1、3-3-2.比例解行程问题.题库学生版page 1 of 13 行程综合问题行程综合问题 教学目标教学目标 1. 运用各种方法解决行程内综合问题。 2. 发现一些综合问题中，行程与其它模块的联系，并解决奥数综合问题。 知识精讲知识精讲 行程问题是奥数中的一个难点，内容多而杂。而在行程问题中，还有一些尤其复杂的综合问题。它们 大致可以分为两类： 一、行程内综合，把行程问题中的一些零散的知识点综合在一道题目中，这就是一道行程内综合 题目。例如把环形跑道和猎狗追兔结合在一起，把流水行船和发车间隔结合起来等等。 二、学科内综合，这种问题就不只是行程问题了，把行程问题和其它知识模块里的思想方法结合 在一
2、起，这种综合性题目的难度也很大，比如行程与策略综合等等。 本讲内容主要就是针对这种综合性题目。虽然题目难度偏大，但是这种题目在杯赛和小升初试题中是 很受“偏爱”的。所以很重要。 模块一、行程内综合 【例【例 1】 邮递员早晨邮递员早晨 7 时出发送一份邮件到对面山里，从邮局开始要走时出发送一份邮件到对面山里，从邮局开始要走 12 千米上坡路，千米上坡路，8 千米下坡路千米下坡路。 他上坡时每小时走他上坡时每小时走 4 千米，下坡时每小时走千米，下坡时每小时走 5 千米，到达目的地停留千米，到达目的地停留 1 小时以后，又从原路返小时以后，又从原路返 回，邮递员什么时候可以回到邮局回，邮递员什么
3、时候可以回到邮局? 【考点】变速问题与走停问题【难度】2 星【题型】解答 【解析】法一：先求出去的时间，再求出返回的时间，最后转化为时刻。邮递员到达对面山里需时间： 124+85=4.6(小时);邮递员返回到邮局共用时间：84+125+1+4.6 =2+2.4+1+4.6 = l0(小时) 邮递员回到邮局时的时刻是：7+10-12=5(时).邮递员是下午 5 时回到邮局的。 法二：从整体上考虑，邮递员走了（12+8）千米的上坡路，走了（12+8）千米的下坡路，所以共 用时间为： （12+8）4+（12+8）5+1=10(小时)，邮递员是下午 7+10-12=5(时) 回到邮局的。 【答案】5
4、时 【例【例 2】 小红上山时每走小红上山时每走 30 分钟休息分钟休息 10 分钟分钟，下山时每走下山时每走 30 分钟休息分钟休息 5 分钟分钟已知小红下山的速度是已知小红下山的速度是 上山速度的上山速度的1.5倍，如果上山用了倍，如果上山用了 3 小时小时 50 分，那么下山用了多少时间？分，那么下山用了多少时间？ 【考点】变速问题与走停问题【难度】2 星【题型】解答 【解析】上山用了 3 小时 50 分，即60350230 (分)，由2303010530 （），得到上山休息了 5 次， 走了230105180(分)因为下山的速度是上山的1.5倍，所以下山走了1801.5120 (分)由
5、120304知，下山途中休息了 3 次，所以下山共用1205 3135 (分)2小时 15 分 【答案】2小时 15 分 【例【例 3】 已知猫跑已知猫跑 5 步的路程与狗跑步的路程与狗跑 3 步的路程相同；猫跑步的路程相同；猫跑 7 步的路程与兔跑步的路程与兔跑 5 步的路程相同而猫步的路程相同而猫跑跑 3 步的时间与狗跑步的时间与狗跑 5 步的时间相同；猫跑步的时间相同；猫跑 5 步的时间与兔跑步的时间与兔跑 7 步的时间相同，猫、狗、兔沿着步的时间相同，猫、狗、兔沿着 3-3-2.比例解行程问题.题库学生版page 2 of 13 周长为周长为 300 米的圆形跑道米的圆形跑道， 同时同
6、向同地出发同时同向同地出发 问当它们出发后第一次相遇时各跑了多少路程？问当它们出发后第一次相遇时各跑了多少路程？ 【考点】环形跑道与猎狗追兔【难度】5 星【题型】解答 【解析】方法一：由题意，猫与狗的速度之比为9:25，猫与兔的速度之比为25:49 设单位时间内猫跑 1 米，则狗跑 25 9 米，兔跑 49 25 米 狗追上猫一圈需 25675 3001 94 单位时间， 兔追上猫一圈需 49625 3001 252 单位时间 猫、狗、兔再次相遇的时间，应既是 675 4 的整数倍，又是 625 2 的整数倍 675 4 与 625 2 的最小公倍数等于两个分数中，分子的最小公倍数除以分母的最
7、大公约数，即 675,625 675 62516875 ,8437.5 424,22 上式表明，经过8437.5个单位时间，猫、狗、兔第一次相遇 此时，猫跑了8437.5米，狗跑了 25 8437.523437.5 9 米，兔跑了 49 8437.516537.5 25 米 方法二：根据题意，猫跑 35 步的路程与狗跑 21 步的路程、兔跑 25 步的路程相等；而猫跑 15 步 的时间与狗跑 25 步、兔跑 21 步的时间相同 所以猫、狗、兔的速度比为 15 25 21 : 35 21 25 ，它们的最大公约数为 15,25,2115 25 211 , 35 21 2535,21,253 5
8、57 ， 即设猫的速度为 151 225 353 557 ，那么狗的速度为 251 625 213 557 ，则兔的速度为 211 441 253 557 于是狗每跑 3 300(625225) 4 单位时追上猫； 兔每跑 25 300(441225) 18 单位时追上猫 而 3,25 3 2575 , 4 184,182 ，所以猫、狗、兔跑了 75 2 单位时，三者相遇 猫跑了 75 2258437.5 2 米，狗跑了 75 62523437.5 2 米，兔跑了 75 44116537.5 2 米 【答案】16537.5米 【例【例 4】 甲甲、乙两人沿乙两人沿 400 米环形跑道练习跑步米
9、环形跑道练习跑步，两人同时从跑道的同一地点向相反方向跑去两人同时从跑道的同一地点向相反方向跑去。相遇后相遇后 甲比原来速度增加甲比原来速度增加 2 米秒，乙比原来速度减少米秒，乙比原来速度减少 2 米秒，结果都用米秒，结果都用 24 秒同时回到原地。秒同时回到原地。 求甲原来的速度。求甲原来的速度。 【考点】环形跑道与变速问题【难度】3 星【题型】解答 【解析】因为相遇前后甲，乙的速度和没有改变，如果相遇后两人和跑一圈用 24 秒，则相遇前两人和跑 一圈也用 24 秒。以甲为研究对象，甲以原速 V 跑了 24 秒的路程与以（V +2 ）跑了 24 秒的 3-3-2.比例解行程问题.题库学生版p
10、age 3 of 13 路程之和等于 400 米，24V +24（V +2 ）=400 易得 V = 1 7 3 米/秒 【答案】 1 7 3 米/秒 【例【例 5】 环形跑道周长是环形跑道周长是 500 米，甲、乙两人从起点按顺时针方向同时出发。甲每分跑米，甲、乙两人从起点按顺时针方向同时出发。甲每分跑 120 米，乙每分米，乙每分 跑跑 100 米，两人都是每跑米，两人都是每跑 200 米停下休息米停下休息 1 分。甲第一次追上乙需多少分？分。甲第一次追上乙需多少分？ 【考点】环形跑道与变速问题【难度】3 星【题型】解答 【解析】55 分。解：甲比乙多跑 500 米，应比乙多休息 2 次，
11、即 2 分。在甲多休息的 2 分内，乙又跑了 200 米，所以在与甲跑步的相同时间里，甲比乙多跑 500200700（米） ，甲跑步的时间为 700 （120100）35（分） 。共跑了 120354200（米） ，中间休息了 42002001 20（次） ，即 20 分。所以甲第一次追上乙需 352055（分） 。 【答案】55 分 【例【例 6】 甲甲、乙两人同时同地同向出发乙两人同时同地同向出发，沿环形跑道匀速跑步沿环形跑道匀速跑步如果出发时乙的速度是甲的如果出发时乙的速度是甲的2.5倍倍，当乙当乙 第一次追上甲时第一次追上甲时，甲的速度立即提高甲的速度立即提高25%，而乙的速度立即减少
12、而乙的速度立即减少20%，并且乙第一次追上甲的并且乙第一次追上甲的 地点与第二次追上甲的地点相距地点与第二次追上甲的地点相距 100 米，那么这条环形跑道的周长是米，那么这条环形跑道的周长是米米 【考点】环形跑道与变速问题【难度】2 星【题型】解答 【解析】如图，设跑道周长为 1，出发时甲速为 2，则乙速为 5假设甲、乙从A点同时出发，按逆时针方 向跑由于出发时两者的速度比为2:5，乙追上甲要比甲多跑 1 圈，所以此时甲跑了 2 1(52)2 3 ，乙跑了 5 3 ；此时双方速度发生变化，甲的速度变为2(125%)2.5，乙的速 度变为5(120%)4，此时两者的速度比为2.5:45:8；乙要
13、再追上甲一次，又要比甲多跑 1 圈，则此次甲跑了 5 1(85)5 3 ，这个 5 3 就是甲从第一次相遇点跑到第二次相遇点的路程从 环形跑道上来看，第一次相遇点跑到第二次相遇点之间的距离，既可能是 52 1 33 个周长，又可 能是 51 2 33 个周长 那么，这条环形跑道的周长可能为 2 100150 3 米或 1 100300 3 米 【答案】300米 【例【例 7】 如图所示如图所示，甲甲、乙两人从长为乙两人从长为400米的圆形跑道的米的圆形跑道的A点背向出发跑步点背向出发跑步。跑道右半部分跑道右半部分(粗线部分粗线部分） 道路比较泥泞，所以两人的速度都将减慢，在正常的跑道上甲、乙速
14、度均为每秒道路比较泥泞，所以两人的速度都将减慢，在正常的跑道上甲、乙速度均为每秒8米，而在泥米，而在泥 泞道路上两人的速度均为每秒泞道路上两人的速度均为每秒4米米。两人一直跑下去两人一直跑下去，问问：他们第他们第 99 次迎面相遇的地方距次迎面相遇的地方距A点点 还有还有米。米。 ? A 【考点】环形跑道与变速问题【难度】2 星【题型】解答 【解析】本题中，由于甲、乙两人在正常道路和泥泞道路上的速度都相同，可以发现，如果甲、乙各自绕 着圆形跑道跑一圈，两人在正常道路和泥泞道路上所用的时间分别相同，那么两人所用的总时间 3-3-2.比例解行程问题.题库学生版page 4 of 13 也就相同，所
15、以，两人同时出发，跑一圈后同时回到A点，即两人在A点迎面相遇，然后再从A 点出发背向而行，可以发现，两人的行程是周期性的，且以一圈为周期 在第一个周期内，两人同时出发背行而行，所以在回到出发点前肯定有一次迎面相遇，这是两人 第一次迎面相遇，然后回到出发点是第二次迎面相遇；然后再出发，又在同一个相遇点第三次相 遇，再回到出发点是第四次相遇可见奇数次相遇点都是途中相遇的地点，偶数次相遇点都是 A点 本题要求的是第 99 次迎面相遇的地点与A点的距离， 实际上要求的是第一次相遇点与A点 的距离 对于第一次相遇点的位置，需要分段进行考虑：由于在正常道路上的速度较快，所以甲从出发到 跑完正常道路时，乙才
16、跑了20084100 米，此时两人相距 100 米，且之间全是泥泞道路，此 时两人速度相同，所以再各跑 50 米可以相遇所以第一次相遇时乙跑了10050150米，这就 是第一次相遇点与A点的距离，也是第 99 次迎面相遇的地点与A点的距离 【答案】150米 【例【例 8】 甲、乙二人在同一条椭圆形跑道上作特殊训练：他们同时从同一地点出发，沿相反方向跑，每甲、乙二人在同一条椭圆形跑道上作特殊训练：他们同时从同一地点出发，沿相反方向跑，每 人跑完第一圈到达出发点后立即回头加速跑第二圈，跑第一圈时，乙的速度是甲速度的人跑完第一圈到达出发点后立即回头加速跑第二圈，跑第一圈时，乙的速度是甲速度的 2/3
17、.甲甲 跑第二圈时速度比第一圈提高了跑第二圈时速度比第一圈提高了 1/3；乙跑第二圈时速度提高了；乙跑第二圈时速度提高了 1/5已知沿跑道看从甲、乙两已知沿跑道看从甲、乙两 人第二次相遇点到第一次相遇点的最短路程是人第二次相遇点到第一次相遇点的最短路程是 190 米，那么这条椭圆形跑道长多少米米，那么这条椭圆形跑道长多少米? 【考点】环形跑道与变速问题【难度】3 星【题型】解答 【解析】设甲跑第一圈的速度为 3，那么乙跑第一圈的速度为 2，甲跑第二圈的速度为 4，乙跑第二圈的速 度为 12 5 .如下图： 第一次相遇地点逆时针方向距出发点 3 5 的跑道长度 有甲回到出发点时， 乙才跑了 2
18、3 的跑道长度. 在乙接下来跑了 1 3 跑道的距离时， 甲以“4”的速度跑了 12 24 33 圈 所以还剩下 1 3 的跑道长度， 甲以 4 的速度，乙以 12 5 的速度相对而跑，所以乙跑了 11212 4 355 1 8 圈.也就是第二次相 遇点逆时针方向距出发点 1 8 圈即第一次相遇点与第二次相遇点相差 3119 5840 圈，所以，这条 椭圆形跑道的长度为 19 190400 40 米 【答案】400米 【例【例 9】 如图如图 3-5,正方形正方形 ABCD 是一条环形公路是一条环形公路已知汽车在已知汽车在 AB 上时速是上时速是 90 千米千米，在在 BC 上的时速上的时速是
19、是 120 千米，在千米，在 CD 上的时速是上的时速是 60 千米千米,在在 DA 上的时速是上的时速是 80 千米从千米从 CD 上一点上一点 P,同时反向各同时反向各 发出一辆汽车发出一辆汽车,它们将在它们将在 AB 中点相遇中点相遇 如果从如果从 PC 的中点的中点 M,同时反向各发出一辆汽车同时反向各发出一辆汽车,它们将它们将在在 AB 上一点上一点 N 相遇问相遇问 A 至至 N 的距离除以的距离除以 N 至至 B 的距离所得到的商是多少的距离所得到的商是多少? 【考点】环形跑道与变速问题【难度】2 星【题型】解答 【解析】如下图,设甲始终顺时针运动,乙始终逆时针运动,并设正方形
20、ABCD 的边长为单位“1”. 3-3-2.比例解行程问题.题库学生版page 5 of 13 有甲从 P 到达 AB 中点 O 所需时间为 608090 PDDAAO 10.5 608090 PD . 乙从 P 到达 AB 中点 O 所需时间为 6012090 PCBCBO 10.5 6012090 PD . 有甲、乙同时从 P 点出发,则在 AB 的中点 O 相遇,所以有： 1 6080 PD = 1 60120 PC 且有 PD=DC-PC=1-PC,代入有 11 6080 PC 1 60120 PC ,解得 PC= 5 8 . 所以 PM=MC= 5 16 ,DP= 3 8 . 现在甲
21、、乙同时从 PC 的中点出发,相遇在 N 点,设 AN 的距离为x. 有甲从 M 到达 N 点所需时间为 608090 MDDAAN 35 1 816 608090 x ； 乙从 M 到达 N 点所需时间为 6012090 MCCBBN 5 11 16 6012090 x . 有 35 1 816 608090 x 5 11 16 6012090 x ，解得 1 32 x .即 AN= 1 32 . 所以 ANBN 131 3232 1 31 【答案】 1 31 【例【例 10】一条环形道路，周长为一条环形道路，周长为 2 千米甲、乙、丙千米甲、乙、丙 3 人从同一点同时出发，每人环行人从同一
22、点同时出发，每人环行 2 周现有自行周现有自行 车车 2 辆辆，乙和丙骑自行车出发乙和丙骑自行车出发，甲步行出发甲步行出发，中途乙和丙下车步行中途乙和丙下车步行，把自行车留给其他人骑把自行车留给其他人骑已已 知甲步行的速度是每小时知甲步行的速度是每小时 5 千米，乙和丙步行的速度是每小时千米，乙和丙步行的速度是每小时 4 千米，千米，3 人骑车的速度都是每人骑车的速度都是每 小时小时 20 千米千米请你设计一种走法请你设计一种走法，使使 3 个人个人 2 辆车同时到达终点辆车同时到达终点那么环行那么环行 2 周最少要用多少周最少要用多少 分钟分钟? 【考点】环形跑道与变速问题【难度】4 星【题
23、型】解答 【解析】如果甲、乙、丙均始终骑车，则甲、乙、丙同时到达，单位“1”的路程只需时间 1 20 ；乙、丙情况 类似，所以先只考虑甲、乙，现在甲、乙因为步行较骑车行走单位“1”路程，耽搁的时间比为： 1111 :3:4 520420 而他们需同时出发，同时到达，所以耽搁的时间应相等于是步行的距离比应为耽搁时间的倒数比， 即为 4:3；因为丙的情形与乙一样，所以甲、乙、丙三者步行距离比为 4:3:3 因为有 3 人，2 辆自行车，所以，始终有人在步行，甲、乙、丙步行路程和等于环形道路的周长 于是，甲步行的距离为 2 4 433 =0.8 千米；则骑车的距离为 22-0.8=3.2 千米； 所
24、以甲需要时间为( 0.83.2 520 )60=19.2 分钟 环形两周的最短时间为 19.2 分钟 3-3-2.比例解行程问题.题库学生版page 6 of 13 参考方案如下：甲先步行 0.8 千米，再骑车 3.2 千米； 乙先骑车 2.8 千米，再步行 0.6 千米，再骑车 0.6 千米(丙留下的自行车) ； 丙先骑车 3.4 千米，再步行 0.6 千米 【答案】19.2 分钟 【例【例 11】甲、乙两人在甲、乙两人在 400 米圆形跑道上进行米圆形跑道上进行 10000 米比赛两人从起点同时同向出发，开始时甲的速米比赛两人从起点同时同向出发，开始时甲的速 度为每秒度为每秒 8 米，乙的
25、速度为每秒米，乙的速度为每秒 6 米当甲每次追上乙以后，甲的速度每秒减少米当甲每次追上乙以后，甲的速度每秒减少 2 米，乙的速米，乙的速 度每秒减少度每秒减少 0.5 米这样下去，直到甲发现乙第一次从后面追上自己开始，两人都把自己的速米这样下去，直到甲发现乙第一次从后面追上自己开始，两人都把自己的速 度每秒增加度每秒增加 O.5 米，直到终点那么领先者到达终点时，另一人距终点多少米米，直到终点那么领先者到达终点时，另一人距终点多少米? 【考点】环形跑道与变速问题【难度】4 星【题型】解答 【解析】 对于这道题只能详细的分析逐步推算，以获得解答 先求出当第一次甲追上乙时的详细情况，因为甲乙同向，
26、所以为追击问题 甲、 乙速度差为8-6=2米秒， 当甲第一次追上乙时， 甲应比乙多跑了一圈400米， 即甲跑了40028=1600 米，乙跑了 40026=1200 米 相遇后，甲的速度变为 8-2=6 米秒，乙的速度变为 6-0.5=55 米秒显然，甲的速度大于乙，所以 仍是甲超过乙 当甲第二次追上乙前，甲、乙速度差为 6-5.5=0.5 米秒，追上乙时，甲应在原基础上再比乙多跑一圈 400 米，于是甲又跑了 4000.56=4800 米，乙又跑了 4000.55.5=4400 米 甲第二次追上乙后，甲的速度变为 6-2=4 米秒，乙的速度变为 5.5-0.5= 5 米秒显然，现在乙的 速度
27、大于甲，所以变为乙超过甲 当乙追上甲时，甲、乙速度差为 5-4=1 米秒，乙追上甲时，乙应比甲多跑一圈 400 米，于是甲又跑 了 40014=1600 米，乙又跑了 40015=2000 米 。 这时甲的速度变为4+0.5=4.5米秒， 乙的速度变为5+0.5=5.5米秒并以这样的速度跑完剩下的全程 在这过程中甲共跑了 1600+4800+1600=8000 米，乙共跑了 1200+4400+2000=7600 米 甲还剩下 10000-8000=2000 米的路程，乙还剩下 10000-7600=2400 米的路程 显然乙先跑完全程，此时甲还剩下 24004004 20004.536 5.
28、51111 米的路程 即当领先者到达终点时，另一人距终点 4 3611米 评注：此题考察了我们的分析问题的能力，也考察了我们对追击这一基本行程问题的熟练程度. 【答案】 4 3611米 【例【例 1212】某人乘坐观光游船沿河流方向从某人乘坐观光游船沿河流方向从A港前行港前行发现每隔发现每隔 40 分钟就有一艘货船从后面追上游船分钟就有一艘货船从后面追上游船，每每 隔隔 20 分钟就会有一艘货船迎面开过分钟就会有一艘货船迎面开过已知已知A、B两港之间货船发出的间隔时间相同两港之间货船发出的间隔时间相同，且船在静且船在静 水中速度相同，均是水速的水中速度相同，均是水速的 7 倍那么货船的发出间隔
29、是倍那么货船的发出间隔是_分钟分钟 【考点】流水行船与发车间隔【难度】4 星【题型】解答 【关键词】数学解题能力展示,高年级组,初试 【解析】设水速为v，则船速为7v，顺水船速为8v，逆水船速为6v设货船发出的时间间隔为t，则顺 水船距为8vt，逆水船距为6vt设游船速度为w，则有 40 88 vwvvt，20 66 vwvvt解得28t，1.4wv 3-3-2.比例解行程问题.题库学生版page 7 of 13 【答案】28 模块二、学科内综合 【例【例 13】甲甲、乙两辆车从乙两辆车从 A 城开往城开往 B 城城，速度是速度是 55 于米小时于米小时，上午上午 10 点点，甲车已行的路程是
30、乙车已甲车已行的路程是乙车已 行的路程的行的路程的 5 倍倍：中午中午 12 点点，甲车已行的路程是乙车已行的路程的甲车已行的路程是乙车已行的路程的 3 倍倍问乙车比甲车晚出发问乙车比甲车晚出发 多少小时？多少小时？ 【考点】行程问题与差倍问题【难度】2 星【题型】解答 【关键词】希望杯，四年级，二试 【解析】行程与和差倍问题 路程差不变，画图求解 图中粗线是 10 点到 12 点 2 小时走的路程为 1 份，从图中可以看出甲比乙多走 4 份则乙车比甲 车晚出发 8 小时 （注，此题所求的是时间差，不需要将速度带入 ） 【答案】8 小时 【例【例 14】张明和李军分别从甲、乙两地同时相向而行。
31、张明平均每小时行张明和李军分别从甲、乙两地同时相向而行。张明平均每小时行 5 千米；而李军第一小时行千米；而李军第一小时行 1 千米千米，第二小时行第二小时行 3 千米千米，第三小时行第三小时行 5 千米千米，（连续奇数连续奇数） 。两人恰好在甲两人恰好在甲、乙两地的中乙两地的中 点相遇。甲、乙两地相距多少千米点相遇。甲、乙两地相距多少千米? 【考点】行程问题与数列综合【难度】2 星【题型】解答 【解析】因为李军走的路程为：135若干个奇数相加，结果为中间数个数，而张平走的路程为 5 小时数，所以知道李军走的路程为：1357925，那么两个人分别走了2555（小时） ， 所以路程为：25250
32、（千米） 。 【答案】50千米 【巩固】【巩固】 甲甲、乙两个电动玩具车同时从轨道的两端相对而行乙两个电动玩具车同时从轨道的两端相对而行，甲车每秒行甲车每秒行 5 厘米厘米，乙车第一秒行乙车第一秒行 1 厘米厘米， 第二秒行第二秒行 2 厘米厘米，第三秒行第三秒行 3 厘米厘米，这样两车相遇时这样两车相遇时，走的路程相同走的路程相同。则轨道长则轨道长_厘厘 米。米。 【考点】行程问题与数列综合【难度】2 星【题型】填空 【关键词】希望杯，五年级，一试 【解析】路程相同，时间相同，甲乙的平均速度是一样的，1、2、3、4、5、6、7、8、9，乙走了 9 秒， 距离为 1+2+3+4+5+6+7+8
33、+9=45 厘米，轨道长 90 厘米。 【答案】90 厘米 【巩固】【巩固】 龟兔赛跑，全程龟兔赛跑，全程 5.2 千米，兔子每小时跑千米，兔子每小时跑 20 千米，乌龟每小时跑千米，乌龟每小时跑 3 千米乌龟不停地跑；但兔千米乌龟不停地跑；但兔 子却边跑边玩，它先跑了子却边跑边玩，它先跑了 1 分钟然后玩分钟然后玩 15 分钟，又跑分钟，又跑 2 分钟然后玩分钟然后玩 15 分钟，再跑分钟，再跑 3 分钟然后分钟然后 玩玩 15 分钟，分钟，那么先到达终点的比后到达终点的快多少分钟那么先到达终点的比后到达终点的快多少分钟? 【考点】行程问题之数列综合【难度】3 星【题型】填空 【解析】乌龟到
34、达终点所需时间为 5.2360=104 分钟 兔子如果不休息，则需要时间 5.22060=15.6 分钟 而兔子休息的规律是跑 1、2、3、分钟后，休息 15 分钟 因为 15.6=1+2+3+4+5+0.6， 所以兔子休息了 515=75 分钟， 即兔子跑到终点所需时间为 15 6+75=90 6 3-3-2.比例解行程问题.题库学生版page 8 of 13 分钟 显然，兔子先到达，先乌龟 104-90.6=13.4 分钟达到终点 【答案】兔子先到达，先乌龟 104-90.6=13.4 分钟达到终点 【例【例 15】科技小组演示自制机器人，若机器人从点科技小组演示自制机器人，若机器人从点
35、A 向南行走向南行走 1.2 米，再向东行走米，再向东行走 1 米，接着又向南行米，接着又向南行 走走 1.8 米，再向东行走米，再向东行走 2 米，最后又向南行走米，最后又向南行走 1 米到达米到达 B 点，则点，则 B 点与点与 A 点的距离是（点的距离是（） 米。米。 （A）3（B）4（C）5（D）7 【考点】行程问题与几何综合【难度】2 星【题型】选择 【关键词】华杯赛，初赛 【解析】C 【答案】C 【例【例 16】两条公路成十字交叉两条公路成十字交叉，甲从十字路口南甲从十字路口南 1200 米处向北直行米处向北直行，乙从十字路口处向东直行乙从十字路口处向东直行。甲甲、乙乙 同时出发同
36、时出发 10 分后分后，两人与十字路口的距离相等两人与十字路口的距离相等，出发后出发后 100 分分，两人与十字路口的距离再次相两人与十字路口的距离再次相 等，此时他们距十字路口多少米？等，此时他们距十字路口多少米？ 【考点】行程问题与几何综合【难度】2 星【题型】解答 【关键词】希望杯，六年级，二试 【解析】5400 米。解：如右图所示，出发后 10 分两人与十字路口距离相等，相当于两人相距 1200 米，10 分后相遇，两人的速度和为 120010=120（米）.出发后 100 分两人再次与十字路口距离相等，相 当于两人相距 1200 米，100 分后甲追上乙。由此推知两人的速度差为 12
37、0010012（米） 。乙每 分行（12012）2=54（米） ，出发 100 分后距十字路口 5400 米。 【答案】5400 米 【例【例 17】如图如图 6，迷宫的两个入口处各有一个正方形迷宫的两个入口处各有一个正方形（甲甲）机器人和一个圆形机器人机器人和一个圆形机器人（乙乙） ，甲的边长和甲的边长和 乙的直径都等于迷宫入口的宽度。甲和乙的速度相同，同时出发，则首先到达迷宫中心（乙的直径都等于迷宫入口的宽度。甲和乙的速度相同，同时出发，则首先到达迷宫中心（） 处的是处的是。 【考点】行程问题与几何综合【难度】2 星【题型】解答 【关键词】希望杯，六年级，一试 【解析】甲、乙两机器人走的路
38、程就是正方形，和圆的中心所走的路程，他们走的直线路程都相等，只是 在拐弯时圆能滚动，如左下图可以由实线位置滚动到虚线位置，这样正方形中心在拐弯时走的是 折线部分，圆的中心在拐弯时走的是弧线部分，如右下图，所以是乙先到达 3-3-2.比例解行程问题.题库学生版page 9 of 13 【答案】乙先到达 【例【例 18】A、B 两地两地位于同一条河上，位于同一条河上，B 地在地在 A 地下游地下游 100 千米处甲船从千米处甲船从 A 地、乙船从地、乙船从 B 地同时出发地同时出发， 相向而行相向而行，甲船到达甲船到达 B 地地、乙船到达乙船到达 A 地后地后，都立即按原来路线返航都立即按原来路线
39、返航水速为水速为 2 米米/秒秒，且两船且两船 在静水中的速度相同如果两船两次相遇的地点相距在静水中的速度相同如果两船两次相遇的地点相距 20 千米，那么两船在静水中的速度是千米，那么两船在静水中的速度是 米米/秒秒 【考点】行程问题与几何综合【难度】4 星【题型】填空 【关键词】迎春杯，复赛，高年级组 【解析】本题采用折线图来分析较为简便 如图，箭头表示水流方向，ACE表示甲船的路线，BDF表示乙船的路线，两个交 点M、N就是两次相遇的地点 由于两船在静水中的速度相同，所以两船的顺水速度和逆水速度都分别相同，那么两船顺水行船 和逆水行船所用的时间都分别相同，表现在图中，就是BC和DE的长度相
40、同，AD和CF的长度 相同 那么根据对称性可以知道，M点距BC的距离与N点距DE的距离相等，也就是说两次相遇地点 与A、B两地的距离是相等的而这两次相遇的地点相距 20 千米，所以第一次相遇时，两船分 别走了10020240千米和1004060千米，可得两船的顺水速度和逆水速度之比为 60:403:2 而顺水速度与逆水速度的差为水速的 2 倍，即为 4 米/秒，可得顺水速度为432312米/ 秒，那么两船在静水中的速度为12210米/秒 【答案】10米/秒 【例【例 1919】夜里下了一场大雪，早上，小龙和爸爸一起步测花园里一条环形小路的长度，他们从同一点同夜里下了一场大雪，早上，小龙和爸爸一
41、起步测花园里一条环形小路的长度，他们从同一点同 向行走，小龙每步长向行走，小龙每步长 54 厘米，爸爸每步长厘米，爸爸每步长 72 厘米，两人各走完一圈后又都回到出发点，这时厘米，两人各走完一圈后又都回到出发点，这时 雪地上只留下雪地上只留下 60 个脚印。那么这条小路长个脚印。那么这条小路长。 【考点】行程问题与数论综合【难度】4 星【题型】填空 【关键词】希望杯，5 年级，1 试 【解析】爸爸走 3 步和小龙走 4 步距离一样长，也就是说他们一共走 7 步，但却只会留下 6 个脚印，也就 是说每 216 厘米会有 6 个脚印，那么有 60 个脚印说明总长度是216 102160厘米，也就是
42、 21.6 米。 【答案】21.6 米 【例【例 2020】甲、乙两地相距甲、乙两地相距 100100 千米，张山骑摩托车从甲地出发，千米，张山骑摩托车从甲地出发，1 1 小时后李强驾驶汽车也从甲地出发，小时后李强驾驶汽车也从甲地出发， 二人同时到达乙地。已知摩托车开始的速度是每小时二人同时到达乙地。已知摩托车开始的速度是每小时 5050 千米，中途减为每小时千米，中途减为每小时 4040 千米；汽车千米；汽车 的速度是每小时的速度是每小时 8080 千米，并在途中停留千米，并在途中停留 1010 分钟。那么，张山骑摩托车在出发分钟。那么，张山骑摩托车在出发分分 钟后减速钟后减速. . 【考点
43、】行程问题与鸡兔同笼【难度】3 星【题型】填空 3-3-2.比例解行程问题.题库学生版page 10 of 13 【关键词】迎春杯，高年级，初试 【解析】【解析】汽车行驶了：100806075（分） ；摩托车行驶了：756010145 （分）设摩托车减速前 行驶了x分，则减速后行驶了145x分，列方程为： 145 5040100 6060 xx 55804600 xx 20 x 所以张山骑摩托车出发 20 分钟后减速. 【答案】20 分钟 【例【例 21】甲甲、乙两人在河中先后从同一个地方同速同向游进乙两人在河中先后从同一个地方同速同向游进现在甲位于乙的前方现在甲位于乙的前方，乙距起点乙距起点
44、 20 米米；当当 乙游到甲现在的位置时，甲已离起点乙游到甲现在的位置时，甲已离起点 98 米问：甲现在离起点多少米米问：甲现在离起点多少米? 【考点】行程问题中的年龄问题【难度】2 星【题型】解答 【关键词】华杯赛，初赛 【解析】当乙游到甲现在的位置时，甲也游了同样的距离，这距离是(9820)239(米)，所以甲现在离 起点 392059(米). 【答案】59 米 【例【例 22】某人由甲地去乙地某人由甲地去乙地，如果他从甲地先骑摩托车行如果他从甲地先骑摩托车行 12 小时小时，再换骑自行车行再换骑自行车行 9 小时小时，恰好到达乙恰好到达乙 地地，如果他从甲地先骑自行车如果他从甲地先骑自行
45、车 21 小时小时，再换骑摩托车行再换骑摩托车行 8 小时小时，也恰好到达乙地也恰好到达乙地，问问：全程骑全程骑 摩托车需要几小时到达乙地？摩托车需要几小时到达乙地？ 【考点】行程问题中的工程问题【难度】2 星【题型】解答 【关键词】华杯赛 【解析】对比分析法：骑摩托车骑自行车 方案一12 小时9 小时 方案二8 小时21 小时 方案一比方案二多 4少 12 说明摩托车 4 小时走的路程=骑自行车 12 小时走的路程 推出摩托车 1 小时走的路程=骑自行车 3 小时走的路程 整理全程骑摩托车需要 129315（小时） 【答案】15 小时 【例【例 23】甲、乙两人同时从两地出发相向而行，相遇后
46、继续前进，当两人相距甲、乙两人同时从两地出发相向而行，相遇后继续前进，当两人相距2.5千米时千米时 ，甲走了全程，甲走了全程 的的 2 3 ，乙走了全程的，乙走了全程的 3 4 。两地相距多少千米？。两地相距多少千米？ 【考点】行程问题中的工程问题【难度】2 星【题型】解答 【解析】6千米，解： 23 2.516 34 （千米） 【答案】6千米 【例【例 24】甲、乙二人骑车同时从环形公路的某点出发，背向而行，已知甲骑一圈需甲、乙二人骑车同时从环形公路的某点出发，背向而行，已知甲骑一圈需 48 分，出发后分，出发后 30 分分 两人相遇。问：乙骑一圈需多长时间？两人相遇。问：乙骑一圈需多长时间
47、？ 【考点】行程问题中的工程问题【难度】2 星【题型】解答 【解析】80分，解： 11 180 3048 （分） 。 【答案】80分 【例【例 25】甲甲、乙两站相距不到乙两站相距不到 500 千米千米，A，B 两列火车从甲两列火车从甲、乙两站相对开出乙两站相对开出，A 车行至车行至 210 千米处停千米处停 车，车，B 车行至车行至 270 千米处也停车，这时两车相距正好是甲、乙两站距离的千米处也停车，这时两车相距正好是甲、乙两站距离的 1 9 。甲乙两站的距离。甲乙两站的距离 是多少？是多少？ 【考点】行程问题中的工程问题【难度】2 星【题型】解答 3-3-2.比例解行程问题.题库学生版p
48、age 11 of 13 【解析】432 千米。提示：分两车未相遇与已相遇两种情况。 若未相遇，全程为 1 2102701540 9 （千米），不合题意； 若已相遇，全程为 1 2102701432 9 （千米），符合题意。 【答案】432千米 【例【例 26】客车和货车同时从甲、乙两地相向开出，客车行完全程需客车和货车同时从甲、乙两地相向开出，客车行完全程需 10 时，货车行完全程需时，货车行完全程需 15 时。两车时。两车 在中途相遇后，客车又行了在中途相遇后，客车又行了 90 千米，这时客车行完了全程的千米，这时客车行完了全程的 80，求甲、乙两地的距离。，求甲、乙两地的距离。 【考点】
49、行程问题中的工程问题【难度】2 星【题型】解答 【解析】450千米。提示：相遇时客车行了全程的 3 5 。 【答案】 3 5 【例【例 27】小王和小李同时从两地相向而行小王和小李同时从两地相向而行，小王走完全程要小王走完全程要 60 分分，小李走完全程要小李走完全程要 40 分分。出发后出发后 5 分分， 小李因忘带东西而返回出发点，因取东西耽误了小李因忘带东西而返回出发点，因取东西耽误了 5 分，小李再出发后多长时间两人相遇？分，小李再出发后多长时间两人相遇？ 【考点】行程问题中的工程问题【难度】2 星【题型】解答 【解析】18分，解： 1511 118 606040 （分） 。 【答案】
50、18分 【例【例 28】两列火车从甲、乙两地相向而行，慢车从甲地到乙地需要两列火车从甲、乙两地相向而行，慢车从甲地到乙地需要 8 时，比快车从异地到甲地所需时间时，比快车从异地到甲地所需时间 多多 1 3 。一直两车同时开出，相遇时快车比慢车多行。一直两车同时开出，相遇时快车比慢车多行 48 千米，求甲、乙两地的距离。千米，求甲、乙两地的距离。 【考点】行程问题中的工程问题【难度】2 星【题型】解答 【解析】336 千米。解：快、慢车行一个单程所需时间之比为 34，相遇时两车分别行了全程的 4 7 和 3 7 。 【答案】336 千米 【例【例 29】甲、乙二人在环形自行车赛场上训练，已知两人
