 12 【巩固】【巩固】 某人打靶某人打靶，8发共打了发共打了53环环，全部命中在全部命中在10环环、7环和环和5环上环上问问：他命中他命中10环环、7环和环和5环各几环各几 发？发？ 【考点】列不定方程解应用题【难度】3 星【题型】解答 【解析】假设命中 10 环x发，7 环
10、y发，5 环z发，则 8(1) 107553(2) xyz xyz 由可知7y除以 5 的余数为 3， 所以4y 、 9如果y为 9， 则76353y ， 所以y只能为 4， 代入原方程组可解得1x ，3z 所 以他命中10环1发，7环4发，5环3发 【答案】命中10环1发，7环4发，5环3发 【例【例 5】 某次聚餐某次聚餐，每一位男宾付每一位男宾付130元元，每一位女宾付每一位女宾付100元元，每带一个孩子付每带一个孩子付60元元，现在有现在有 1 3 的成人各的成人各 带一个孩子，总共收了带一个孩子，总共收了2160元，问：这个活动共有多少人参加元，问：这个活动共有多少人参加(成人和孩子
11、成人和孩子)？ 【考点】列不定方程解应用题【难度】3 星【题型】解答 【解析】设参加的男宾有x人，女宾有y人，则由题意得方程： 1 130100602160 3 xyxy，即 1501202160 xy，化简得5472xy这个方程有四组解： 4 13 x y ， 8 8 x y ， 12 3 x y 和 0 18 x y ， 但是由于有 1 3 的成人带着孩子，所以xy能被3整除，检验可知只有后两组满足 所以，这个活动共有 1 12312320 3 人或 1 181824 3 人参加 【答案】这个活动共有20人或24人参加 【巩固】【巩固】 单位的职工到郊外植树单位的职工到郊外植树，其中有男职
12、工其中有男职工，也有女职工也有女职工，并且有并且有 1 3 的职工各带一个孩子参加的职工各带一个孩子参加男职工男职工 每人种每人种13棵树棵树，女职工每人种女职工每人种10棵树棵树，每个孩子都种每个孩子都种6棵树棵树，他们一共种了他们一共种了216棵树棵树，那么其中有那么其中有 多少名男职工？多少名男职工？ 【考点】列不定方程解应用题【难度】3 星【题型】解答 【解析】因为有 1 3 的职工各带一个孩子参加，则职工总人数是3的倍数设男职工有x人，女职工有y人 则职工总人数是xy人，孩子是 3 xy 人得到方程：13103 6216xyxy ，化简得： 5472xy因为男职工与女职工的人数都是整
13、数，所以当3y 时，12x ；当8y 时，8x ； 当13y ，4x 其中只有31215是3的倍数，符合题意，所以其中有 12 名男职工 【答案】其中有 12 名男职工 【例【例 6】 张师傅每天能缝制张师傅每天能缝制3件上衣件上衣，或者或者9件裙裤件裙裤，李师傅每天能缝制李师傅每天能缝制2件上衣件上衣，或者或者7件裙裤件裙裤，两人两人20 天共缝制上衣和裙裤天共缝制上衣和裙裤134件，那么其中上衣是多少件？件，那么其中上衣是多少件？ 【考点】列不定方程解应用题【难度】3 星【题型】解答 【解析】如果20天都缝制上衣，共可缝制3220100件，实际上比这多缝制了13410034件，这就要 把上
14、衣换成裙裤，张师傅每天可多换936件，李师傅每天可多换725件，设张师傅缝制裙裤 x天，李师傅缝制裙裤y天，则：6534xy，整数解只有4x ，2y 因此共缝制裙裤947250件，上衣共1345084件 【答案】上衣共84件 【巩固】【巩固】 小花狗和波斯猫是一对好朋友小花狗和波斯猫是一对好朋友，它们在早晚见面时总要叫上几声表示问候它们在早晚见面时总要叫上几声表示问候若是早晨见面若是早晨见面，小花狗小花狗 叫两声叫两声，波斯猫叫一声波斯猫叫一声；若是晚上见面若是晚上见面，小花狗叫两声小花狗叫两声，波斯猫叫三声波斯猫叫三声细心的小娟对它们的叫声细心的小娟对它们的叫声 统计了统计了15天，发现它们
15、并不是每天早晚都见面在这天，发现它们并不是每天早晚都见面在这15天内它们共叫了天内它们共叫了61声问：波斯猫至少叫声问：波斯猫至少叫 了多少声？了多少声？ 【考点】列不定方程解应用题【难度】3 星【题型】解答 【解析】早晨见面小花狗和波斯猫共叫3声，晚上见面共叫5声设在这 15 天内早晨见面x次，晚上见面y 3-3-3.列不定方程解应用题.题库教师版page 4 of 12 次根据题意有：3561xy(15x，15y) 可以凑出，当2x 时，11y ；当7x 时，8y ；当12x 时，5y 因为小花狗共叫了2 xy声，那么xy越大，小花狗就叫得越多，从而波斯猫叫得越少，所以 当12x ，5y
16、时波斯猫叫得最少，共叫了1 123 527 (声) 【答案】叫了27声 【例【例 7】 甲甲、乙两人生产一种产品乙两人生产一种产品，这种产品由一个这种产品由一个A配件与一个配件与一个B配件组成配件组成甲每天生产甲每天生产 300 个个A配件配件， 或生产或生产 150 个个B配件；乙每天生产配件；乙每天生产 120 个个A配件，或生产配件，或生产 48 个个B配件为了在配件为了在 10 天内生产出更天内生产出更 多的产品，二人决定合作生产，这样他们最多能生产出多少套产品？多的产品，二人决定合作生产，这样他们最多能生产出多少套产品？ 【考点】列不定方程解应用题【难度】3 星【题型】解答 【解析】
17、假设甲、乙分别有x天和y天在生产A配件，则他们生产B配件所用的时间分别为(10) x天和 (10) y天，那么 10 天内共生产了A配件(300120 )xy个，共生产了B配件 150(10)48(10)198015048xyxy个要将它们配成套，A配件与B配件的数量应相等， 即300120198015048xyxy，得到7528330 xy，则 33028 75 y x 此时生产的产品的套数为 33028 30012030012013208 75 y xyyy ，要使生产的产品最多，就 要使得y最大，而y最大为 10，所以最多能生产出13208 101400 套产品 【答案】最多能生产出14
18、00套产品 【巩固】【巩固】 某服装厂有甲某服装厂有甲、乙两个生产车间乙两个生产车间，甲车间每天能生产上衣甲车间每天能生产上衣 16 件或裤子件或裤子 20 件件；乙车间每天能生产上乙车间每天能生产上 衣衣 18 件或裤子件或裤子 24 件现在要上衣和裤子配套，两车间合作件现在要上衣和裤子配套，两车间合作 21 天，最多能生产多少套衣服？天，最多能生产多少套衣服？ 【考点】列不定方程解应用题【难度】3 星【题型】解答 【解析】假设甲、乙两个车间用于生产上衣的时间分别为x天和y天，则他们用于生产裤子的天数分别为 (21) x天和(21)y天，那么总共生产了上衣(1618 )xy件， 生产了裤子2
19、0(21)24(21)9242024xyxy件 根据题意，裤子和上衣的件数相等，所以16189242024xyxy，即67154xy，即 1547 6 y x 那么共生产了 154722 16181618410 633 y xyyy 套衣服 要使生产的衣服最多，就要使得y最小，则x应最大，而x最大为 21，此时4y 故最多可以生产 出 22 4104408 33 套衣服 【答案】最多可以生产出408套衣服 【例【例 8】 有一项工程有一项工程，甲单独做需要甲单独做需要36天完成天完成，乙单独做需要乙单独做需要30天完成天完成，丙单独做需要丙单独做需要48天完成天完成，现在由现在由 甲、乙、丙三
20、人同时做，在工作期间，丙休息了整数天，而甲和乙一直工作至完成，最后完成这甲、乙、丙三人同时做，在工作期间，丙休息了整数天，而甲和乙一直工作至完成，最后完成这 项工程也用了整数天，那么丙休息了项工程也用了整数天，那么丙休息了天天 【考点】列不定方程解应用题【难度】3 星【题型】解答 【解析】设完成这项工程用了a天，其间丙休息了b天 根据题意可知： 1111 1 36304848 ab ， 591 1 72048 ab，化简得5915720ab 由上式，因为15b与720都是15的倍数，所以59a必须是15的倍数，所以a是15的倍数，在ab的 条件下，只有15a ，11b 一组解，即丙休息了11天
21、 【答案】丙休息了11天 【例【例 9】 实验小学的五年级学生租车去野外开展实验小学的五年级学生租车去野外开展“走向大自然走向大自然，热爱大自然热爱大自然”活动活动，所有的学生和老师共所有的学生和老师共306 人恰好坐满了人恰好坐满了5辆大巴车和辆大巴车和3辆中巴车，已知每辆中巴车的载客人数在辆中巴车，已知每辆中巴车的载客人数在20人到人到25人之间，求每辆人之间，求每辆 大巴车的载客人数大巴车的载客人数 【考点】列不定方程解应用题【难度】3 星【题型】解答 【解析】设每辆大巴车和中巴车的载客人数分别为x人和y人，那么有：53306xy由于知道中巴车的载 客人数，也就是知道了y的取值范围，所以
22、应该从y入手显然3y被5除所得的余数与306被5除 3-3-3.列不定方程解应用题.题库教师版page 5 of 12 所得的余数相等，从个位数上来考虑，3y的个位数字只能为 1 或 6，那么当y的个位数是2或7时 成立由于y的值在 20 与 25 之间，所以满足条件的22y ，继而求得48x ，所以大巴车的载客 人数为48人 【答案】大巴车的载客人数为48人 【巩固】【巩固】 实验小学的五年级学生租车去野外开展实验小学的五年级学生租车去野外开展“走向大自然走向大自然，热爱大自然热爱大自然”活动活动，所有的学生和老师共所有的学生和老师共306 人恰好坐满了人恰好坐满了7辆大巴车和辆大巴车和2辆
23、中巴车，已知每辆中巴车的载客人数在辆中巴车，已知每辆中巴车的载客人数在20人到人到25人之间，求每辆人之间，求每辆 大巴车的载客人数大巴车的载客人数 【解析】设大巴车和中巴车的载客人数分别为x人和y人，那么有：72306xy 考虑等式两边除以 7 的余数，由于306被7除余5，所以2y被7除余5，符合条件的y有：6、13、 20、27，所以20y ，继而求得38x ，所以大巴车的载客人数为38人 【答案】大巴车的载客人数为38人 【巩固】【巩固】 每辆大汽车能容纳每辆大汽车能容纳 54 人人，每辆小汽车能容纳每辆小汽车能容纳 36 人人现有现有 378 人人，要使每个人都上车且每辆车都装要使每
24、个人都上车且每辆车都装 满，需要大、小汽车各几辆？满，需要大、小汽车各几辆？ 【考点】列不定方程解应用题【难度】3 星【题型】解答 【解析】设需要大、小汽车分别为x辆、y辆，则有：5436378xy，可化为3221xy 可以看出y是 3 的倍数，又不超过 10，所以y可以为 0、3、6 或 9，将0y 、3、6、9 分别代入可 知有四组解： 1 9 x y ；或 3 6 x y ；或 5 3 x y ；或 7 0 x y 即需大汽车 1 辆，小汽车 9 辆；或大汽车 3 辆，小汽车 6 辆；或大汽车 5 辆，小汽车 3 辆；或大汽 车 7 辆 【答案】大汽车 1 辆，小汽车 9 辆；或大汽车
25、3 辆，小汽车 6 辆；或大汽车 5 辆，小汽车 3 辆；或大汽车 7 辆 【巩固】【巩固】 小伟听说小峰养了一些兔和鸡，就问小峰：小伟听说小峰养了一些兔和鸡，就问小峰：“你养了几只兔和鸡？你养了几只兔和鸡？”小峰说：小峰说：“我养的兔比鸡多，鸡我养的兔比鸡多，鸡 兔共兔共24条腿条腿”那么小峰养了多少兔和鸡？那么小峰养了多少兔和鸡？ 【考点】列不定方程解应用题【难度】3 星【题型】解答 【解析】这是一道鸡兔同笼问题，但由于已知鸡兔腿的总数，而不是鸡兔腿数的差，所以用不定方程求解 设小峰养了x只兔子和y只鸡，由题意得： 4224xy 即：212xy，122yx 这是一个不定方程，其可能整数解如
26、下表所示： x 0123456 y 121086420 由题意xy，且x，y均不为0，所以5x ，2y ，也就是兔有5只，鸡有2只 【答案】兔有5只，鸡有2只 【例【例 10】一个家具店在一个家具店在 1998 年总共卖了年总共卖了 213 张床张床 起初他们每个月卖出起初他们每个月卖出 25 张床张床， 之后每个月卖出之后每个月卖出 16 张床张床， 最后他们每个月卖出最后他们每个月卖出 20 张床问：他们共有多少个月是卖出张床问：他们共有多少个月是卖出 25 张床？张床？ 【考点】列不定方程解应用题【难度】3 星【题型】解答 【关键词】香港保良局亚洲区城市小学数学邀请赛 【解析】设卖出 2
27、5、16、20 张床的月份分别为x、y、z个月，则： 12(1) 251620213(2) xyz xyz 由得12yxz，代入得9421xz 显然这个方程的正整数解只有1x ，3z 所以只有 1 个月是卖出 25 张床的 【答案】只有 1 个月是卖出 25 张床的 3-3-3.列不定方程解应用题.题库教师版page 6 of 12 【例【例 11】五年级一班共有五年级一班共有36人人，每人参加一个兴趣小组每人参加一个兴趣小组，共有共有A、B、C、D、E五个小组五个小组若参加若参加A组组 的有的有15人人，参加参加B组的人数仅次于组的人数仅次于A组组，参加参加C组组、D组的人数相同组的人数相同
28、，参加参加E组的人数最少组的人数最少，只只 有有4人人那么，参加那么，参加B组的有组的有_人人 【考点】列不定方程解应用题【难度】3 星【题型】解答 【关键词】希望杯，二试 【解析】设参加B组的有x人，参加C组、D组的有y人，则4xy， 由题知152436xy，整理得217xy； 由于4y ，若5y ，得7x ，满足题意；若6y ，则5x ，与xy矛盾； 所以只有7x ，5y 符合条件，故参加B组的有7人 【答案】参加B组的有7人 【例【例 12】将一群人分为甲乙丙三组，每人都必在且仅在一组已知甲乙丙的平均年龄分为将一群人分为甲乙丙三组，每人都必在且仅在一组已知甲乙丙的平均年龄分为37，23，
29、41.甲甲 乙两组人合起来的平均年龄为乙两组人合起来的平均年龄为29；乙丙两组人合起来的平均年龄为；乙丙两组人合起来的平均年龄为33则这一群人的平均年龄则这一群人的平均年龄 为为. 【考点】列不定方程解应用题【难度】3 星【题型】解答 【关键词】我爱数学夏令营 【解析】设甲乙丙三组分别有xyz， ，人，依提议有： 372329 234133 xyxy yzyz 由化简可得:3:4x y ，由化简可得:4:5y z ，所以:3:4:5x y z ； 因此，这一群人的平均年龄为 37323441 5 34 345 【答案】34 【例【例 13】14个大个大、中中、小号钢珠共重小号钢珠共重100克克
30、，大号钢珠每个重大号钢珠每个重12克克，中号钢珠每个重中号钢珠每个重8克克，小号钢珠每个重小号钢珠每个重 5克问：大、中、小号钢珠各有多少个？克问：大、中、小号钢珠各有多少个？ 【考点】列不定方程解应用题【难度】3 星【题型】解答 【解析】设大、中、小号钢珠分别有x个，y个和z个，则： 14(1) 1285100(2) xyz xyz (2)(1)5，得 7330 xy 可见7x是 3 的倍数， 又是 7 的倍数， 且小于 30， 所以只能为 21， 故3x ， 代入得3y ， 8z 所以大、中、小号钢珠分别有 3 个、3 个和 8 个 【答案】大、中、小号钢珠分别有 3 个、3 个和 8 个
31、 【巩固】【巩固】 袋子里有三种球，分别标有数字袋子里有三种球，分别标有数字2，3和和5，小明从中摸出，小明从中摸出 12 个球，它们的数字之和是个球，它们的数字之和是43问：问： 小明最多摸出几个标有数字小明最多摸出几个标有数字2的球？的球？ 【考点】列不定方程解应用题【难度】3 星【题型】解答 【解析】设小明摸出标有数字2，3和5的球分别为x，y，z个，于是有 12(1) 23543(2) xyz xyz 由5(1)(2)，得3217(3)xy， 由于x，y都是正整数，因此在中，y取1时x取最大值5， 所以小明最多摸出 5 个标有数字 2 的球 【答案】最多摸出 5 个标有数字 2 的球
32、【例【例 14】公鸡公鸡 1 只值钱只值钱 5，母鸡一只值钱母鸡一只值钱 3，小鸡三只值钱小鸡三只值钱 1，今有钱今有钱 100，买鸡买鸡 100 只只，问公鸡问公鸡、母鸡母鸡、小小 鸡各买几只？鸡各买几只？ 【考点】列不定方程解应用题【难度】3 星【题型】解答 3-3-3.列不定方程解应用题.题库教师版page 7 of 12 【解析】设买公鸡、母鸡、小鸡各x、y、z只，根据题意，得方程组 100 1 53100 3 xyz xyz 由3 ， 得148200 xy，即： 200147 25 84 x yx ，因为x、y为正整数，所以不难得出x应为4的倍 数，故x只能为4、8、12，从而相应y
33、的值分别为18、11、4，相应z的值分别为78、81、84所 以，方程组的特殊解为 4 18 78 x y z ， 8 11 81 x y z ， 12 4 84 x y z ，所以公鸡、母鸡、小鸡应分别买4只、18只、78 只或8只、11只、81只或12只、4只、84只 【答案】公鸡、母鸡、小鸡应分别买4只、18只、78只或8只、11只、81只或12只、4只、84只 【巩固】【巩固】 小明玩套圈游戏小明玩套圈游戏，套中小鸡一次得套中小鸡一次得9分分，套中小猴得套中小猴得5分分，套中小狗得套中小狗得2分分小明共套了小明共套了10次次，每每 次都套中了次都套中了，每个小玩具都至少被套中一次每个小
34、玩具都至少被套中一次，小明套小明套10次共得次共得61分分问问：小明至多套中小鸡几次？小明至多套中小鸡几次？ 【考点】列不定方程解应用题【难度】3 星【题型】解答 【解析】设套中小鸡x次，套中小猴y次，则套中小狗 (10 xy)次根据得61分可列方程： 952(10)61xyxy，化简后得7413xy显然y越小，x越大 将1y 代 入 得 738x ，无整数解；若2y ，735x ，解得5x ，所以小明至多套中小鸡5次 【答案】小明至多套中小鸡5次 【例【例 15】开学前开学前，宁宁拿着妈妈给的宁宁拿着妈妈给的30元钱去买笔元钱去买笔，文具店里的圆珠笔每支文具店里的圆珠笔每支4元元，铅笔每支铅
35、笔每支3元元宁宁买完宁宁买完 两种笔后把钱花完请问：她一共买了几支笔？两种笔后把钱花完请问：她一共买了几支笔？ 【考点】列不定方程解应用题【难度】3 星【题型】解答 【解析】 (法一)由于题中圆珠笔与铅笔的数量都不知道，但总费用已知，所以可以根据不定方程分析两种笔 的数量， 进而得解 设她买了x支圆珠笔，y支铅笔， 由题意列方程：4330 xy， 所以3304yx， 4 10 3 x y 因为xy、均为整数， 所以x应该能被3整除， 又因为17x， 所以3x 或6， 当3x 时， 6y ，9xy，当6x 时，2y ，8xy，宁宁共买了9支笔或8支笔 (法二)换个角考虑： 将“一支圆珠笔和一支铅
36、笔”看成一对， 分析宁宁可能买了几对笔， 不妨设为m对， 余下的一定是圆珠笔与铅笔中的唯一一种一对笔的售价为“437元，由题意可知， 14m，又m为整数 （1） 当1m 时，余款为30723，不能被3或4整除，这种情况不可能； （2） 当2m 时，余款为302716，能被4整除，也就是说配对后，余下4支圆珠笔此时， 宁宁买了6支圆珠笔，2支铅笔，共8支笔 （3） 当3m 时，余款为303 79 ，能被3整除，也就是说配对后，余下3支圆珠笔此时， 宁宁买了3支圆珠笔，6支铅笔，共9支笔 （4） 当4m 时，余款为30472，不能被3或4整除，这种情况不可能，由上面的分析可 知，宁宁共买了9支笔或
37、8支笔 【答案】宁宁共买了9支笔或8支笔 【巩固】【巩固】 小华和小强各用小华和小强各用6角角4分买了若干支铅笔，他们买来的铅笔中都是分买了若干支铅笔，他们买来的铅笔中都是5分一支和分一支和7分一支的两种，而分一支的两种，而 且小华买来的铅笔比小强多小华比小强多买来铅笔多少支且小华买来的铅笔比小强多小华比小强多买来铅笔多少支 【考点】列不定方程解应用题【难度】3 星【题型】解答 【关键词】迎春杯，预赛 【解析】设买5分一支的铅笔m支，7分一支的铅笔n支则：5764mn，647n是5的倍数用 0n ，1，2，3，4，5，6，7，8代入检验，只有2n ，7满足这一要求，得出相应的10m ， 3即小
38、华买铅笔10212支，小强买铅笔7310支，小华比小强多买2支 【答案】小华比小强多买2支 3-3-3.列不定方程解应用题.题库教师版page 8 of 12 【例【例 16】蓝天小学举行蓝天小学举行“迎春迎春”环保知识大赛环保知识大赛，一共有一共有100名男名男、女选手参加初赛女选手参加初赛，经过初赛经过初赛、复赛复赛，最后确最后确 定了参加决赛的人选已知参加决赛的男选手的人数，占初赛的男选手人数的定了参加决赛的人选已知参加决赛的男选手的人数，占初赛的男选手人数的20%；参加决赛的；参加决赛的 女选手的人数女选手的人数， 占初赛的女选手人数的占初赛的女选手人数的12.5%， 而且比参加初赛的
39、男选手的人数多而且比参加初赛的男选手的人数多 参加决赛的男参加决赛的男、 女选手各有多少人？女选手各有多少人？ 【考点】列不定方程解应用题【难度】3 星【题型】解答 【解析】由于参加决赛的男选手的人数，占初赛的男选手人数的20%；参加决赛的女选手的人数，占初赛时 女选手人数的12.5%，所以参加初赛的男选手人数应是5的倍数，参加初赛的女选手的人数应是8的 倍数 设参加初赛的男生为5x人，参加初赛的女生为8y人 根据题意可列方程：58100 xy 解得 12 5 x y ，或 4 10 x y 又因为参加决赛的女选手的人数，比参加决赛的男选手的人数多，也就是y要比x大，所以第一组 解不合适，只有
40、4x ，10y 满足 故参加决赛的男选手为4人，女选手为10人 【答案】男选手为4人，女选手为10人 【巩固】【巩固】 今有桃今有桃95个个，分给甲分给甲、乙两班学生吃乙两班学生吃，甲班分到的桃有甲班分到的桃有 2 9 是坏的是坏的，其他是好的其他是好的；乙班分到的桃有乙班分到的桃有 3 16 是坏的，其他是好的是坏的，其他是好的甲、乙两班分到的好桃共有几个？甲、乙两班分到的好桃共有几个？ 【考点】列不定方程解应用题【难度】3 星【题型】解答 【解析】甲班分到的桃是9的倍数， 乙班分到的桃是16的倍数， 假设甲班分到桃9x个， 乙班分到桃16y个 于 是：91695xy，解得7x ，2y ，即
41、甲班分到桃9763(个)，乙班分到桃16232(个)所 以，两班共分到好桃 23 63 (1)32(1)75 916 (个) 【答案】两班共分到好桃75个 【例【例 17】甲甲、乙两人各有一袋糖乙两人各有一袋糖，每袋糖都不到每袋糖都不到20粒粒如果甲给乙一定数量的糖后如果甲给乙一定数量的糖后，甲的糖就是乙的甲的糖就是乙的2倍倍； 如果乙给甲同样数量的糖后，甲的糖就是乙的如果乙给甲同样数量的糖后，甲的糖就是乙的3倍甲、乙两人共有多少粒糖？倍甲、乙两人共有多少粒糖？ 【考点】列不定方程解应用题【难度】3 星【题型】解答 【解析】设甲、乙原有糖分别为x粒、y粒，甲给乙的数量为z粒，则依题意有： 2(
42、) 3() xzyz xzyz ，且 20 20 x y 整理得 230(1) 340(2) xyz xyz 由得23xyz，代入得70zy，即7yz 因20y ，故1z 或2z 若2z ，则14y ，2 14323420 x ，不合题意 因而1z ，对应方程组有唯一解17x ，7y ，1z 则甲、乙共有糖17724粒 【答案】甲、乙共有糖24粒 【巩固】【巩固】 有两小堆砖头，如果从第一堆中取出有两小堆砖头，如果从第一堆中取出100块放到第二堆中去，那么第二堆将比第一堆多一倍块放到第二堆中去，那么第二堆将比第一堆多一倍如果如果 相反相反，从第二堆中取出若干块放到第一堆中去从第二堆中取出若干块
43、放到第一堆中去，那么第一堆将是第二堆的那么第一堆将是第二堆的6倍倍问问：第一堆中的砖第一堆中的砖 头最少有多少块？头最少有多少块？ 【考点】列不定方程解应用题【难度】3 星【题型】解答 【解析】设第一堆砖有x块，则根据第一个条件可得第二堆砖有2300 x 块 再设从第二堆中取出y块放在第一堆后，第一堆将是第二堆的6倍，可列方程： 62300 xyxy，化简得7180011yx， 那么 77 7180011163 11 y xy 因为x是整数，7与11互质，所以1y 应是11的倍数，y最小是10，推知x最小是 3-3-3.列不定方程解应用题.题库教师版page 9 of 12 7101 1631
44、637170 11 ，所以，第一堆中的砖头最少有170块 【答案】第一堆中的砖头最少有170块 【例【例 18】甲乙丙三个班向希望工程捐赠图书，已知甲班有甲乙丙三个班向希望工程捐赠图书，已知甲班有1人捐人捐6册，有册，有2人各捐人各捐7册，其余都各捐册，其余都各捐11册，册， 乙班有乙班有1人捐人捐6册册，3人各捐人各捐8册册，其余各捐其余各捐10册册；丙班有丙班有2人各卷人各卷4册册，6人各捐人各捐7册册，其余各捐其余各捐 9册册。已知甲班捐书总数比乙班多已知甲班捐书总数比乙班多28册册，乙班比丙班多乙班比丙班多101册册，各班捐书总数在各班捐书总数在400册与册与550册之册之 间，问各班
45、各有多少人？间，问各班各有多少人？ 【考点】列不定方程解应用题【难度】3 星【题型】解答 【关键词】华杯赛，复赛 【解析】我们设甲班有x人，乙班有y人，丙班有z人，那么三个班的捐书数目分别为： 11(3)6771113xx， 10(4)68 31010yy ， 9(8)4276922zz， 根据题意有： 1113101028 1010(922)101 xy yz ，即有11 1031 10989 xy yz 又因为各班的捐书数目都在400到550之间，因此我们知道：捐书最多的甲班有1113550 x ，而 捐书最少的丙班有922400z ，从而有5631110319893142289xyz 3
46、1542，于是有5249x，所以有50 x 或51。经检验，当50 x 时，y不是整数，而当51x 时，有53,49yz，也就是说，甲乙丙三班人数分别为51，53，49。 【答案】甲乙丙三班人数分别为51，53，49 【例【例 19】在新年联欢会上在新年联欢会上，某班组织了一场飞镖比赛某班组织了一场飞镖比赛如右图如右图，飞镖的靶子分为三块区域飞镖的靶子分为三块区域，分别对应分别对应17分分、 11分和分和4分分每人可以扔若干次飞镖每人可以扔若干次飞镖，脱靶不得分脱靶不得分，投中靶子就可以得到相应的分数投中靶子就可以得到相应的分数若恰好投在若恰好投在 两块两块(或三块或三块)区域的交界线上，则得
47、两块区域的交界线上，则得两块(或三块或三块)区域中分数最高区域的分数如果比赛规定恰好区域中分数最高区域的分数如果比赛规定恰好 投中投中120分才能获奖，要想获奖至少需要投中分才能获奖，要想获奖至少需要投中次飞镖次飞镖 【考点】列不定方程解应用题【难度】3 星【题型】解答 【关键词】迎春杯，高年级组，复赛 【解析】假设投中 17 分、 11 分、 4 分的次数分别为x次、y次和z次， 那么投中飞镖的总次数为xyz次， 而总得分为17114xyz分，要想获奖，必须17114120 xyz 由于17120 x ，得到6x 当x的值一定后，要使xyz最小，必须使y尽可能大 若6x ，得到11418yz
48、，此时无整数解； 若5x ，得到11435yz，此时1y ，6z ，51612xyz ； 若4x ，得到11452yz，此时y最大为 4，当4y 时2z ，这种情况下10 xyz； 若3x ，得到11469yz，此时3y ，9z ，33915xyz； 若2x ，得到11486yz，此时y最大为 6，当6y 时5z ，这种情况下13xyz； 若1x ，得到114103yz，此时y最大为 9，当9y 时1z ，这种情况下11xyz； 若0 x ，得到114120yz，此时y最大为 8，当8y 时8z ，这种情况下16xyz 经过比较可知xyz的值最小为 10，所以至少需要投中 10 次飞镖才能获奖
49、 【答案】至少需要投中 10 次飞镖才能获奖 模块三、不定方程与生活中的应用题 3-3-3.列不定方程解应用题.题库教师版page 10 of 12 【例【例 20】某地用电收费的标准是：若每月用电不超过某地用电收费的标准是：若每月用电不超过50度，则每度收度，则每度收5角；若超过角；若超过50度，则超出部分按每度，则超出部分按每 度度8角收费某月甲用户比乙用户多交角收费某月甲用户比乙用户多交3元元3角电费，这个月甲、乙各用了多少度电？角电费，这个月甲、乙各用了多少度电？ 【考点】列不定方程解应用题【难度】3 星【题型】解答 【解析】3 元 3 角即 33 角，因为33既不是5的倍数又不是8的
50、倍数，所以甲、乙两用户用电的情况一定是一 个超过了 50 度，另一个则没有超过由于甲用户用电更多，所以甲用户用电超过50度，乙用户用 电不足50度设这个月甲用电50 x度，乙用电50y度因为甲比乙多交33角电费，所以有 8533xy容易看出1x ，5y ，可知甲用电51度，乙用电45度 【答案】甲用电51度，乙用电45度 【巩固】【巩固】 某区对用电的收费标准规定如下某区对用电的收费标准规定如下： 每月每户用电不超过每月每户用电不超过10度的部分度的部分， 按每度按每度0.45元收费元收费； 超过超过10度度 而不超过而不超过20度的部分，按每度度的部分，按每度0.80元收费；超过元收费；超过
